高等數(shù)學(xué)(下)知識(shí)點(diǎn)總結(jié).

1、高等數(shù)學(xué)（下）知識(shí)點(diǎn)主要公式總結(jié)第八章空間解析幾何與向量代數(shù)1、二次曲面1）橢圓錐面：x 2y 2z 2a 2b 22）x 2y 2z 21x 2y 2z21橢球面：a 2b 2c 2旋轉(zhuǎn)橢球面： a 2a 2c 23）x 2y 2z21x 2y 2z 21單葉雙曲面：a 2b 2c 2雙葉雙曲面：b 2c 2a 24）橢圓拋物面：x 2y 2z雙曲拋物面（馬鞍面） ：x 2y 2za 2b 2a 2b 25）x 2y 21x 2y 21橢圓柱面：a 2b 2雙曲柱面： a 2b 26）拋物柱面：x2ay（二）平面及其方程1、點(diǎn)法式方程：A ( xx0 )B ( yy0 ) C ( z z0

2、)0法向量： n( A, B,C)，過點(diǎn) (x0 , y0 , z0 )2、一般式方程：AxByCzD0截距式方程：xyzabc13、兩平面的夾角： n1( A1, B1 ,C1 ) ， n2(A2,B2,C2) ，cosA1A2B1B2C1C2A12B12C12A22B22C22A1 A2B1B2C1C20； 1/A1B1C1122B2C2A24、點(diǎn) P0 ( x0 , y0 , z0) 到平面 AxByCzD 0 的距離：dAx0 By0 Cz0DA2B2C 2（三）空間直線及其方程A1 xB1 yC1 zD101、一般式方程：A2 x B 2 y C 2 z D 2 02、xx0yy0z

3、 z0對(duì)稱式（點(diǎn)向式）方程：mnp方向向量： s(m, n, p) ，過點(diǎn) ( x0 , y0 , z0 )3、兩直線的夾角：s1(m1 ,n1 , p1) ， s2(m2 , n2 , p2 ) ，cosm1m2n1 n2p1 p2m12n12p12m22n22p22L1L2m1m2n1 n2p1 p2 0 ； L1 / L2m1n1p1m2n2p24、直線與平面的夾角：直線與它在平面上的投影的夾角，sinAmBnCpA 2B 2C 2m 2n 2p 2L /AmBnCp0； LABCmnp第九章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用1、連續(xù)：limf ( x, y)f ( x0 , y0 )( x , y

4、 ) ( x0 ,y0 )2、偏導(dǎo)數(shù)：f x (x0, y0 )f ( x0x, y0 )f ( x0, y0 )； f y (x0, y0)limf (x0 , y0y) f ( x0 , y0 )limxyx 0y03、方向?qū)?shù)：ffcosf cos其中,為 l的方向角。lxy4、梯度： zf ( x, y) ，則 gradf (x0 , y0 )f x (x0 , y0 )if y (x0 , y0 ) j 。5、全微分：設(shè)zf ( x, y) ，則 dzz dxz dyxy（一）性質(zhì)1、函數(shù)可微，偏導(dǎo)連續(xù)，偏導(dǎo)存在，函數(shù)連續(xù)等概念之間的關(guān)系：12偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)存在必要條件充分

5、條件定義243函數(shù)連續(xù)2、微分法1）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：鏈?zhǔn)椒▌t若 zf (u, v), uu( x, y), vv( x, y) ，則zzuzvzzuzvxuxvx，uyvyy（二）應(yīng)用求函數(shù) zf (x, y) 的極值f x0( x0 , y0 ) ，令1）解方程組f y求出所有駐點(diǎn)，對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)0Afxx ( x0 , y0 ) ， Bf xy (x0 , y0 ) ， Cf yy (x0, y0 ) ，若AC B20 ， A0 ，函數(shù)有極小值，若AC B20 ， A0，函數(shù)有極大值；若若ACB 20 ，函數(shù)沒有極值；ACB20 ，不定。2、幾何應(yīng)用1）曲線的切線與法平面xx ( t )曲線

6、: yy( t ) ，則上一點(diǎn) M ( x0 , y0 , z0 ) （對(duì)應(yīng)參數(shù)為 t0 ）處的zz ( t )x x0y y0z z0切線方程為：y (t0 )z (t0 )x (t0 )法平面方程為： x (t0 )( xx0 )y (t0 )( y y0 ) z (t0 )( z z0 ) 02）曲面的切平面與法線曲面: F ( x , y, z)0 ，則上一點(diǎn) M ( x0 , y0 , z0 ) 處的切平面方程為：Fx (x0 , y0 , z0 )( xx0 )Fy ( x0 , y0 , z0 )( yy0 )Fz ( x0 , y0 , z0 )( zz0 )0x x0y y0

7、z z0法線方程為：Fy ( x0 , y0 , z0 )Fz (x0 , y0 , z0 )Fx (x0 , y0 , z0 )第十章重積分（一）二重積分：幾何意義：曲頂柱體的體積f (x, y) dlimnf ( k , k ) k1、定義：D0k 12、計(jì)算：1）直角坐標(biāo)D(x, y)1( x)y2 (x)f (x, y)d xdyb2 ( x )，dxf ( x,y)d yaxbDa1 ( x)D(x, y)1( y)x2 ( y)f ( x, y)d xdyd2 ( y)cyd，dyf (x,y)d xDc1 ( y )2）極坐標(biāo)D(,)1()2()（二）三重積分1、定義：f (x,

8、 y, z) d v2、計(jì)算：1）直角坐標(biāo)f ( x, y, z) d vD d xd ybf ( x, y)dxdy2 ()，df ( cos , sin ) d1()Dnlimf ( k , k , k ) vk0 k1z2 (x , y)f ( x, y, z) d z-“ 先一后二 ”z1 ( x, y)f ( x, y, z) d vd zf (x, y, z)dxd y-“ 先二后一 ”aD Z2）柱面坐標(biāo)xcosysin，f ( x, y, z)d vf (cos ,sin, z) d d dzzz3）球面坐標(biāo)xr sincosyr sinsinzr cosf (x, y, z)

9、d vf (r sincos,r sinsin , r cos)r 2 sin dr dd（三）應(yīng)用曲面 S : zf (x, y) , ( x, y)D 的面積：AD1 (z) 2(z)2 d x d yxy第十一章曲線積分與曲面積分（一）對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分n1、定義：f ( x, y)dslimf ( i, i)siL01i2、計(jì)算：設(shè) f ( x, y) 在曲線弧 L 上有定義且連續(xù)， L 的參數(shù)方程為x(t),(t),(t ) 在 , y(t) ，其中(t ),上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且2 (t )2 (t )0 ，則f (x, y)dsf (t ),(t )2 (t )2 (t )dt ,

10、()L（二）對(duì)坐標(biāo)的曲線積分1、定義 ：設(shè) L 為 xoy 面 內(nèi)從 A 到 B 的一條 有向光 滑弧，函 數(shù) P ( x, y)， Q ( x, y ) 在L 上有界，定義nnP ( x, y )d xlimP (k ,k )xk，Q ( x, y )d ylimQ (k ,k )yk .L0 k 1L0k 1向量形式：Fd rP( x, y)d xQ( x, y)d yLL2、計(jì)算：設(shè) P( x, y ) , Q( x, y) 在有向光滑弧L 上有定義且連續(xù) ,L 的參數(shù)方程為x(t ),(t),(t ) 在 , 上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且2 (t )2 (t ) 0 ，則y(t :) ，其中

11、(t),P (x, y)d xQ( x, y )d y P(t),(t)(t)Q(t ),(t )(t) dtL3、兩類曲線積分之間的關(guān)系：L：x(t),設(shè)平面有向曲線弧為， L 上點(diǎn) (x, y) 處的切向量的方向角為：，y(t )cos(t)， cos(t )，2 (t)2 (t)2 (t )2 (t )則 PdxQdy( P cosQ cos)d s .LL（三）格林公式1、格林公式：設(shè)區(qū)域D 是由分段光滑正向曲線L 圍成，函數(shù)P( x, y) ,Q( x, y) 在 D 上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),則有QPdxd yPd xQd yDxyL2、 G 為一個(gè)單連通區(qū)域，函數(shù)P( x, y),

12、Q( x, y) 在 G 上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，則QP曲線積分PdxQdy 在 G 內(nèi)與路徑無關(guān)xyL（四）對(duì)面積的曲面積分1、定義：設(shè)為光滑曲面，函數(shù)f (x, y, z) 是定義在上的一個(gè)有界函數(shù)，n定義f ( x, y, z) dSlimf ( i,i , i) Si0i 12、計(jì)算：“ 一單二投三代入 ”: zz( x, y) ， ( x, y)Dxy ，則f ( x, y, z) dSD x yf x, y, z( x, y)1 zx2 ( x, y) zy2 ( x, y) dxd y（五）對(duì)坐標(biāo)的曲面積分1、定義：設(shè)為有向光滑曲面，函數(shù)P( x, y, z), Q(x, y, z

13、), R( x, y,z)是定義在上的有界函數(shù)，定義nR( x, y, z)d xdylimR(i ,i ,i )(Si )xy同理，0 i 1nnP(x, y, z)d ydzlimP(i ,i ,i )(Si ) yz； Q( x, y, z)d zdxlimR( i ,i , i )( Si )zx0 i10i 12、性質(zhì)：1）12，則Pdydz Qdzdx R dxdyPdydz QdzdxRd xdyPdydzQdzdxRd xdy12計(jì)算：“ 一投二代三定號(hào) ”: z z(x, y) ， (x, y) Dxy， zz(x, y) 在 D xy上 具 有 一 階 連 續(xù) 偏 導(dǎo) 數(shù)

14、， R(x, y, z) 在上連續(xù)，則R( x, y, z)d xdyR x, y, z(x, y)d xdy,為上側(cè)取“ + ”，為下側(cè)取“ - ”.D x y3、兩類曲面積分之間的關(guān)系：Pd yd zQd zd xRdxd yPcosQ cosRcosd S其中,為有向曲面在點(diǎn)(x, y, z)處的法向量的方向角。（六）高斯公式1、高斯公式：設(shè)空間閉區(qū)域由分片光滑的閉曲面所圍成 ,的方向取外側(cè),函數(shù) P, Q, R 在上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),則有PQRd x d y d zP d y d z Q d z d x Rdx d yxyz或PQRd x d y d zPcos QcosRcos d

15、 Sxyz2、通量與散度通量：向量場(chǎng)A ( P, Q,R) 通過曲面指定側(cè)的通量為：Pd ydz Qdzd xRdxd y散度： div APQRxyz（七）斯托克斯公式1、斯托克斯公式：設(shè)光滑曲面的 邊 界是分段光滑曲線,的 側(cè) 與的正向符合右手法則,P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) 在包含在內(nèi)的一個(gè)空間域內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù), 則有R Q d y d zPR d zd xQP d xd yPd x Q d y Rd zyzzxxy為便于記憶 ,斯托克斯公式還可寫作:d y d z d z d x d xd yxyzP d xQ d yRd zPQR2、環(huán)

16、流量與旋度環(huán)流量：向量場(chǎng)A( P,Q, R) 沿著有向閉曲線的環(huán)流量為P d xQ d yRd z旋度： rot ARQ ,PR ,QPyzzxxy第十二章無窮級(jí)數(shù)（一）常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1、定義：1）無窮級(jí)數(shù)：un u1 u2 u3unn 1n部分和： Snuku1u2 u3un ，k 1正項(xiàng)級(jí)數(shù)：un， un0n 1交錯(cuò)級(jí)數(shù)：(1) n un ， un0n 12）級(jí)數(shù)收斂：若lim SnS 存在，則稱級(jí)數(shù)un 收斂，否則稱級(jí)數(shù)un 發(fā)散nn 1n 13）條件收斂：un 收斂，而un 發(fā)散；n 1n 1絕對(duì)收斂：un 收斂。n12、性質(zhì)：1）改變有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的收斂性；2）級(jí)數(shù)an ，bn 收斂，

17、則( an bn ) 收斂；n 1n 1n 13）級(jí)數(shù)an 收斂，則任意加括號(hào)后仍然收斂；n 14）必要條件：級(jí)數(shù)un 收斂lim un 0 . （注意：不是充分條件！ ）n 1n3、審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)：un ， un0n 11）定義： lim SnS 存在；n2）un 收斂Sn有界；n 13）比較審斂法：un ，vn 為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且un vn(n1,2,3,)n 1n 1若vn 收斂，則un 收斂；若un 發(fā)散，則vn 發(fā)散 .n 1n 1n 1n 14）比較法的推論：un ，vn為正項(xiàng)級(jí)數(shù)， 若存在正整數(shù)m ，當(dāng) nm 時(shí)， unkvn ，而vn 收斂，則un 收n1n 1n 1n 1斂；若存

18、在正整數(shù)m ，當(dāng) nm 時(shí)， unkvn ，而vn 發(fā)散，則un 發(fā)散 .n 1n 15）比較法的極限形式：un ，vn 為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若lim unl(0 l) ，而vn 收斂，則un 收斂；若n 1n 1nvnn 1n 1limun0或 limun，而vn 發(fā)散，則un 發(fā)散 .vnvnnnn1n 16）比值法：un 為正項(xiàng)級(jí)數(shù)， 設(shè) lim un 1l ，則當(dāng) l1 時(shí)，級(jí)數(shù)un 收斂；則當(dāng) l1 時(shí)，級(jí)數(shù)un 發(fā)散；當(dāng) l 1n 1nunn 1n 1時(shí)，級(jí)數(shù)u n 可能收斂也可能發(fā)散.n 17）根值法：un 為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，設(shè) lim n unl ，則當(dāng) l1 時(shí)，級(jí)數(shù)un 收斂；則當(dāng) l

19、1 時(shí)，級(jí)數(shù) un發(fā)散；當(dāng) l 1n 1nn 1n 1時(shí)，級(jí)數(shù)u n 可能收斂也可能發(fā)散 .n 18）極限審斂法：為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若lim n un0或 lim n un，則級(jí)數(shù)發(fā)散；若存在p1，使得unnnn 1unn 1lim npun l (0l) ，則級(jí)數(shù)u n 收斂 .nn 1交錯(cuò)級(jí)數(shù)：萊布尼茨審斂法：交錯(cuò)級(jí)數(shù)：(n， un0 滿足： un 1un(n 1,2,3, ) ，且 lim un0 ，則級(jí)數(shù)n收斂。( 1)u n1) unnn 1n 1任意項(xiàng)級(jí)數(shù)：un 絕對(duì)收斂，則un收斂。n 1n 1aq n收斂，q1p- 級(jí)數(shù)：1收斂， p1常見典型級(jí)數(shù)：幾何級(jí)數(shù)：；n 1 np發(fā)散， p

20、1n 0發(fā)散，q1（二）函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1、定義：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)un (x) ，收斂域，收斂半徑，和函數(shù)；n12、冪級(jí)數(shù)：an x nn 01 ,03、收斂半徑的求法： liman 1，則收斂半徑R0,nan,04、泰勒級(jí)數(shù)f (x)f ( n) (x0 ) (x x0 )nlim Rn (x)lim f ( n1) ( ) (x x0 ) n 10n 0n!nn(n1)!展開步驟：（直接展開法）1）求出 f ( n) (x),n 1,2,3,；2）求出 f ( n ) ( x0 ),n0,1,2,；3）寫出f ( n ) ( x0 ) ( xx0 ) n ；n0n!4）驗(yàn)證 lim Rn ( x)limf ( n 1) () ( xx0 ) n 10 是否成立。nn(n 1)!間接展開法：（利用已知函數(shù)的展開式）1） ex1 xn , x(, ) ；n 0 n !2） sin x(1) n 11x2 n1 ,