高三理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)9：證明方法與極限—證明方法

1、高三理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)9：證明方法與極限證明方法1設(shè)ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r，類比這個(gè)結(jié)論可知：四面體SABC的四個(gè)面的面積分別為S1，S2，S3，S4，內(nèi)切球半徑為R，四面體SABC的體積為V，則R等于A B C D2下列推理中屬于歸納推理且結(jié)論正確的是（）A由an=2n1，求出S1=12，S2=22，S3=32，推斷：數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=n2B由f（x）=xcosx滿足f（x）=f（x）對(duì)都成立，推斷：f（x）=xcosx為奇函數(shù)C由圓x2+y2=r2的面積S=r2，推斷：橢圓=1的面積S=abD由，推斷：對(duì)一切，（n+1）22n3給出命題：

2、若是正常數(shù)，且，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）根據(jù)上面命題，可得到函數(shù)（）的最小值及取最小值時(shí)的值分別為（ ）A， B，C25， D，4六個(gè)面都是平行四邊形的四棱柱稱為平行六面體。如，在平行四邊形中，有，那么在圖（2）的平行六面體中有等于（ ）A BC D5對(duì)于任意正整數(shù)n，定義“”如下：當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，現(xiàn)在有如下四個(gè)命題：；的個(gè)位數(shù)是0；的個(gè)位數(shù)是5。其中正確的命題有（ ）A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)6若表示的各位數(shù)字之和，如，記，則的值是（ ）A 3 B 5 C 8 D 117設(shè)為正整數(shù)，且與皆為完全平方數(shù)，對(duì)于以下兩個(gè)命題：（甲）必為合數(shù)； （乙）必為兩個(gè)平方數(shù)的和你的判斷是 （

3、 ）A甲對(duì)乙錯(cuò)； B 甲錯(cuò)乙對(duì)； C甲乙都對(duì)； D甲乙都不一定對(duì)8設(shè)，是的小數(shù)部分，則當(dāng)時(shí)，的值（ ）必為無(wú)理數(shù)必為偶數(shù) 必為奇數(shù)可為無(wú)理數(shù)或有理數(shù)9已知點(diǎn)是函數(shù)的圖象上任意不同兩點(diǎn)，依據(jù)圖象可知，線段AB總是位于A、B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖象的上方，因此有結(jié)論成立運(yùn)用類比思想方法可知，若點(diǎn)是函數(shù)的圖象上任意不同兩點(diǎn)，則類似地有_成立10設(shè)的三邊長(zhǎng)分別為，的面積為，內(nèi)切圓半徑為，則；類比這個(gè)結(jié)論可知：四面體的四個(gè)面的面積分別為，內(nèi)切球的半徑為，四面體的體積為，則 11如圖小正六邊形沿著大正六邊形的邊按順時(shí)針方向滾動(dòng)，小正六邊形的邊長(zhǎng)是大正六邊形的邊長(zhǎng)的一半如果小正六邊形沿著大正六邊形的邊滾動(dòng)一周后返回

4、出發(fā)時(shí)的位置，在這個(gè)過程中，向量圍繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)了角，其中為小正六邊形的中心，則 12給定有限單調(diào)遞增數(shù)列，數(shù)列至少有兩項(xiàng)）且，定義集合若對(duì)任意點(diǎn)，存在點(diǎn)使得為坐標(biāo)原點(diǎn)），則稱數(shù)列具有性質(zhì)（1）給出下列四個(gè)命題，其中正確的是 （填上所有正確命題的序號(hào)）數(shù)列-2，2具有性質(zhì);數(shù)列:-2，-1，1，3具有性質(zhì);若數(shù)列具有性質(zhì)，則中一定存在兩項(xiàng)，使得;若數(shù)列具有性質(zhì)，且，則（2）若數(shù)列只有2014項(xiàng)且具有性質(zhì)，則的所有項(xiàng)和 參考答案1若m、nx|x=a2×102+a1×10+a0，其中ai1，2，3，4，5，6，7，i=0，1，2，并且m+n=636，則實(shí)數(shù)對(duì)（m，n）表示平面上不同

5、點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）A60個(gè) B70個(gè) C90個(gè) D120個(gè)【答案】C【解析】試題分析：記A=x|x=a0+a110+a2100，求實(shí)數(shù)對(duì)（x，y）表示坐標(biāo)平面上不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)也就是要找x+y=636在A中的解的個(gè)數(shù)，按10進(jìn)制位考察即可解：記A=x|x=a0+a110+a2100，實(shí)數(shù)對(duì)（x，y）表示坐標(biāo)平面上不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于要找x+y=636在A中的解的個(gè)數(shù)，按10進(jìn)制位考察即可首先看個(gè)位，a0+a0=6，有5種可能再往前看：a1+a1=3且a2+a2=6，有2×5=10種可能，a1+a1=13且a2+a2=5，有2×4=8種可能，所以一共有（10+8）×5=90

6、個(gè)解，對(duì)應(yīng)于平面上90個(gè)不同的點(diǎn)故選C點(diǎn)評(píng)：本題考查排列、組合及其簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，屬于中檔題2設(shè)ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r，類比這個(gè)結(jié)論可知：四面體SABC的四個(gè)面的面積分別為S1，S2，S3，S4，內(nèi)切球半徑為R，四面體SABC的體積為V，則R等于A B C D【答案】C【解析】試題分析：四面體的內(nèi)切球的球心與四個(gè)頂點(diǎn)連起來(lái)分成四個(gè)小三棱錐，其高都是，四個(gè)小三棱錐的體積和等于四面體的體積，因此，解得考點(diǎn)：類比推理的應(yīng)用3下列推理中屬于歸納推理且結(jié)論正確的是（）A由an=2n1，求出S1=12，S2=22，S3

7、=32，推斷：數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=n2B由f（x）=xcosx滿足f（x）=f（x）對(duì)都成立，推斷：f（x）=xcosx為奇函數(shù)C由圓x2+y2=r2的面積S=r2，推斷：橢圓=1的面積S=abD由，推斷：對(duì)一切，（n+1）22n【答案】A【解析】試題分析：選項(xiàng)A:為歸納推理，且，是等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差，則，故A正確；選項(xiàng)B：為演繹推理；選項(xiàng)C:為類比推理；選項(xiàng)D：為歸納推理，當(dāng)時(shí)，故結(jié)論錯(cuò)誤；故選A考點(diǎn)：推理4已知（），計(jì)算得，由此推算：當(dāng)時(shí)，有（ ）A（）B（）C（）D（）【答案】D【解析】試題分析：改寫成：；改寫成：；改寫成：；改寫成：，由此可歸納得出：當(dāng)時(shí)，有（），故選擇D考點(diǎn)：歸

8、納推理5將個(gè)正整數(shù)、 、（）任意排成行列的數(shù)表對(duì)于某一個(gè)數(shù)表，計(jì)算各行和各列中的任意兩個(gè)數(shù)、（）的比值，稱這些比值中的最小值為這個(gè)數(shù)表的“特征值”當(dāng)時(shí)，數(shù)表的所有可能的“特征值”最大值為（ ）A B C D【答案】D【解析】試題分析：由題意可知：交換任何兩行或兩列，特征值不變當(dāng)時(shí)，可設(shè)1在第一行第一列，的數(shù)表有：， ， ，其特征值均為:；，其特征值為:；得到數(shù)表的所有可能的不同“特征值”只有：，所以當(dāng)時(shí)，數(shù)表的所有可能的“特征值”最大值為，故選考點(diǎn)：新定義、歸納推理6給出命題：若是正常數(shù)，且，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）根據(jù)上面命題，可以得到函數(shù)（）的最小值及取最小值時(shí)的值分別為（ ）A， B，C

9、25， D，【答案】D【解析】試題分析：本題先從給出的命題中進(jìn)行學(xué)習(xí)，獲取一些基本的信息，進(jìn)而利用這一信息進(jìn)行作答依題意可得，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，故選D考點(diǎn)：創(chuàng)新學(xué)習(xí)題7六個(gè)面都是平行四邊形的四棱柱稱為平行六面體。如，在平行四邊形中，有，那么在圖（2）的平行六面體中有等于（ ）圖（1）圖（2）A BC D【答案】C【解析】試題分析：平行四邊形中，有，兩對(duì)角線的平方和等于兩鄰邊平方和的兩倍，其中的2倍代表的是兩條對(duì)角線，類比平面圖形，在空間圖形中，對(duì)角線的平方和等于三條鄰邊的平方和的4倍。4倍代表是的4條對(duì)角線?？键c(diǎn)：類比推理的應(yīng)用8對(duì)于任意正整數(shù)n，定義“”如下：當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，

10、現(xiàn)在有如下四個(gè)命題：；的個(gè)位數(shù)是0；的個(gè)位數(shù)是5。其中正確的命題有（ ）A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)【答案】D【解析】試題分析：根據(jù)條件中的描述，可以做出如下判斷，：，正確；：，正確；：，等號(hào)右邊的因子中有末位是0的整數(shù)，顯然乘積的個(gè)位數(shù)是0；正確：，等號(hào)右邊的因子中有末位是5的整數(shù)，顯然乘積的個(gè)位數(shù)是5，正確，正確的命題有4個(gè)考點(diǎn)：新定義類材料閱讀題9將個(gè)正整數(shù)、（）任意排成行列的數(shù)表對(duì)于某一個(gè)數(shù)表，計(jì)算各行和各列中的任意兩個(gè)數(shù)、（）的比值，稱這些比值中的最小值為這個(gè)數(shù)表的“特征值”當(dāng)時(shí)，數(shù)表的所有可能的“特征值”最大值為A B C D 【答案】A【解析】試題分析：當(dāng)時(shí)，這4個(gè)數(shù)分別為1、

11、2、3、4，排成了兩行兩列的數(shù)表，當(dāng)同行或同列時(shí)，這個(gè)數(shù)表的“特征值”為；當(dāng)同行或同列時(shí)，這個(gè)數(shù)表的特征值分別為或；當(dāng)同行或同列時(shí)，這個(gè)數(shù)表的“特征值”為或；故這些可能的“特征值”的最大值為考點(diǎn)：1、計(jì)數(shù)原理；2、歸納推理10若表示的各位數(shù)字之和，如，記，則的值是（ ）（A）3 （B）5 （C）8 （D）11【答案】C【解析】試題分析：由題意得：，故函數(shù)的周期為，所以。故選C?？键c(diǎn)：函數(shù)的性質(zhì)點(diǎn)評(píng)：做此類題目需先寫出一部分，再尋找周期，進(jìn)而求解。11設(shè)為正整數(shù)，且與皆為完全平方數(shù)，對(duì)于以下兩個(gè)命題：（甲）必為合數(shù)；（乙）必為兩個(gè)平方數(shù)的和你的判斷是（ ）A甲對(duì)乙錯(cuò)； B 甲錯(cuò)乙對(duì)； C甲乙都對(duì)

12、； D甲乙都不一定對(duì)【答案】【解析】：設(shè)，為正整數(shù)；則，由此知，為正整數(shù)，且，因?yàn)槿?，則，即，則，記，得不為平方數(shù)，矛盾！所以，故由得，為合數(shù)；又因?yàn)?，故選（例如是上述之一）12設(shè)，是的小數(shù)部分，則當(dāng)時(shí)，的值（ ）、必為無(wú)理數(shù)；、必為偶數(shù)；、必為奇數(shù)；、可為無(wú)理數(shù)或有理數(shù)【答案】【解析】：令，則，是方程的兩根，則，所以當(dāng)時(shí)，令，則當(dāng)時(shí)，故所有為偶數(shù)，因，所以為的小數(shù)部分，即，奇數(shù)13已知點(diǎn)是函數(shù)的圖象上任意不同兩點(diǎn)，依據(jù)圖象可知，線段AB總是位于A、B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖象的上方，因此有結(jié)論成立運(yùn)用類比思想方法可知，若點(diǎn)是函數(shù)的圖象上任意不同兩點(diǎn)，則類似地有_成立【答案】【解析】試題分析：由于函數(shù)的

13、圖象上任意不同兩點(diǎn)，依據(jù)圖象可知，線段AB總是位于A、B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖象的上方，因此有結(jié)論成立;而函數(shù)的圖象上任意不同兩點(diǎn)的線段總是位于A、B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖象的下方，類比可知應(yīng)有：成立考點(diǎn)：類比推理14設(shè)的三邊長(zhǎng)分別為，的面積為，內(nèi)切圓半徑為，則；類比這個(gè)結(jié)論可知：四面體的四個(gè)面的面積分別為，內(nèi)切球的半徑為，四面體的體積為，則 【答案】 【解析】試題分析：三角形中，內(nèi)切圓的圓心，與其三個(gè)頂點(diǎn)的連線，構(gòu)成了三個(gè)小的三角形，并且有相同的高，底邊分別是，利用等面積法，我們得到，所以；利用類比推理可知，在四面體內(nèi)切球半徑為，四個(gè)面的面積分別為，內(nèi)切球的球心與各頂點(diǎn)的連線，將一個(gè)四面體分割為四個(gè)小的四面

14、體，以四面體的四個(gè)面為底面，高都為的四面體，由等體積法，可得到，所以考點(diǎn)：合情推理中的類比推理15如圖小正六邊形沿著大正六邊形的邊按順時(shí)針方向滾動(dòng)，小正六邊形的邊長(zhǎng)是大正六邊形的邊長(zhǎng)的一半如果小正六邊形沿著大正六邊形的邊滾動(dòng)一周后返回出發(fā)時(shí)的位置，在這個(gè)過程中，向量圍繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)了角，其中為小正六邊形的中心，則 【答案】-1【解析】試題分析：從圖中得出，第一個(gè)到第二個(gè)OA轉(zhuǎn)過了60度，第二個(gè)到第三個(gè)轉(zhuǎn)過了120度，依次類推每一次邊上是60度轉(zhuǎn)角是120度，共有6個(gè)轉(zhuǎn)角一共就是1080度，所以考點(diǎn)：觀察圖形特點(diǎn)的能力16給定有限單調(diào)遞增數(shù)列，數(shù)列至少有兩項(xiàng)）且，定義集合若對(duì)任意點(diǎn)，存在點(diǎn)使得為坐標(biāo)

15、原點(diǎn)），則稱數(shù)列具有性質(zhì)（1）給出下列四個(gè)命題，其中正確的是 （填上所有正確命題的序號(hào)）數(shù)列-2，2具有性質(zhì);數(shù)列:-2，-1，1，3具有性質(zhì);若數(shù)列具有性質(zhì)，則中一定存在兩項(xiàng)，使得;若數(shù)列具有性質(zhì)，且，則（2）若數(shù)列只有2014項(xiàng)且具有性質(zhì)，則的所有項(xiàng)和 【答案】（1） ；（2） 【解析】試題分析：（1）對(duì)于數(shù)列，若，則；若，則；均滿足，所以具有性質(zhì)P，故正確；對(duì)于數(shù)列，當(dāng)時(shí)，若存在滿足，即，數(shù)列中不存在這樣的數(shù)x，y，因此不具有性質(zhì)P，故不正確；取，又?jǐn)?shù)列具有性質(zhì)P，所以存在點(diǎn)使得，即，又 ，所以，故正確；數(shù)列中一定存在兩項(xiàng)使得；又?jǐn)?shù)列xn是單調(diào)遞增數(shù)列且x20，所以，故正確；（2） 由（

16、1）知，若數(shù)列只有2014項(xiàng)且具有性質(zhì)P，可得，猜想數(shù)列從第二項(xiàng)起是公比為2的等比數(shù)列則考點(diǎn)：1、歸納推理；2、等比數(shù)列前n項(xiàng)和17在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)x，y均為整數(shù)，則稱點(diǎn)P為格點(diǎn)若一個(gè)多邊形的頂點(diǎn)全是格點(diǎn)，則稱該多邊形為格點(diǎn)多邊形格點(diǎn)多邊形的面積記為S，其內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)記為N，邊界上的格點(diǎn)數(shù)記為L(zhǎng)例如圖中ABC是格點(diǎn)三角形，對(duì)應(yīng)的S=1，N=0，L=4（1）圖中格點(diǎn)四邊形DEFG對(duì)應(yīng)的S，N，L分別是;（2）已知格點(diǎn)多邊形的面積可表示為S=aN+bL+c，其中a，b，c為常數(shù)若某格點(diǎn)多邊形對(duì)應(yīng)的N=71，L=18，則S=（用數(shù)值作答）【答案】（1）3，1，6（2）79【

17、解析】（1）四邊形DEFG可看作由3個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形構(gòu)成，故S=3，內(nèi)部有一個(gè)格點(diǎn)，N=1，邊界上有6個(gè)格點(diǎn)，即L=6（2）取題圖中的三角形ABC，四邊形DEFG，再取一個(gè)邊長(zhǎng)為2的格點(diǎn)正方形，可得解得當(dāng)N=71，L=18時(shí)，S=71+×18-1=7918給出下列等式：2cos，2cos，2cos，請(qǐng)從中歸納出第n個(gè)等式：_【答案】2cos【解析】對(duì)比2cos，2cos，2cos可得第n個(gè)等式為2cos19如下圖所示，它們都是由小正方形組成的圖案現(xiàn)按同樣的排列規(guī)則進(jìn)行排列，記第n個(gè)圖形包含的小正方形個(gè)數(shù)為f（n），則（1）f（5） ；（2）f（n） 【答案】（1）41；（2）2n2

18、2n1【解析】試題分析：（1）（2）考點(diǎn)：1、歸納推理；2、等差數(shù)列20將2n按如表的規(guī)律填在5列的數(shù)表中，設(shè)排在數(shù)表的第n行，第m列，則mn_?！敬鸢浮?07 【解析】試題分析：由于20144×5032，故22014在第504行第3列，mn507考點(diǎn)：歸納推理21由恒等式：可得 ；進(jìn)而還可以算出、的值，并可歸納猜想得到 （）【答案】；【解析】試題分析：等式兩邊平方得，解得，在上述等式兩邊平方得，所以，同理可得，于是歸納猜想得到考點(diǎn)：歸納推理22如圖5，一個(gè)樹形圖依據(jù)下列規(guī)律不斷生長(zhǎng)：1個(gè)空心圓點(diǎn)到下一行僅生長(zhǎng)出1個(gè)實(shí)心圓點(diǎn)，1個(gè)實(shí)心圓點(diǎn)到下一行生長(zhǎng)出1個(gè)實(shí)心圓點(diǎn)和1個(gè)空心圓點(diǎn)則第1

19、1行的實(shí)心圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 第1行第2行第3行第4行第5行第6行圖5【答案】55【解析】略23（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+2+3+（n+3）= （2）用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式【答案】見解析【解析】試題分析：本題考查用數(shù)學(xué)歸納法證明等式成立，用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的步驟是：第一步驗(yàn)證當(dāng)n=n0時(shí)命題成立，第二步假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，那么再證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立本題解題的關(guān)鍵是利用第二步假設(shè)中結(jié)論證明當(dāng)n=k+1時(shí)成立試題解析：證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1+2+3+4=10，右邊=左邊=右邊假設(shè)n=k時(shí)等式成立，即1+2+3+（k+3）=那么n=k+1時(shí)，等式左邊=1+2+3+（k+3）+（k+4）=+（k+4）=等式成立綜上1+2+3+（n+3）= 成立（2）證明：當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=2，n=1不等式成立假設(shè)當(dāng)n=k（k2）時(shí)成立，即那么當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=4k2+4k4k2+4k+1，可得，即：這就是說(shuō)n=k+1時(shí)不等式也成立綜上可知不等式對(duì)所有的nN*考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法證明不等式24已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，令（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，用數(shù)學(xué)歸納法證明是18的倍數(shù)【答案】（1）證明過程詳見試題解析，數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）證明