《拋物線》典型例題12例(含標(biāo)準(zhǔn)答案)

1、學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考拋物線典型例題12 例典型例題一例 1 指出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程（ 1） x24 y（ 2） xay2 (a0)分析：（1）先根據(jù)拋物線方程確定拋物線是四種中哪一種，求出 p，再寫(xiě)出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程（ 2）先把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程形式，再對(duì) a 進(jìn)行討論，確定是哪一種后，求 p 及焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程解：（ 1）p2 ，焦點(diǎn)坐標(biāo)是（ 0，1），準(zhǔn)線方程是：y1（ ）原拋物線方程為： y21 x，2 p12aa當(dāng) a0 時(shí)， p1 ，拋物線開(kāi)口向右，24a焦點(diǎn)坐標(biāo)是 (1,0) ，準(zhǔn)線方程是： x14a4a當(dāng) a0 時(shí)， p1 ，拋物線開(kāi)口向左，24a焦點(diǎn)坐標(biāo)是 (

2、 1,0) ，準(zhǔn)線方程是： x14a4a綜合上述，當(dāng) a0 時(shí)，拋物線 xay 2 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ( 1 ,0) ，準(zhǔn)線方程是：4ax 1 4a典型例題二例 2 若直線 ykx2 與拋物線 y 28x 交于 A、B 兩點(diǎn)，且 AB 中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，求此直線方程分析：由直線與拋物線相交利用韋達(dá)定理列出 k 的方程求解另由于已知與直線斜率及弦中點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)，故也可利用 “作差法 ”求 k學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考解法一：設(shè) (,y1)ykx2可得：2x2( 48)x4 0A x1、 B(x2 , y2 ) ，則由：28xkky直線與拋物線相交，k0 且0 ，則 k1 AB 中點(diǎn)橫坐標(biāo)為：

3、x1x24k8，2k 22解得： k2或 k1（舍去）故所求直線方程為： y 2x 2 解法二： 設(shè) A(x,y) 、B( x , y) ，則有 y128x1y228x2 1122兩式作差解： ( y1y2 )( y1y2 )8( x1x2 ) ，即 y1y2y18y2x1x2x1 x24 y1y2kx12 kx22 k( x1x2 ) 4 4k 4 ，8故 k2 或 k1 （舍去）k4k4則所求直線方程為：y2x2 典型例題三例 3 求證：以拋物線的焦點(diǎn)弦為直徑的圓心與拋物線的準(zhǔn)線相切分析：可設(shè)拋物線方程為 y22px( p 0) 如圖所示，只須證明ABMM1 ，2則以 AB 為直徑的圓，必

4、與拋物線準(zhǔn)線相切證明：作 AA1 l 于 A1, BB1l 于 B1 M 為 AB 中點(diǎn)，作MM 1l 于 M 1 ，則由拋物線的定義可知：AA1AF , BB1 BF在直角梯形 BB1 A1 A 中：MM 11( AA1BB1 )1(AFBF )1AB222MM 11AB ，故以 AB 為直徑的圓，必與拋物線的準(zhǔn)線相切2學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考說(shuō)明：類(lèi)似有：以橢圓焦點(diǎn)弦為直徑的圓與相對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線相離，以雙曲線焦點(diǎn)弦為直徑的圓與相應(yīng)的準(zhǔn)線相交典型例題四例 4（1）設(shè)拋物線 y24 x 被直線 y2xk 截得的弦長(zhǎng)為 3 5 ，求 k 值（ 2）以（1）中的弦為底邊，以 x 軸上的點(diǎn)

5、P 為頂點(diǎn)作三角形，當(dāng)三角形的面積為 9 時(shí)，求 P 點(diǎn)坐標(biāo)分析：（1）題可利用弦長(zhǎng)公式求 k，（2）題可利用面積求高，再用點(diǎn)到直線距離求 P 點(diǎn)坐標(biāo)解：（ 1）由 y24x得：4x2(4k4)xk 20y2xk設(shè)直線與拋物線交于(,y)B( x , y )121k 2A x1 與2122兩點(diǎn)則有： xx1 k, xx4AB(1 2 2 )( x1x2 ) 25 ( x1x2 ) 24x1x25 (1k ) 2k 25(1 2k)AB35,5(1 2k)3 5 ，即 k4（ 2）S9，底邊長(zhǎng)為 329655 ，三角形高 h553點(diǎn) P 在 x 軸上，設(shè) P 點(diǎn)坐標(biāo)是 ( x0 ,0)則點(diǎn)P到直

6、線y 2x 4 的距離就等于，即2x00 46 5h22125x01 或 x05 ，即所求 P 點(diǎn)坐標(biāo)是（ 1，0）或（ 5，0）典型例題五例 5 已知定直線 l 及定點(diǎn) A（A 不在 l 上），n 為過(guò) A 且垂直于 l 的直線，設(shè) N 為 l 上任一點(diǎn)， AN 的垂直平分線交 n 于 B，點(diǎn) B 關(guān)于 AN 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 P，求證 P 的軌跡為拋物線分析：要證 P 的軌跡為拋物線，有兩個(gè)途徑，一個(gè)證明P 點(diǎn)的軌跡符合拋物線的定義，二是證明P 的軌跡方程為拋物線的方程，可先用第一種方法，由A 為定點(diǎn)， l 為定直線，為我們提供了利用定義的信息，若能證明PAPN 且 PNl學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于

7、網(wǎng)絡(luò)，僅供參考即可證明：如圖所示，連結(jié)PA、PN、NB由已知條件可知： PB 垂直平分 NA，且 B 關(guān)于 AN 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 P AN 也垂直平分 PB則四邊形 PABN 為菱形即有 PA PN AB l. PN l .則 P 點(diǎn)符合拋物線上點(diǎn)的條件： 到定點(diǎn) A 的距離與到定直線的距離相等， 所以 P 點(diǎn)的軌跡為拋物線典型例題六例 6 若線段 P1P2 為拋物線 C : y22 px( p0) 的一條焦點(diǎn)弦， F 為 C 的焦點(diǎn)，求證：112 P1FP2 Fp分析：此題證的是距離問(wèn)題，如果把它們用兩點(diǎn)間的距離表示出來(lái)，其計(jì)算量是很大的我們可以用拋物線的定義，巧妙運(yùn)用韋達(dá)定理，也可以用拋物線的

8、定義與平面幾何知識(shí)，把結(jié)論證明出來(lái)證法一：F (p ,0) ，若過(guò)F的直線即線段 P P所在21 2直線斜率不存在時(shí)，則有 P1F P2F p ,11112PFP Fppp12若線段 P1P2 所在直線斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則此直線為： y k( xp )(k 0) ，且2設(shè) P (x, y ), P (x, y)111222p由 yk( x2 ) 得： k 2 x2p(k 22) xk2 p20yk( xp)42x1x2p( k22)k 2學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考p2x1 x24根據(jù)拋物線定義有：P1 Fx1px1pP1 P2x1x2p, P2F,22則 11P FP Fx1 x2

9、px1x2p122P1F P2 FP1F P2 Fppp ( x1p( x1x1 x2x2 )( x2)2224請(qǐng)將代入并化簡(jiǎn)得：112P1FP2 Fp證法二：如圖所示，設(shè) P、 P 、F 點(diǎn)在 C 的準(zhǔn)線 l 上的射影分別是 P 、 P 、F，1212且不妨設(shè)P2 P2nm P1P1，又設(shè) P2 點(diǎn)在FF 、P P上的射影分別是 A、B 點(diǎn)，1 1由拋物線定義知，P2 Fn, P1 Fm, FFp又PAFP BP，AFP2 F221BP1P2 P1即pnnmnmnp( mn)2mn112mnp故原命題成立典型例題七例 7設(shè)拋物線方程為 y22 px( p 0) ，過(guò)焦點(diǎn) F 的弦 AB 的傾

10、斜角為，求證：焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為 AB2 psin2分析：此題做法跟上題類(lèi)似，也可采用韋達(dá)定理與拋物線定義解決問(wèn)題證法一： 拋物線 y 22 px( p0) 的焦點(diǎn)為 ( p ,0) ，2學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考過(guò)焦點(diǎn)的弦 AB 所在的直線方程為： y tan(xp)2由方程組ytan( xp )2消去 y 得：y22 px4x 2 tan24 p(tan2)p2 tan 20x1x2p(tan22)p(1 2 cot 2 )設(shè) A( x1, y1 ), B(x2 , y2 ) ，則tan2p2x1x24又 y1 y2tan( x1x2 )AB(1tan2)( x1x2 ) 2(1tan2

11、) ( x1x2 ) 24x1x2(12) p2(1cot2)4p2tan4sec24 p2 cot 2(1cot2)2 14 psin 42 p sin22 p 即 AB sin2證法二： 如圖所示，分別作AA1 、 BB1 垂直于準(zhǔn)線 l 由拋物線定義有：AFAA1AFcospBFBB1pBFcos于是可得出：ppAFBF1 cos1 cos學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考ABAFBFpp1cos1cos2 p1 cos22 p sin 2故原命題成立典型例題八例 8 已知圓錐曲線 C 經(jīng)過(guò)定點(diǎn) P(3,2 3) ，它的一個(gè)焦點(diǎn)為 F（1，0），對(duì)應(yīng)于該焦點(diǎn)的準(zhǔn)線為 x 1 ，過(guò)焦點(diǎn)

12、F 任意作曲線 C 的弦 AB，若弦 AB 的長(zhǎng)度不超過(guò) 8，且直線 AB 與橢圓 3x2 2y2 2 相交于不同的兩點(diǎn)，求（ 1） AB 的傾斜角 的取值范圍（ 2）設(shè)直線 AB 與橢圓相交于 C、D 兩點(diǎn)，求 CD 中點(diǎn) M 的軌跡方程分析：由已知條件可確定出圓錐曲線 C 為拋物線， AB 為拋物線的焦點(diǎn)弦，設(shè)其斜率為 k，弦 AB 與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)， 可求出 k 的取值范圍，從而可得的取值范圍，求 CD 中點(diǎn) M 的軌跡方程時(shí)，可設(shè)出 M 的坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)即可解：（ 1）由已知得 PF 4 故 P 到 x1的距離 d4，從而 PF d曲線 C 是拋物線，其方程為 y 24x

13、 設(shè)直線 AB 的斜率為 k，若 k 不存在，則直線 AB 與3x22 y 22 無(wú)交點(diǎn) k 存在設(shè) AB 的方程為 yk(x1)由 y24x可得： ky24y4k0yk( x1)設(shè) A、B 坐標(biāo)分別為 (x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) ，則： y1 y24y1 y24k學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考AB(11y2 )2k2 )( y11 k 2( y1y2 ) 24 y1 y2k4(1k2 )k2弦AB的長(zhǎng)度不超過(guò)，4(1k 2 )8即 k218k 2由 yk ( x 1)得： (2k23)x242x2(k21) 03x22 y 22k AB 與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，k

14、 23由 k 21和 k 23 可得： 1 k3 或3k1故 1tan3或3tan1又 0，所求的取值范圍是：4或 23334（ 2）設(shè) CD 中點(diǎn) M ( x, y) 、 C ( x3 , y3 ) 、 D ( x4 , y4 )由 y k ( x 1)得： (2k23)x242x2(k21) 03x22 y 22kx34k22(kx42, x3x12k32kxx3 x42k 222k 23221)3x13232k1k 2352k 239則 21132 即 2x2 52k 2353學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考ykx 12k 22y2x( x 1)22k 23y223( x1) 2化簡(jiǎn)

15、得：322y23x0x所求軌跡方程為：3x 22 y23x0( 2x2)53典型例題九例 9定長(zhǎng)為 3 的線段 AB 的端點(diǎn) A 、 B 在拋物線 y2x 上移動(dòng)，求 AB 的中點(diǎn)到y(tǒng) 軸的距離的最小值，并求出此時(shí)AB 中點(diǎn)的坐標(biāo)分析：線段 AB 中點(diǎn)到 y 軸距離的最小值，就是其橫坐標(biāo)的最小值這是中點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題，因此只要研究 A 、 B 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和取什么最小值即可解：如圖，設(shè) F 是 y2x 的焦點(diǎn)， A 、 B 兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的垂線分別是AC 、 BD ，又 M 到準(zhǔn)線的垂線為 MN ， C 、 D 和 N 是垂足，則MN1( ACBD )1(AF BF)1AB3 2222設(shè) M 點(diǎn)的橫坐

16、標(biāo)為 x ，縱坐標(biāo)為 y ， MNx1 ，則 x315 4244等式成立的條件是 AB 過(guò)點(diǎn) F 當(dāng) x5 時(shí)， y1 y2P21 ，故44( y1y2 ) 2y1y22 y1 y22x 12 ，222學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考y1 y22 ， y2 2所以 M(5,2 ) ，此時(shí) M 到 y 軸的距離的最小值為 5424說(shuō)明：本題從分析圖形性質(zhì)出發(fā)， 把三角形的性質(zhì)應(yīng)用到解析幾何中，解法較簡(jiǎn)典型例題十例 10過(guò)拋物線 y2 px 的焦點(diǎn) F 作傾斜角為的直線，交拋物線于 A 、B 兩點(diǎn)，求 AB 的最小值分析：本題可分2和兩種情況討論當(dāng)時(shí)，先寫(xiě)出 AB 的表達(dá)式，22再求范圍解：

17、(1)若2，此時(shí) AB2 p (2)若，因有兩交點(diǎn)，所以02AB： ytan( xp) ，即 xyp 2tan2代入拋物線方程，有 y2 2 py p 20 tan故 ( y2 y1 )24 p24 p24 p2 csc2，tan 2( x2 x1 ) 2( y2y1 )24 p 2 csc2tan2tan2故222124AB4 p csc (1tan2)4 pcsc 所以AB2p2p 因，所以這里不能取 “ ”sin 22=綜合 (1)(2)，當(dāng)時(shí)， AB最小值 2 p 2學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考說(shuō)明：(1)此題須對(duì)分和兩種情況進(jìn)行討論；222p(2)從解題過(guò)程可知，拋物線點(diǎn)弦長(zhǎng)

18、公式為lsin 2；(3)當(dāng)時(shí)， AB 叫做拋物線的通徑通徑是最短的焦點(diǎn)弦2典型例題十一例 11過(guò)拋物線 y22 px ( p0) 的焦點(diǎn) F 作弦 AB ， l 為準(zhǔn)線，過(guò) A 、 B 作 l 的垂線，垂足分別為A'、 B' ，則A'FB' 為（），AF 'B 為（）A大于等于 90B小于等于 90C等于 90D 不確定分析：本題考查拋物線的定義、 直線與圓的位置關(guān)系等方面的知識(shí)，關(guān)鍵是求角的大小以及判定直線與圓是否相切解： 點(diǎn) A 在拋物線上，由拋物線定義，則AA'AF12 ，又 AA'/ x 軸13 23，同理 46 ，而2364180，3690，學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考 A'FB' 90 選 C過(guò) AB中點(diǎn) M 作MM'l ，垂中為 M ' ，則MM' 1(AA'BB' )1(AF BF)1AB222以 AB 為直徑的圓與直線l相切，切點(diǎn)為 M ' 又 F ' 在圓的外部，AF'B90 特別地，當(dāng) ABx 軸時(shí)， M '