矢量和標(biāo)量的定義

1、第第0 0章章 矢量分析基礎(chǔ)矢量分析基礎(chǔ)一、矢量和標(biāo)量的定義一、矢量和標(biāo)量的定義1.1.標(biāo)量：標(biāo)量：只有大小，沒(méi)有方向的物理量。只有大小，沒(méi)有方向的物理量。矢量矢量表示為：表示為：所以：一個(gè)矢量就表示成矢量的模與單位矢量的乘積。所以：一個(gè)矢量就表示成矢量的模與單位矢量的乘積。其中：其中： 為矢量的模，表示該矢量的大小。為矢量的模，表示該矢量的大小。 為單位矢量，表示矢量的方向，其大小為為單位矢量，表示矢量的方向，其大小為1 1。| A a2.2.矢量：矢量：不僅有大小，而且有方向的物理量。不僅有大小，而且有方向的物理量。如如: :力力 、速度、速度 、電場(chǎng)、電場(chǎng) 等等FEv如：溫度如：溫度 T

2、 T、長(zhǎng)度、長(zhǎng)度 L L 等等AeAaAaAA二、矢量的運(yùn)算法則二、矢量的運(yùn)算法則1.1.加法加法: : 矢量加法是矢量的幾何和矢量加法是矢量的幾何和, ,服從服從平行四邊形規(guī)則平行四邊形規(guī)則。a.a.滿(mǎn)足交換律滿(mǎn)足交換律：ABBAb.b.滿(mǎn)足結(jié)合律滿(mǎn)足結(jié)合律：CABBACBAC()()()()ABCDACBDzoyx三個(gè)方向的單位矢量用三個(gè)方向的單位矢量用 表示。表示。,xyzaaa根據(jù)矢量加法運(yùn)算：根據(jù)矢量加法運(yùn)算：xyzAAAA,xxxyyyzzzAA aAA aAA a所以所以：xxyyzzAA aA aA a在直角坐標(biāo)系下的矢量表示在直角坐標(biāo)系下的矢量表示: :AxAyAzA其中其中

3、：矢量：矢量：xxyyzzAA aA aA a模的計(jì)算模的計(jì)算：222|xyzAAAA單位矢量單位矢量：|yxzxyzAAAAaaaaAAAA方向角與方向余弦方向角與方向余弦：,|cos,|cos,|cosAAAAAAzyxcoscoscosxyzaaa在直角坐標(biāo)系中三個(gè)矢量加法運(yùn)算：在直角坐標(biāo)系中三個(gè)矢量加法運(yùn)算： ()()()xxxxyyyyzzzzABCABC aABC aABC azoyxAxAyAzA2.2.減法：減法：換成加法運(yùn)算換成加法運(yùn)算()DABAB ABCBAB逆矢量：逆矢量： 和和 的模相等，方向相反，互為逆矢量。的模相等，方向相反，互為逆矢量。B()BDBADABC0在

4、直角坐標(biāo)系中兩矢量的減法運(yùn)算：在直角坐標(biāo)系中兩矢量的減法運(yùn)算： ()()()xxxyyyzzzABAB aAB aAB a推論：推論：任意多個(gè)矢量首尾相連組成閉合多邊形，其矢量和必為零任意多個(gè)矢量首尾相連組成閉合多邊形，其矢量和必為零。3.3.乘法：乘法：（1 1）標(biāo)量與矢量的乘積：）標(biāo)量與矢量的乘積：0|00kkAk A akk方向不變，大小為|k|倍方向相反，大小為|k|倍（2 2）矢量與矢量乘積分兩種定義）矢量與矢量乘積分兩種定義a. a. 標(biāo)量積（點(diǎn)積）：標(biāo)量積（點(diǎn)積）：| |cosA BABBA兩矢量的點(diǎn)積兩矢量的點(diǎn)積含義：含義： 一矢量在另一矢量方向上的投影與另一矢量模的乘積，一矢

5、量在另一矢量方向上的投影與另一矢量模的乘積，其結(jié)果是一標(biāo)量。其結(jié)果是一標(biāo)量。在直角坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中，已知三個(gè)坐標(biāo)軸是相互正交的，即，已知三個(gè)坐標(biāo)軸是相互正交的，即0,0,01,1,1xyxzyzxxyyzzaaaaaaaaaaaa有兩矢量點(diǎn)積：有兩矢量點(diǎn)積：() ()xxyyzzxxyyzzA BA aA aA aB aB aB a zzyyxxBABABA結(jié)論結(jié)論: : 兩矢量點(diǎn)積等于對(duì)應(yīng)分量的乘積之和。兩矢量點(diǎn)積等于對(duì)應(yīng)分量的乘積之和。推論推論1 1：滿(mǎn)足交換律：滿(mǎn)足交換律推論推論2 2：滿(mǎn)足分配律：滿(mǎn)足分配律推論推論3 3：當(dāng)兩個(gè)非零矢量點(diǎn)積為零：當(dāng)兩個(gè)非零矢量點(diǎn)積為零, ,則這兩

6、個(gè)矢量必正交。則這兩個(gè)矢量必正交。A BB A()ABCA BA C推論推論1 1：不服從交換律：不服從交換律：,A BB AA BB A 推論推論2 2：服從分配律：服從分配律：()AB CA BA C推論推論3 3：不服從結(jié)合律：不服從結(jié)合律：()()AB CA BC推論推論4 4：當(dāng)兩個(gè)非零矢量叉積為零，則這兩個(gè)矢量必平行。：當(dāng)兩個(gè)非零矢量叉積為零，則這兩個(gè)矢量必平行。b.b.矢量積（叉積）：矢量積（叉積）：| |sincABABa含義：含義： 兩矢量叉積，結(jié)果得一新矢量，其大小為這兩個(gè)矢量?jī)墒噶坎娣e，結(jié)果得一新矢量，其大小為這兩個(gè)矢量組成的平行四邊形的面積，方向?yàn)樵撁娴姆ň€(xiàn)方向，且三組

7、成的平行四邊形的面積，方向?yàn)樵撁娴姆ň€(xiàn)方向，且三者符合右手螺旋法則。者符合右手螺旋法則。BAca在直角坐標(biāo)系中，兩矢量的叉積運(yùn)算如下：在直角坐標(biāo)系中，兩矢量的叉積運(yùn)算如下：xyzxyzxyzaaaABAAABBB() ()x xy yz zx xy yz zA BAaAaAaBaBaBa ()()()yzzyxzxxzyxyyxzABAB aABAB aABAB a兩矢量的叉積又可表示為：兩矢量的叉積又可表示為：xyzo（3 3）三重積：）三重積：三個(gè)矢量相乘有以下幾種形式：三個(gè)矢量相乘有以下幾種形式：()A B C矢量，標(biāo)量與矢量相乘。矢量，標(biāo)量與矢量相乘。()ABC標(biāo)量，標(biāo)量三重積。標(biāo)量，

8、標(biāo)量三重積。矢量，矢量三重積。矢量，矢量三重積。a. a. 標(biāo)量三重積標(biāo)量三重積法則：在矢量運(yùn)算中法則：在矢量運(yùn)算中, ,先算叉積先算叉積, ,后算點(diǎn)積。后算點(diǎn)積。定義定義：() |sincosABCA B C()ABC含義：含義： 標(biāo)量三重積結(jié)果為三矢量構(gòu)成標(biāo)量三重積結(jié)果為三矢量構(gòu)成的平行六面體的體積的平行六面體的體積 。ABChB C 注意注意：先后輪換次序。先后輪換次序。推論推論：三個(gè)非零矢量共面的條件。三個(gè)非零矢量共面的條件。在直角坐標(biāo)系中：在直角坐標(biāo)系中：()0ABC()xyzxyzxyzAAAABCBBBCCC()()xyzxxyyzzxyzxyzaaaAB CA aA aA aB

9、BBCCCb.b.矢量三重積矢量三重積：()()()ABCB A CC A B ()()()VABCCABBCAABChB C4. 矢量的微積分矢量的微積分(a) 矢量的微分矢量的微分(1)() ( ) ( )(2)( )(3)()(4)()ddAdBABdtdtdtd f t Adf tdAAf tdtdtdtddBdAA BABdtdtdtddBdAABABdtdtdt只要把矢量的性質(zhì)應(yīng)用于標(biāo)量的導(dǎo)數(shù)公式即可：只要把矢量的性質(zhì)應(yīng)用于標(biāo)量的導(dǎo)數(shù)公式即可：作為作為(1)式的特例，對(duì)直角坐標(biāo)下的矢量：式的特例，對(duì)直角坐標(biāo)下的矢量：xyzAA iA jA kyxzdAdAdAdAijkdtdtdt

10、dt有有作為作為(2)式的例子，在球坐標(biāo)下的矢量：式的例子，在球坐標(biāo)下的矢量：AAAeAAdedAdAeAdtdtdt有有(b)矢量的積分矢量的積分（1）對(duì)時(shí)間）對(duì)時(shí)間 t 的積分：的積分：2211222111()()()()ttxyztttttxyztttAdtA iA jA k dtA dt iA dt jA dt k（2）沿曲線(xiàn)）沿曲線(xiàn) s 的線(xiàn)積分：的線(xiàn)積分：222111() ()xyzssxyzxyzxyzA dsA iA jA kdxidyjdzkA dxA dyA dz例2：12342,3223,325xyzxyzxyzxyzraaaraaaraaaraaa 求：4123rarbrcr中的標(biāo)量 a、b、c。解：325(2)(32)( 23)xyzxyzxyzxyzaaaaaaab aaacaaa(22 )(3)(23 )xyzabc aabc aabc a 則：設(shè)213abc 22332235abcabcabc例3： 已知263xyzAaaa43xyzBaaa求：確定垂直于 、 所在平面的單位矢量。AB解：已知AB所得矢量垂直于 、 所在平面。ABnABaAB 2631510304