斐波那契數(shù)列的隱含周期性質(zhì)

1、圖形計算器研究斐波那契數(shù)列隱含周期性所在省市：天津市作者姓名：李元亨所在學(xué)校：天津耀華中學(xué)指導(dǎo)教師：王洪亮一.簡單背景介紹斐波那契數(shù)列，又稱兔子數(shù)列，是一種最簡單的遞歸數(shù)列； 它的提出，首先在斐波那契的算 盤之書中出現(xiàn)，有趣的是，斐波那契只是把這種簡單的計算關(guān)系作為十進(jìn)制數(shù)字比羅馬數(shù)字簡單的優(yōu)越性的一個例子，這個例子又叫做兔子謎題，原題如下：一般而言，兔子在出生兩個月后，就有繁殖能力。一對兔子每個月能生出一對小兔子來。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少對兔子？簡單分析一下，可知：幼仔對數(shù)=前月成兔對數(shù)成兔對數(shù)=前月成兔對數(shù)+前月幼仔對數(shù)總體對數(shù)=本月成兔對數(shù)+本月幼仔對數(shù)可以看出幼仔對

2、數(shù)、成兔對數(shù)、總體對數(shù)都構(gòu)成了一個數(shù)列。這個數(shù)列有十分明顯的特點(diǎn)， 那是：前面相鄰兩項(xiàng)之和，構(gòu)成了后一項(xiàng)。這樣我們就得到了一個遞歸式：Fn =F（n-1）+F（n-2）（ n>=2, n N*）三.關(guān)于斐波那契數(shù)列周期性性質(zhì)的探究斐波那契數(shù)列的無窮遞增的性質(zhì)很容易根據(jù)圖形計算器的圖形得到探究。我相信任何一個無窮遞增數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)當(dāng)不僅僅與數(shù)列中每項(xiàng)的數(shù)字或數(shù)本身有關(guān)，也應(yīng)當(dāng)進(jìn)行其在與數(shù)字進(jìn)行其他運(yùn)算方法的關(guān)系。利用類比的數(shù)學(xué)思想，我認(rèn)為，有許多種無窮遞增數(shù)列，即使在每 項(xiàng)本身沒有較易發(fā)現(xiàn)的關(guān)系，在經(jīng)過某種運(yùn)算后也可以體現(xiàn)出特殊的性質(zhì)一一體現(xiàn)周期性。因此，我們有不太充分的理由可以相信，斐波那

3、契數(shù)列經(jīng)過一種或幾種特殊的運(yùn)算之后也應(yīng)當(dāng)可以體現(xiàn)出某種周期關(guān)系。為了讓一個遞增數(shù)列體現(xiàn)出一種周期性，我們只可以使其失去遞增的特點(diǎn)，否則永遠(yuǎn)無法繼續(xù)上一個周期。首先我只是認(rèn)為斐波那契數(shù)列的末位數(shù)應(yīng)當(dāng)有周期關(guān)系（只要出現(xiàn)連續(xù)兩項(xiàng)于前面的連續(xù)兩項(xiàng)相等，后面必定具有周期性，證明從略）為了探討這個問題，我將斐波那 契數(shù)列一直用筆列至 70項(xiàng)，使用了大量的時間， 經(jīng)過了巨大的運(yùn)算量才發(fā)現(xiàn)了規(guī)律。后來,經(jīng)過分析我認(rèn)為斐波那契數(shù)列中每一項(xiàng)的末尾數(shù)即是每一項(xiàng)除以10的余數(shù)。所以我們可以探討對其他數(shù)取余的情況，經(jīng)過了如此大規(guī)模的計算，我認(rèn)為我應(yīng)當(dāng)可以減少計算量。突然，一個想法映入我的腦海： 可使用圖形計算其強(qiáng)大的

4、計算功能來幫助我進(jìn)行研 究，并可以使用圖表、遞歸等多種方式生動的將我的結(jié)論展現(xiàn)出來。（一）斐波那契數(shù)列的周期性關(guān)系對于斐波那契數(shù)列是否具有隱含的周期性，及余數(shù)的周期性我們應(yīng)當(dāng)先進(jìn)行較為一般性的探究，所以我們定義一個數(shù)列bn = bn mod m （ m是整數(shù)），以探究bn的周期性。為了更深層地討論周期性問題，我們可以定義一個數(shù)列kn ,以代表bn= bn mod n的周期長度。1）首先我們討論一下周期的存在性利用上面建立的斐波那契數(shù)列an建立一個bn體現(xiàn)其余數(shù)關(guān)系。我們?nèi)稳∫粋€數(shù)，比如說 11項(xiàng)對 11取余。(bn=an+1-int (an+1/11) *11)即斐波那契數(shù)列中每a(i + 2

5、 =3n + 1 +3nbn + 2 San + 1 I nt】On + 2 *nan+l I bn I bn+1立+2bn”18|W MliK回同國這時，k(11)=10。下面這個表格展示了一個周期里的數(shù)字。項(xiàng)數(shù)12345678910b(n)112358210102)數(shù)表不容易體現(xiàn)其周期性，所以觀察其連續(xù)圖。可以體現(xiàn)了較為明顯的周期性，所以周期在 m=11時存在。這時k (11) =10不過我們還可以嘗試一下其他的數(shù)使斐波那契數(shù)列的每一項(xiàng)對其取余，以確定這不是一個偶發(fā)事件。3)所以我們把 bn的式子改為bn=an+1-int (an+1/22) *22即斐波那契數(shù)列中每一項(xiàng)對22屆引施irm

6、lj 1州取余。k (22) =30要長很多。這時 k (22) =30遞歸還是可以體現(xiàn)很明顯的周期性，不過顯然周期中數(shù)字的個數(shù)卜面這個表格展示了一個周期里的數(shù)字。項(xiàng)數(shù)123456789101112 131415b(n)112358132112111213316161718192021222324252627282930191310111121131451922110而和等比數(shù)列不同的是， 其周期中數(shù)字個數(shù)的在取余時變化 (周期長度的變化) 在除數(shù)變化 不太大時，周期長度的差異不是很大， 而在斐波那契數(shù)列中的每一項(xiàng)對其他數(shù)取余時，周期的變化就很明顯了。這就是斐波那契數(shù)列相似的周期性中的不同點(diǎn)。

7、4)我們把bn的式子改為bn=an+1-int (an+1/8) *8即斐波那契數(shù)列中每一項(xiàng)對8取余。這時 k (8) =12下面這個表格展示了一個周期里的數(shù)字。0,而前5)在探究周期性的同時我們可以得到一個發(fā)現(xiàn)，即每一個周期的最后一個數(shù)都是一個數(shù)是1。更有趣的猜想是，每一項(xiàng)的周期數(shù)k(n)似乎都是一個偶數(shù)。項(xiàng)數(shù)123456789101112b(n)112350552710這時極易找出一個反例，即在n=2 時，k (2) =3項(xiàng)數(shù)123b(n)110n+2 brt43E1613 上 Ml 連 洞顯然，我們?yōu)榱舜_認(rèn)是否是k (n)在n>2時是偶數(shù)還需進(jìn)一步驗(yàn)證。下面為了節(jié)約篇幅，展示出我得

8、到的一組數(shù)據(jù)。n345678910111213141516171819k(n)862024161224601024284840243624182021222324262728293132333435363760163048248472481430484036802476后有經(jīng)過多次程序驗(yàn)證，我們可以得知在n<1500時這個猜想成立，進(jìn)一步的證明還需要較高級的數(shù)學(xué)知識。(二) 周期長短的問題經(jīng)過剛才的驗(yàn)證，我們可以更了解到 k(n)的性質(zhì)。剛才我們在試驗(yàn)斐波那契數(shù)列對10取余時，發(fā)現(xiàn)對10取余時得到的k (10)非常之大，已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于 24和10,更有k(25)與k(30) 已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于1

9、00,使我不禁懷疑了以上結(jié)論的正確性，不過最終找到了結(jié)果。1)下面我們嘗試一下對10取余。這是對10取余之后得到的bn,好像失去了周期性。2) 對于剛才的數(shù)據(jù)，我們觀察到k(5)=20遠(yuǎn)大于k(4)和k(7)。所以我們可以做出一個猜想一一即這個數(shù)列的周期長度和5 一定有某種關(guān)系。3) 為了驗(yàn)證上面的猜想，我們作出項(xiàng)數(shù)與周期長度散點(diǎn)圖?？梢园l(fā)現(xiàn)，在5的倍數(shù)時周期長度偏大，且每5個數(shù)體現(xiàn)一定的周期遞變性。(三) 斐波那契數(shù)列周期長度的關(guān)系經(jīng)過剛才的驗(yàn)證，我們可以更了解到k(n)的性質(zhì)。剛才我們在試驗(yàn)斐波那契數(shù)列對11取余時可以發(fā)現(xiàn)，周期長度正好等于11-1=10o我認(rèn)為這不只是一個巧合，還另有其他

10、道理。11是一個質(zhì)數(shù)，我覺得我們可以從質(zhì)數(shù)角度下手，來進(jìn)一步討論這個問題。但顯然，下一個質(zhì)數(shù)13就沒有這樣的性質(zhì)，k(13)=28 (如1)根據(jù)剛才的推測，我認(rèn)為5是解決這個問題的關(guān)鍵，因此我們需要找到一個比 11多5k的項(xiàng)數(shù)123456789101112131415b(n)11235813 21324281016521161718192021222324252627282930261611277310132352823010k(31),如下表。b (31)并求一下一個質(zhì)數(shù)，自然而然，31是下一個討論的對象。2)我們來做一下這時也符合k(p)=p-1,(p=5n+1,p為質(zhì)數(shù))3)關(guān)于其他質(zhì)數(shù)

11、的討論：我認(rèn)為這種關(guān)系不應(yīng)當(dāng)僅僅限于小部分質(zhì)數(shù),說k(29)=14(如圖表)I施imU 1州JT.還已經(jīng)得到了 一些關(guān)于其他質(zhì)數(shù)的k(p)，比如圜I 的 dllHtinn U項(xiàng)數(shù) 1234567 b(n) 11235813這時k(29)=14,而29-1=28,剛才的結(jié)論對其無效。一個巧合。下面再試驗(yàn)一下 k(19)。如圖r®821但10112629514是28的一個因數(shù),1228這應(yīng)該不僅僅是13114 0IglHtinn U Id 婦W項(xiàng)數(shù)123b(n)112k(19)=184)這時結(jié)論可更正為4 5 6 78 93 5 8 13 2 15101711 12 13 1413 1151615 16 17 18218 10p =5k 土 1 時 k(p)|(p-1)關(guān)于結(jié)論的一些想法畢竟，我們只是解決了p =5k 土 1時的質(zhì)數(shù)的k(p)的關(guān)系，離徹底解決問題還差很多，畢竟這篇文章中的大多數(shù)結(jié)論只是在小范圍內(nèi)總結(jié)出來的，未經(jīng)證明的一些想法， 不具有更大的普遍性，還需要進(jìn)一步證明一下。結(jié)論與感悟我們利用圖形計算器， 可以做到生活中不方便利用實(shí)物完成，且完成得不如圖形計算器有趣的數(shù)據(jù)分析，并且減少了很大的計算量。 圖形計算器的參與讓數(shù)學(xué)更簡單，