最全圓錐曲線知識點總結

1、i.橢圓的定義：高中數(shù)學橢圓的知識總結平面內一個動點 P到兩個定點F1,F2的距離之和等于常數(shù)(PFiPF2 2a IF1F2 ),這個動點P的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距注意：若PFi PF2動點P的軌跡無圖形.(i)橢圓：焦點在X軸上時為參數(shù))，焦點在y軸上時2.橢圓的幾何性質：2 X (i)橢圓(以上萬 a2 y b2兩個焦點(c,0);RF2I ,則動點P的軌跡為線段訐2；若 PFi |PF2 IEF2,則AB =Jl kXiX2 ,所在直線方程設為X ky6.圓錐曲線的中點弦問題:2y2ab ,則 AB =gk2| yi V2。2Xi ( a b

2、 b2a b 0)為例)對稱性：兩條對稱軸X,22b c )0)。：范圍:bcos (參數(shù)方程，其中x a, b y b ;焦點:一個對稱中心(0,0 ),四個頂點(a,0),(0, b),其中長軸長為2a,短軸長為2b；離心率：e越小，橢圓越圓；e越大,橢圓越扁。(2).點與橢圓的位置關系2X:點P(X0, yO)在橢圓外號ay2b2點P(X0,y0)在橢圓上2 X。2a2N0號=i;點P(X0,y0)在橢圓內 b2X02 次 b23.直線與圓錐曲線的位置關系(i)相交:0 直線與橢圓相交；(2)相切:0 直線與橢圓相切;(3)相離:0 直線與橢圓相離;2 X 如：直線ykX i=0與橢圓一

3、y- i恒有公共點，則m的取值范圍是4.焦點三角形(橢圓上的一點與兩焦點所構成的三角形)5.弦長公式：若直線y kX b與圓錐曲線相交于兩點A B,且Xi, X2分別為A、B的橫坐標，則若yi,y2分別為A b的縱坐標，則yi遇到中點弦問題常用“韋達定理”或“點差法”222xyb x0 2-2i中，以P(X0,y0)為中點的弦所在直線的斜率k=-“上；aba y02X如(i)如果橢圓36(2)線L:(3)求解。在橢圓2 i弦被點A (4, 2)平分，那么這條弦所在的直線方程是92X已知直線y=X+i與橢圓3a2當 i(a b 0)相交于A、B兩點，且線段b2x2y=0上，則此橢圓的離心率為AB

4、的中點在直22試確定m的取值范圍，使得橢圓 匕 i上有不同的兩點關于直線 y 4x m對稱;43特別提醒：因為0是直線與圓錐曲線相交于兩點的必要條件，故在求解有關弦長、對稱問題時，務必別忘了檢驗i.如何確定橢圓的標準方程任何橢圓都有一個對稱中心,0!橢圓知識點的應用兩條對稱軸。當且僅當橢圓的對稱中心在坐標原點，對稱軸是坐標軸，橢圓的方程才是標準方程形式。此時，橢圓焦點在坐標軸上。確定一個橢圓的標準方程需要三個條件：兩個定形條件a,b； 一個定位條件焦點坐標，由焦點坐標的形式確定標準方程的類型。2.橢圓標準方程中的三個量 a,b,c的幾何意義橢圓標準方程中，a,b,c三個量的大小與坐標系無關，是

5、由橢圓本身的形狀大小所確定的。分別表示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關系為:222(a b 0), (a c 0) " (a b c )。可借助右圖理解記憶:y2的分母的22方程Ax2 By2 C可化為A- 曳221,即上曳CCABB、C同號,C , 一時，橢圓的焦點在x軸上;BC C當一一時，橢圓的焦點在yA B則c相同。2 x 與橢圓, a2X2 a m2bm 1(m7.判斷曲線關于x軸、y軸、原點對稱的依據(jù):若把曲線方程中的x換成X ,方程不變,則曲線關于y軸對稱;若把曲線方程中的y換成y ,方程不變,則曲線關于X軸對稱;若把曲線方程中的x、y同時

6、換成 x、y,方程不變，則曲線關于原點對稱。a,b,c恰構成一個直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直角邊。3 .如何由橢圓標準方程判斷焦點位置橢圓的焦點總在長軸上，因此已知標準方程，判斷焦點位置的方法是：看 大小，哪個分母大，焦點就在哪個坐標軸上。4 .方程Ax2 By2 C(A,B,C均不為零)是表示橢圓的條件C且A B時，方程表本橢圓。當一A軸上。5 .求橢圓標準方程的常用方法:待定系數(shù)法：由已知條件確定焦點的位置，從而確定橢圓方程的類型，設出標準方程，再 由條件確定方程中的參數(shù) a,b,c的值。其主要步驟是“先定型，再定量”；定義法：由已知條件判斷出動點的軌跡是什么圖形，然后

7、再根據(jù)定義確定方程。6 .共焦點的橢圓標準方程形式上的差異2v ,4 1 (a b 0)共焦點的橢圓方程可設為 b22 b ),此類問題常用待定系數(shù)法求解。8 .如何求解與焦點三角形 PRF2 (P為橢圓上的點)有關的計算問題思路分析：與焦點三角形 PFF2有關的計算問題時，?？紤]到用橢圓的定義及余弦1定理(或勾股定理)、三角形面積公式S PF1F2 jPF1 |PF2 sin F1PF2相結合的方法進行計算解題。將有關線段|PF1、PF2、FF2 ,有關角 F1PF2 (F1PF2F1BF2)結合起來，建立PF1 |PF2、|PF1 | PF2 之間的關系.9 .如何計算橢圓的扁圓程度與離心

8、率的關系長軸與短軸的長短關系決定橢圓形狀的變化。離心率e -(0 e 1),因為 ac2 a2 b2 , a c 0,用 a、b表示為 e 卜()2 (0 e 1)。顯然：當上越小時，e(0 e 1)越大，橢圓形狀越扁；當-越大，e(0 e 1)越小， aa橢圓形狀越趨近于圓。題型1：橢圓定義的運用22x y例1.已知F1,F為橢圓 1的兩個焦點，過 F1的直線交橢圓于 A、B兩點若 259EA 怩B 12,則 |AB .例2.如果方程x2 ky2 2表示焦點在x軸的橢圓，那么實數(shù) k的取值范圍是 . 22x y22例3.已知P為橢圓 1 1上的一點，M , N分別為圓(x 3) y 1和圓2

9、516(x 3)2 y2 4上的點，則PM PN的最小值為題型2:求橢圓的標準方程例1、求滿足下列各條件的橢圓的標準方程.(1)經(jīng)過兩點 A(J3, 2), B( 2j3,1);(2)經(jīng)過點(2, - 3)且與橢圓9x2 4y2 36具有共同的焦點；(3) 一個焦點與短軸兩端點的連線互相垂直，且此焦點與長軸上較近的端點距離為442-4.2例2.橢圓上162y-1的內接矩形的面積的最大值為9題型3:求橢圓的離心率題型7:直線與橢圓的位置關系的判斷例 1、 ABC 中，A 30o,AB 2, SVabc底,若以A, B為焦點的橢圓經(jīng)過點 C ,則橢圓的離心率為例1.當m為何值時,直線y x m與橢

10、圓2x1621相交相切相離9例2、過橢圓的一個焦點 F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于 P,若 F1PF2為等腰直角三角形，則橢例2.若直線y kx圓的離心率為21(k R)與橢圓工 51恒有公共點，求實數(shù) m的取值范圍;題型4：橢圓的其他幾何性質的運用(范圍、對稱性等)題型8：弦長問題x2例1.已知實數(shù)x, y滿足一421,則 x22y2 x的范圍為例1.求直線y 2x 4x24被橢圓空 91所截得的弦長.2x例2.已知點A, B是橢圓1 m2y1 ( m nuuu0,n 0 )上兩點，且AOuuuBO ,則x2例2.已知橢圓一21的左右焦點分別為F,F2,若過點P (0,-2 )及Fi的直線交橢

11、圓于A,B題型5:焦點三角形問題兩點，求ABE的面積;x2例1.已知F1,F2為橢圓 92y一 1的兩個焦點，p為橢圓上的一點，已知4P,F1,F2為一個直角三題型9:中點弦問題例1. 求以橢圓角形的三個頂點，且 PF1例2.已知F1,F2為橢圓例3.已知橢圓的焦點是圓上，且PF1題型6:三角代換的應用PPI . IPF1I2,南的值.例2.中心在原點,21內的點A (2,-1)為中點的弦所在的直線方程。5一個焦點為弓(0，而)的橢圓截直線y 3x 2所得弦的中點橫坐標為22C: 1的兩個焦點,84Fi(Q 1),F2(Q1),且離心率 e1,求 cos F1PF2.22x y例1.橢圓1上的

12、點到直線l: x y 9169在C上滿足PFi PF2的點的個數(shù)為1一 求橢圓的方程；設點P在橢20的距離的最小值為求橢圓的方程.例3.橢圓mx22ny 1與直線x y 1相交于A B兩點，點C是AB的中點.若|AB 2衣，OC的斜率為， (O為原點)，求橢圓的方程.鞏固訓練1.如圖，橢圓中心在原點，F(xiàn)是左焦點，直線AB1與BF交于D,且 BDB1=90o,則橢圓的離心率為x22uuu uuu2 .設Fi,F2為橢圓 A y 1的兩焦點，P在橢圓上，當 F1PF2面積為1時，PFi PF2的值為 4223 .橢圓 二)-1的一條弦被 A 4,2平分，那么這條弦所在的直線方程是3694.若Fi,

13、F2為橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，若 PF1F2： PF2F1： F1PF2 1:2:3,則此橢圓的離心率為22x y 5.在平面直角坐標系中，橢圓 一2 今 1(a b 0)的焦距為2c,以。為圓心，a為半徑的圓, a b2過點(a-,0)作圓的兩切線互相垂直，則離心率e= .c雙曲線基本知識點雙曲線標準方程(焦點在X軸) 22Y 221( a 0, b 0)a b標準方程(焦點在 y軸) 22-2- -21 (a 0, b 0)a b定義：平面內與兩個定點 F1, F2的距離的差的絕對值是常數(shù)(小于F1F2雙曲線。這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點的匪M |MF1|MF2 2a 2a

14、F1F2)的點的軌跡叫離叫焦距。對稱軸 X軸，y軸；實軸長為2a,虛軸長為2b對稱中心原點O(0,0)焦點坐標Fi( c,0) F2(c,0)Fi(0, c)F2(0,c)焦點在實軸上，c Ja2 b2 ；焦距：IF1F2 2c頂點坐標(a,0) ( a,0)(0, a,) (0, a)離心率e - J1,(e 1) a V a漸近線方程by -x aay藍共漸近線的雙曲線系方程22鼻鼻 k (k 0)a2b222二' k ( k 0)a b直線和雙曲線的位置22雙曲線 S 士 1與直線y kx b的位置關系： a b221利用 a2 b21轉化為，元二次方程用判別式確定。y kx b

15、二次方程一次項系數(shù)為零直線與漸近線平行。相交弦 AB的弦長 AB| Ji k2J(x1 x2)2 4x1x2補充知識點:等軸雙曲線的主要性質有：(1)半實軸長=半虛軸長(一般而言是 a=b,但有些地區(qū)教材版本不同，不一定用的是 a,b這兩個字母)；(2)其標準方程為x2 y2 C ,其中C 0；（3）離心率e 、工；2 x C .422 yD. x -14（4）漸近線：兩條漸近線y=±x互相垂直;例5、與雙曲線例題分析:2y161有共同的漸近線，且經(jīng)過點3,273的雙曲線的一個焦點到一條例1、動點P 與點 Fi(0,5)與點 F2(0, 5)滿足 PFi| |PF26 ,則點P的軌跡

16、方程為（漸近線的距離是A.22上L 191622-y- 1(y > 3)1692 x162 x同步練習一：如果雙曲線的漸近線方程為A. 53例2、已知雙曲線542 yk163L5或5342y92y91(y< 3)則離心率為（D. 3A.12 k 1同步練習二：雙曲線2例3、設P是雙曲線二(A) 8(B)(C) 2(D) 11的離心率為D. 12 k2yb22 yk的范圍為（1的兩條漸近線互相垂直，則雙曲線的離心率為1上一點，雙曲線的一條漸近線方程為3x 2y 0, E, F2分別是雙曲線的左、右焦點，若 PF13,則PF2的值為同步練習三：若雙曲線的兩個焦點分別為（0, 2）,（0

17、 2）,且經(jīng)過點（2,/5）,則雙曲線的標準方程例4、下列各對曲線中，即有相同的離心率又有相同漸近線的是（x22(A) y-y =1(B)9y2=1 和 y2- 二二133同步練習五：以例6、下列方程中，以22(« L 1164。3x為漸近線，一個焦點是 F （0,x±2y=0為漸近線的雙曲線方程是(B)1621 (嗚 y22)的雙曲線方程為_21 (D)x同步練習六：雙曲線8kx2-ky 2=8的一個焦點是（0 , 3）,那么k的值是例7、經(jīng)過雙曲線x2(1)求 |AB|.(C)y 2- x-=13和 x2- - =13(D)22二-y2 = 1 和 x-392L=13同

18、步練習四：已知雙曲線的中心在原點,兩個焦點Fi, F2分別為（而0）和（而0）,點P在雙曲線上且PFi PF?,且PF1F2的面積為1,則雙曲線的方程為（2y31的右焦點F2作傾斜角為30 °的弦AB,（2） Fi是雙曲線的左焦點，求 FiAB的周長.22同步練習七過點（0, 3）的直線l與雙曲線2-1只有一個公共點，求直線 l的方程。43高考真題分析1.12012高考新課標文的準線交于A, B兩點,(A) 22.12012高考山東文10】等軸雙曲線C的中心在原點,AB 4/3 ;則C的實軸長為（(B) 2,2(C)2211】已知雙曲線C1 ：告22a b焦點在x軸上，C與拋物線(D

19、)1(a0,b 0）的離心率為2.C2：x2 2py（p 0）的焦點到雙曲線 G的漸近線的距離為 2,則拋物線C2的方程為y2 16x若拋物線(A)x283y (B)x2163 y(C)x28y (D)x216y333.12012高考全國文10】已知F1、52為雙曲線C:x2 y2 2的左、右焦點，點 P在C上,| PF1 | 2 | PF2 |,則 cosF1PF2隹占 八、八、頂點(p,0)( p，0)(0，p)焦點在對稱軸上O(0,0)(0，p)(A) 14(B)(C)離心率e=14. （2011年高考湖南卷文科26）設雙曲線二a2y_91(a0）的漸近線方程為 3x 2y 0,則a的值

20、為（）5.12012高考江蘇8 （5分）在平面直角坐標系2xOy中，若雙曲線 m2，一 1的離心率為45, m24準線方程頂點到準線的距離焦點到準則m的值為線的距離拋物線焦半徑準線與焦點位于頂點兩側且到頂點的距離相等。A(xi, y1)焦點弦焦點弦AB的幾條性質A(x”y1)B(x2,y2)AF x1AFx1AF y1 1AFy12(xi x2) p(Xi x2) pL xX2, Y2(y y2) p(y y2) p以AB為直徑的圓必與準線l相切若AB的傾斜角為，則|AB| Vpsin若AB的傾斜角為 ，則|aB 2pcos2p2x1x2，yy2P411 AF BFAB2AF BF AF?BF AF ?BF p切線方程y°y p(x x0)y°yp(x x°)x°xp(y V。)x°xp(y y°)1、直線與拋物線的位置關系ABy2 j1 jj(y1(2).中點 M (x。，y0),點差法:x0xx22，設交點坐標為A(x1, %),y2)2 4y1y2、1 kv yy2y0代入拋物線方程，得y kx b . 一直線l : y kx b ,拋物線C : y2 2px , 由 2 ，洎y得： y 2px1d=0(1)當k=0時，