高等數(shù)學：D11_8一般周期的

1、第八節(jié)第八節(jié)一般周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)一般周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù) 一、以一、以2 l 為周期的函數(shù)的為周期的函數(shù)的傅里葉展開傅里葉展開 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、傅里葉級數(shù)的復數(shù)形式二、傅里葉級數(shù)的復數(shù)形式 第十一章 一、以一、以2 l 為周期的函數(shù)的傅里葉展開為周期的函數(shù)的傅里葉展開周期為 2l 函數(shù) f (x)周期為 2 函數(shù) F(z)變量代換lxz將F(z) 作傅氏展開 f (x) 的傅氏展開式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設周期為2l 的周期函數(shù) f (x)滿足收斂定理條件,則它的傅里里葉展開式為10sincos2)(nnnlxnblxnaaxf(在 f (x) 的

2、連續(xù)點處)naxlxnxflbllndsin)(1其中定理定理.l1xlxnxflldcos)(),2, 1,0(n),2, 1(n機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證明證明: 令lxz, 則,llx,z令)(zF, )(z lf則)2()2(zlfzF)2(lz lf)(z lf)(zF所以)(zF且它滿足收斂定理條件, 將它展成傅里里葉級數(shù):10sincos2)(nnnznbznaazF( 在 F(z) 的連續(xù)點處 )(xf變成是以 2 為周期的周期函數(shù) , 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zznzFandcos)(1其中zznzFbndsin)(1令lxzlan1xlxnxflbl

3、lndsin)(1lxnblxnaaxfnnnsincos2)(10),2, 1,0(n),3,2, 1(n),2, 1,0(n),3,2, 1(n( 在 f (x) 的 連續(xù)點處 )xlxnxflldcos)(證畢 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明:1)(nnbxf),2, 1(dsin)(nxlxnxfbn其中(在 f (x) 的連續(xù)點處)lxnsinl20l如果 f (x) 為偶函數(shù), 則有(在 f (x) 的連續(xù)點處)2)(0axf),2, 1,0(dcos)(nxlxnxfan其中1nnalxncos注注: 無論哪種情況 ,).()(21xfxf在 f (x) 的間斷點

4、x 處, 傅里里葉級數(shù)收斂于l20l如果 f (x) 為奇函數(shù), 則有 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(tfto0d) 1sin() 1sin(ttntn例例1. 交流電壓tEtEsin)(經(jīng)半波整流后負壓消失,試求半波整流函數(shù)的解解: 這個半波整流函數(shù)2,它在)(tfna0dcossinttntE,sintE,0傅里里葉級數(shù).,上的表達式為0t t02E的周期是22機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 000d2sintt21Ea 2cos212E時1n0d) 1sin() 1sin(ttntn2Eantnn) 1cos() 1(12E0tnn) 1cos() 1(1111) 1(11

5、1) 1(21nnnnEnn) 1(1) 1(21nEn32 ,0 kn,)41 (22kE), 1,0(kkn2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 tttEbdsinsin01ttntnEd) 1cos() 1cos(20) 1() 1sin(2ntnEbn0) 1() 1sin(0ntnttntEbndsinsin0ttEd)2cos1 (20022sin2ttE2En 1 時機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 由于半波整流函數(shù) f ( t ),),(上連續(xù)在Etf)(tEsin2tkkEk2cos411212)(t直流部分說明說明:交流部分由收收斂定理可得2 k 次諧波的振幅為,1412

6、2kEAk k 越大振幅越小,因此在實際應用中展開式取前幾項就足以逼近f (x)了.to22)(tf上述級數(shù)可分解為直流部分與交流部分的和. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 把展開成)20()(xxxf(1) 正弦級數(shù); (2) 余弦級數(shù).解解: (1) 將 f (x) 作奇周期延拓, 則有2oyx),2, 1,0(0nan2022xbnxxnd2sin0222sin22cos2xnnxnxnnncos4),2, 1() 1(41nnn14)(nxf2sin) 1(1xnnn)20( x在 x = 2 k 處級數(shù)收斂于何值?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2oyx(2) 將

7、作偶周期延拓,)(xf),2, 1(0nbn2022xanxxnd2cos0222cos22sin2xnnxnxn1) 1(422nnxxf)(200d22xxa2kn2,0,) 12(822k),2, 1(k則有1222) 12(cos) 12(181kxkk)20( x12 kn機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明: 此式對0 x也成立,8) 12(1212kk由此還可導出121nn8212141nn61212nn12)2(1kk1222) 12(cos) 12(181)(kxkkxxf)20( x12) 12(1kk據(jù)此有2oyx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 當函數(shù)定義在任

8、意有限區(qū)間上時,方法方法1, , )(baxxf令,2abzx即2abxzzabzfxfzF, )2()()(2,2abab在2,2abab上展成傅里里葉級數(shù))(zF周期延拓將2abxz)(xf在,ba代入展開式上的傅里里葉級數(shù) 其傅里里葉展開方法:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 方法方法2, , )(baxxf令,azxzazfxfzF, )()()(ab,0在ab,0上展成正弦或余弦級數(shù))(zF奇或偶式周期延拓將 代入展開式axz)(xf在,ba即axz上的正弦或余弦級數(shù) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(zFz55例例3. 將函數(shù))155(10)(xxxf展成傅里里葉級數(shù).解解

9、: 令,10 xz設)55( )10()()(zzzfxfzF將F(z) 延拓成周期為 10 的周期函數(shù), 理條件.由于F(z) 是奇函數(shù), 故),2, 1,0(0nan5052zbnzznd5sinnn10) 1(),2,1(n則它滿足收斂定5sin) 1(10)(1znnzFnn)55(z5sin) 1(10101xnnxnn)155( x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 利用歐拉公式歐拉公式二、傅里葉級數(shù)的復數(shù)形式二、傅里葉級數(shù)的復數(shù)形式設 f (x)是周期為 2 l 的周期函數(shù) , 則lxnblxnaaxfnnnsincos2)(1021coslxnlxnlxniiee2sinilx

10、nlxnlxniiee1022)(nnaaxflxnlxniiee2nbilxnlxniiee1022nnnbiaa2nnbia lxnielxnie0cncnc機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 llxfl)(21llxxfld)(21200ac llxlxnxfldcos)(1212nnnbiacllxlxnxflidsin)(llxlxnilxnxfldsincos)(21llxfl)(21),2, 1(dnxlxnie注意到2nnnbacxd同理),2, 1(nlxnie機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 傅里葉級數(shù)的復數(shù)形式:xexflcTxnillnd)(212Txninnecxf

11、2)(),2, 1,0(n因此得機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 式的傅里里葉級數(shù) . 例例4. 把寬為 ,高為 h ,周期為 T 的矩形波展成復數(shù)形解解: 在一個周期,22TT)(tu它的復數(shù)形式的傅里里葉系數(shù)為 2 2d1thTTh內(nèi)矩形波的函數(shù)表達式為 022d)(1TTttuTc22Toyx22Th22,th2222,0TTtt機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 tetuTTtnid)(12 22nc22 2d1tehTTtniTnnhsin),2,1(nThtu)(hTtnineTnn2sin10n), 1,0,2(kTkt 2inTThTniTnieeinh21Ttnie222機

12、動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 為正弦 級數(shù). 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 周期為2l 的函數(shù)的傅里里葉級數(shù)展開公式)(xf20alxnblxnannnsincos1(x 間斷點)其中naxlxnxfllldcos)(1nbxlxnxfllldsin)(1), 1 ,0(n),2, 1(n當f (x)為奇 函數(shù)時,(偶)(余弦)2. 在任意有限區(qū)間上函數(shù)的傅里里葉展開法變換延拓3. 傅里里葉級數(shù)的復數(shù)形式利用歐拉公式導出機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習思考與練習1. 將函數(shù)展開為傅里里葉級數(shù)時為什么最好先畫出其圖形?答答: 易看出奇偶性及間斷點, 2. 計算傅里里葉系數(shù)時哪些系數(shù)要單獨算 ?答答: 用系數(shù)公式計算如分母中出現(xiàn)因子nk從而便于計算系數(shù)和寫出收斂域 .,時nnbakkba 或則必須單獨計算.習題課 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 備用題備用題) 11(2)(xxxf將期的傅立葉級數(shù), 并由此求級數(shù)121nn(91 考研) 解解:y1ox12)(xf為偶函數(shù),0nb100d)2(2xxa5xxnxand)cos()2(