高等數(shù)學：3-7 曲率

1、1第七節(jié)第七節(jié) 曲曲 率率弧微分弧微分曲率及其計算公式曲率及其計算公式曲率圓與曲率半徑曲率圓與曲率半徑小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)(curvature)(arc element)第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用2曲曲 率率一、弧微分一、弧微分 為了得出曲線為了得出曲線 y = f (x) 的曲率公式的曲率公式, 先先計算弧長函數(shù)計算弧長函數(shù)s(x)對對x的微分的微分,稱為弧微分稱為弧微分.000(,)Mxy,),(為任意一點為任意一點yxM,)2(sAM ,取正號取正號s 規(guī)定規(guī)定., 取負號取負號相反時相反時 s 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x)在區(qū)間在區(qū)間(a,

2、b)內(nèi)內(nèi)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).基點基點:(1) 曲線的正向與曲線的正向與x增大的方向一致增大的方向一致;當當AM 的方向與的方向與曲線正向一致時曲線正向一致時,xyOsxM0 x0M00(,),A xy或或3)(xss 單調(diào)增函數(shù)單調(diào)增函數(shù).),(yyxxM 設(shè)設(shè)如圖，如圖，曲曲 率率, xx 的的增增量量設(shè)設(shè)對對應(yīng)應(yīng)于于, s sMM 0 MM0MM 于是于是 2xs2 xMM 2)( x 2MM|MM 2|MM 2 MM|MM 222)()()(xyx 2 MM|MM 21xy弧弧 s的增量為的增量為那末那末xyOsxM0 x0Mxx M s x y 4曲曲 率率 xs2 xs2 MM

3、|MM 21xy0 x令令取極限取極限,MM 221|xyMMMM|limMMMMMM 即即1 又又yxyx 0lim得得 xsdd.d1d2xys 故故弧微分公式弧微分公式21y )(xss 為單調(diào)增函數(shù)為單調(diào)增函數(shù),xyOsxM0 x0Mxx M s x y 5如將如將.)d()d(d22yxs 則則如如曲曲線線),(yxx ,d)(dttx .d)()(d22ttts .d1d2yxs sin)(cos)(yx代入公式代入公式,得得.d)()(d22 s曲曲 率率xysd1d2 弧微分公式弧微分公式,d)(dtty ),(),(tytx )( 可化為參數(shù)方程形式可化為參數(shù)方程形式如曲線以

4、極坐標方程給出如曲線以極坐標方程給出如曲線為參數(shù)方程如曲線為參數(shù)方程xd寫到根式內(nèi)寫到根式內(nèi),得得6是描述曲線局部性質(zhì)是描述曲線局部性質(zhì)(彎曲程度彎曲程度)的量的量.弧段彎曲程度弧段彎曲程度越大越大轉(zhuǎn)角相同弧段轉(zhuǎn)角相同弧段越短越短1. 曲率的定義曲率的定義曲曲 率率曲率曲率轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角越大越大彎曲程度大彎曲程度大二、曲率及其計算公式二、曲率及其計算公式1M2M3M1 2 1S 2S 1M2M1N2N 1S 2S 7sK 設(shè)曲線設(shè)曲線C是光滑的，是光滑的，.0是是基基點點MMM 定義定義sKs 0lim曲線曲線C 在點在點M處的曲率處的曲率為為sssddlim0 在在.ddsK 曲曲 率率,sMM

5、. 切切線線轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角為為（的的弧弧段段MM 平均曲率平均曲率為為存在的條件下存在的條件下,xyOss C 0MMM 82. 曲率的計算公式曲率的計算公式(1) 直線的曲率處處為零直線的曲率處處為零;(2) 圓上各點處的曲率等于半徑的倒數(shù)圓上各點處的曲率等于半徑的倒數(shù),且且半徑越小曲率越大半徑越小曲率越大.,)(二階可導(dǎo)二階可導(dǎo)設(shè)設(shè)xfy ,tany d.)1(232yyK ,arctan y 有有.d1d2xys 由由注注,ddsK 曲曲 率率xy d 211y 9 ),(),(tytx 設(shè)設(shè).)()()()()()(2322ttttttK ,)()(ddttxy .)()()()()(dd3

6、22tttttxy ,)1(|232yyK 曲曲 率率二階可導(dǎo)二階可導(dǎo),由公式由公式10例例?2上哪一點的曲率最大上哪一點的曲率最大拋物線拋物線cbxaxy 解解,2baxy ,2ay .)2(1 2232baxaK 顯然顯然,2時時當當abx )44,2(2aacbab 又又232)1(|yyK 曲曲 率率為拋物線的頂點為拋物線的頂點, 拋物線在頂點處的曲率最大拋物線在頂點處的曲率最大.K最大最大.11定義定義D 曲曲 率率.1 KDM(circle of curvature)三、曲率圓與曲率半徑三、曲率圓與曲率半徑使使曲率圓曲率圓. .曲率中心曲率中心, ,曲率半徑曲率半徑. .設(shè)曲線設(shè)曲

7、線 y = f (x) 在點在點M(x, y)處的曲率為處的曲率為K (K 0).在點在點M處的曲線的法線上處的曲線的法線上,在凹的一側(cè)取一點在凹的一側(cè)取一點D,以以D為圓心為圓心, 為半徑作圓為半徑作圓(如圖如圖). 稱此圓為曲線在點稱此圓為曲線在點M處的處的xyO)(xfy DK1 M12(1) 曲線上一點處的曲率半徑與曲線在該點處的曲線上一點處的曲率半徑與曲線在該點處的,1K (2) 曲線上一點處的曲率半徑越大曲線上一點處的曲率半徑越大,曲線在該點處曲線在該點處(3) 曲線上一點處的曲率圓弧可近似代替該點曲線上一點處的曲率圓弧可近似代替該點注注曲曲 率率.1 K曲率半徑越小曲率半徑越小,

8、曲率越大曲率越大(曲線越彎曲曲線越彎曲).的曲率越小的曲率越小(曲線越平坦曲線越平坦);附近曲線弧附近曲線弧(稱為曲線在該點附近的二次近似稱為曲線在該點附近的二次近似).曲率互為倒數(shù)曲率互為倒數(shù), 即即13基本概念基本概念: 弧微分弧微分, 曲率曲率, 曲率圓曲率圓,曲率中心曲率中心,曲率半徑曲率半徑;研究曲線的彎曲程度研究曲線的彎曲程度: 曲率曲率;曲曲 率率四、小結(jié)四、小結(jié)基本計算基本計算: 弧微分弧微分, 曲率曲率; 曲線上一點處的曲率圓弧近似代替該點附近曲線上一點處的曲率圓弧近似代替該點附近曲線弧曲線弧,使問題簡化使問題簡化.14思考題思考題 的曲率最??？的曲率最?。壳?率率 t為何值時為何值時, 曲線曲線)2, 0(),cos1();sin( ttayttax 求出最小曲率求出最小曲率, 寫出該點的曲率半徑寫出該點的曲率半徑.解解 232)(1|)(yytK