2010-2019高考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編第18講數(shù)列的綜合應(yīng)用

1、 專(zhuān)題六數(shù)列 第十八講數(shù)列的綜合應(yīng)用 2019 年 2 1. (2019 浙江 10)設(shè) a, b R，數(shù)列an中 an=a, an+i=an+b, N “，則 1 1 A .當(dāng) b= 時(shí)，a10 B 當(dāng) b= 時(shí)，a10 2 4 C.當(dāng) b=-2 時(shí)，a10 10 D.當(dāng) b=-4 時(shí)，a10 10 2. (2019 浙江 20)設(shè)等差數(shù)列an的前 n項(xiàng)和為Sn, a 4 , a S3，數(shù)列bn滿(mǎn)足： 對(duì)每個(gè)n N ,Sn bn,Sn 1 bn,Sn 2 b成等比數(shù)列. (1 )求數(shù)列an， bn的通項(xiàng)公式； (2)記 Cn =皂，N*,證明：G +c2+IH+G 3 .若 p : an a

2、2| ,an 成等比數(shù)列；q : (a1 a； - a：(a| a| JU - aj)二但代-a?a3 l|a.an)2，則 A . p 是 q 的充分條件，但不是 q 的必要條件 B. p 是 q 的必要條件，但不是 q 的充分條件 C. p 是 q 的充分必要條件 D. p 既不是 q 的充分條件，也不是 q 的必要條件 4. (2014 新課標(biāo) 2)等差數(shù)列Ian 的公差為 2,若a2, a4, a$成等比數(shù)列，則a的前n 項(xiàng)和Sn = n (n +1) C. n( n T ) D. - i =0,1,2,99，記 Ik =| fk(aj - fk(a)| | fk (a?) - fk(

3、aj | |fk(a99fk(a98)|, k =1,2,3.則 A . 11 ；： I 2 ；： I 3 B . I 2 ；： 11 ；： I 3 C . I i ；： I 3 ；： I 2 D . I 3 ；： I 2 ；： 11 二、填空題 6. （2018 江蘇）已知集合 A=x|x=2n-1,n N* , B=x|x=2n,n N* 將 AU B 的所有元 素從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列 an.記 Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則使得 Sn 12an 1成立的n的最小值為 _ . 7. （ 2015 陜西）中位數(shù)為 1 010 的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項(xiàng)為 2 015，則該數(shù)列的首項(xiàng)

4、為 _ . 1 & （2014 新課標(biāo) 2）數(shù)列aj滿(mǎn)足 an+ = - , a2 =2,則 a = _ . 1 - an 9. （2013 重慶）已知Can?是等差數(shù)列，a1，公差d=0, Sn為其前n項(xiàng)和，若a1,a2,a5 成等比數(shù)列，則= _ . 10. （2011 江蘇）設(shè)1空a1空a2 -a7，其中a1,a3,a5,a7成公比為 q的等比數(shù)列， a2,a4,a6成公差為 1 的等差數(shù)列，貝 U q 的最小值是 _ . 11 . （2011 浙江）若數(shù)列2n（n +4）C）n，中的最大項(xiàng)是第 k項(xiàng)，則k= _ . I 3 J 三、解答題 12 . （2018 江蘇）設(shè)an是首

5、項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列，bn是首項(xiàng)為b，公比為q的 等比數(shù)列. （1）設(shè)a1 =0力=1,q =2，若| a* |w b對(duì)n =1,2,3,4均成立，求d的取值范圍； 5. （ 2014 浙江）設(shè)函數(shù) fl(x) =X2 , 2 f2(x) 1 f3 (x) | si n2;x|, 3 i ai =99 2 若 a1 bi 0,m N*,q（1,m2,證明：存在 d R ,使得 |an - bn | d 對(duì) n =2,3, HL m 1均成立，并求d的取值范圍（用 d,m,q表示）.13. (2017天津)已知an為等差數(shù)列，前 n項(xiàng)和為Sn( 2 數(shù)列，且公比大于 0, b2 bs =

6、12,ba2ai,囪=1血. (I)求an和bn的通項(xiàng)公式； (n)求數(shù)列a2nb2nj的前 n項(xiàng)和(n N J . 14. (2017 浙江)已知數(shù)列xn滿(mǎn)足：人=1 , xn 二xnl n(1，xn1)( n N*). 證明：當(dāng)n N*時(shí) (I) 0 Xn 1 Xn ； (n) 2x -X 0, n N* . (I)若2a2.a3.a2 2成等差數(shù)列，求a.的通項(xiàng)公式; 2 5 / n 十 (n )設(shè)雙曲線(xiàn)x2 -爲(wèi)=1 的離心率為e，且e2 ，證明：e1 e2爲(wèi)en - an 3 3 16. (2015 湖北)設(shè)等差數(shù)列an的公差為 d,前 n項(xiàng)和為 5,等比數(shù)列 g的公比為 q.已 知

7、 bi =a1, b2 =2 , q = d , S10 =100 . (I)求數(shù)列an , bn的通項(xiàng)公式； 4)當(dāng)d 1時(shí)，記 Cn二弘，求數(shù)列Cn的前 n項(xiàng)和 Tn . bn 17. (2015 陜西)設(shè)fn x是等比數(shù)列1, x , x2，xn的各項(xiàng)和，其中x 0 , n乂 , 1 (I)證明：函數(shù) Fn(x )= fn(x)-2在(一.1)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)(記為 X.)，且 n 1 Xn ； (n)設(shè)有一個(gè)與上述等比數(shù)列的首項(xiàng)、 末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)分別相同的等差數(shù)列， 其各項(xiàng)和為 Xn 13. (2017天津)已知an為等差數(shù)列，前 n項(xiàng)和為Sn( 2 gn X，比較fn X與gn X的大

8、小，并加以證明.1 18.(2015 重慶)在數(shù)列 faj 中，ai =3, an 何一an 1=0 (n N .). (i)若 =0-二，求數(shù)列:a/?的通項(xiàng)公式； 1 (n)若 (k0 N .,心 2), J = -1，證明: ko 19. (2014 山東)已知等差數(shù)列an的公差為 2,前n項(xiàng)和為Sn，且S，S2，S4成等比數(shù) 列. (I)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； 1 4n (n)令bn = ( -1) ,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn . anan 卅 20. (2014 浙江)已知數(shù)列5n 和bn 滿(mǎn)足a2an二- 2 N ” .若 為等比數(shù)列， 且 ai = 2,b3 = 6 戈. (I)

9、求 an 與 bn ； A A (n)設(shè)cn二一 - 一nN” .記數(shù)列 7n涵前n項(xiàng)和為Sn. an bn (i) 求 Sn ； (ii) 求正整數(shù)k，使得對(duì)任意n N ”，均有Sk _ Sn. n * 21. (2014 湖南)已知數(shù)列 an滿(mǎn)足a1 =1,|an 1 -an戶(hù)p ,nN . (I)若 an是遞增數(shù)列，且a1,2a2,3a3成等差數(shù)列，求 p的值； 1 (n)若p=2，且 a2n4是遞增數(shù)列， a2n是遞減數(shù)列，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式. 22. (2014 四川)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，點(diǎn)(an,bn)在函數(shù)f (x) = 2x的圖象上 (n N*). (I)若a -2，點(diǎn)

10、8,關(guān))在函數(shù)f (x)的圖象上，求數(shù)列an的前n項(xiàng)和& ； 1 (n)若 印=1，函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn) 2,鳥(niǎo))處的切線(xiàn)在x軸上的截距為2 - , ln 23k。 1 2 2k 求數(shù)列 的前n項(xiàng)和Tn. bn 23. (2014 江蘇)設(shè)數(shù)列a.的前 n項(xiàng)和為 S.若對(duì)任意正整數(shù) n，總存在正整數(shù) m，使得 Sn二 am，則稱(chēng)an是“ H 數(shù)列”. (I)若數(shù)列an的前 n項(xiàng)和 Sn =2n( nN ),證明：何是“ H 數(shù)列”; (D)設(shè)an是等差數(shù)列，其首項(xiàng) 印=1，公差d ：0 若an是“ H 數(shù)列”，求d的 值； (川)證明：對(duì)任意的等差數(shù)列 an，總存在兩個(gè)“ H 數(shù)列”

11、 bn和Cn，使得 an =bn Cn ( n，N ”)成立. 24. (2013 安徽)設(shè)數(shù)列Can?滿(mǎn)足ai =2 , a2 a8，且對(duì)任意nN*，函數(shù) JI f (x) =(an -an 1 an 2)x an 1 cosx-an 2 sin x，滿(mǎn)足 f ) = 0 (I)求數(shù)列 a ? 的通項(xiàng)公式； 1 (n)若bn =2(a*+廠),求數(shù)列 a3 a4 - T8 . (I)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (n)是否存在正整數(shù) n ,使得 Sn 2013 ?若存在，求出符合條件的所有 n的集合； 若不存在，說(shuō)明理由. 1 1 1 aa2 a?a3 1 . an an 1 2 an的前 n項(xiàng)和

12、，S4, S2, S3成等差數(shù)列, 27. (2013 江蘇)設(shè)：an 是首項(xiàng)為a，公差為d的等差數(shù)列 d = 0 , &是其前n項(xiàng)和. 記 0 =爭(zhēng)二,n N * ,其中c為實(shí)數(shù) n +c (i)若 c=0，且 b , b2, b4 成等比數(shù)列，證明：Snk 二 n2Sk k,n N* ； (n) 若CbJ是等差數(shù)列，證明：c = 0 . 28. (2012 山東)已知等差數(shù)列an的前 5 項(xiàng)和為 105，且 ai2as . (I)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (n)對(duì)任意 N *，將數(shù)列an中不大于 72m的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為 * 求數(shù)列bm的前 m 項(xiàng)和 Sm . 29. (2012 湖南)

13、某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn).該企業(yè)第一年年初有資金 2000 萬(wàn)元，將其投入生產(chǎn)，到當(dāng)年年底資金增長(zhǎng)了 50% .預(yù)計(jì)以后每年資金年增長(zhǎng)率 與第一年的相同.公司要求企業(yè)從第一年開(kāi)始，每年年底上繳資金 d萬(wàn)元，并將剩余 資金全部投入下一年生產(chǎn)設(shè)第 n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為 an萬(wàn)元. (I)用d表示ai,a2，并寫(xiě)出an 1與an的關(guān)系式； (n)若公司希望經(jīng)過(guò) m ( m 3)年使企業(yè)的剩余資金為 4000 萬(wàn)元，試確定企業(yè)每 年上繳資金d的值(用m表示). 30. (2012 浙江)已知數(shù)列 的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn = 2 n2 + n , n N*,數(shù)列 滿(mǎn) 足

14、an 二 4log 2 d 3 , n N . (I)求 an ； (n)求數(shù)列an bn的前n項(xiàng)和Tn . 31. (2012 山東)在等差數(shù)列、an 坤，a3 a4 a 84 , a 73 (i)求數(shù)列：an 1 的通項(xiàng)公式； (n)對(duì)任意的m，N*，將數(shù)列：an1中落入?yún)^(qū)間9m,92m內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為bm，求數(shù) 列bm 的前m項(xiàng)和Sm . 32. (2012 江蘇)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列 an和bn滿(mǎn)足：an1-ra： bl 2 ,nN“. Jan +bn (I)設(shè)bn 1 =1 , nN“，求證：數(shù)列 an(n) 設(shè)bn律 n N ,且何是等比數(shù)列，求ai和-的值. 33. (201

15、1 天津)已知數(shù)列an與bn滿(mǎn)足 bnan i=(2)n 1, bn 3 (-1)2 2 ,n N ,且 a1 (I)求a2,a3的值； (n)設(shè)cn =a2n 1 -a2n，n N*，證明cn是等比數(shù)列; (川)設(shè)Sn為an的前n項(xiàng)和，證明 蛍.色出.S22 魚(yú) a1 a2 a2n 1 a2n 34. (2011 天津)已知數(shù)列an與bn滿(mǎn)足：bnan an, bn 1an -0,bn 1 * (n N ). 3 3 (-1)n -2 n N，且 6 = 2, a2 = 4 . (I)求 a3,a4,a5的值； (n)設(shè)ca2ni a2n 1 ,nN*，證明： 七？是等比數(shù)列； * 4n S

16、 7 * (川)設(shè) Sk = a2 a4 a2k ,kN,證明： - (n，N). k =1 ak 6 35. (2010 新課標(biāo))設(shè)數(shù)列aj滿(mǎn)足 a1 =2,an 1-an 二 3_22n_l (I)求數(shù)列 a】 的通項(xiàng)公式； (n)令bn = nan,求數(shù)列的前 n項(xiàng)和Sn . 36. (2010 湖南)給出下面的數(shù)表序列： 表3 1 3 5 4 8 12 ? 2 其中表n ( n =1,2,3 .)有n行，第 1 行的n個(gè)數(shù)是 1,3,5，2n-1,從第 2 行 起，每行中的每個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和. (I)寫(xiě)出表 4,驗(yàn)證表 4 各行中數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成等比數(shù)列，并將結(jié)

17、 論推廣到表n (n 3)(不要求證明)； (n)每個(gè)數(shù)列中最后一行都只有一個(gè)數(shù)，它們構(gòu)成數(shù)列 1,4,12，記此數(shù)列為 專(zhuān)題六數(shù)列 第十八講數(shù)列的綜合應(yīng)用 答案部分 2019 年 2 1 1 1解析：對(duì)于 B,令X 0，得二一， 4 2 1 1 1 取a1 ，所以a2 ，川，a. 10, 2 2 2 1 所以當(dāng)b 時(shí)，印。：10，故 B 錯(cuò)誤； 4 對(duì)于 C 令 X2-1 -2 = 0 ,得，=2 或，-1, 取 ai = 2，所以 a2 = 2H, an = 2 ： 10 , 所以當(dāng)b - -2時(shí)，耳。:：10，故C錯(cuò)誤; 2 1 對(duì)于D，令x - - 4 - 0 ,得，- 2 所以當(dāng)b

18、- -4時(shí)，aw 10，故 D 錯(cuò)誤； 巾工A 2丄1 1 F 2丄1 Y丄1 3 對(duì)于 A, a2二a ,a3二a - tbn求和: 僉僉川瓷(n M 1 17 2 所以a2 = ，an 2 2 2 42 1 an 1 an 0 , an遞增， 當(dāng)n-4時(shí)，亙 an a1 2d = 4, q 3d =3a1 3d , 解得 a =0,d =2 . 從而 an 二 2n2, n N 由Sn bn , Sn 1 bn , Sn 2 bn成等比數(shù)列得 2 (Sn 卅 +6 ) =(& +0 外+ ). 解得 0 J S；1 -&.2 . d 所以 d = n2 n, n N . 我

19、們用數(shù)學(xué)歸納法證明. 當(dāng) n=1 時(shí)，C1=0 a4 2 36 3 一 2 , 所以色0. a4 所以 729 a0 10故 A 正確. 64 故選 A. aio a9 2解析：（1）設(shè)數(shù)列%的公差為 d，由題意得 （2）Cn an 二 2n-2 2bn ：2n(n -1) 再證明：所有正偶數(shù)都是 中的項(xiàng). 0TII+H2后Hz嚴(yán)后佰 k 2、k 2（、廠1 -、k） =2廠1 Jk +1 +慮 即當(dāng)n = k 1時(shí)不等式也成立. 根據(jù)（1）和（2）,不等式& c2 |G : 2、韋對(duì)任意n N*成立. 3.解析（1）設(shè)等比數(shù)列an的公比為 q,所以 ai旳，q旳. 匚 12 4 4

20、由訶5 ，得峯計(jì) a4a2 4 =0 a(q _4陽(yáng) 4印=0 因此數(shù)列an為“M數(shù)列 1 2 2 c (2)因?yàn)?，所以bn -0 . Sn bn g 十 1 2 2 由 0=1,0=6，得 ，則 6=2. 1 1 b2 由丄，得Sn ， S bn bn 1，得 2(bn.1-bn)， 整理得 bn 1 bn =2bn . 所以數(shù)列bn是首項(xiàng)和公差均為 1 的等差數(shù)列. 因此，數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為 bn= n N* . 由知，bk=k，kN*. 因?yàn)閿?shù)列cn為“ M 數(shù)列”設(shè)公比為 q，所以 C1=1，q0. 因?yàn)?Ckbk 14, nN 2 即N出現(xiàn)在第 13 組之后.所以an n -1,

21、 n 為奇數(shù) n1.n 為偶數(shù) 21 12 k 又第k組的和為=2k -1 1-2 前k組的和為 k 1 2 k 1 (1 2) ( 2 / ) =(2 -1) (2 1) (2 -1) = (2 22 2k) _k =2k 1 _k _2 , 設(shè)滿(mǎn)足條件的的N在第k 1 ( N* , k 13)組，且第N項(xiàng)為第k 1的第 m (m ：二N*)個(gè)數(shù)，第k 1組的前m項(xiàng)和為1 2 22亠 亠2m，= 2m -1, 要使該數(shù)列的前 N項(xiàng)和為 2 的整數(shù)幕， 即2m -1與-k -2互為相反數(shù)， 即 2m _1 =2 k， 所以 k =2m 一3, 由 k 14，所以 2m 一3 14，則 m 5，

22、此時(shí) k =25-3=29 對(duì)應(yīng)滿(mǎn)足的最小條件為 N = 29(29 1 5 = 440，故選 A . 2 2. C【解析】由題意可得 a0, a1, a2, a3，a7中有 3 個(gè) 0、3 個(gè) 1,且滿(mǎn)足對(duì) 任意k w 8，都有a1, a2，ak中 0 的個(gè)數(shù)不少于 1 的個(gè)數(shù)，利用列舉法可得不同 的“規(guī)范 01 數(shù)列”有 00001111,00010111, 00011011, 00011101,00100111, 00101011,00101101,00110011,00110101,01000111,01001011,01001101,01010011,0101010 1,共 14 個(gè)

23、. 3. A【解析】對(duì)命題 p: 31,a2jll,an成等比數(shù)列，則公比 4=電(n 一 3)且a-0 ; an 對(duì)命題q , 當(dāng) an =0 時(shí)，(a： +a； + II片a2(a2 +af + HI + a；)=(a1a2 +a2a3刪I +aWn)2 成立； 當(dāng)an =0時(shí)，根據(jù)柯西不等式， 等式（a2 a； Ha2）（a； a； HI a：） 8283 HI - anan）2成立, 則_?1 =竺二.= _a口，所以ai,a2|,an成等比數(shù)列， a2 a3 an 所以p是q的充分條件，但不是 q的必要條件 2 2 4. A【解析】a2, a4, a8成等比數(shù)列，二a4二a? Q，即

24、佝 6)=佝 2)佝 T4), 解得 a2，所以 Sn = n(n 7). 2 5. B【解析】 fi(x)=x2在0,1上單調(diào)遞增，可得 f1(a1 f1(a0) 0 , f1(a2)- f1( B ) 0 ,，fi(a99 ) - fi (a98) 0 , - I1 f1( a1)- f1 (a0) 1 1 f1 (a2 ) - f1( a1)丨1 f1 (a99)- f1(a98)1 2 fjaj - 血0)+仙)- fjaj 右皚?)- f1(a98)=f1(a99)- fa。)=( ) -0=1 2 49 50 ),在0&上單調(diào)遞增，在-，1單調(diào)遞減 f2(aj - f2(a

25、。)0,f249)-f2(a48)0, f2(a50)-f2(a49)=0, f2 (a51 ) - f2 (a50)：； 0，,f2(a99)- f2(a98)： - 12 =| f2 (at) - f2 (a) | | f2 (a2) - f2 1) | . | f2 (a?9) - f2 (a98) | =f2(a49)- f2 (a0)- f2(a99 ) - f2(a50) =2 f2(a50)- f2 (a0 ) - f2 ( a99 ) =4 50(1蜀=9800 1 99 99 9801 1 24 50 74 25 49 75 - f3(x) |sin2二x|在0,上單調(diào)遞增，

26、在,1上單調(diào) 3 99 99 99 99 99 99 49 .兀、2“2需+2血 76-血、需+3血， -sin) ( ) 1 12 12 3 因此 12 ： I1 ： I3. 6. 27【解析】所有的正奇數(shù)和2n(nN*)按照從小到大的順序排列構(gòu)成 5 5 6 99 99 2 遞減，可 得 2 (2sin 3 an,在數(shù)列佝 S =1 ： 12a24 , 中, 25前面有 16 個(gè)正奇數(shù)，即a21 =2 , a38 =2 .當(dāng)n =1時(shí), 不符合題意；當(dāng)n =2時(shí)，S2 =3 ： 12a3 =36 ,不符合題意；當(dāng)n=3時(shí)， S3 =6 ：12a4 =48，不符合題意；當(dāng)n=4時(shí)，S4 =1

27、0 =：12a60，不符合題意; t , 21x(1+41) 2x(1_25) 當(dāng) n =26時(shí)，S26 = 441 +62= 503 12a28 =540,符合題 2 1-2 意故使得 & 12an,成立的n的最小值為 27. 7. 5【解析】設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為 a1，則a1 - 2015 =2 1010 =2020，所以a 5，故該數(shù)列 的首項(xiàng)為5 . 1 1 111 & 【解析】將a8 = 2代入an 1 ，可求得a7 ；再將a7 代入an d = 2 1 an 2 2 1 an 1 可求得a6 - -1;再將a6 - -1代入an 1 得a2 ；由此可知數(shù)列l(wèi)a是一個(gè) 1-

28、an 1 周期數(shù)列，且周期為 3，所以a, =a7二1 . 2 2 9. 64【解析】由a1 =1且印赴旦成等比數(shù)列，得 a1(a1 4d)二(印 d)，解得d =2 , 8x7 故 S8 =8a1 d =64. 2 10. 3 3【解析】設(shè) a2 =t，則 1 t q t 1 q2 t 2 1 , 所以q maxt, t 1,31 2，故q的最小值是3 3 . 2 k 2 k -1 k(k+4)(2)皿-皿十4)? 得 ；(k_1)Q10 11. 4【解析】由題意得 3 3 ，得 2 ， k(k 4)(|)k (k 1)(k 1 4)白1 k 10 L 3 3 因此k N*，所以k = 4.

29、 n 12. 【解析】 由條件知：an =(n-1)d,bn=2 . 因?yàn)?|an -bn 0 b1 對(duì) n=1 , 2, 3, 4 均成立， n 1 即 | (n T)d -2 | 1 對(duì) n =1, 2, 3, 4 均成立， 7 5 即 1 1, 1 d 3, 30 2d 5, 7 3d 9，得w d 3 2 13. 7 5 因此，d的取值范圍為,. 3 2 n 1 由條件知：an =d (n - 1)d ,bn = bq - 若存在d，使得|an bn |w a（n=2, 3,，m+1）成立, n i 即 |bi +(n- 1)d-bq$ bi(n=2, 3,，m +1), n c n丄

30、 即當(dāng) n =2,3, ,m 1 時(shí)，d 滿(mǎn)足q 玉乞衛(wèi) D . n_1 n_1 因?yàn)?q (1,m 2，則 1 ：qn1_qm _2 , n n丄 從而 q -b 0 , b1 0，對(duì) n =2,3j|,m 1 均成立. n _1 n _1 因此，取d =0 時(shí)，| an -bnla 對(duì) n =2,3，川，m 1 均成立. n 二 c n 丄 下面討論數(shù)列q -的最大值和數(shù)列衛(wèi)的最小值(n =2,3,H(,m1). n 1 n 1 n n nn nJ nnn 當(dāng) 2紳時(shí)，廠-jq -q -nq 2 = n(q q ) q 2 , 1 n(n -1) 1 當(dāng) 1 ：q 乞 2m 時(shí)，有 qn

31、3m 豈 2，從而 n（qn -qn）-qn 2 0 . n J. 因此，當(dāng)2豈nm J時(shí)，數(shù)列q 2單調(diào)遞增， n 1 n 1 m 故數(shù)列q 2的最大值為. n 1 m n(n -1) 設(shè) f(x)=2x(1x)，當(dāng) x 0 時(shí)，f(x)=(l n21xl n2)2x：0 , 所以 f（x）單調(diào)遞減，從而f （x） ： f（0） =1 . n q_ 當(dāng) 2_n_m 時(shí)，一眩 q n -1 1 q( n -1) - 1 1 2n(1 ) =f() ：1 , n n n n 1 因此，當(dāng)2 _ n _ mV時(shí)，數(shù)列-q 單調(diào)遞減, n 1 n 二 m 故數(shù)列q 的最小值為. n 1 m m m

32、因此，d的取值范圍為嚴(yán) 一2）単. m m 【解析】（I）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列 bn的公比為q . 由已知 b- +4 =12，得 b(q +q-) =12，而 b = 2，所以 q- +q6 = 0. (n)由 Xn = Xn 1 又因?yàn)閝 .0,解得q =2.所以，bn =2n. 由 6=84-2，可得 3d -3i = 8 . 由 S1 = 11b4，可得 a1 - 5d =16 ， 聯(lián)立，解得 厲=1 , d =3，由此可得an = 3n - 2. 所以，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an =3n -2，數(shù)列 bn的通項(xiàng)公式為b2n. (n)設(shè)數(shù)列a2nb2nJ的前n項(xiàng)和為T(mén)n，

33、由 a2n =6 n2 , b2n 二=2 4 ，有 a2n b2n j = (3 n-1) 4 , 故Tn =2 4 5 42 8 43 |)| (3n -1) 4n , 4=2 42 5 43 8 44 | (3n -4) 4n (3n -1) 4n 1 , 上述兩式相減，得 -3Tn =2 4 3 42 3 4|3 4n -(3n-1) 41 =-(3n _2) 4n 1 _8. 所以，數(shù)列a2nb2n的前n項(xiàng)和為 壯2 4n1 8. 3 3 14.解析】（I）用數(shù)學(xué)歸納法證明： Xn 0 當(dāng) n =1 時(shí)，x1 0 假設(shè)n =k時(shí)，xk 0 , 那么 n = k 1 時(shí)，若 xk d

34、w 0，則 0 ： xk = xk In(1 xk d) 0) 函數(shù)f(x)在0, ：)上單調(diào)遞增，所以 f (x) f (0) =0, 2 因此 Xn 1 -2Xn 1 (Xn 1 2)ln(1 Xn 1) = f (Xn 1) 0 故 2xn 1 - xn (川)因?yàn)?Xn 1 ln(1 Xn 1) 0 ,故 q=2 . 所以 an = 2n-1(n? N*).-2 2(丄-2) 0 2 Xn 2 Xn1 1 1 1 1 所以 2( ) Xn 2 Xn 1 2 Xn_j 2nJ(- -1)二 2 心 2 Xi Xn 15. 【解析】(I)由已知, Sn+1= qSn+ 1,Sn+2= qS

35、.+ 1 + 1, 兩式相減得到 an + 2 = qan+i, n? 1. (n)由(I)可知， an = q n- 1 所以雙曲線(xiàn) x2 2 _ 莒=1 的離心率 en = 1+ an2 an : 2(n- 1) =1+ q 由 q = . 1 + q2 = 解得 4 q=3 因?yàn)?1+q2(k-1) q 2(k-1)，所以.百 F k *1 * q (k? N). ei + 2 + 鬃? V 1+q + 鬃? n- 1 n q - q- + e2 + 鬃？ 3 n n 4-3 nn 3 16【解析】(I) 由題意有, 10a1 a12 45d =100 即$宀=20 Jap =2 解得

36、a1 a1 =9 或 2， d = 9 an bn =2n -1 =2心 an 或 bn = *(2 n 79) Q(|)n (n)由 d，1，知 an = 2n 1 , bn =2nJ，故 2n -1 尹， Tn / 3 J2 J3導(dǎo)山霽, -可得 1 . Tn =2 一 2 2n -1 _ 2n 3 故 Tn =6 一智3 2 17【解析】 Fn(X)= fn(X)- 2 =1 + x+x2+|(xn- 2,則 Fn(1)二n- 1 0, 2 n |M.2 -2= 1 1 -丄 2 1-丄 2 1 一2歹”0, 所以 Fn(x)在卩, 1內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn) 丿 Xn 又 Fn (x) =1

37、 2x Hlnxn4 0 ,故在-,1 內(nèi)單調(diào)遞增, 12丿 所以Fn(x)在(!,1)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn) Xn n+1 Fn(Xn)=0，即匕亠-2 = 0，故 1- Xn 設(shè)h(x) = fn(x)- gn(x) =1 + x + x +Hlxn 當(dāng) X =1 時(shí),fn(X)= gn(x) r , , * nn(n +1)x 當(dāng) x = 1 時(shí)，h(x)=1 2x | nx 2 若 0 x1,h (x) xn4 2xn4 III nxn4 - n n 1 xnJ 2 所以h(x)在(0,1)上遞增，在(1,上遞減, 所以 h(x)h(1) = 0，即 fn(x)gn(x). 綜上所述，當(dāng)

38、x=1 時(shí)，fn(X)二 gn(X)；當(dāng) X1 時(shí) fn(X) (X). 解法二 由題設(shè)，fn(x)=1+x + x +Hlxn,gn(x) 當(dāng) x = 1 時(shí),fn(X)二 gn(X)； 當(dāng)x式1時(shí)，用數(shù)學(xué)歸納法可以證明 fn(x)vgn(x) 1 2 當(dāng) n=2時(shí),f2(x)-g2(x) =-(1-x)2 0,所以 f2(x)g2(x)成立. 假設(shè)n二k(k 一 2)時(shí)，不等式成立，即fk(x) 0), 則 hk(x) =k(k 1)xk -k k 1 xk，=k k 1 xk(x-1). 所以當(dāng) 0 x1,hk(x) 0,hk(x)在(1,：)上遞增. 2x*1 + (k +1)x* +

39、 k +1 所以 hk(x) hk(1) = 0，從而 gk+1(x) () 2 故fk+1(x) gk+1 (x) 即n = k+1,不等式也成立. 所以，對(duì)于一切n_2的整數(shù)，都有fn(x) gn(x). 解法三：由已知，記等差數(shù)列為 等比數(shù)列為 心,k=1,2,，n 1 . 則 a1 = b1 = 1 , an+1 = bn+1 = xn , 當(dāng) x = 1 時(shí),ak=bk ,所以 fn(x) = gn(x). 當(dāng) x = 1 時(shí)，mk (x)二 _ nxn(k1)x2 二 k1 xk xn40 , n k11 . 若0 x1, xn-k+1 1,xn-k+1 1,mk(x) 0 ,n

40、所以 ak -1+ k-1 (2 乞k 乞 n),bk 令 mk(x)p21 k，八1 -宀 ,x 0(2 乞 k 空 n). fk+i(x) = fk(x)+x + 口譏1) = 0 , 所以當(dāng) x . 0 且 x = 1 時(shí),ak 0(2 乞 k 乞 n),又 ai = bi a+i = bn+i，故 fn(x) gn(x) 綜上所述，當(dāng) x=1 時(shí),fn(X)二 gn(x) ； 當(dāng) X = 1 時(shí) fn(X)2+ 丄( k。 3k0 1 3k0 1 K) 111 1 1 akn a k0 ( ) 1 k0 k。ka1 1 ka2 1 鈕心 1故數(shù)列bn /的通項(xiàng)公式為，bn = n n

41、1 (n N )； n 2+丄( 1 2亠 ko 2k。1 2k。1 2k。1 2ko 1 綜上，2+ 1 ak01：2 1 - 3k0+1 0 2k0+1 19.【解析】(I) d = 2, S| = ai, S2 = 2a1 d, S4 S,S2,S4 成等比.S； =SS4 解得 a1 =1,. an = 2n 1 壯1) l叩鉗 所以 a1a2a3HI an = 2 2 2 ，ko =4a1 6d, 1 1 1 1 1 當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí) Tn = (1 _) _ ( _) ( - _) 3 3 5 5 7 1 1 1 ( )-( -mi 2n-3 2n-1 2n-1 2n 1 _ 2n

42、 2 n 1 1 1 1 1 1 Tn =(1 ) -) (- -) 一川 1|1一 3 3 5 5 7 1 1 1 1 ( )( ) 2n-3 2n-1 2n-1 2n 1 2n 2 2n 12n 1 Tn =1 1 2n 1 當(dāng) n 為奇數(shù)Tn =1 Tn = 2n ,n 為偶數(shù) 2n +1 空,n 為奇數(shù) l2n +1 20.【解析】(I)由題意，a an 二 2 n N , b3-b2=6, b上2 知a3 = 2 8，又由 印=2，得公比q = 2 ( q - -2舍去)， 所以數(shù)列訂的通項(xiàng)公式為 an =2n(n 因?yàn)閍2n，是遞減數(shù)列，同理可得， a2n 十a(chǎn)2n V。故 (n)

43、(i)由(i)知，Cn 二丄-丄 1一 (n. N”), n an bn 2n 5 n +1/ 丿 所以 Sn 二一-/(n N ); n +1 2n (ii)因?yàn)?C| =0,c2 0,c3 0,c4 0 ； n 1 n-2 ：1 所以當(dāng)n _5時(shí)，Cn 0 , 綜上對(duì)任意n N ”恒有S4 _Sn，故k = 4 . 21. 【解析】 (i)因?yàn)?耳 是遞增數(shù)列， 所以 a. = a.卅aj = pn 而印=1， 因此又a1,2a2,3a3成等差數(shù)列，所以 4a2 = a1 3a3，因而3p2-p=0, 1 解得p , p = 0 3 1 當(dāng)p = 0時(shí)，a* 1二an，這與：an是遞增數(shù)列

44、矛盾。故 P = 一 3 ()由于Ca2nJ是遞增數(shù)列，因而a2n1-a2n4 0 ,于是 (a2n 1 一比“) (a2n a2n 4) 1 1 但辺舟尹，所以 a2n+1ErJV%a2n- 又，知，a2na2n4，0 ,因此 a2n _a2z =(*)2當(dāng)n _5時(shí), C (1)2n 1 an = ai (a2 - ai) (a3 - a2)(a n - an J) 22 -(冷嚴(yán) i2 (i)點(diǎn)(an,bn)在函數(shù)f(x) =2x的圖象上，所以2an，又等差數(shù)列的 所以八釘4=2. 又 ai = -2，所以 Sn = na + d = 2n + n2 n = n2 - 3n . 2 x

45、x (n)由f(x) =2= f (x) =2 ln2 ,函數(shù)f (x)的圖象在點(diǎn)(a2,b)處的切線(xiàn)方程為 y -b2 =(2a2ln2)(x-a2) 由，即知, an an (“)n1 2n 故數(shù)列 1 十一 (-1)n 2nd 訂鳥(niǎo)的通項(xiàng)公式為an 4 1 (-1)n _ 3 3 2nJ 22 【解析】 公差為 d，所以b bn 2an 1 -2%1 3n - 2d 2*n 因?yàn)辄c(diǎn) (a8,4b)f (x)的圖象上，所以4b7=2a8 bs, 所以切線(xiàn)在a2 從而a2 1 =2_ 1，故 a2=2 In 2 In 2 從而 an = n , bn 2n 1丄2丄3口 丄n 尹+ 2n 1

46、 2Tn 當(dāng)n /時(shí), (H)忖”冒 d 對(duì) -n N , m N 使 Sn 立，即 n (；-人=1 (m - 1)d 取得 1m_1)d , 2 1 T d ：0 , m ：2，又 m N , m =1 , d - -1. (川)設(shè)a“的公差為 d 令 h =a -(n - 1)a1 (2 - n)a，對(duì)-n - N , bn 1 - h = -a cn =(n -1)佝 d)，對(duì)-n N ,乩.-G P d 則 bn 3時(shí)，由于 n與 n-3奇偶性不同，即 n(n -3)非負(fù)偶數(shù)，mN 因此對(duì)-n，都可找到 m N ,使成立，即bn為“ H 數(shù)列”. Cn的前 n項(xiàng)和 R n(n21)(

47、a1 d)，令 G =(m -1)(勺 d)=農(nóng)，則 m 1 T 對(duì)-n N , n(n -1)是非負(fù)偶數(shù)， m N 即對(duì)-nN ,都可找到 m N “，使得 R =4 成立，即G為“ H 數(shù)列” 因此命題得證. 24.解析】(I)由 a1 = 2 , a2 a4 = 8所以冷弓諄冷閉 故Tn =2 _門(mén)2 1 n q 1 n q 2* - ？n 1 = 1 _ ?n _ 2* 訂=1 23【解析】(I 2n )當(dāng) n 2 時(shí)，an =Sn -Sm =2n -2J2ni n =1 時(shí)， S =3，當(dāng) n 2時(shí), Sn 二 ani , an是“ H 數(shù)列”. ln bn的前 n項(xiàng)和 Tn =nQ

48、 n(n -1) 2 (-aj，令=(2 -m)，則 m = n(n - 3) _2 f (x)二(an an .1 an 2 )x an .1 cosx-an .2 sin x f (x)二 a* -an .1 a* 2 - a* 1 sin x - a* .2 cosx f(2)n -an 1 an 2 -an 1 = 0 所以，2an1.=an - an 2 an是等差數(shù)列. 而 q =2 , a3 =4 , d =1, . an =2 - ( n-1) 1 = n 1 , 1 1 1 (n) bn =2(an 幣)=2(n1 百)=2(n，1) 了 2 n 2 2 1 1 _(1 1)

49、 2 ( 2 n 1)n 2 2n Sn n 亠 1-1 2 1 二 n( n 3) 1-飛 2n 2 1 =n2 3 n 1- 2n 2 2 i 1 25.【解析】(i)當(dāng) n =1 時(shí)，4印=a? -5, a? = 4印 5 , an - 0 a2 = J4ai - 5 (n)當(dāng)門(mén)一2時(shí)，4Sn二a； -4 n -1 ；1, 4% = 4Sn -4Sn=a* 1 -an -4 2 2 2 a* a* 4a* 4= a* 2 a* O a* a* 2 當(dāng)*一2時(shí)，laj是公差d = 2的等差數(shù)列. 2 2 a2,a5,a14 構(gòu)成等比數(shù)列， a 二 a： , a： 8 i； a： 24，解得

50、 a3, 由(i)可知，4ai = a； -5=4, q = 1 ：a2 -a1 =3-1 = 2 lan ：是首項(xiàng)印=1,公差d =2的等差數(shù)列 -數(shù)列 咕,的通項(xiàng)公式為a* =2n-1. (出) 1 aa2 + nr anan 1 丄.丄.丄 1 3 3 5 5 7 +IU + 2n -1 2n 1 1 2 2 3 2 a-1 q a q a q , f a1 二 3, 即 2 解得 ； 即(1 +q +q ) =_18, =-2. 故數(shù)列%的通項(xiàng)公式為 an =3（/）2 . 2 f 1 ) f1 1 ) 1 W 1 1 + - +1 3 丿 13 5 丿 15 7 丿 J2n-1 2n

51、 +1 丿 1 一丄 1. I 2n 1 2 26.【解析】（I）設(shè)數(shù)列an的公比為q，則 a-0 , q=0.由題意得 （n）由（I）有 咔n. 若存在 n，使得 5 _2013， 則 1 -(-2)n _2013，即(-2)n 2012. 當(dāng) n為偶數(shù)時(shí), （劉0， 上式不成立; 當(dāng) n為奇數(shù)時(shí), (_2)n - _2n -2012，即 2n _2012，則 n _11. 綜上，存在符合條件的正整數(shù) n ,且所有這樣的 n的集合為n n =2k 1, N, k 丄 5. Sn * 二 ,n N ,又由題 n bn = = a、 - d , - bn - - bn d , n 2 2 -J

52、二bn是等差數(shù)列，首項(xiàng)為 a，公差為一，(d式0), 2 27.【證明】（I）若C=0，則bn b4成等比數(shù)列, = db4，二(a+牛)2 =a(a+乎)，二 ad 3d * 2丿， -Sn 2 Snk =(nk) a = n 2k2 2 2 2 a, n Sk = n k a , - Snk 二 n2Sk (k,n N ). (n)由題bn二芋 J n +c 2 2，2 爲(wèi)駕問(wèn) ， 若bn是等差數(shù)列, S2 -S4 =Sg -S2, a2 a3 a4 = -18, 1 2 則可設(shè) bn =x +yn , x, y 是常數(shù)，n 2a：(n 1)d 2(n +c) 整理得：(d -2y)n3

53、(2a -d -2x)n2 -2cyn-2cx 二 0 關(guān)于 n N 恒成立. d-2y =0,2a-d-2x =0,2cy =0,2cx = 0 , d =2y =0,2a-2x =d,cy = 0,cx = 0二x yn關(guān)于n N恒成立. 5a 10d =105, a1 9d =2(a1 4d), 解得 ai =7,d =7 , 所以通項(xiàng)公式為 an 7 (n _1) 7 =7 n . (n)由 an =7 n 乞 72m，得 n 72mJ，即 bm =72m 罟八, bk 7 - 二bm是公比為 49 的等比數(shù)列, sm=7(149m)(49m _1). 149 48 29.【解析】(I

54、)由題意得 a1 =2000(1 50%) -d =3000 -d , 3 aa1(1 50%) -d a1 -d , 2 3 an 4 = an(1 50%) -d an -d . 2 3 (n)由(【)得 an an -d 2 3 2 3 七)務(wù)2-和-d 2 2 3 3 /3、n4 .蟲(chóng)丄3 丄 / 3 2 丄lid 丄 / 3、n-2 =(2)a _d 1 2 q 山 q 整理得 十(I)%00。(|)nr = (3)n4(3000 -3d) 2d . 2 由題意, 3 an =4000,. ( )nJ1(3000 -3d) 2d =4000, 2 解得d = (外2 1000 100

55、0(32-) 3n _2n 28.【解析】（I）由已知得: 9 故該企業(yè)每年上繳資金 n n：1、 d的值為繳1000(3 2 )時(shí)，經(jīng)過(guò)m(m _ 3)年企業(yè)的剩余資 3 -2 金為 4000 元. 2 30.【解析】(I)由Sn = 2n n，得 當(dāng) n=時(shí)，ai = S( =3 ； 當(dāng) n _2 時(shí)，an=Sn-Sn=2n2 n |2(n-1)2 (n-1)=4n-1, n N 由 an = 4log 2 bn 3，得 bn = 2n -1 , n N . (n)由(1)知 anbn =(4n -1) -2nJ, n N 所以 Tn =3 7 2 11 22 4n-1 -2nJ, 2Tn

56、 =3 2 7 22 11 23 4n-1 2n, 2Tn -Tn -i4n -1 2n -3 4(2 22 . 2n) = (4n -5)2n 5 Tn =(4n -5)2n 5, n N 31.【解析】：(I)由 a3+a4+a5=84, a5=73 可得 3a4 = 84, a4 = 28,而 a9=73，則 5d = a9 - a4 二 45, d = 9 , a1 = a4 - 3d = 28 - 27 = 1, 于是 an =1 + (n _ 1) x9 =9n _8，即 an = 9n _8. (n)對(duì)任意 m N *, 9m 9n 8 ： 92m，則 9m 8 - 9n ： 9

57、2m 8 , 即 9m4 8 n 92mJ 8，而 n N*，由題意可知 bm =92m-9m, 9 9 于是 Sb1 - b2 b91 93 .92mJ -(90 91 9mJ) 2m 1 m 2m 1 m 2m 1 m 2m 1 m =9-9 _ 1 _9 = 9 -9 9 -1 _ 9 -10 9 1 _ 9 1 9 1 -92 1 -9 80 8 80 80 8 即Sm80 綜上：q = 1故an = a1，所以1 ： a1 , 2. 所以 a1 = 2 . 又 bn 十 an +0%岀=(2)n +1 , 當(dāng) n - 1 時(shí),a1 2a - _1,由 a1 - 2,可得 a233.【

58、解析】（I）由 0 二 2 ,n 可得bn _ 2,n為奇數(shù), .1,n為偶數(shù)， an bn 32.【解析】（i）由題意知 a = Ja； +bn bn 1 bn ，從而 bnH1 gn申J nb 2i 所以數(shù)列IR ila =1( n N ) ian 是以 1 為公差的等差數(shù)列. 2 (n) an 0, bn 0 所以,a2 b2 2 :(an bn), 從而 1 a2 b22 , n n (*) 設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由an 0,知q 0,下證q = 1 . bn 若 q 1，則 a1 二魚(yú)：:a?, 、2 故當(dāng) n logq 二,an 1 = a1qn q - a1 2，與（*）矛盾

59、; 若 0 : q : 1，則 a1 a2 a2 1 .故當(dāng) n logq q 1 n 一 ,an 1 二 aiq ai ：1，與（* ）矛又bn .2叢二遼bn，所以bn是以公比為 an a1 則1,于是d“2也，又由 a1 所以b1,b2,b3中至少有兩項(xiàng)相同，矛盾. 2 的等比數(shù)列, a1 比 a1 土 a2強(qiáng) a12 - bn2，n N，得 bn = a1 bn a； -1 所以 a1 _ a1 2 - a1 a 2，從而 bn - 了 二、2 , a： 3； 2； bn 1 1 an 1上 an bn 當(dāng) n = 2 時(shí),2a2 a3 = 5,可得 a3 二 8. （n）證明：對(duì)任意 n N 2n 1 a2n 1 2a2n = -2 - 1 2a2n a2n 1 =22n 1 =3 22