2010年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試全國Ⅰ卷

1、2010 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(全國I卷)文科數(shù)學(必修+選修)本試卷分第 I 卷(選擇題)和第n卷(非選擇題)兩部分。第 I 卷 1 至 2 頁。第n卷 3 至 4 頁。考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。第 I 卷注意事項：1.答題前，考生在答題卡上務必用直徑 0.5 毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準考證號填寫清楚，并貼好條形碼。請認真核準條形碼上的準考證號、姓名和科目。2每小題選出答案后，用2B 鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，在試題卷上作答無效.。3第 I 卷共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分。在每小題給出的四

2、個選項中，只有一項 是符合題目要求的。球的表面積公式S = 4二R2其中 R 表示球的半徑球的體積公式如果事件 A 在一次試驗中發(fā)生的概率是p，那么n次獨立重復試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率R(k)二C：pk(1-p)z(k =0,1,2,n)一、選擇題(1)cos300 =(A) -仝(B)-1(C)-(D)322 221.C【命題意圖】本小題主要考查誘導公式、特殊三角函數(shù)值等三角函數(shù)知識【解析】1 cos300 = cos360 - 60= cos60 -2設全集U 1,2,3,4,5 1,集合M一1,4?,N一1,3,5?，則N一q M =A.d,3?B. 1,5?C. 3,5?D.4,

3、5：2.C【命題意圖】本小題主要考查集合的概念、集合運算等集合有關知識【解析】e)M .2,3,5?,N亠1,3,5?，則NQ M嚴1,3,5廠2,3,5? =：3,51參考公式：如果事件A、B互斥，那么P(A B) =P(A) P(B)如果事件A、B相互獨立，那么P(A_B)二P(A)_P(B)V =3二R34其中 R 表示球的半徑y(tǒng) 1,I若變量x, y滿足約束條件x y _ 0,則 z = x - 2y 的最大值為x - y - 2 0,(A)4(B)3(C)2(D)13.B【命題意圖】本小題主要考查線性規(guī)劃知識、作圖、識圖能力及計算能力一1 1【解析】畫出可行域(如右圖)，z=x-2y

4、= y xz，由圖可知，當直線l經(jīng)過點2 2A(1,-1)時，Z 最大，且最大值為Zmax=1-2 (-1)=3.y = xo:x-2y =0A x-y-2=o(4)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an，a1a2a3=5，a7a8a9=10，則a4a5a6=(A)5、2(B) 7(C) 6(D)4、24.A【命題意圖】本小題主要考查等比數(shù)列的性質、指數(shù)幕的運算、根式與指數(shù)式的互化等知識，著重考查了轉化與化歸的數(shù)學思想【解析】由等比數(shù)列的性質知qa2a3=二a；= 5，1a7a8a9 (a7a9)-a as=10,=10,所a?a8 =5。3, ,1所以弘鬼比=(a4a6)込=a5 =( .a2a8)

5、=(506) =5、2(5)(1-X)4(1 - G)3的展開式x2的系數(shù)是(A)-6(B)-3(C)0(D)35.A.【命題意圖】本小題主要考查了考生對二項式定理的掌握情況，尤其是展開式的通項公式的靈活應用，以及能否區(qū)分展開式中項的系數(shù)與其二項式系數(shù)，同時也考查了考生的一些基本運算能力.【解析】(1 x)4(1 - )3=(1 4x + 6x24x3x4) 1 3x2+3x x22x的系數(shù)是 -12+6=-6直三棱柱ABC ABCi中，若NBAC = 90,AB = AC = AA，則異面直線BA與AG所成的角等于(A)30 (B)45 (C)60 (D)90 6. C【命題意圖】本小題主要

6、考查直三棱柱ABC - ABiG的性質、異面直線所成的角、異面直線所成的角的求法.【解析】延長 CA 至 U D，使得AD二AC，貝 VADAC1為平行四邊形， DAB就是異面直 線BA,與AG所成的角，又三角形ADB為等邊三角形，二 NDAiB = 60已知函數(shù)f (x) =| lg x |.若a = b且，f (a) = f (b)，則a b的取值范圍是(A)(1,：)(B)1,：)(C)(2,：)(D)2,：)7. C【命題意圖】本小題主要考查對數(shù)函數(shù)的性質、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的值域，考生在做.一一 .一 .、 . .1本小題時極易忽視 a 的取值范圍，而利用均值不等式求得a+b=a-

7、2,從而錯選 D,這也a是命題者的用苦良心之處.1 1【解析 1】因為 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以 a=b(舍去)，或 b ，所以 a+b= a aa1又 0ab，所以 0a1f(1)=1+1=2,即 a+b 的取值范圍是(2,+).0 a：10：x：1【解析 2】由 0ab,且f(a)=f(b)得：1 b，利用線性規(guī)劃得：1：y，化為求ab =1xy二11一z = x . y的取值范圍冋題，z=xy=. y = -xz,yy=_x12”：T=過點1,1x時 z 最小為 2, (C)(2,：)2 2 0(8)已知R、F2為雙曲線 C:x -y 1的左、右焦點，點 P

8、在 C 上，/F|PF2=60,|PF HPF2F(A)2(B)4(C) 6(D) 88.B【命題意圖】本小題主要考查雙曲線定義、幾何性質、余弦定理，考查轉化的數(shù)學思想, 通過本題可以有效地考查考生的綜合運用能力及運算能力【解析 1】由余弦定理得2 2 2COSZ F1PF2=|PF1|PF2|-|F1F2|PFiIJPF2 | =4【解析 2】由焦點三角形面積公式得:|Ph |JPF22IPF1IIPF2I2 2=込600-(門1】圧1)+2引護卜|證|二21222 PF1PF2- 2 22PFi|PF22PFiPF22日2SPF?=b cot 1 cot型=73jpF1|PF2sin602

9、 232【解析 2】設上下底面的中心分別為0-0；010與平面ACD-i所成角就是BB1與平面(9) 正方體ABCD-AEGU中，BB1與平面ACD1所成角的余弦值為(A)(B)仝3(D)蘭39.D【命題意圖】本小題主要考查正方體的性質、直線與平面所成的角、點到平面的距離的求法，利用等體積轉化求出 D 到平面 ACD1的距離是解決本題的關鍵所在,這也是轉化思想的具體體現(xiàn).【解析1】 因為Ci面 ACACD1所成角相等，設 DO 丄平面ACACD1，由等體積法得11VD ACDVD1ACD，即3S.ACD1DO =3 S.AcDDD1.DD1=a，SACDl=1 AC AD1sin60SA C

10、D-DD_SA C1D.3匚3 a,記DD1與平面1*ODOACACDi所成角為sinDD1呼所以COS36ACD1BiAiD1CB即x4-(y)x2- y=0，由x2是實數(shù)，所以鬥-(1 y)2-4 1 (-y) - 0,y26y 1 - 0,解得y一-3 - 2.2或y一-3 2.2.故(PAPB)min- -3 2 2.此時x所成角，cos/OQDj二OQOD1=1/1(10)設a =log32,b = In2,c = 5則(A) a : b : c (B) b：c : a (C) c : a b (D) c : b：a10.C【命題意圖】本小題以指數(shù)、對數(shù)為載體，主要考查指數(shù)函數(shù)與對數(shù)

11、函數(shù)的性質、實 數(shù)大小的比較、換底公式、不等式中的倒數(shù)法則的應用1 1【解析 1 】a=log32=, b=In2=,而log23 log2e 1,所以 ab,log23log2e丄1c=52=,而.52 = log24 log23所以 ca,綜上 cab.V5【解11e 3a=log32=3,b=ln2=-,1：log2: log2：2,1c=521cab2(11)已知圓O的半徑為 1，PA PB 為該圓的兩條切線，AB 為兩切點，那么PAPB的最小值為(A)-42(B)-3、2(C)-4 2.2(D)-3 2 211.D【命題意圖】法一一判別式法本小題主要考查向量的數(shù)量積運算與圓的切線長定

12、理，著重考查最值的求,同時也考查了考生綜合運用數(shù)學知識解題的能力及運算能力2aaiB*aaa a* .!(u 1【解析 2】設.APBQ二，PAPB二PA PBco*二1/ta門cox2 * 2一【解析 3】建系：園的方程為x y,設A(,y1), B(x1y1),P(x0,Q),2 2 2PAPB-心 花XQ, -i=X1-2x1x0XQy122AO PA= 0% N -XQ, % i=Q= X1-XQ討1=Q= XQ=1 222 22工222jPAPB二x-i-2x1x0 xQ- y-i=為-2 xQ- 1- 捲=2為xQ-3 _ 2 . 2 - 3(12)已知在半徑為取大值為2 的球面上

13、有 A、B C、D 四點，若 AB=CD=2 則四面體 ABCD 勺體積的2運(A)(B)心(C)2 3(D)8.333312.B【命題意圖】本小題主要考查幾何體的體積的計算、球的性質、異面直線的距離，通過球這個載體考查考生的空間想象能力及推理運算能力【解析】過 CD 作平面 PCD 使 AB 丄平面 PCD,交 AB 與 P,設點 P 到 CD 的距離為h,則有V四面體ABCD二1212 h=?h,當直徑通過 AB 與 CD 的中點時，hmaxr2.22-122.3,故323注意事項：2二cos 2.2二sin -21 2si n2?I 2丿1-si n21 -2si n22.丿2 .sin

14、 -2換元：x = sT-*221 -x 1 -2xPAPB2x1-3 _2.2一3x321答題前，考生先在答題卡上用直徑Q.5 毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準考證號填寫清楚，然后貼好條形碼。請認真核準條形碼上的準考證號、姓名和科目。2第n卷共 2 頁，請用直徑 Q.5 毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，在試題卷上作答無效。3.第n卷共 10 小題，共 90 分。二填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分把答案填在題中橫線上.(注意：在試題卷上作答無效 )x _2(13)不等式 r0的解集是x +3x +213. lx-2 x2【命題意圖】本小題主要考查不等

15、式及其解法得：x_2cxv1,或x23(14)已知為第二象限的角，sina,則tan 2二.52414.【命題意圖】本小題主要考查三角函數(shù)值符號的判斷、同角三角函數(shù)關系、和角的7正切公式，同時考查了基本運算能力及等價變換的解題技能34sin a【解析】因為 二為第二象限的角，又si n=-，所以cos=-一，tan=55cosa(15)某學校開設 A 類選修課 3 門，B 類選修課 4 門，一位同學從中共選程中各至少選一門，則不同的選法共有 _種.(用數(shù)字作答)15.A A【命題意圖】本小題主要考查分類計數(shù)原理、組合知識，以及分類討論的數(shù)學思想. .【解析 1】：可分以下 2 2 種情況:(1

16、)A:(1)A 類選修課選 1 1 門,B,B 類選修課選 2 2 門，有C；C：種不同的選法;(2)A;(2)A 類選修課選 2 2 門,B,B 類選修課選 1 1 門, ,有C：C4種不 同的選法所以不同的選法共有cfci+ +cfc18 + 12 =30種. .【解析 2 】:C；-C；-C：=30(16)已知F是橢圓C的一個焦點，B是短軸的一個端點，線段BF的延長線交C于點D，且uuuirBF二2FD，貝V C的離心率為._16.3【命題意圖】本小題主要考查橢圓的方程與幾何性質、第二定義、平面向量知識，【解x -22x 3x 2x2 0= x -2 x 2 x 0，數(shù)軸標根所tan（2

17、：）2ta n :1 -tan2：243 門，若要求兩類課3考查了數(shù)形結合思想、方程思想，本題凸顯解析幾何的特點： “數(shù)研究形，形助數(shù)”，利用幾何性質可尋求到簡化問題的捷徑 .【解析 1】如圖，| BF |= . bcSa,uur unr作DU _ y軸于點 Di,則由BF =2FD，得1OF1.LBLL2,所以si箝OF|2,|DD1| |BD| 3226 小題，共 70 分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.（17）（本小題滿分 10 分）（注意：在試題卷上作答無效）記等差數(shù)列1a的前n項和為Sn，設S3= 12，且2印代，&3 1成等比數(shù)列，求Sn.（18）（本小題滿分 12

18、 分）（注意：在試題卷上作答無效）已知VABC的內(nèi)角A,B及其對邊a,b滿足a a cot A b cot B，求內(nèi)角C（19）（本小題滿分 12 分）（注意：在試題卷上作答無效 ）投到某雜志的稿件，先由兩位初審專家進行評審.若能通過兩位初審專家的評審， 則予以錄用；若兩位初審專家都未予通過，則不予錄用；若恰能通過一位初審專家的評 審，則再由第三位專家進行復審，若能通過復審專家的評審，則予以錄用，否則不予錄 用設稿件能通過各初審專家評審的概率均為0.5，復審的稿件能通過評審的概率為0.3 .各專家獨立評審.（I）求投到該雜志的 1 篇稿件被錄用的概率；x3C，由橢圓的第二定義得2a23c3c2

19、|FDr訂七又由|BF| =2|FD |,得a =2a3c2、3，二e二【解析 2】設橢圓方程為第一標準形式2 2x V2=1，設D X2,V2，F(xiàn) 分 BD 所成的比為 2,a b0 2x2- -1 2 b 2y2V23yc- b 3 0 - b2一2代入94 a24 b21,三解答題：本大題共（II） 求投到該雜志的 4 篇稿件中，至少有 2 篇被錄用的概率.(20)(本小題滿分 12 分)(注意：在試題卷上作答無效 )女口圖，四棱錐 S-ABCD 中，SD 丄底面 ABCD AB/DC, AD 丄 DC, AB=AD=1 DC=SD=2 E 為棱 SB 上的一點，平面 EDC_平面 SB

20、C .(I)證明：SE=2EB(H)求二面角 A-DE-C 的大小(21)(本小題滿分 12 分)(注意：在試題卷上作答無效)已知函數(shù)f (x) =3ax4-2(3a 1)x24x1(I )當a時，求f (x)的極值；6(Il )若f (x)在-1,1上是增函數(shù)，求a的取值范圍(22)(本小題滿分 12 分)(注意：在試題卷上作答無效)已知拋物線C:y2=4x的焦點為 F,過點K(-1,0)的直線l與C相交于A、B兩點,500點 A 關于X軸的對稱點為 D .(I)證明：點F在直線BD上；(n)設FA_FB二一，求:BDK的內(nèi)切圓M的方程三，解答題：接答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。(1

21、7) 解:(1)由am=ai+ (n-1) d 及 ai=5，Ow=9 得ai+2d=5-ai+9d=-9解得 ai=9數(shù)列am的通項公式為 an=11-2n2因為 Sm=(n-5) +25.所以 n=5 時，Sm 取得最大值。(18)解:(1)因為 PH 是四棱錐 P-ABCD 的高。所以 AC 丄 PH 又 ACL BD,PH,BD 都在平面 PHD 內(nèi),且 PHP BD=H.所以 ACL平面 PBD故平面 PAC 平面 PBDn(n-1)2(2)由(1) 知 Sm=nai+ ?d=10n-n(2)因為 ABCD 為等腰梯形，AB - CD,AC BD,AB= .6 6.所以 HA=HB=

22、 ,3.因為 APB= ADR=60所以 PA=PB= ,6,HD=HC=1.可得 PH.3.等腰梯形 ABCD 的面積為 S= AC x BD = 2+7373.9 分所以四棱錐的體積為 V=x.12 分3 33 3(19)解：(1)調(diào)查的 500 位老年人中有 70位需要志愿者提供幫助，因此該地區(qū) 老年人中需要幫助的老年人的比例的估計值為衛(wèi)=14%.4分5002500 (40 270 -30 160)(2)k200 300 70 430由于9.967 . 6.635所以有 99%的把握認為該地區(qū)的老年人是否需要幫助與 性別有關8分(3)由于(2)的結論知，該地區(qū)的 老年人是否需要幫助與性別

23、有關，并 且從樣本數(shù)據(jù)能看出該地區(qū)男性老年人與女性老年人中需要幫助的比例有明顯 差異,因此在調(diào)查時，先確定該地區(qū)老年人中男，女的比例，再把老年人分成男，女兩 層并采用分層抽樣方法比采用簡單反隨即抽樣方法更好(20) 解：(1)由橢圓定義知AF2+亡応一又2 AB二AF、得AB一223L 的方程式為 y=x+c,其中 c= . 1-b2設 A,(x1,y1),B(x1,y1)則 A,B 兩點坐標滿足方程組一 y=x+cx2+b =12 2 2化簡得(1+b )x +2cx+1-2b =0-2c1-2b2貝UX1+X2=1+b2.X1X2=+b2(2)4.2 1x2 x13(21)解：1rx1(I)a二一時，f(x)=x(e -1) x2 2x 三 i , T 時f (x);當 x 三 i 1,0 時，f (x)：0;當 i0,：時，f (x)0。故f(x)在-:：,-1 ,0：單調(diào)增加，在(-1, 0)單調(diào)減少。(n) f (x) =x(xa1 _ax)。令 g(x) = xa1 _ ax，貝 U g(x) =ex_ a。若a