2010年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(浙江卷)數(shù)學(xué)理解析

1、 2010年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(浙江卷) 數(shù)學(xué)理解析 .選擇題：本大題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分。在每小題給出的四項中，只有一項是符合題目要求 的。 (1 )設(shè) P= x | x4 ,Q= x | X24? ( B) k 5? (C) k 6? ( D) k 7? 解析：選 A,本題主要考察了程序框圖的結(jié)構(gòu)， 以及與數(shù)列有關(guān)的簡 單運算，屬容易題 (3)設(shè)Sn為等比數(shù)列 G詁勺前n項和，832 3 0 ,則S5 = (A ) 11 ( B) 5 ( C) -8 ( D) -11 解析：解析：通過 8a2 a5 = 0，設(shè)公比為q，將該式轉(zhuǎn)化為8a2 a2q3 =0，

2、解得q =-2，帶入所求式可 知答案選 D，本題主要考察了本題主要考察了等比數(shù)列的通項公式與前 n項和公式，屬中檔題 兀 ” 2 (4)設(shè) 0vxv ，貝V xsin X1 是 Xsin xv1”的 2 (A)充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件 (C)充分必要條件 (D )既不充分也不必要條件 解析：因為 0 X v ，所以 sinx v 1，故 xsin2x v xsinx，結(jié)合 xsin2X與 xsinx 的取值范圍相同，可知答案選 2 B，本題主要考察了必要條件、充分條件與充要條件的意義，以及轉(zhuǎn)化思想和處理不等關(guān)系的能力，屬中檔 題 (5)對任意復(fù)數(shù)z=x yi x,yR , i為

3、虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是S-2S+k (第2題) () z z =2y (B) z2 =x2 + y2 (C) z Z Z2x (D) z 2y , 故 C 錯，D 項正確。本題主要考察了復(fù)數(shù)的四則運算、共軛復(fù)數(shù)及其幾何意義，屬中檔題 () 設(shè)I，m是兩條不同的直線， 二是一個平面，則下列命題正確的是 (A)若 I _ m, m 二：乂，則 I _ (B)若 I _ ： ， I/ m，則 m _ (C)若 I/ :，m 二輕，則 I/ m (D)若 I/ : , m/ ：,則 1 m 解析：選 B,可對選項進行逐個檢查。本題主要考察了立體幾何中線面之間的位置關(guān)系及其中的公理和判 定定理，也

4、蘊含了對定理公理綜合運用能力的考察，屬中檔題 x 3y -3 _ 0, (7) 若實數(shù)x，y滿足不等式組丿2x-y-3蘭0,且x + y的最大值為 9，則實數(shù)m = x my十豬0, (A ) -2 ( B) -1 ( C) 1 (D) 2 解析：將最大值轉(zhuǎn)化為 y 軸上的截距，將 m 等價為斜率的倒數(shù)，數(shù)形結(jié)合可知答案選 C,本題主要考察了 用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及簡單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題 2 2 (8) 設(shè) R、F2分別為雙曲線 與-2=1(a0,b0)的左、右焦點.若在雙曲線右支上存在點 P，滿足 a b PF2 = F1F2 ,且F2到直線PF1的距離等于雙曲線

5、的實軸長，則該雙曲線的漸近線方程為 (A) 3x 二 4y=0 (B) 3x 二 5y=0 (C) 4x 二 3y = 0 (D) 5x 二 4y=0 解析：利用題設(shè)條件和雙曲線性質(zhì)在三角形中尋找等量關(guān)系，得出 a 與 b 之間的等量關(guān)系，可知答案選 C, 本題主要考察三角與雙曲線的相關(guān)知識點，突出了對計算能力和綜合運用知識能力的考察，屬中檔題 (9) 設(shè)函數(shù)f(x) =4sin(2 x，1)-x，則在下列區(qū)間中函數(shù) f (x)不存在零點的是 (A)-4,-21 ( B)-2,0 1 (C)0,21 (D) 1.2,4 1 解析：將f x的零點轉(zhuǎn)化為函數(shù) g x =4sin 2x 1與h x二

6、x的交點，數(shù)形結(jié)合可知答案選 A，本題主 要考察了三角函數(shù)圖像的平移和函數(shù)與方程的相關(guān)知識點，突出了對轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的考察，對 能力要求較高，屬較難題 (10) 設(shè)函數(shù)的集合(A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10 1 1 解析：當(dāng) a=0,b=0;a=0,b=1;a= ,b=0; a= ,b=1;a=1,b=-1;a=1,b=1 時滿足題意，故答案選 B ,本題主要考察了 2 2 函數(shù)的概念、定義域、值域、圖像和對數(shù)函數(shù)的相關(guān)知識點，對數(shù)學(xué)素養(yǎng)有較高要求，體現(xiàn)了對能力的考 察，屬中檔題 二、填空題：本大題共 7 小題，每小題 4 分，共 28 分。 (11)函數(shù) f(x)二s

7、in(2x )-2、2sin2x 的最小 4 正周期是 解析：f(x) = sin 2x+ 2 I - 4 2故最小正 周期為n，本題主要考察了三角恒等變換及相 關(guān)公式，屬中檔題 (12)若某幾何體的三視圖(單位： cm)如圖所示, 則此幾3 cm 解析：圖為一四棱臺和長方體的組合體的三視圖，由卷中所給公式計算得體積為 144,本了對三(13)設(shè)拋物線y2 =2px(p 0)的焦點為F，點 A(0,2).若線段FA的中點B在拋物線上, 則B到該拋物線準(zhǔn)線的距離為 解析：利用拋物線的定義結(jié)合題設(shè)條件可得出 p 的值為 2 , B 點坐標(biāo)為(/ ,)所以點 B 到拋物線 4 準(zhǔn)線的距離為3 .2，

8、 本 p = f(x) =log2(x+a) +b a =丄,0丄1;13 = 1,0, 2 2 平面上點的集合 I 1 1 Q =x, y) x = -20, 21； y = 1,0,1j， 則在同一直角坐標(biāo)系中， P中函數(shù)f (x)的圖象恰好經(jīng)過Q中兩個點的函數(shù)的個數(shù)是 iE視 1 1 (14)設(shè) n_2,n N,(2x )n _(3x )n 2 3 2 n 二 ao aix a2X 亠 亠anx , 將ak (0蘭k蘭n)的最小值記為Tn，貝 U 所以 sinC= 10 4 11 11 T2 =0,T3 二尹一壬幣=0,T5 二尹-尹,Tn, - 其中Tn= _ . 解析：本題主要考察了

9、合情推理，利用歸納和類比進行簡單的推理，屬容易題 (15 )設(shè)a1,d為實數(shù)，首項為a1，公差為d的等差數(shù)列an?的前n項和為&，滿足S5S6 T5 = 0, 則d的取值范圍是 _ . 解析： (16) 已知平面向量，：(驀土0,用二卜)滿足一：=1，且：與 F ：的夾角為 120 貝 U |叫的取值范圍是 _ . 解析：利用題設(shè)條件及其幾何意義表示在三角形中，即可迎刃而解，本題主要考察了平面向量的四則運算 及其幾何意義，突出考察了對問題的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)形結(jié)合的能力，屬中檔題。 (17) 有 4 位同學(xué)在同一天的上、下午參加 身高與體重”、立定跳遠”、肺活量”、握力”、 臺階”五個項目的

10、測試，每位同學(xué)上、下午各測試一個項目，且不重復(fù) 若上午不測握 力”項目，下午不測 臺階”項目，其余項目上、下午都各測試一人 則不同的安排方式共 有 _ 種(用數(shù)字作答) 解析：本題主要考察了排列與組合的相關(guān)知識點，突出對分類討論思想和數(shù)學(xué)思維能力的考察，屬較難題 三、解答題：本大題共 5 小題共 72 分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。 1 (18) (本題滿分 14 分)在厶 ABC 中，角 A、B、C 所對的邊分別為 a,b,c,已知COS2C =-一 4 (I)求 sinC 的值； (n )當(dāng) a=2, 2sinA=sinC 時，求 b 及 c 的長. 解析：本題主要考察三角變

11、換、正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識，同事考查運算求解能力。 2 1 (I)解：因為 cos2C=1-2sin2c= ，及 0v C vn 4 I a c (n)解：當(dāng) a=2, 2sinA=sinC 時，由正弦定理 ，得 si nA si nC c=4 2 1 由 cos2C=2cos C-仁 ,J 及 ov Cv n 得 4 cosC= - 4 由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC，得 b2 .6 b-12=0 解得 b=、, 6或 2 6 所以b= 76 卩=屈 c=4 或 c=4 (19) (本題滿分 14 分)如圖，一個小球從 M 處投入，通過管道自 上而下落 A 或 B 或 C

12、o已知小球從每個叉口落入左右兩個 管道的可能性是相等的. 某商家按上述投球方式進行促銷活動，若投入的小球落 到 A, B, C,則分別設(shè)為1, 2, 3 等獎. (I)已知獲得 1, 2, 3 等獎的折扣率分別為 50 %, 70%, 90 %記隨變量 為獲得 k(k=1,2,3)等獎的折扣 率，求隨機變量 的分布列及期望 E ； (II)若有 3 人次(投入 l 球為 I人次)參加促銷活動，記隨機 變量 為獲得 1 等獎或 2 等獎的人次，求 P( =2). 解析：本題主要考察隨機事件的概率和隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期 望、二項分布等概念，同時考查抽象概括、運算求解能力和應(yīng)用意 識。 (I )

13、解：由題意得E的分布列為 E 50% 70% 90 % P 3 3 7 16 8 16 小 3 3 7 3 則 E E 二一X 50% + X 70% + 90% 二一. 16 8 16 4 3 3 9 (n)解：由(i)可知，獲得 1 等獎或 2 等獎的概率為 + 3=. 16 8 16 9 由題意得n(3, ) 16 則 P ( n =2) =Cf( )2(1- )= . 16 16 4096 (20) (本題滿分 15 分)如圖， 在矩形ABCD中，點E,F分別 2 在線段AB, AD上，AE二EB二AF FD =4 .沿直線EF 3 將VAEF翻折成VAEF，使平面AEF _平面 BE

14、F . (I)求二面角 A -FD -C的余弦值; (n)點M,N分別在線段FD,BC上，若沿直線 MN將四 邊形MNCD向上翻折，使 C與A重合，求線段FM 的長。 解析：本題主要考察空間點、線、面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識，空間向量的應(yīng)用，同事考查空間想象 能力和運算求解能力。 EF 的中點，所以AH _ EF, 又因為平面 AEF_平面BEF. 如圖建立空間直角坐標(biāo)系 A-xyz 則 A (2, 2, 2 2 ), C (10, 8, 0), F (4, 0, 0), D (10, 0, 0). T, l T 故 FA = (-2, 2, 2 丁2 ), FD= (6, 0, 0) 設(shè)n

15、 = (x,y,z)為平面A FD的一個法向量, (I)解：取線段 EF 的中點 H，連結(jié)AH，因為AE = AF及 H 是 (-2x+2y+2 z=0 所以 6x=0. 取 z2，則 X =(0, _2,、,2)。 又平面BEF的一個法向量 斤=(0,0,1), 故cos靈m匸專。 所以二面角的余弦值為 (H)解：設(shè) FM =x,則 M (4 - x,0,0), 因為翻折后，C與A重合，所以CM二AM， 故，(6 -x)2 82 02= (-2 -x)2 22(2、2)，得 x 經(jīng)檢驗，此時點 N在線段BC上, 方法 (I )解：取線段EF的中點H , AF的中點G ,連結(jié) A G, A H

16、 , G H 因為AE = AF及H是EF的中點， 所以AH _ EF 又因為平面 AEF 平面BEF , 所以AH _平面BEF, 又AF 平面BEF , 故 AH _ AF , 又因為G、H是AF、EF的中點， 易知 GH / AB , 所以GH _ AF , 于是AF 面AGH , 所以.AGH為二面角A-DH -C的平面角， 在 RtLAGH 中，AH =.2 , GH =2, AG = 2.321 7， 所以FM 21 4 所以 cos. AGH (n)解：設(shè) FM = x , 因為翻折后, C與A重合, 所以 CM =AM， AM2 =AH2 MH 2 二 AH2 MG2 GH2

17、=(2.2)2 經(jīng)檢驗，此時點N在線段BC上, 21 所以FM二 4 (21) (本題滿分 15 分)已知 m 1,直線l:x-my- VBFi F2的重心分別為G, H 若原點0在以線段 故二面角A-DF -C的余弦值為 .3 而 CM 2 二 DC2 DM 2 =82 (6-x)2, (I)當(dāng)直線 (n)設(shè)直線 2 y =1, RE分別為橢圓C的左、右焦點. I過右焦點F2時，求直線I的方程; I與橢圓C交于代B兩點，V AR F2, GH為直徑的圓內(nèi)，求實數(shù) m的取值范圍. 解析：本題主要考察橢圓的幾何性質(zhì), 直線與基本思想方法和綜合解題能力。 (I)解：因為直線 I : x - my

18、2 _ 歲丸經(jīng)過F2C齊,。), _ 2 所以-m2T號，得八2，4 又因為m .1, 所以m = . 2 , (n)解：設(shè) A(xyj, B(X2,y2)。 m2 x = my 由 2，消去x得 M y2“ m2 y 2 2 m 2y my 1=0 4 2 則由：-m2 -8(m -1) - -m2 8 0，知 m2 : 8， 4 2 1 且有y1 殳心廠于匚。 由于 FcQ), F2(c,0), 故O為證的中點, 由 AG =2GO,BH =2HO， 可知 G(pf),h(|, 2 _ (xi -X2)2 (% -丫2)2 -9 9 設(shè)M是GH的中點，則M（T，亍）， 由題意可知2 MO

19、c GH , 2 2 即 4( jX2)2 y1 y2)2 *(X1 -X2). (yr) 6 6 9 9 即 x-i x2 y1 y2 :：: 0故直線 I 的方程為 x - 2 2 2 2 -=0。 GH (%2i ) 2 2 所以 m _! ：o 8 2 即 m2 : 4 又因為m 1且二 0 所以 1 ： m ： 2。 所以m的取值范圍是(1,2)。 2 2 (22)(本題滿分 14 分)已知a是給定的實常數(shù)，設(shè)函數(shù) f (x) =(x-a)(X b)e x =a是f (x)的一個極大值點. (i)求b的取值范圍； (n )設(shè)X!,X2,X3是f (x)的 3 個極值點，問是否存在實數(shù) b，可找到X4 R 的某種排列x,Xi2，X3，X4(其中訃234鼻1,2,3,4冷依次成等差數(shù)列 及相應(yīng)的X4 ；若不存在，說明理由. 解析： 本題主要考查函數(shù)極值的概念、 導(dǎo)數(shù)運算法則、 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用及等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識,