2021屆江蘇省南通市海安高級(jí)中學(xué)高三下學(xué)期期初模擬考試數(shù)學(xué)試題

1、2020屆江蘇省南通市海安高級(jí)中學(xué)高三下學(xué)期期初模擬考試數(shù)學(xué)試題學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：一、填空題1 .已知集合從= - 1, 0, 2, B=X.x=2n-, nGZ,則ACB中元素的個(gè)數(shù)為.2 .已知復(fù)數(shù)Z = l-2i, Z2 = 4+2i （其中i是虛數(shù)單位，"6R）,若Z/Z2是純虛數(shù)，則。 的值為.3 .從集合123中隨機(jī)取一個(gè)元素，記為。，從集合2,3,4中隨機(jī)取一個(gè)元素，記 為。，則。匕的概率為.4 .為了 了解一批產(chǎn)品的長(zhǎng)度（單位：亳米）情況，現(xiàn)抽取容量為400的樣本進(jìn)行檢測(cè)， 如圖是檢測(cè)結(jié)果的頻率分布直方圖，根據(jù)產(chǎn)品標(biāo)準(zhǔn)，單件產(chǎn)品長(zhǎng)度在區(qū)間25,30）的一 等品，

2、在區(qū)間20,25）和30,35）的為二等品，其余均為三等品，則樣本中三等品的件 數(shù)為.0.«250001255 .如圖是一個(gè)算法的偽代碼，其輸出的結(jié)果為S0ForfFrom I To 10 Step IST+End ForPrints6 .命題A： lx 1K3命題B： （x+2）（x+a）0：若A是B的充分而不必要條件,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.7 .已知圓錐的母線長(zhǎng)為5,側(cè)面積為15兀，則此圓錐的體積為8 .函數(shù)力/(X)=<*sin。2。«*x + sinxcosx + l。* 的最 小正周期是，單調(diào)遞減區(qū)間是.9 .在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A(0, - 1)

3、, B(-3, -4)兩點(diǎn)，若點(diǎn)C在NAO8 的平分線上，且|反卜 M，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是.10 .設(shè)S”為數(shù)列為的前八項(xiàng)和,若S尸(n- 1) (£*),且“2=11,則S20 的值為.11 .如圖在平面四邊形ABCO中，ZA = ZB=ZC=75°, BC=2,則AB的取值范圍是12.已知函數(shù)/ (x)若小則實(shí)數(shù)的取值范圍是13.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)集A = (x, y) H+.Fsl, B= (x, y)后4, y>0. 3x-4v>0,則點(diǎn)集。= (x, y) x=x+x2, y=yi+V2,(片，yi) £A, (x2, y：) wB所表 示的

4、區(qū)域的面積為.14.設(shè)函數(shù)= (2x- 1)若存在唯一的整數(shù)即使得/(即)<0,則實(shí)數(shù)”的取值范圍是.已知函數(shù)/(x) = 2cos二、解答題15.(1)設(shè) S£0,河,且/(。)=6+1,求 6 的值:(2)在ABC中，A8=l, / (C) = J3 + h 且ZiABC的面積為正.求 sinA+sin5 的 2值.16.如圖，在多而體A3COEF中，四邊形A8CO是菱形，AC, 3。相交于點(diǎn)O, EF/AB.EF=-AB,平面BCF_L平面ABC。，BF=CF, G為BC的中點(diǎn)，求證: 2（1） OG平而 ABFE：（2） AC_L平面 BQE.17.某生物探測(cè)器在水中逆

5、流行進(jìn)時(shí)，所消耗的能量為E=。/7；其中v為行進(jìn)時(shí)相對(duì) 于水的速度，丁為行進(jìn)時(shí)的時(shí)間（單位：/?）,。為常數(shù)，為能量次級(jí)數(shù)，如果水的速度 為4如斷，該生物探測(cè)器在水中逆流行進(jìn)200km.（1）求了關(guān)于-的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)能量次級(jí)數(shù)為2時(shí)，求探測(cè)器消耗的最少能量；當(dāng)能量次級(jí)數(shù)為3時(shí)，試確定I，的大小，使該探測(cè)器消耗的能量最少.2218 .在平面直角坐標(biāo)系入Qv中，已知橢圓二十二=1（。0）的焦距尸正2的長(zhǎng)為2, cr y經(jīng)過(guò)第二象限內(nèi)一點(diǎn)P（而，）的直線"+ 2 = 1與圓交于A, 8兩點(diǎn)，且cr b-0A = 5/2 （1）求PA+PB的值；_t 8（2）若AS 丹=q，求小，的

6、值.19 .已知函數(shù)/（X）=a （Isiiul+lcosxl） - sinZr - 1, aR.（1）寫出函數(shù)/Cr）的最小正周期（不必寫出過(guò)程）；（2）求函數(shù)/G）的最大值：（3）當(dāng)“=1時(shí)，若函數(shù)/ 在區(qū)間（0,而）（MAT）上恰有2015個(gè)零點(diǎn)，求女的 值.20 .已知尢n為常數(shù)，且為正整數(shù)，后1,無(wú)窮數(shù)列a“的各項(xiàng)均為正整數(shù)，其前n項(xiàng) 和為Sn，對(duì)任意的正整數(shù)n, Sn=kan - 記數(shù)列aj中任意兩不同項(xiàng)的和構(gòu)成的集合為 A.（1）證明：無(wú)窮數(shù)列an）為等比數(shù)列，并求入的值;（2）若2015SA,求n的值；（3）對(duì)任意的n£N*,記集合Bn=x|3k2n"VxV

7、3kx£A中元素的個(gè)數(shù)為國(guó),求 數(shù)列悅的通項(xiàng)公式.cosO -sinO /、21 .在平面直角坐標(biāo)系xQv中，先對(duì)曲線。作矩陣人=.八 八（0夕2）所 sinG cos3"1 O' f 、對(duì)應(yīng)的變換，再將所得曲線作矩陣8= 0卜（0女1）所對(duì)的變換.若連續(xù)實(shí)施兩次變換所對(duì)應(yīng)的矩陣為，求2,8的值.0 -1-0L222.在極坐標(biāo)系中，己知A,線段AB的垂直平分線/與極軸交于點(diǎn)C ,求/的極坐標(biāo)方程及AABC的而積.23 .已知實(shí)數(shù)滿足/+耳42,求證：,2+2一/+叫4（同+ 2）.24 .在棱長(zhǎng)為1的正方體-中，。是AC的中點(diǎn)，石是線段。上一點(diǎn), 且 DE=EO.（

8、1）若A=1,求異而直線。石與Cd所成角的余弦值;（2）若平面平面C。，求九的值.25. 一種拋硬幣游戲的規(guī)則是：拋擲一枚硬幣，每次正面向上得1分，反而向上得2分.（1）設(shè)拋擲5次的得分為彳，求彳的分布列和數(shù)學(xué)期望七；（2）求恰好得到分的概率.參考答案1. 1【解析】【分析】按照交集的概念直接運(yùn)算可得arw= -1,即可得解.【詳解】VA = - 1, 0, 2, B=xlx=2n - 1, ziGZ),：.ACB= - 1,.ACIB中元素的個(gè)數(shù)為1.故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2. -4【分析】 + 4 = 0由題意aZ,=" + 4 + (2 -

9、 2)i,令cc即可得解.【詳解】Vzi = l - 2i, Z2=a+2i9：.zi-z2 =(l-2/)(« + 2i) = 1 + 4 + (2- 2a)i,a + 4 = 0又ZF是純虛數(shù)，c c，解得：“=-4.2 2"0故答案為：-4.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的概念和運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.【分析】先求出隨機(jī)抽取，力的所有事件數(shù)，再求出滿足的事件數(shù)，根據(jù)古典概型公式求出結(jié)果，【詳解】解：從集合123中隨機(jī)取一個(gè)元素，記為。，從集合2,3,4中隨機(jī)取一個(gè)元素，記為力,則(3)的事件數(shù)為 9 個(gè)，即為(1,2),(1,3),(1,4), (2,2),(2,3),(2,4),

10、 (3,2),(3,3),(3,4),其中滿足的有(1,2),(1,3),(1,4), (2,2),(2,3),(2,4),其3),(3,4),共有 8 個(gè),Q故。W 的概率為一.9【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確列舉出所有事件數(shù).4. 100.【解析】分析：根據(jù)頻率分布直方圖得到三等品的頻率，然后可求得樣本中三等品的件數(shù).詳解：由題意得，三等品的長(zhǎng)度在區(qū)間10,15), 15,20)和35,40內(nèi)，根據(jù)頻率分布直方圖可得三等品的頻率為(0.0125+0.0250+0.0125)x5 = 0.25,樣本中三等品的件數(shù)為400x0.25 = 100.點(diǎn)睛：頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)

11、為頻率 麗因此每一個(gè)小矩形的面積表示樣本個(gè)體落在該區(qū)間內(nèi)的頻率，把小矩形的高視為頻率時(shí)常犯的錯(cuò)誤.5心11【解析】由題設(shè)提供的算法流程圖可知：5 =匚+ - + + = 1一, = 12,應(yīng)填答案四.1x2 2x310x111111116. (-00,-4)【詳解】對(duì)于命題 A： Vlxll<3,，-2<x<4,要使A是B的充分而不必要條件，則a<2a>4.即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(一巴一4)7. 12 乃【分析】根據(jù)側(cè)而積求出圓錐的半徑，由勾股定理即可求出圓錐的高，利用圓錐體枳公式即可求解.【詳解】設(shè)圓錐的半徑為一，則側(cè)面積為:x5x2乃r = 15凡r = 3,圓

12、錐的高為后子=4,所以 乙圓錐的體積為1x4x32x4 = 12乃.3故答案為：12乃【點(diǎn)睛】本體主要考查圓錐的側(cè)面積與體枳公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.8. +, keZ.88【解析】試題分析：/（X）=+1 sin 2x+1 = 2ZI sin（ 2x- -） + - » 故，=花,由2224 22元一工金工+2無(wú)兀三+ 2匕解得xe 三十而：二+化可左eZ42288考點(diǎn)：三角函數(shù)的性質(zhì)9. （ - 1, -3）【分析】先求出礪方向上的單位向量=一：），由題意。6= A（OA + e）,結(jié)合 55|oq=M即可得解.【詳解】由題意況=（0, - 1）,是一個(gè)單位向量，_34

13、由于。月=（-3, -4）,故而方向上的單位向量=（一一），1點(diǎn)C在NAO8的平分線上，/,、343 9存在正實(shí)數(shù)入使得03=A（OA + ej = a 一二,一1 一二）=% -三，一二西=加,9一 +(25代入得得0d = （T3）【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示和模的應(yīng)用.考查了轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于中檔題.10. 1240【分析】先求得，八=5,轉(zhuǎn)化條件得&一* = 3,可得是首項(xiàng)? = 5,公差為3的等差數(shù)列, n zi-1n J 1利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得解.【詳解】由 S2 = 4】+a2 = %2 - 3x2 (2 - 1 ), 42=11,可得 1=5.當(dāng)

14、 n>2 時(shí)，由 Sn=nan - 3( - 1) =n (S,t - S")- 3n (- 1),可得("-1) Sn - nSn.=3n (? - 1),c cf S S 叢=3,，數(shù)列 J 是首項(xiàng)=5,公差為3的等差數(shù)列，n 一1n1S= 5+3x19=62,20A52o=124O.故答案為：1240.【點(diǎn)睛】國(guó)” =1本題考查了數(shù)列為 。、c公式的應(yīng)用和等差數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于中檔題一S“t，N211 .（而-應(yīng)，V6+V2）【解析】 如圖所示，延長(zhǎng)BA, CD交于E,平移AD,當(dāng)A與D重合與E點(diǎn)時(shí)，AB最長(zhǎng)，在 BCEBC BE 2 BE中，ZB=ZC=

15、75°, NE=30。, BC=2,由正弦定理可得=,即=sin ZE sin ZC sin 300 sin 750BF _ BCsin ZFCB sin ZBFC解得BE = #+a,平移AD ,當(dāng)D與C重合時(shí)，AB最短，此時(shí)與AB交于F,在 BCF中，ZB=ZBFC=75°, NFCB=30。，由正弦定理知, - = -47r，解得BF=#JI，所以AB的取值范圍為(#一點(diǎn)，V6+V2). sin 30 sin 757» %考點(diǎn)：正余弦定理；數(shù)形結(jié)合思想12. -VT,O)kjl, + s).【分析】1t>-作出函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖像分為兩種情況,

16、9;l或1 V2 t->" U 2解.【詳解】根據(jù)函數(shù)/(X)的解析式作出其圖象，如圖所示.當(dāng)人>一走時(shí)，f (x)是增函數(shù)， 2f 1若。川7,>1則1解得：佗1:1>一立2當(dāng)變時(shí)，力=&, 2若。川心，則;解得：應(yīng)/<0：E討論，解不等式即可得 2D綜上所述，實(shí)數(shù)/的取值范闈是-+ 8) 故答案為：一"0)= 1，+ 8).【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，考查了分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.13. 18+幾【分析】轉(zhuǎn)化條件得(x-a-2)2+ <y-y2)W1即點(diǎn)集Q所表示的區(qū)域是以集合8表示的區(qū)域的邊界 為圓心軌

17、跡半徑為1的圓內(nèi)部分，計(jì)算即可得解.【詳解】由 x=x1+x2, y=y+y2, 得 xi=x-x2, y=y - ya,(xi, Ji) £A,把 Xi=x-12, yi=y-”,代入.F+yM,工(x-A2)2+ (y-j2)Vl點(diǎn)集Q所表示的區(qū)域是以集合B= (x, y) Lt<4, y>0, 3x - 4)N)的區(qū)域的邊界為圓心軌跡 半徑為1的圓內(nèi)部分，如圖，其面積為：5+6+4+3+兀=18+n故答案為：18+兀.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和非線性可行域的畫法，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于中檔題.【分析】令 g(A)= (2x - 1) e* h (x) =a

18、(x - 1),求出 g'(x)后畫出 g(X)、h (x)的圖象，數(shù)形結(jié)合即可得1a>0g(T)Z(-l)或'-l</?(0)<07?(2)>g(2) 做3)5即可得解.【詳解】 令# (x) = (2x - 1) /, h (x) =a (x- 1),I g'(x) = (2x 1)/ + 2ex = (2x + 1)靖，.當(dāng)工一：時(shí)，g'(x)<0,則函數(shù)g(x)在(-8, -1)上單調(diào)遞減: 22當(dāng)時(shí)，gx) > 0,則函數(shù)g(X)在(J, +00)上單調(diào)遞增：而 g ( - 1) = -3e", g (0)

19、 = -1：因?yàn)榇嬖谖ㄒ坏恼麛?shù)XU使得/Go) <0.即(2%-1) ex<a (xo - 1 )."(2)>g 田3)”(3)a>0所以結(jié)合圖形知：1)或<-l</z(0)<0即：a>0-3 > 2"或< 3，5 ,& 解得一 <a< 或 3/Va«-d：la < 5/ 2e23（5故答案為：丁，1）U 3G2,7«3 2e2【點(diǎn)睛】-y=（2x-1）e”本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題.15. (1) - (2) 1+正62【分析

20、】(1)化簡(jiǎn)得/(x) = 2cos x + -； + JJ,轉(zhuǎn)化條件得cos 0 + - =-9即可得解： 16 yz0/2(2)由(1)知C = ；,由面積可得=由余弦定理得序+尻=7,聯(lián)立方程可求得6a + b = 2+6,再利用正弦定理即可得解.【詳解】(1) /(x) = 2y/3cos2 - sin x =逐 cos x - sin x + y/3 = 2 cos ( x + 看卜 /由 / （。）= 3 +1, 2 COS 3 H+ y/3 = y/3 +1 6V0G Ot n,； (8 + ), , /. 0=.6666(2)由f (C) =JJ+1，CG(°，兀)，

21、由(1)可得：C=-.由ABC的面積為正，62= ahsin ， ； ab = 2y/3 226y由余弦定理可得：1=/+抉-%反。5二，可得：4+=7,6聯(lián)立解得：“=2, b= 71:或=2, a=".a + b = 2 + /3 sinA sinB sinC 1 =- = 一 .a b c 2sinA+sinB = (a+b )=1 +x/322【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，考查了正弦定理、余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中 檔題.16. (1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】(1)根據(jù)中位線的性質(zhì)證明OGAB后即可得證；(2)連接FG、EO,由題意EO_L平面ABCQ,可得

22、EO_LAC,由線而垂直的判定即可得解.【詳解】證明：(1) .四邊形A3CZ)是菱形，AC, 8。相交于點(diǎn)0,.0是AC中點(diǎn)，.G為8。的中點(diǎn)，.0G/W,0GQ平而 ABFE, ABu平面 ABFE,.0G 平面 ABFE.(2)連接 FG、E0,.四邊形ABCD是菱形，AC, 8。相交于點(diǎn)0,：.AC±BD,。是 AC 中點(diǎn)，.G 為 8。的中點(diǎn)，-EF/AB, EF=AB,平面 5CF_L平而 ABC。，BF=CF, ，EG_L 平面 ABCD,平而 ABCD, ：. EO LAC.：EOCBD=O, ，AC_L 平面 BOE.【點(diǎn)睛】本題考查了線而平行和線而垂直的判定，屬于

23、中檔題.17. (1) T=-9 (v>4)： (2)3200u6v-4【分析】(1)由題意得fl = u-4,T化簡(jiǎn)即可得解:(2)由題意得E = 200c v-4= 200c (v-4)16+v-4+ 8，利用基本不等式即可得解:3由題意E = 200c一v 42v2(v-6),求導(dǎo)得£ = 200c,:(v-4)2,確定單調(diào)性即可得解.【詳解】(1)由題意得，該探測(cè)器相對(duì)于河岸的速度為春，又該探測(cè)器相對(duì)于河岸的速度比相對(duì)于水的速度小4卜皿,即為u - 4,.200200則=口-4,即7=t (v>4)；Tv-4(2)當(dāng)能量次級(jí)數(shù)為2時(shí)，由(1)知丁 =網(wǎng)，v>

24、4, v-4E = 200c- - v-4(v-4) + 42 =200c -!-v-4=200c (v-4)16+ 8v-4>200c2A (v-4) + 8 = 3200c,當(dāng)且僅當(dāng) y-4=9,即 u=8h”小時(shí)取等號(hào), V v-4v-4v>4,當(dāng)能量次級(jí)數(shù)為3時(shí)，由(1)知E = 200c則 £ = 2002"由 E' = 0,解得 v=6,("4尸即當(dāng)vV6時(shí)，七'<0,當(dāng)心>6時(shí)，E>0,即當(dāng)y=6時(shí),函數(shù)E取得最小值為E=21600c.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的應(yīng)用，考查了基本不等式和導(dǎo)數(shù)求最值的應(yīng)用，屬于

25、中檔題.18. (1) 272 . m= - 1, n=.2【分析】(1)先說(shuō)明點(diǎn)尸在橢圓上，根據(jù)橢圓性質(zhì)即可得解：(2)設(shè)A (加，B (應(yīng)，V2),聯(lián)立方程組得即+工2= a, a:ix2 = 二，轉(zhuǎn)化 4ir+nr4條件得4-不=,代入解方程即可得解.3【詳解】(1)，：0A=&, ：.a=y/2.22:把點(diǎn)P (加，n)代入直線方程空+ £ = 1,可得：工+匕=1, a- 夕cr 夕點(diǎn)尸在橢圓上，:PF+PF2=2a=2R .(2)由“=0，c=l, ：.b2=a2 - c2=l.設(shè) A (xiyi), B 設(shè)2, y2)."+ /=2聯(lián)立,化為：0+)

26、x2 - 4"ix+4 - 8/r0,+ ny = .4m4-8/ .X1+X2 = r，XX2 = -554/7" + nr 4/r +nr一 88從公書馬="，(%2 -xi, ya -yi) (2, 0) = 984化為 2(X2 - Al)= 一，即 X2 - X=33(再 +”2) 4即必=,代入可得：16/rr_4(4-8/r) = i6(4/+?)'47r +m9化為:56/i4+10/i2m2 - 36n2 - /n4=0,又+ n- =1,2把 nr=2 - 2/代入化為 8n4 - hr - 1 =0,解得產(chǎn)=1,.點(diǎn)P在第二象限，.*

27、.取 m= - 1, n= .2【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的性質(zhì)和直線與圓的位置關(guān)系，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題.19. (1)最小正周期為兀.(2)見(jiàn)解析(3) 4=1008.【分析】(1)由題意結(jié)合周期函數(shù)的定義直接求解即可：(2)令 = 1 +卜加2x| , /Gl,應(yīng),則當(dāng)xeo,g時(shí)，f(x) = p(t) = at-r ,/ -當(dāng)大£，兀時(shí)，f(x) = v(t) = r+at-29易知分類比較？、的 2大小即可得解：(3)轉(zhuǎn)化條件得當(dāng)且僅當(dāng)sin2x=0時(shí)，/(X)=0,則(0,用時(shí)，.f (x)有且僅有兩個(gè) 零點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的周期即可得解.【詳解】(1)函數(shù)/(X)的最小正

28、周期為兀(2) ,:f (x) =a (Isiiivl+lcosAi) - sinZv - 1=4 Jl+卜，力2x|-sin2x - l=a J1 +卜山2x| 一 (sin2x+l ),令 f= jl+ 卜加2X| , 01, yf2 b時(shí)，f(x) = Z(0 = at-t2<t< V?),當(dāng)xe ,71 時(shí)，/(%) = v(r) = r2 +6/r-2(l<r<>/2),V p(t)-v(t) = at-r _(/+/_2)= _2,+2<0即/(r)<v(r).“("W)a =max卜/,，當(dāng)4«-1一點(diǎn)時(shí)，f(x)最大

29、值為一1；當(dāng)4>一1 一四，/(X)最大值為(3 )當(dāng) ”=1 時(shí)，f (x) = Jl +-sin2x-1,若 f(X)=0,則 J1 + 卜力22、= sin 2x+1 即卜i"2x| = sin2 2x+2sin2x,，當(dāng)且僅當(dāng) sin2x=0 時(shí)，f(x) =0,.x£ <0, M時(shí)，/(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)分別為9, 7T,.-.2015 = 2x1007+1,»=1008.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的綜合問(wèn)題，考查了分類討論思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于難題.20. (1)見(jiàn)解析；(2) 31 或 403：(3) bn=n (neN*)【詳解】(

30、1)證明：VSn=Xan - n.當(dāng)吟2 時(shí)，Sn.i=Xan.i - p,. A 3n=X3n - /v3n - 1, 入壬 1， 一Z-an-l 入一1，數(shù)列aj為等比數(shù)列,X 1:各項(xiàng)均為正整數(shù)，則公比_廣為正整數(shù),人為正整數(shù)，入=2.(2)解：由 可得：Sn=2an - n，當(dāng)n=l時(shí)，af,則a產(chǎn).吃11”, .A="i (2+2:1)|lWVj, i, j£NV2015GA, A2015=m (25+2 )=p<2r, (+2) '1) =5x13x31,Vj - i>0,則1+2戶必為不小于3的奇數(shù)， 2山為偶數(shù)時(shí)，上式不成立，因此必有2=

31、1,力=1, 小(1+21) =5x13x31,只有j=3,產(chǎn)403或j=7,產(chǎn)31時(shí)，上式才成立，.1i=31或403.解:當(dāng)吟1時(shí)，集合B產(chǎn)兇3年2皿乂3年2' x£A,即 3田2n7<ii (2i-,+2i-1) <3p*2n, l<i<j, i, jeN B”中元素個(gè)數(shù)，等價(jià)于滿足3x2y2i+2j3x2向的不同解(i, j),若j>n+2,貝iJ21+2iN2%2n+3=21+4x2向>3x2向，矛盾.若 j<n+2,則 242j£242n+W2n+2向=3x2，矛盾.Aj=n+2,又：(2,+2n+2) - 3x

32、2n=2+4x2n - 3x2n=2+2n>0,，3x2n<2,+2n+2<22+2n+2<. <2n+,+2n*2=3x2n*1,即i=l, 2,，n時(shí)，共有n個(gè)不同的解(i, j),即共有n個(gè)不同的xCBn， .* bn=n (n£N ).21.【分析】-10-1,然后得到方程組，求 o0連續(xù)實(shí)施兩次變換所對(duì)應(yīng)的矩陣為1,2得攵力的值.【詳解】解：先對(duì)曲線C作矩陣A =cosO -sinOsinO cosO(0<8<2/)所對(duì)應(yīng)的變換，再將所得曲線作矩:(0<k<l)所對(duì)的變換, K故得到連續(xù)實(shí)施兩次變換所得到的變換矩陣為:B

33、A =COS0 左 sin®1 0 cos。-sind0 k sin 6 cos 6因?yàn)檫B續(xù)實(shí)施兩次變換所對(duì)應(yīng)的矩陣為0£.2-1所以cos。 一 sin 8k sin 6 k cos 0根據(jù)矩陣相等定義得到,cos 6 = 0-sin 6 = -1,口 1，解得, k sin 0 =2k cos 6 = 0【點(diǎn)睛】£ ,20 = - 2k=- 2本題考查了矩陣乘法的運(yùn)算，矩陣乘法不滿足交換律，故在求解矩陣乘法變換時(shí)，一定要注意先后順序.22. /的極坐標(biāo)方程及夕cos 8-三=5, AA8C的面積20G一 sin 8kcosO【解析】 【分析】(9,轉(zhuǎn)化為直角坐

34、標(biāo)系下的坐標(biāo)形式，然后求出線段A8的中點(diǎn)與直線A3的斜率，進(jìn)而求出直線/在直角坐標(biāo)系下的方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程：在直角坐標(biāo)系下，求出點(diǎn)。到直線A8的距離、線段AB的長(zhǎng)度，從而得出AABC的而積.【詳解】解：以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為X軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系工少 在平面直角坐標(biāo)系xoy中，A ,8 9, 3 ;71的坐標(biāo)為A（L 正）、8（2, 2 22線段A3的中點(diǎn)為A（g,弋），攵他=代故線段48中垂線的斜率為攵=所以43的中垂線方程為:化簡(jiǎn)得：x + >/3y-10 = 0,所以極坐標(biāo)方程為"cos6 + ® sin。-10 = 0,即夕 cos（e-?） =

35、 5,令 y = 0,則 x = 10,故在平而直角坐標(biāo)系xoy中，C （10,0）點(diǎn)。到直線A&，= 5/1（的距離為“ =1吧=5百，>/3+?線段A8 = 8,故 AABC 的面積為 S='x5j5x8 = 20j5.2【點(diǎn)睛】本題考查了直線的極坐標(biāo)方程問(wèn)題，解題時(shí)可以將極坐標(biāo)系下的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平而直角坐標(biāo)系 下的問(wèn)題，從而轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題.23. 證明見(jiàn)解析【分析】對(duì)+24-+274進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為含有,<2形式，然后通過(guò)不等關(guān)系得證.【詳解】解：因?yàn)閨。+4工2,所以a2 + 2a-b2+2b= a2-b2+2a + 2l= ab)(a+b) + 2(a+b

36、)=|+郵/? + 2= a+b2a-(a+b) + 2引a+Z?| 2a+a+b + 2<2|2t/ + 2 + 2| = 2|2a+4|=4|a + 2|<4(|«| + 2),得證.【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值不等式問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是要將要證的形式轉(zhuǎn)化為己知的條件，考查 了學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的能力.24. (1)立(2)入=26【解析】分析：以方，皮，西為單位正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-憶，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，(1)求出異面直線OE與CO1的方向向量用數(shù)量枳公式兩線夾角的余弦值(或補(bǔ)角的余 弦值)(2)求出兩個(gè)平而的法向量，由于兩個(gè)平面垂直，故它們的法向量的內(nèi)積為0,由此方程求參數(shù)4的值即可.詳解：(1)以DC, DD；為單位正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系憶.則 41, 0, 0),C(0