精心整理線性代數(shù)公式大全

1、優(yōu)秀教案歡迎下載1. n 行列式共有 n2 個(gè)元素，展開后有 n ! 項(xiàng)，可分解為 2n 行列式；2. 代數(shù)余子式的性質(zhì)：、 Aij 和 aij 的大小無關(guān)；、某行（列）的元素乘以 其它行（列）元素的代數(shù)余子式為0；、某行（列）的元素乘以該行 （列）元素的代數(shù)余子式為A ；3.代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：M ij ( 1)i jAijAij ( 1)i j M ij4.設(shè) n 行列式 D ：n( n1)將 D 上、下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn)，所得行列式為D1 ，則 D1(1)2D ；將 D 順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90 ，所得行列式為D2，則 D2n( n1)(1)2D ；將 D 主對(duì)角線翻轉(zhuǎn)后（轉(zhuǎn)置），所得

2、行列式為D3 ，則 D3D ；將 D 主副角線翻轉(zhuǎn)后，所得行列式為D4 ，則 D4D ；5.行列式的重要公式：、主對(duì)角行列式：主對(duì)角元素的乘積；、副對(duì)角行列式：副對(duì)角元素的乘積n( n1)( 1)2；、上、下三角行列式（）：主對(duì)角元素的乘積；n (n 1)、 和 ：副對(duì)角元素的乘積( 1)2；A OA CC AO Am n、拉普拉斯展開式 ：C BO BAB、B OB C( 1)A B、范德蒙行列式：大指標(biāo)減小指標(biāo)的連乘積；、特征值；6. 對(duì)于 n 階行列式 A ，恒有： E Ann k ，其中 Sk 為 k 階主子n( 1)k Sk式；7. 證明、k1A 0 的方法：AA ；優(yōu)秀教案歡迎下載

3、、反證法；、構(gòu)造齊次方程組Ax0 ，證明其有非零解；、利用秩，證明r ( A)n ；、證明 0 是其特征值；2 、矩陣1. A 是 n 階可逆矩陣：A 0 （是非奇異矩陣）；r (A)n （是滿秩矩陣）A 的行（列）向量組線性無關(guān)；齊次方程組 Ax 0 有非零解；b Rn ， Ax b總有唯一解；A 與E等價(jià)；A 可表示成若干個(gè)初等矩陣的乘積；A 的特征值全不為 0；AT A 是正定矩陣；A 的行（列）向量組是 Rn 的一組基；A 是 Rn 中某兩組基的過渡矩陣；2. 對(duì)于 n 階矩陣 A ： AA* A* A A E 無條件恒 成立；3.( A1)*(A*)1( A1 )T(AT)1(A*)

4、T(AT )*( AB)TBT AT( AB)*B* A*( AB)1B 1 A14. 矩陣是表格， 推導(dǎo)符號(hào)為波浪號(hào)或箭頭； 行列式是數(shù)值， 可求代數(shù)和；5. 關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論，其中均A 、 B 可逆：A1A2，則：若 AAs、A A1A2As ；優(yōu)秀教案歡迎下載A11、 A1A21；As1、AOOB、OABO、ACOB、AOCB1 A 1 O1 ；（主對(duì)角分塊）OB1B 1；（副對(duì)角分塊）O1AO11A1CB1A；（拉普拉斯）OB 11A1O；（拉普拉斯）B1CA1B 13 、矩陣的初等變換與線性方程組1. 一個(gè) m n 矩陣唯一確定的：A ，總可經(jīng)過初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，其標(biāo)準(zhǔn)形是F

5、E r O；O O m n等價(jià)類：所有與 A 等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合，稱為一個(gè)等價(jià)類；標(biāo)準(zhǔn)形為其形狀最簡(jiǎn)單的矩陣；對(duì)于同型矩陣A 、 B ，若 r( A)r( B)AB ；2. 行最簡(jiǎn)形矩陣：、只能通過初等行變換獲得；、每行首個(gè)非 0 元素必須為 1；、每行首個(gè)非 0 元素所在列的其他元素必須為 0；3. 初等行變換的應(yīng)用： （初等列變換類似， 或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換）r、若(A,E)(E,X)，則 A可逆，且XA1；、對(duì)矩陣 (A, B) 做初等行變化， 當(dāng) A 變?yōu)?E 時(shí)，B 就變成 A 1B ，即：c(A, B)(E, A 1B) ；、求解線形方程組：對(duì)于n 個(gè)未知數(shù)n 個(gè)方程Axb

6、 ，如果r( A ,b )(E , x ，)則 A 可逆，且xA 1b ；4. 初等矩陣和對(duì)角矩陣的概念：優(yōu)秀教案歡迎下載、初等矩陣是行變換還是列變換， 由其位置決定： 左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣；、1，左乘矩陣 A ， i 乘 A 的各行元素；右乘，i 乘2nA 的各列元素；、對(duì)調(diào)兩行或兩列，符號(hào)，且 E i jE i jE ( i, j )(,)1，例如：( , )111；1111、倍乘某行或某列，符號(hào)11，且 E ( i ( k ) )E (i ( ) )E ( i(k)k，例如：11110 )；k(kk11 、倍加 某 行或 某 列， 符號(hào) E (ij (k) , 且 E (i

7、j(k) 1E (ij ( k ) ，如 ：11k1k0) ；11(k115. 矩陣秩的基本性質(zhì)：、 0 r ( Am n ) min( m, n) ；、 r ( AT ) r ( A) ；、若 A B ，則 r( A) r( B) ；、若 P 、Q 可逆，則 r (A) r (PA) r (AQ) r (PAQ) ；（可逆矩陣不影響矩陣的秩）、 max(r( A), r (B)r( A, B)r (A)r (B) ；（ ）、 r ( AB)r ( A)r (B) ；（ ）、 r ( AB)min(r ( A), r( B) ；（ ）、如果 A 是 m n 矩陣， B 是 n s 矩陣，且 A

8、B 0 ，則：（ ）、 B 的列向量全部是齊次方程組 AX 0 解（轉(zhuǎn)置運(yùn)算后的結(jié)優(yōu)秀教案歡迎下載論）；、 r( A)r( B)n、若 A 、 B 均為 n 階方陣，則r( AB)r( A)r( B)n ；6. 三種特殊矩陣的方冪：、秩為 1 的矩陣：一定可以分解為 列矩陣（向量） 行矩陣（向量） 的形式，再采用結(jié)合律；1ac、型如01b的矩陣：利用二項(xiàng)展開式；001二項(xiàng)展開式： (ab)nCn0anC1na n 1b1Cnm a n m bm注：、(ab)n 展開后有n1 項(xiàng)；mn(n 1)(n m 1)n !0n1、 Cnmm!(nCnCn1 2 3m)!、組合的性質(zhì)： CnmCnn mC

9、nm1CnmCnm 1、利用特征值和相似對(duì)角化：7. 伴隨矩陣：、伴隨矩陣的秩： r ( A* )nr (A) n；1r ( A) n10r ( A) n1、伴隨矩陣的特征值：A( AXX,A*A A 1、 A*AA1、 A*An 1nCnm a m bn m ；Cnn 1a1bn 1 Cnn bnm0nCnr2nrCnrnCnr 11 ；r0A*XA X)；8. 關(guān)于 A 矩陣秩的描述：、 r ( A) n ， A 中有 n 階子式不為 0，n 1 階子式全部為 0；（兩句話）、 r ( A)n ， A 中有 n 階子式全部為0；、 r ( A)n ， A 中有 n 階子式不為0；9. 線性

10、方程組： Ax b ，其中 A 為 m n 矩陣，則：、 m 與方程的個(gè)數(shù)相同，即方程組Ax b 有 m 個(gè)方程；、 n 與方程組得未知數(shù)個(gè)數(shù)相同，方程組Axb 為 n 元方程；優(yōu)秀教案歡迎下載10. 線性方程組 Ax b 的求解：、對(duì)增廣矩陣 B 進(jìn)行初等行變換（ 只能使用初等行變換 ）；、齊次解為對(duì)應(yīng)齊次方程組的解；、特解：自由變量賦初值后求得；11.由 n 個(gè)未知數(shù) m 個(gè)方程的方程組構(gòu)成n 元線性方程：、a11 x1a12 x2a1n xnb1a21 x1a22 x2a2n xnb2；am1 x1am 2 x2anm xnbna11a12a 1nx 1b1Ax b （向量方程， A 為

11、 m n 矩陣， m 個(gè)a21a22a 2nx 2b2am1am 2amnxmbm方程， n 個(gè)未知數(shù)）x1b1、 a1a2anx2（全部按列分塊，其中b2）；xnbn、 a1 x1a2 x2an xn（線性表出）、有解的充要條件：r ( A)r ( A,)n （ n 為未知數(shù)的個(gè)數(shù)或維數(shù)）4、向量組的線性相關(guān)性1. m 個(gè) n 維 列向量 所組成 的 向量組 A ： 1, 2 , , m 構(gòu)成 n m 矩 陣A( 1 , 2 ,m ) ；T1m 個(gè) n 維行向量所組成的向量組 B ： 1T , 2T , , mT 構(gòu)成 m n 矩陣 BT；2Tm含有有限個(gè)向量的有序向量組與矩陣一一對(duì)應(yīng)；2.

12、 、向量組的線性相關(guān)、無關(guān)Ax 0 有、無非零解；（齊次線性方程組）、向量的線性表出Ax b 是否有解；（線性方程組）、向量組的相互線性表示AX B 是否有解；（矩陣方程）3. 矩陣 Am n 與 Bl n 行向量組等價(jià)的充分必要條件是：齊次方程組 Ax 0 和 Bx 0 同解； ( P101 例 14)優(yōu)秀教案歡迎下載4.r ( AT A) r ( A) ；( P101 例 15)5.n 維向量線性相關(guān)的幾何意義：、 線性相關(guān)0 ；、 , 線性相關(guān), 坐標(biāo)成比例或共線（平行）；、 , , 線性相關(guān),共面；6. 線性相關(guān)與無關(guān)的兩套定理：若 1, 2 , , s 線性相關(guān)，則 1 , 2 ,

13、, s, s 1 必線性相關(guān)；若 1, 2 , , s 線性無關(guān)，則 1, 2 , , s 1 必線性無關(guān)；（向量的個(gè)數(shù)加加減減，二者為對(duì)偶）若 r 維向量組 A 的每個(gè)向量上添上 n r 個(gè)分量，構(gòu)成 n 維向量組 B ：若 A 線性無關(guān)，則 B 也線性無關(guān)；反之若 B 線性相關(guān)，則 A 也線性相關(guān)；（向量組的維數(shù)加加減減）簡(jiǎn)言之：無關(guān)組延長(zhǎng)后仍無關(guān)，反之，不確定；7. 向量組 A （個(gè)數(shù)為 r ）能由向量組 B （個(gè)數(shù)為 s ）線性表示，且 A 線性無關(guān)，則 r s (二版 P74 定理 7)；向量組 A 能由向量組 B 線性表示，則 r(A) r( B) ；（ P86 定理 3）向量組

14、A 能由向量組 B 線性表示AX B 有解；r (A) r ( A, B) （ P85 定理 2）向量組 A 能由向量組 B 等價(jià)r( A) r (B) r ( A, B) （ P85 定理 2 推論）8. 方陣 A 可逆 存在有限個(gè)初等矩陣 P1 , P2 , , Pl ，使 A P1P2Pl ；rB （左乘， P 可逆）Ax0 與 Bx 0 同解、矩陣行等價(jià)： A BPAcAQ B （右乘， Q 可逆）；、矩陣列等價(jià)： A B、矩陣等價(jià)： A BPAQB（ P、Q可逆）；9. 對(duì)于矩陣 Am n 與 Bl n ：、若 A 與 B 行等價(jià)，則 A 與 B 的行秩相等；、若 A 與 B 行等價(jià)

15、，則 Ax 0 與 Bx 0 同解，且 A 與 B 的任何對(duì)應(yīng)的列向量組具有相同的線性相關(guān)性；、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；優(yōu)秀教案歡迎下載、矩陣A 的行秩等于列秩；10.若 Am s Bs nCm n ，則：、 C 的列向量組能由 A 的列向量組線性表示， B 為系數(shù)矩陣；、 C 的行向量組能由 B 的行向量組線性表示， AT 為系數(shù)矩陣；（轉(zhuǎn)置）11. 齊次方程組 Bx 0 的解一定是 ABx 0 的解， 考試中可以直接作為定理使用，而無需證明 ；、 ABx 0 只有零解Bx 0 只有零解；、 Bx 0有非零解 ABx 0 一定存在非零解；12.設(shè)向量組 Bn r : b1 , b2 ,

16、br可由向量組 An s : a1,a2 , ,as 線性表示為：（ P110題 19結(jié)論）(b1 , b2 , br ) (a1, a2, , as )K （ BAK ）其中 K 為 s r ，且 A 線性無關(guān)，則 B 組線性無關(guān)r( K) r ；（ B 與 K 的列向量組具有相同線性相關(guān)性 ）（必要性： r r( B) r ( AK ) r (K ), r( K ) r , r( K ) r ；充分性：反證法）注：當(dāng) r s時(shí)， K 為方陣，可當(dāng)作定理使用；13.、對(duì)矩陣 Am n ，存在 Qn m ， AQ E mr( A) m 、Q 的列向量線性無關(guān)；（ P87 ）、對(duì)矩陣 Am n

17、，存在 Pn m ， PA Enr ( A)n 、P 的行向量線性無關(guān)；14.1 , 2 , s 線性相關(guān)存在一組不全為 0 的數(shù) k1, k2 , , ks，使得 k1 1k2 2ks s0 成立；（定義）x1( 1 , 2 ,s ) x20 有非零解，即Ax0 有非零解；xsr ( 1,2 ,s )s ，系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)；15. 設(shè) m n 的矩陣 A 的秩為 r ，則 n 元齊次線性方程組 Ax 0 的解集 S 的秩為： r ( S) n r ；16.若 * 為 Ax b 的一個(gè)解， 1, 2 , , n r 為 Ax 0 的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則 * , 1 , 2 , , n

18、r 線性無關(guān)；（ P111 題 33 結(jié)論）優(yōu)秀教案歡迎下載5、相似矩陣和二次型1. 正交矩陣ATA E或A1AT （定義），性質(zhì)：、A的列向量都是單位向量，且兩兩正交，即aiT a j1ij (i, j 1,2, n) ；0ij、若 A 為正交矩陣，則 A 1 AT 也為正交陣，且 A 1 ；、若 A 、 B 正交陣，則 AB 也是正交陣；注意：求解正交陣，千萬不要忘記施密特正交化 和單位化；2. 施密特正交化： (a1 , a2 , , ar )b1a1 ；b2 a2b1 ,a2 b1b1 ,b1 br arb1 ,ar b1 b2, ar b2 br 1, ar br 1 ;b1 , b1 b2 ,b2 br 1,br 13. 對(duì)于普通方陣，不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無關(guān)；對(duì)于實(shí)對(duì)稱陣 ，不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交；4. 、 A與B等價(jià)A 經(jīng)過