線性代數(shù)公式大全

1、學習必備歡迎下載1、行列式1. n 行列式共有 n2 個元素，展開后有 n! 項，可分解為 2n 行列式；2. 代數(shù)余子式的性質(zhì)：、 Aij 和 aij 的大小無關(guān)；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數(shù)余子式為0；、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數(shù)余子式為A ；3.代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：M ij ( 1)i jAijAij (1)ij M ij4.設(shè) n 行列式 D ：n (n 1)將 D 上、下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn)，所得行列式為D1 ，則 D1( 1)2D ；n (n1)將 D 順時針或逆時針旋轉(zhuǎn) 90 ，所得行列式為將 D 主對角線翻轉(zhuǎn)后（轉(zhuǎn)置），所得行列式為將 D 主副角線

2、翻轉(zhuǎn)后，所得行列式為D4 ，則5. 行列式的重要公式：、主對角行列式：主對角元素的乘積；D2，則 D2( 1)2D；D3，則 D3D；D4D；n( n1)、副對角行列式：副對角元素的乘積( 1)2；、上、下三角行列式（ ）：主對角元素的乘積；n (n1)、 和 ：副對角元素的乘積(1)2；、拉普拉斯展開式：AOACAB、CAOA( 1)m n A BCBOBBOBC、范德蒙行列式：大指標減小指標的連乘積；、特征值；6.對于 n 階行列式A ，恒有：EAnn( 1)k Skn k ，其中 Sk 為 k 階主子式；k 17. 證明 A 0 的方法：、AA；、反證法；、構(gòu)造齊次方程組Ax0 ，證明其

3、有非零解；、利用秩，證明r( A)n ；、證明0 是其特征值；2、矩陣1. A 是 n 階可逆矩陣：A 0 （是非奇異矩陣）；r (A)n （是滿秩矩陣）A 的行（列）向量組線性無關(guān)；齊次方程組 Ax 0 有非零解；bRn ， Axb 總有唯一解；A 與E等價；A 可表示成若干個初等矩陣的乘積；A 的特征值全不為 0； AT A 是正定矩陣；學習必備歡迎下載A 的行（列）向量組是Rn 的一組基；A 是 Rn 中某兩組基的過渡矩陣；2.對于 n 階矩陣 A ： AA*A* AA E 無條件恒 成立；3.(A 1)*(A*) 1(A 1)T(AT) 1(A*)T(AT )*( AB)TBT AT(

4、 AB)*B* A*(AB) 1B1A14. 矩陣是表格，推導符號為波浪號或箭頭；行列式是數(shù)值，可求代數(shù)和；5. 關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論，其中均A、 B 可逆：A1若 AA2，則：As、A A1A2As ；A11、1A21；AAs1AO、OB、OABO、ACOB、AOCB11OA；（主對角分塊）OB 11B 1O；（副對角分塊）A 1O11A1 CB1AOB 1；（拉普拉斯）1A1O；（拉普拉斯）B1CA1B 13、矩陣的初等變換與線性方程組1. 一個 m n 矩陣 A ，總可經(jīng)過初等變換化為標準形，其標準形是唯一確定的：E rO；FO m nO等價類：所有與A 等價的矩陣組成的一個集合，稱為

5、一個等價類；標準形為其形狀最簡單的矩陣；對于同型矩陣A 、 B ，若 r ( A) r (B)A B ；2. 行最簡形矩陣：、只能通過初等行變換獲得；、每行首個非 0 元素必須為 1；、每行首個非 0 元素所在列的其他元素必須為0；3. 初等行變換的應用：（初等列變換類似，或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換）r、若 (A,E)(E ,X)，則 A可逆，且 XA 1；A 變?yōu)?E 時， B 就變成 A 1B ，即： (A,B)c、對矩陣 ( A, B) 做初等行變化，當(E, A 1B) ；r1、求解線形方程組：對于 n 個未知數(shù) n 個方程Axb，如果( , )(,)，則A可逆，且xA b ；A bEx4

6、. 初等矩陣和對角矩陣的概念：、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣；學習必備歡迎下載1、2，左乘矩陣 A ， i 乘 A 的各行元素；右乘，i 乘 A 的各列元素；n111、對調(diào)兩行或兩列，符號E ( i, j) ，且 E (i , j ) 1E (i, j) ，例如：11；1111、倍乘某行或某列，符號 E ( i(k ) ，且 E (i(k ) 1E (i( 1 ) ，例如：kk111k、倍加某行或某列，符號E (ij( k) ,且 E (ij (k ) 1E (ij( k ) ，如：1111；(k 0)k11k1(k0) ；15. 矩陣秩的基本性

7、質(zhì)：、 0 r ( Am n ) min(m,n) ；、 r ( AT ) r ( A) ；、若 A B ，則 r (A) r( B) ；、若 P 、 Q 可逆，則 r (A)r (PA)r (AQ)r (PAQ) ；（可逆矩陣不影響矩陣的秩）、 max(r ( A), r( B)r (A, B)r( A)r( B) ；（ ）、 r( A B)r( A)r( B) ；（ ）、 r( AB)min( r( A), r (B) ；（ ）、如果 A 是 m n 矩陣， B 是 n s 矩陣，且 AB0 ，則：（ ）、 B 的列向量全部是齊次方程組AX0 解（轉(zhuǎn)置運算后的結(jié)論）；、 r ( A) r

8、(B)n、若 A 、 B 均為 n 階方陣，則 r( AB) r( A)r( B)n ；6. 三種特殊矩陣的方冪：、秩為1 的矩陣：一定可以分解為列矩陣（向量）行矩陣（向量）的形式，再采用結(jié)合律；1ac、型如 01b 的矩陣：利用二項展開式；001二項展開式： (ab)nCn0anCn1 an 1b1Cnm an m bmCnn 1 a1 bn 1Cnn bnnCnma m bn m ；m 0注：、 (a b)n展開后有 n1 項；、 Cnmn(n 1)(nm1)n!Cn0Cnn11 2 3mm!( nm)!、組合的性質(zhì)： CnmCnnmCnm1 CnmCnm1nCnr2nrCnrnCnr11

9、 ；r0、利用特征值和相似對角化：7. 伴隨矩陣：nr (A)n、伴隨矩陣的秩：r ( A* )1r ( A)n1；0r ( A)n1學習必備歡迎下載、伴隨矩陣的特征值：A (AXX,A*A A 1A* XA X)；、 A*AA1、 A*n 1A8. 關(guān)于、A 矩陣秩的描述：r( A)n ， A 中有 n 階子式不為0， n1 階子式全部為0；（兩句話）r( A)n ， A 中有 n 階子式全部為0；、r( A) n， A 中有 n 階子式不為；09. 線性方程組： Ax b ，其中 A 為 m n 矩陣，則：、 m 與方程的個數(shù)相同，即方程組Axb 有 m 個方程；、 n 與方程組得未知數(shù)個

10、數(shù)相同，方程組Axb 為 n 元方程；10. 線性方程組 Ax b 的求解：、對增廣矩陣 B 進行初等行變換（ 只能使用初等行變換 ）；、齊次解為對應齊次方程組的解；、特解：自由變量賦初值后求得；11. 由 n 個未知數(shù) m 個方程的方程組構(gòu)成 n 元線性方程：a11 x1a12 x2a1n xnb1、 a21 x1a22 x2a2 n xnb2；am 1 x1am 2 x2anm xnbna11a12a1nx1b1、 a21a22a2nx2b2Axb （向量方程，A 為 mn 矩陣， m 個方程， n 個未知數(shù)）am1am 2amnxmbmx1b1、 a1a2anx2（全部按列分塊，其中b2

11、）；xnbn、 a1 x1a2 x2an xn（線性表出）、有解的充要條件： r (A)r (A, )n （ n 為未知數(shù)的個數(shù)或維數(shù)）4、向量組的線性相關(guān)性1.m 個 n 維列向量所組成的向量組A ：1,2 ,m 構(gòu)成 n m 矩陣 A(1,2,m ) ；T1Tm 個 n 維行向量所組成的向量組B ：1T ,2T ,mT 構(gòu)成 mn 矩陣 B2；Tm含有有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應；2.、向量組的線性相關(guān)、無關(guān)Ax0 有、無非零解；（齊次線性方程組）、向量的線性表出Axb是否有解；（線性方程組）、向量組的相互線性表示AXB 是否有解；（矩陣方程）3.矩陣 Amn 與 Bln 行向量組

12、等價的充分必要條件是：齊次方程組Ax0 和 Bx0同解； ( P101 例 14)4. r ( AT A) r ( A) ； ( P101 例 15)5. n 維向量線性相關(guān)的幾何意義：、線性相關(guān)0 ；、,線性相關(guān),坐標成比例或共線（平行）；學習必備歡迎下載、,線性相關(guān),共面；6. 線性相關(guān)與無關(guān)的兩套定理：若1 ,2 ,s 線性相關(guān)，則1,2 ,s , s 1 必線性相關(guān)；若1 ,2 ,s 線性無關(guān)，則1,2 ,s 1 必線性無關(guān)；（向量的個數(shù)加加減減，二者為對偶）若 r 維向量組A 的每個向量上添上nr 個分量，構(gòu)成 n 維向量組 B ：若 A 線性無關(guān)，則 B 也線性無關(guān)；反之若 B 線

13、性相關(guān)，則 A 也線性相關(guān)；（向量組的維數(shù)加加減減）簡言之：無關(guān)組延長后仍無關(guān)，反之，不確定；7. 向量組向量組向量組A （個數(shù)為r ）能由向量組B （個數(shù)為 s ）線性表示，且A 線性無關(guān)，則rs (二版 P74 定理 7)；A 能由向量組B 線性表示，則r ( A)r (B) ；（ P86 定理 3）A 能由向量組B 線性表示AXB 有解；r (A)r (A, B) （ P85 定理 2）向量組 A 能由向量組 B 等價r( A) r (B) r (A, B) （P85定理 2推論）8.方陣 A可逆存在有限個初等矩陣12，使1 2；P , P , , PlA P P Plr、矩陣行等價：A

14、 BPAB （左乘， P 可逆）Ax0 與 Bx0 同解c、矩陣列等價：A BAQB （右乘， Q 可逆）；、矩陣等價：A BPAQB（ P、Q可逆）；9. 對于矩陣 Am n 與 Bl n ：、若 A 與 B 行等價，則 A 與 B 的行秩相等；、若 A 與 B 行等價，則 Ax 0 與 Bx 0 同解，且 A 與 B 的任何對應的列向量組具有相同的線性相關(guān)性；、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；、矩陣 A 的行秩等于列秩；10.若 Am s Bs n Cm n ，則：、 C 的列向量組能由A 的列向量組線性表示，B 為系數(shù)矩陣；、 C 的行向量組能由B 的行向量組線性表示，AT 為系數(shù)矩陣；（

15、轉(zhuǎn)置）11.齊次方程組 Bx 0 的解一定是 ABx 0 的解， 考試中可以直接作為定理使用，而無需證明；、 ABx 0 只有零解Bx 0 只有零解；、 Bx 0有非零解ABx 0 一定存在非零解；12.設(shè)向量組 Bn r: b1 ,b2 , br 可由向量組 An s : a1, a2 ,as 線性表示為：（ P110 題 19 結(jié)論）(b1 ,b2 , , br ) (a1, a2 , as )K （ B AK ）其中 K 為 s r ，且 A 線性無關(guān)，則 B 組線性無關(guān)r (K )r ；（ B 與 K 的列向量組具有相同線性相關(guān)性）（必要性：rr( B)r ( AK ) r ( K),

16、 r( K ) r, r( K )r ；充分性：反證法）注：當 rs時， K 為方陣，可當作定理使用；13.、對矩陣 Amn ，存在 Qn m ， AQEmr( A)m 、 Q 的列向量線性無關(guān)；（P87 ）、對矩陣 Amn ，存在 Pn m ， PAEnr( A)n 、 P 的行向量線性無關(guān)；14.1,2, ,s 線性相關(guān)存在一組不全為 0 的數(shù) k1 ,k2 , ks ，使得 k1 1k2 2ks s 0 成立；（定義）x1(1,2,x20 有非零解，即 Ax0 有非零解；s )xsr ( 1,2 ,s )s ，系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個數(shù)；15.設(shè) mn 的矩陣 A 的秩為 r ，則 n

17、 元齊次線性方程組 Ax 0 的解集 S 的秩為：r( S)n r ；16.若 *為 Axb 的一個解，1, 2 , , n r 為 Ax 0 的一個基礎(chǔ)解系，則* , 1 , 2 ,n r 線性無關(guān)；（P111 題33結(jié)論）學習必備歡迎下載5、相似矩陣和二次型1. 正交矩陣ATA E或A1AT （定義），性質(zhì)：、 A 的列向量都是單位向量，且兩兩正交，即aiT aj1ij (i, j 1,2, n) ；0ij、若 A 為正交矩陣，則 A 1AT 也為正交陣，且A1；、若 A 、 B 正交陣，則 AB 也是正交陣；注意：求解正交陣，千萬不要忘記施密特正交化 和單位化 ；2. 施密特正交化： (a1 ,a2 , , ar )b1a1 ；b2a2b1 ,a2 b1b1 ,b1 brarb1 ,ar b1b2 , ar b2 br 1, ar br 1 ;b1 , b1 b2 ,b2 br 1,br 13. 對于普通方陣，不同特征值對應的特征向量線性無關(guān)；對于 實對稱陣 ，不同特征值對應的特征向量正交；4. 、 A與B等價、 A與B合同、 A與