應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)第二章PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)第二章應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)第二章 第一節(jié) 隨機(jī)變量第1頁/共126頁一、 隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生 在實(shí)際問題中，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用數(shù)量來表示，由此就產(chǎn)生了隨機(jī)變量的概念。（1）有些試驗(yàn)結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（就是一個(gè)數(shù)）。例如： 擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；五月份北京的最高溫度； 每天進(jìn)入上海站的旅客數(shù)； 昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)；第2頁/共126頁（2）在有些試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果看來與數(shù)值無關(guān)，但我們可以引進(jìn)一個(gè)變量來表示它的各種結(jié)果.也就是說，把試驗(yàn)結(jié)果數(shù)值化。 例如：裁判員在運(yùn)動(dòng)場上不叫運(yùn)動(dòng)員的名字而叫號碼，名字與號碼之間建立了一種對應(yīng)關(guān)系。第3頁/共126頁這種對應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)上理解為定義了一種實(shí)值

2、單值函數(shù)。e.X(e)sR這種實(shí)值函數(shù)與在高等數(shù)學(xué)中大家接觸到的函數(shù)不一樣！第4頁/共126頁（1）它隨試驗(yàn)結(jié)果的不同而取不同的值，因而在試驗(yàn)之前只知道它可能取值的范圍，而不能預(yù)先肯定它將取哪個(gè)值。（2）由于試驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率，于是這種實(shí)值函數(shù)取每個(gè)值和每個(gè)確定范圍內(nèi)的值也有一定的概率。稱這種定義在樣本空間S上的實(shí)值單值函數(shù)X= X(e)為隨量機(jī)變簡記為 r.v. 第5頁/共126頁 而表示隨機(jī)變量所取的值時(shí),一般采用小寫字母 x, y, z, u, v, w 等。隨機(jī)變量通常用大寫字母X,Y,Z, U,V ,W等表示第6頁/共126頁有了隨機(jī)變量, 隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件，就可以通過

3、隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來。例如：單位時(shí)間內(nèi)某電話交換臺收到的呼叫次數(shù)用X表示，它是一個(gè)隨機(jī)變量。 事件收到不少于1次呼叫沒有收到呼叫 X 1X= 0 二、 引入隨機(jī)變量概念的意義第7頁/共126頁隨機(jī)變量非離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量混合型隨機(jī)變量我們將研究兩類隨機(jī)變量：（1）離散型隨機(jī)變量（2）連續(xù)型隨機(jī)變量三、 隨機(jī)變量的分類第8頁/共126頁 對一均勻硬幣拋一次，觀察正反面情況。1,( )0,.eHXX eeT定義隨機(jī)變量, ,H T =樣本空間11,2P X10,2P X 例2.1第9頁/共126頁 測量某工廠一天生產(chǎn)燈泡的壽命。=樣本空間 |0,t t 定義隨機(jī)變量(

4、)XX et例2.2可以考察 P100X150=? P1000X1500=?第10頁/共126頁 一報(bào)童賣報(bào)，每份0.15元，其成本為0.10元。報(bào)館每天給報(bào)童1000份報(bào)，并規(guī)定他不得把賣不出的報(bào)紙退回。 設(shè)X為報(bào)童每天賣出的報(bào)紙份數(shù)，試將報(bào)童賠錢這一事件用隨機(jī)變量的表達(dá)式表示。當(dāng) 0.15 X1000 0.1時(shí)，報(bào)童賠錢 故 報(bào)童賠錢 X 666 解：分析報(bào)童賠錢 賣出的報(bào)紙錢不夠成本例2.3第11頁/共126頁 第二節(jié) 離散型隨機(jī)變 量及其分布第12頁/共126頁(2) 取每個(gè)值的概率為: 從中任取3 個(gè)球，取到的白球數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量。(1) X 可能取的值是0,1,2 ; 看一個(gè)例子

5、一、離散型隨機(jī)變量分布律的定義 33351010CP X =C 2132356110,C CP XC 1232353210C CP XC定義2.1 若隨機(jī)變量X的所有可能取值是有限多個(gè)或可列無限多個(gè), 這種隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量。第13頁/共126頁則稱P(X=xk)=pk(k=1, 2, ) （公式法）為隨機(jī)變量X 的概率分布律，簡稱分布律。分布律可用概率分布表表示為： （列表法）定義2.2 設(shè)離散型隨機(jī)變量X，其所有可能取值為x1, x2, , xk, , 且取這些值的概率依次為p1, p2, , pk, , 即P(X=xk)=pk, (k=1, 2, )11)(kkkkpxXP1 1

6、而且滿足（1）P(X=xk)=pk0，(k=1, 2, )（2）Xx1x2x3xkPp1p2p3pk第14頁/共126頁分布律也可用概率分布圖表示：或?qū)懽? X,2121kkpppxxx第15頁/共126頁解 依據(jù)分布律的性質(zhì)kkXP1)(P(X =k)0, 從中解得1!0aekakk a0 ,即 ea設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為,!)(kakXPkk = 0,1,2, ,試確定常數(shù)a。00kkke! 例2.4第16頁/共126頁 某籃球運(yùn)動(dòng)員投中籃圈概率是0.9，求他兩次獨(dú)立投籃投中次數(shù)X的概率分布。解 X可取值為0,1,2 ; PX =0=(0.1)(0.1)=0.01 PX =1= 2(0.9

7、)(0.1) =0.18 PX =2=(0.9)(0.9)=0.81Xkp0120 010 180 81.X的分布律：例2.5第17頁/共126頁 一汽車沿一街道行駛，需要通過三個(gè)均設(shè)有紅綠信號燈的路口，每個(gè)信號燈為紅或綠與其它信號燈為紅或綠相互獨(dú)立，且紅綠兩種信號燈顯示的時(shí)間相等。 以X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個(gè)數(shù)，求X的分布律。 PX=0=P(A1)=1/2, 解: 依題意, X可取值0, 1, 2, 3。Ai=第i個(gè)路口遇紅燈, i=1,2,3設(shè)例2.6第18頁/共126頁321AAA PX=2=P( )212121=1/8X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個(gè)數(shù)PX=

8、1=P( )21AA2121= 1/4第19頁/共126頁321AAA=1/8同理，P(X=3)= P( )212121818141213210X即第20頁/共126頁解 X的所有可能取值為2，3,4，12,其分布律為 一骰子擲兩次，用X表示所得點(diǎn)數(shù)之和，求X取可能值的概率。例2.7第21頁/共126頁（1） (01)分布如果隨機(jī)變量X的分布律為110,1, 0 1-kkP X = k = p- p,k =p.則稱X服從參數(shù)為p的(01)分布。即011PX =X =或011P X =+ P X =pXkp1p10（01）分布的分布律也可寫成二、常用的離散型隨機(jī)變量及其分布第22頁/共126頁注

9、： 服從（01）分布的隨機(jī)變量很多，如果涉及的試驗(yàn)只有兩個(gè)互斥的結(jié)果： ，都可在樣本空間上定義一個(gè)服從（01）分布的隨機(jī)變量：AA、 不發(fā)生。不發(fā)生。發(fā)生，發(fā)生，AAX, 0, 1第23頁/共126頁p伯努利(Bernoulli) 模型 設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)滿足：1在相同條件下進(jìn)行n次重復(fù)試驗(yàn)；2每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果，A發(fā)生或A不發(fā)生；3在每次試驗(yàn)中，A發(fā)生的概率均一樣，即P(A)=p；4各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的，則稱這種試驗(yàn)為貝努里概型或n重貝努里試驗(yàn)。計(jì)算公式為: ) )- -1 1( ( ; ;, ,; ;pqnkqpCpnkBknkkn , 2 , 1 , 0,)(第24頁/共126頁以隨機(jī)變量

10、X表示n次試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)，X可能取值為0,1,2,n。設(shè)每次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率為p，A不發(fā)生的概率為1-p，(X=k)表示事件“n重貝努里試驗(yàn)中A出現(xiàn)k次”，即 個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)kknknkknkAAAAAAAAAAAAAAAAAA11這里每一項(xiàng)表示k次試驗(yàn)中出現(xiàn)A，而另外n-k次試驗(yàn)中出現(xiàn)且每一項(xiàng)兩兩互不相容，一共有Cnk項(xiàng)。A由4獨(dú)立性可知每一項(xiàng)的概率均為pk(1-p)1-k，因此nkqpCkXPknkkn, 2 , 1 , 0,)( 第25頁/共126頁若隨機(jī)變量X具有概率分布律 nkqpCkXPknkkn, 2 , 1 , 0,)( 其中p+q=1，則稱隨機(jī)變量X服從以n，

11、p為參數(shù)的二項(xiàng)分布，記為XB(n,p) （或稱伯努利分布）。可以證明：nkqpCkXPknkkn, 2 , 1 , 00,)( 1)()(nnkknkknnkqpqpCkXP00特別地，當(dāng)n=1時(shí)P(X=k)=pkq1-k(k=0,1)即為0-1分布。 p 二項(xiàng)分布第26頁/共126頁 古典概型與伯努利概型不同，有何區(qū)別？請思考：伯努利概型對試驗(yàn)結(jié)果沒有等可能的要求，但有下述要求：（1）每次試驗(yàn)條件相同；（2）每次試驗(yàn)只考慮兩個(gè)互逆結(jié)果 且（3）各次試驗(yàn)相互獨(dú)立。AA或；pAPpAP 1)(;)(第27頁/共126頁 某人射擊命中率為0.02，獨(dú)立射擊400次，試求至少擊中2次的概率？解 設(shè)X

12、表示擊中的次數(shù)，則 (400,0.02)Xb所以分布律4004000.02 0.98kkkP XkC則所求概率0.9972 1012 XPXPXP3994008.902.004008.901 例2.8第28頁/共126頁 不可忽視小概率事件; 反過來看，如果一個(gè)人射擊400次，擊中竟不到兩次，由于PX20，n是正整數(shù)，若npn=，則對任一固定的非負(fù)整數(shù)k，有 ekppCkknnknknn!)1(lim第31頁/共126頁（4）泊松分布, 2 , 1 , 0,!)( kekkXPk 設(shè)隨機(jī)變量X所有可能取的值為0 , 1 , 2 , , 且概率分布為：其中 0 是常數(shù)，則稱 X 服從參數(shù)為 的泊

13、松分布，記作X 。)( 第32頁/共126頁 泊松定理表明，泊松分布是二項(xiàng)分布的極限分布，當(dāng)n很大，p很小時(shí)，二項(xiàng)分布就可近似地看成是參數(shù)=np的泊松分布。第33頁/共126頁設(shè)商店在月底應(yīng)進(jìn)某種商品m件,求滿足P X m 0.95 的最小的m。進(jìn)貨數(shù)銷售數(shù)解: 設(shè)該商品每月銷售數(shù)為X，X服從參數(shù) =5的泊松分布。 一家商店采用科學(xué)管理，由該商店過去的銷售記錄知道，某種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù) =5的泊松分布來描述，為了以95%以上的把握保證不脫銷，問商店在月底至少應(yīng)進(jìn)某種商品多少件？ PXm 0.05也即 1505. 0!5mkkke例2.10第34頁/共126頁查泊松分布表得,032.

14、0!5105kkke068. 0!595kkke于是得 m+1=10,m=9件。第35頁/共126頁所以分布律為22,0,1,2,!keP Xkkk解 由條件得：21!2!ee2 隨機(jī)變量,已知求 的值，并寫出X的分布律。12P XP X(0) X例2.11第36頁/共126頁 某城市有1%色盲者，問從這個(gè)城市里選出多少人才能使里面至少有一位色盲患者的概率少于0.95？ ( , 0.01)Xb n解 設(shè)選出n個(gè)人，n人中色盲患者為兩邊取對數(shù)所以得300nln0.05299.57ln0.99n 則11010.990.95nP XP X 0.990.05n0.01 0.99kkn knP XkC例

15、2.12第37頁/共126頁 80臺同類型設(shè)備，各臺工作相互獨(dú)立，發(fā)生故障的概率p=0.01，有兩種配備維修工人的方法：4個(gè)人每人負(fù)責(zé)20臺；3個(gè)人共同負(fù)責(zé)80臺。問那種方案好?(比較發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率)解： 設(shè)X表示“第一個(gè)人維護(hù)的20臺中同時(shí)發(fā)生故障的臺數(shù)”，Ai表示“第i個(gè)人維護(hù)的20臺中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修”，i=1,2,3,4例2.13由題意可得 Xb(20,0.01)第38頁/共126頁2101P XP XP X 00201119202010.010.990.01 0.990.0169CC 4個(gè)人維護(hù)的80臺中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率12341()()20.0169

16、P AAAAP AP X第一個(gè)人維護(hù)的20臺中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率第39頁/共126頁 設(shè)Y表示“80臺同時(shí)發(fā)生故障的臺數(shù)”則3人維護(hù)的80臺中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率3041iP XP Xi 38080010.010.990.0087ikkiC 總之即第種方案的工作效率高。1234()4P AAAAP Y第40頁/共126頁 第三節(jié) 隨機(jī)變量的 分布函數(shù)第41頁/共126頁p 離散型隨機(jī)變量，我們可用分布律來完整地描述。p 對于非離散型隨機(jī)變量，其取值不可能一個(gè)一個(gè)列舉出來，而且取某個(gè)值的概率可能是零。p 在測試燈泡的壽命時(shí)，可以認(rèn)為壽命X的取值充滿了區(qū)間0,+)，事件X=x0表

17、示燈泡的壽命正好是x0。p 在實(shí)際中，即使測試數(shù)百萬只燈泡的壽命，可能也不會(huì)有一只的壽命正好是x0，也就是說，事件(X=x0)發(fā)生的頻率在零附近波動(dòng)，認(rèn)為P(X=x0)=0。 p 由于許多隨機(jī)變量的概率分布情況不能以其取某個(gè)值的概率來表示，因此我們往往關(guān)心隨機(jī)變量X取值落在某區(qū)間 (a,b上的概率(ab)。這就是我們下面要討論的問題。 第42頁/共126頁 xxXPxF,為X 的分布函數(shù)。設(shè) X 是一個(gè)隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，稱函數(shù)定義2.4上的概率。,(x分布函數(shù)F(x)的值就表示X 落在區(qū)間第43頁/共126頁對任意實(shí)數(shù)x1x2，用F(x)刻畫隨機(jī)點(diǎn)落在區(qū)間（x1，x2上的概率。則12P

18、xXx 2xXP 1xXP 12xFxF 21xXxP1xXP 21xXxP )()(12xFxF 1xXP 第44頁/共126頁 設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過3盞信號燈。每盞信號燈以概率1/2允許汽車通過或禁止汽車通過。以X表示汽車首次停下時(shí)，它已通過的信號燈的盞數(shù)(各信號燈工作相互獨(dú)立)。求X的分布律、分布函數(shù)以及概率。)2523(),23( XPXP解 設(shè)p為每盞信號燈禁止汽車通過的概率，則 P(X=k)=p(1-p)k，k=0,1,2；P(X=3)=(1-p)3，故X的分布律為：，)32( XPX0123P1/21/41/81/8例2.14第45頁/共126頁1211241112

19、4811112488000112( )()233xxxF xP Xxxx 3132211000874321xxxxxX的分布函數(shù)：X0123P1/21/41/81/8所求概率為43)23()23(FXP第46頁/共126頁814387)23()25()2523(FFXP)2()32()32(XPXPXP)2()2()3(XPFF41818713132211000)(874321xxxxxxF第47頁/共126頁一般地，X是離散型隨機(jī)變量，其概率分布律為P(X=xk)=pk, (k=1, 2, )則X的分布函數(shù)F(x)為 xxxxkkkkpxXPxXPxF)()()(F(x)的圖像：非降，右連續(xù)

20、，且在x1，x2 ，xk，處跳躍。13210.10.41x( )F x0第48頁/共126頁 1. 單調(diào)不減性：若x1x2, 則F(x1)F(x2)； 2. 歸一 性：對任意實(shí)數(shù)x，0F(x)1，且 ;1)(lim)(, 0)(lim)( xFFxFFxx )()(lim) 0(000 xFxFxFxx3. 右連續(xù)性：對任意實(shí)數(shù)x，反之，具有上述三個(gè)性質(zhì)的實(shí)函數(shù)，必是某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)。故該三個(gè)性質(zhì)是分布函數(shù)的充分必要性質(zhì)。第49頁/共126頁 已知 BxAxFarctan，求 A、 B。解02BAF12BAF211BA 11arctan2F xx所以例2.15第50頁/共126頁試說明F

21、(x)能否是某個(gè)r.v.的分布函數(shù)。 設(shè)有函數(shù) F(x) 其它其它00sin)( xxxF解 ： 注意到函數(shù) F(x)在 上下降，不滿足性質(zhì)(1)，故F(x)不能是分布函數(shù)。,2不滿足性質(zhì)(2)， 可見F(x)也不能是r.v. 的分布函數(shù)。或者0)(lim)(xFFx例2.16第51頁/共126頁解 因?yàn)? )F xP Xx例2.17當(dāng)x0時(shí)，Xx不可能發(fā)生，F(xiàn)(x)=0。200P XPXxk x當(dāng)0 x2時(shí)， F(x)=PX2時(shí)， F(x)=PXx=1 ., 0, 20,2)(其它其它若記若記tttf.d)()(ttfxFx 則則,()()(上的積分上的積分在區(qū)間在區(qū)間恰是非負(fù)函數(shù)恰是非負(fù)函

22、數(shù)xtfxF此時(shí)稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量。第53頁/共126頁對任意實(shí)數(shù) x 有0,x2.x顯然( )0f x ( )( )xF xf t dt00,xdt20010,24xxdtt dt02021011,2xdtt dtdt02,x0第54頁/共126頁 第四節(jié) 連續(xù)型隨機(jī)變 量及其分布第55頁/共126頁p測試燈泡的壽命，用X 表示燈泡的壽命；p測試上課遲到情況，用X 表示你到達(dá)教室的時(shí)間。特點(diǎn)：X 的取值充滿一個(gè)區(qū)間a,b 或a,+)X 的取值無法一一列出；這類問題，人們關(guān)心的重點(diǎn)是什么？第56頁/共126頁比如，人們對產(chǎn)品的了解是，壽命不超過500小時(shí)的概率為0.71，壽命在500到800

23、小時(shí)之間的概率是0.22，在800到1000小時(shí)之間的概率為0.07?？僧媹D示意，用矩形的面積表示相應(yīng)的概率。o0.710.220.07500 800 1000O 200 400 600 800 1000為了更精確，無限細(xì)分下去，得到第57頁/共126頁f (x)x0ab圖中“曲邊梯形”（陰影區(qū)域）的面積即為X 落在區(qū)間a , b上的概率。該曲線稱為隨機(jī)變量X 的分布密度曲線。曲線對應(yīng)的函數(shù)稱為隨機(jī)變量X 的分布密度函數(shù)，記為f (x)。分布密度函數(shù) f (x) 完全描述了隨機(jī)變量X 的規(guī)律。第58頁/共126頁定義2.5 X是隨機(jī)變量,若存在非負(fù)可積函數(shù)f(x)，(-x+)，使對一切實(shí)數(shù)a，

24、b(ab)，均有 badxxfbXaP)()(則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，且稱f(x)為隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或密度函數(shù)。常記為X f(x) , (- x 1000)，所以p 不可能事件的概率為零，但概率為零的事件不一定是不可能事件。p 同樣，必然事件的概率為1，但概率為1的事件不一定是必然事件。第62頁/共126頁 對于任意的數(shù)ab, 有f (x)1x0ab連續(xù)型隨機(jī)變量 X 落在某區(qū)間a,b上的概率=F(x)在該區(qū)間上的改變量=f(x)在該區(qū)間上的積分(與端點(diǎn)是否在內(nèi)無關(guān))bXaPbXaPbXaPbXaP )()()(aFbFdxxfba 第63頁/共126頁 概率密度f(x)

25、在點(diǎn)x處連續(xù)，則有( )( ).F xf x f(x)在x0處連續(xù)，且h充分小時(shí),有 hxfhxXxP )()(000hxfdxxfhxXxPhxx )()()(00000f(x)稱為概率密度的原由 hhxXxPxf )()(000 第64頁/共126頁 要注意的是，密度函數(shù) f (x)在某點(diǎn)處a的高度，并不反映X取值的概率。但是，這個(gè)高度越大，則X取a附近的值的概率就越大。也可以說，在某點(diǎn)密度曲線的高度反映了概率集中在該點(diǎn)附近的程度。 f (x)xoa第65頁/共126頁概率密度函數(shù)圖形：稱為山形函數(shù)第66頁/共126頁分布函數(shù)的圖形第67頁/共126頁求下列函數(shù)是否為概率密度函數(shù)設(shè)連續(xù)性隨

26、機(jī)變量X的分布函數(shù)為)(11)(2 xxxf）（ )(arctan121)( xxxF 試求X的密度函數(shù)。例2.18例2.19第68頁/共126頁解2XP3XP 2F41 e 31F31XP6e xFxf22000 xexx 設(shè)X 的分布函數(shù)為 21,00,0 xexF xx求 23,.P XP Xfx例2.20第69頁/共126頁 xdttfxFx時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)00 xdttfxFx時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)1000( )( )xf t dtf t dt xtdt022x解：根據(jù)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)的積分表示得設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為： 其它021210 xxxxxf求隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。例2.2

27、1第70頁/共126頁 xdttfxFx時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)210101( )( )( )xf t dtf t dtf t dtxdtttdt110212212xx 其它021210 xxxxxf第71頁/共126頁 xdttfxFx時(shí)，當(dāng)2012012x120121tdtt dt xxxxxxxxF21211221020022綜上得分布函數(shù)為： 其它021210 xxxxxf第72頁/共126頁分布函數(shù)離散型r.v的分布函數(shù)連續(xù)型r.v的分布函數(shù)分布函數(shù)的性質(zhì)概率分布律與分布函數(shù)的關(guān)系概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系第73頁/共126頁1. 均勻分布則稱X在區(qū)間( a, b)上服從均勻分布，記作X U(a,

28、 b)其它, 0,1)(bxaabxf若 r .v .X的概率密度為：若XUa, b，則X具有下述等可能性：X落在區(qū)間a, b中任意長度相同的子區(qū)間里的概率是相同的，即X落在子區(qū)間里的概率只依賴于子區(qū)間的長度，而與子區(qū)間的位置無關(guān)。第74頁/共126頁對任意實(shí)數(shù)c, d (acdb)，l=d-c，都有dcdcablabcddxabdxxfdXcP1)()(., 1, 0)(bxbxaabaxaxxFX的分布函數(shù) f(x),F(x)的圖像分別為O a b xf(x)ab1O a b xF(x)1第75頁/共126頁 公交線路上兩輛公共汽車前后通過某汽車停車站的時(shí)間，即乘客的候車時(shí)間等。均勻分布常

29、見于下列情形： 如在數(shù)值計(jì)算中，由于四舍五 入，小數(shù)點(diǎn)后某一位小數(shù)引入的誤差；第76頁/共126頁解依題意， X U ( 0, 30 ) 以7:00為起點(diǎn)0，以分為單位其它, 0300,301)(xxf 某公共汽車站從上午7時(shí)起，每15分鐘來一班車，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等時(shí)刻有汽車到達(dá)此站，如果乘客到達(dá)此站時(shí)間 X 是7:00 到 7:30 之間的均勻隨機(jī)變量, 試求他候車時(shí)間少于5 分鐘的概率.例2.22第77頁/共126頁 為使候車時(shí)間X少于 5 分鐘，乘客必須在 7:10 到 7:15 之間，或在7:25 到 7:30 之間到達(dá)車站。所求概率為：30251510

30、 XPXP3130130130251510 dxdx即乘客候車時(shí)間少于5 分鐘的概率是1/3.從上午7時(shí)起，每15分鐘來一班車，即 7:00，7:15，7:30等時(shí)刻有汽車到達(dá)汽車站，第78頁/共126頁解因?yàn)楫?dāng)時(shí)，方程有實(shí)根，故所求240X 概率為240(2)(2)P XPXX 22P XP X 利用1,16( )50, xf xother從而622142( )55P Xf x dxdx20P X 同理 設(shè)隨機(jī)變量X 服從1，6上的均勻分布，求一元二次方程有實(shí)根的概率。210tXt 練一練第79頁/共126頁指數(shù)分布。為常數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的其中)0(2. 指數(shù)分布若隨機(jī)變量X 的

31、概率密度為： 000,xexfxxl( )f xx0概率密度的圖形指數(shù)分布的分布函數(shù)為 0,01,0 xxF xex指數(shù)分布常用來描述元件的使用壽命,隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)的服務(wù)時(shí)間等。 第80頁/共126頁(2)已知該電子元件已使用了1.5年，求它還能使用兩 電子元件的壽命X(年）服從3的指數(shù)分布(1)求該電子元件壽命超過2年的概率。年的概率為多少？解330( )00,xexf xx,3)2() 1 (623edxeXPx65 . 135 . 3333)5 . 1()5 . 1, 5 . 3()5 . 1|5 . 3()2(edxedxeXPXXPXXPxx例2.23第81頁/共126頁指數(shù)分布的特點(diǎn)

32、是“無記憶性”，元件在使用t 時(shí)間后無損壞，用指數(shù)分布來計(jì)算，其壽命與新的時(shí)候相同。這與分布不同。以分布來描述使用壽命，則與使用時(shí)間有關(guān)。第82頁/共126頁 假設(shè)顧客在某銀行窗口等待服務(wù)的時(shí)間(單位:分鐘)X 服從指數(shù)為的指數(shù)分布。若等待時(shí)間超過10分鐘，則他離開，假設(shè)他一個(gè)月內(nèi)要來銀行5次。 以 Y表示一個(gè)月內(nèi)他沒有等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，求Y的分布律及至少有一次沒有等到服務(wù)的概率1/51P Y 。例2.24第83頁/共126頁現(xiàn)在 X 的概率密度為解Y是離散型，Yb(5，p) ，其中10pP X1 51 5,0( )0, xexf xother25101105xpP XedxeY的分布

33、律為2 51101 (1)0.5167P YP Ye 22 55() (1),0,1,5kkkpP XkCeekY第84頁/共126頁正態(tài)分布是實(shí)踐中應(yīng)用最為廣泛，在理論上研究最多的分布之一，故它在概率統(tǒng)計(jì)中占有特別重要的地位。3. 正態(tài)分布ABA，B間真實(shí)距離為，測量值為X。X的概率密度應(yīng)該是什么形態(tài)？第85頁/共126頁p在大量重復(fù)試驗(yàn)中，得到一組數(shù)據(jù)，這組數(shù)據(jù)雖然有波動(dòng)，但總是以某個(gè)常數(shù)為中心。偏離中心越近的數(shù)據(jù)越多；偏離中心越遠(yuǎn)的數(shù)據(jù)越少。取值呈“中間大、兩頭小”的格局，即取值具有對稱性。此隨機(jī)變量是一個(gè)服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量。p正態(tài)分布是概率論中最重要的分布： 正態(tài)分布可以作為許多分

34、布的近似分布。 大量的隨機(jī)現(xiàn)象都是服從或近似服從正態(tài)分布。 正態(tài)分布有許多良好的性質(zhì)。第86頁/共126頁正態(tài)分布是應(yīng)用最廣泛的一種連續(xù)型分布。德莫佛高斯德莫佛最早發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)分布概率的一個(gè)近似公式，這一公式被認(rèn)為是正態(tài)分布的首次露面。正態(tài)分布在十九世紀(jì)前葉由高斯加以推廣，所以通常稱為高斯分布。第87頁/共126頁定義2.6 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為的正態(tài)分布或高斯(Gauss)分布，記為2X N , 22221 xexf其中為常數(shù)，則稱 X 服從參數(shù)為 0, ,第88頁/共126頁 (2) 單峰對稱 密度曲線關(guān)于直線x=對稱，即f ( +x)=f ( -x)，x(-,+) 21正態(tài)分布密度

35、函數(shù)f(x)的性質(zhì)(3) x= 時(shí)， f (x)取得最大值f ()= ； (4) x= 處有拐點(diǎn)； ;1;0)()1( dxxfxf第89頁/共126頁事實(shí)上 , 22212x f x dxedx 22212x edx 222022x edx ,2xt 令令則有 dxxfdtet202 122 202tedt 第90頁/共126頁(5)的大小直接影響概率的分布，越大，曲線越平坦，越小，曲線越陡峭。（如圖）(6)曲線f(x)以x軸為漸近線。第91頁/共126頁 決定了圖形的中心位置， 決定了圖形中峰的陡峭程度(為形狀參數(shù))，正態(tài)分布由它的兩個(gè)參數(shù)和 唯一確定，當(dāng) 和不同時(shí)，是不同的正態(tài)分布。第9

36、2頁/共126頁正態(tài)分布N( , 2) 的分布函數(shù) 22()21,2txF xedtx 第93頁/共126頁定義2.7若X 的概率密度為則稱 X 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為XN(0,1)，X的分布函數(shù)為 2221xex xtdtex2221)(x )(x 第94頁/共126頁的性質(zhì) : ;2101 dtet 022210 21212122 dtet ;1,2xxRx 221()2txxedtx dtexxt 2221 事實(shí)上 ,22112uxedu x 12212uxutedu 第95頁/共126頁 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個(gè)一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。定理2.8

37、.1 ,0,2NXZNX 則則若若 證明略。根據(jù)定理2.8，只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算問題。第96頁/共126頁 書附錄有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算查表。正態(tài)分布表dtexxt 2221)( )(1)(xx 當(dāng) x 0 時(shí), (x)的值。第97頁/共126頁若 XN(0,1),)()()(abbXaP )(bYaP)(bXaP)()( ab),(2NX若 XYN(0,1) 則第98頁/共126頁由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查表計(jì)算可以求得，當(dāng)XN(0,1)時(shí)，p這說明，X的取值幾乎全部集中在-3,3區(qū)間內(nèi)，超出這個(gè)范圍的可能性僅

38、占不到0.3%。P(|X|1)=2 (1)-1=0.6826 P(|X|2)=2(2)-1=0.9544P(|X|3)=2(3)-1=0.9974 3 準(zhǔn)則p將上述結(jié)論推廣到一般的正態(tài)分布,可以認(rèn)為，Y 的取值幾乎全部集中在 -3， +3區(qū)間內(nèi)。這在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱作“3準(zhǔn)則”。第99頁/共126頁標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上 分位點(diǎn)則稱點(diǎn) 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上 分位點(diǎn)。z設(shè)XN(0,1)，若數(shù) 滿足條件z , 01P Xz P Xz 11P Xz 1 P Xz zz 1第100頁/共126頁P(yáng)(X h)0.01或 P(X0.996170 h因而 = 2.33,即 h=170+13.98 184設(shè)計(jì)車門高度為18

39、4厘米時(shí)，可使男子與車門碰頭機(jī)會(huì)不超過0.01。求滿足P(X h ) 0.99的最小的 h。因?yàn)?XN(170,62),)1 , 0(6170NX 所以 。故 P(X h)=17017066XhP 1706h 第102頁/共126頁12PX； 1221PX 0.97720.84130.1359解：(2)1.24P X 設(shè)隨機(jī)變量XN(0,1)，試求1.24P X 24. 124. 11 1075. 08925. 01例2.26第103頁/共126頁)321()325( 311解. 32),3, 2(2NX設(shè)隨機(jī)變量XN(2,9) ，試求： 13110.84130.6293 10.4706 51

40、 XP32532321XP51 XP例2.27設(shè)XN(3, 2)且P1X5。解 由圖形可得例2.28PX5=0.5-0.3=0.2第104頁/共126頁 第五節(jié) 隨機(jī)變量函數(shù) 的分布第105頁/共126頁一、問題的提出24d 求截面面積A= 的分布。例如，已知圓軸截面直徑 d 的分布，第106頁/共126頁已知t=t0 時(shí)刻噪聲電壓V 的分布，求功率 W=V2/R (R為電阻）的分布等。t0t0第107頁/共126頁隨機(jī)變量的函數(shù)設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，Y是X的函數(shù)，Y=g(X), 則Y也是一個(gè)隨機(jī)變量，當(dāng)X取值x時(shí)，Y取值為y=g(x)。本節(jié)的任務(wù)已知隨機(jī)變量X的分布，并且已知Y=g(X)，求隨

41、機(jī)變量Y的分布(分布律或分布密度)。第108頁/共126頁二、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布解： 當(dāng) X 取值 1，2，5 時(shí)，Y 取對應(yīng)值 5，7，13，而且X取某值與Y取其對應(yīng)值是兩個(gè)同時(shí)發(fā)生的事件，兩者具有相同的概率。3013502075.Y故設(shè)X 3 . 055 . 02 . 021，求 Y= 2X + 3 的概率函數(shù)。例2.29第109頁/共126頁如果g( xk) 中有一些是相同的，把它們作適當(dāng)并項(xiàng)即可。一般地，若X是離散型 r.v. ，X 的分布律為X nnpppxxx2121則 Y=g(X) nnpppxgxgxg2121)()()(第110頁/共126頁 設(shè)某工程隊(duì)完成某項(xiàng)工程所需

42、時(shí)間為X(天)近似服從參數(shù)為 =500， 2=52的正態(tài)分布，獎(jiǎng)金方法規(guī)定，若在100天內(nèi)完成，則得超產(chǎn)獎(jiǎng)10000萬元；若在若在100天至115天內(nèi)完成，則得超產(chǎn)獎(jiǎng)1000元；若完成時(shí)間超過115天，則罰款5000元。求該工程隊(duì)在完成這項(xiàng)工程時(shí)，獎(jiǎng)金額Y的分布律。解 依題意XN(100,52)5000,1151000,10011510000,100XYXX練一練第111頁/共126頁可見Y是X的函數(shù)，且是離散型隨機(jī)變量。115 10050001151()5P YP X 1(3)10.99870.0013 115 1001000100115()(0)5P YPX 0.498710000100(

43、0)P YP X 0.5則Y的分布律為Ykp50001000010000.00130.49870.5第112頁/共126頁. 分布函數(shù)法（一般的函數(shù)都適用） 先求Y=g(X)的分布函數(shù)FY(y),( ) ()YFyP YyP g Xy( )( )( )YXg xyFyfx dx 再利用Y=g(X)的分布函數(shù)與概率密度之間的關(guān)系求Y=g(X)的概率密度為 YYfyFy三、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布第113頁/共126頁 設(shè) X 其它, 040, 8/)(xxxfX求 Y=2X+8 的概率密度。解 設(shè)Y的分布函數(shù)為 FY(y)，F(xiàn)Y(y)=P Yy = P (2X+8y )=P X = FX( )28y28y于是Y 的密