通原4第4章-傅里葉變換V2

1、信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-1 1 1頁頁頁電子教案第四章第四章 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析4.1 4.1 信號分解為正交函數(shù)信號分解為正交函數(shù)4.2 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 一、傅里葉級數(shù)的三角形式傅里葉級數(shù)的三角形式 二、傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式二、傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式4.3 4.3 周期信號的頻譜周期信號的頻譜 一、周期矩形脈沖的頻譜一、周期矩形脈沖的頻譜 二、周期信號的頻譜二、周期信號的頻譜 三、周期信號的功率三、周期信號的功率4.4 4.4 非周期信號的頻譜非周期信號的頻譜傅里葉變換傅里葉變換 一、信號的傅里葉變換一、信號的傅里葉變換 二、常見信號、

2、奇異信號的傅立葉變換二、常見信號、奇異信號的傅立葉變換信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-2 2 2頁頁頁電子教案第四章第四章 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析4.5 4.5 傅里葉變換的性質傅里葉變換的性質4.6 4.6 周期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換 一、正弦、余弦信號的傅立葉變換一、正弦、余弦信號的傅立葉變換 二、周期信號的傅立葉變換二、周期信號的傅立葉變換 三、傅立葉系數(shù)與傅立葉變換之間的關系三、傅立葉系數(shù)與傅立葉變換之間的關系4.7 LTI4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的頻域分析 一、頻率響應一、頻率響應 二、無失真?zhèn)鬏斉c理想低通濾波器二、無失真?zhèn)鬏斉c理

3、想低通濾波器4.8 4.8 取樣定理取樣定理信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-3 3 3頁頁頁電子教案第四章第四章 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析 時域分析時域分析，以，以沖激函數(shù)沖激函數(shù)為基本信號，任意輸入為基本信號，任意輸入信號可分解為一系列沖激函數(shù)之和；而信號可分解為一系列沖激函數(shù)之和；而 yzs(t) = f(t)*h(t) 。 本章將以本章將以正弦信號正弦信號和和虛指數(shù)信號虛指數(shù)信號ej t為基本信號，為基本信號，任意輸入信號可分解為一系列任意輸入信號可分解為一系列不同頻率不同頻率的正弦信號的正弦信號或虛指數(shù)信號之和?；蛱撝笖?shù)信號之和。 用于系統(tǒng)分析的獨立變量是

4、用于系統(tǒng)分析的獨立變量是頻率頻率， 故稱為故稱為頻域頻域分析分析 。4.0 引引 言言信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-4 4 4頁頁頁電子教案從本章開始由從本章開始由時域時域轉入轉入變換域變換域分析，首先討論傅分析，首先討論傅里葉變換。傅里葉變換是在傅里葉級數(shù)正交函數(shù)展開里葉變換。傅里葉變換是在傅里葉級數(shù)正交函數(shù)展開的基礎上發(fā)展而產(chǎn)生的，這方面的問題也稱為傅里葉的基礎上發(fā)展而產(chǎn)生的，這方面的問題也稱為傅里葉分析（頻域分析）。將信號進行正交分解，即分解為分析（頻域分析）。將信號進行正交分解，即分解為三角函數(shù)或復指數(shù)函數(shù)的組合。三角函數(shù)或復指數(shù)函數(shù)的組合。頻域分析將頻域分析將時間

5、時間變量變量變換成變換成頻率頻率變量變量，揭示了信，揭示了信號內(nèi)在的頻率特性以及信號時間特性與其頻率特性之號內(nèi)在的頻率特性以及信號時間特性與其頻率特性之間的密切關系，從而導出了信號的頻譜、帶寬以及濾間的密切關系，從而導出了信號的頻譜、帶寬以及濾波、調(diào)制等重要概念。波、調(diào)制等重要概念。 頻域分析頻域分析信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-5 5 5頁頁頁電子教案發(fā)展歷史發(fā)展歷史 1822年年，法國數(shù)學家傅里葉，法國數(shù)學家傅里葉(J.Fourier,1768-1830)在研究熱傳在研究熱傳導理論時發(fā)表了導理論時發(fā)表了“熱的分析理論熱的分析理論”，提出并證明了將周期函數(shù)，提出并證明了將

6、周期函數(shù)展開為正弦級數(shù)的原理，奠定了傅里葉級數(shù)的理論基礎。展開為正弦級數(shù)的原理，奠定了傅里葉級數(shù)的理論基礎。 泊松泊松(Poisson)、高斯、高斯(Guass)等人等人把這一成果應用到電學中去，把這一成果應用到電學中去，得到廣泛應用。得到廣泛應用。 進入進入20世紀以后世紀以后，諧振電路、濾波器、正弦振蕩器等一系列具，諧振電路、濾波器、正弦振蕩器等一系列具體問題的解決為正弦函數(shù)與傅里葉分析的進一步應用開辟了廣體問題的解決為正弦函數(shù)與傅里葉分析的進一步應用開辟了廣闊的前景。闊的前景。 在在通信與控制系統(tǒng)通信與控制系統(tǒng)的理論研究和工程實際應用中，傅里葉變換的理論研究和工程實際應用中，傅里葉變換法

7、具有很多的優(yōu)點。法具有很多的優(yōu)點。 “FFT”快速傅里葉變換為傅里葉分析法賦予了新的生命力?？焖俑道锶~變換為傅里葉分析法賦予了新的生命力。 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-6 6 6頁頁頁電子教案4.1 信號分解為正交函數(shù)信號分解為正交函數(shù)一、矢量正交與正交分解一、矢量正交與正交分解矢量矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)與與Vy = ( vy1, vy2, vy3)正交的定義：正交的定義：其內(nèi)積為其內(nèi)積為0。即。即031iyixiTyxvvVV由兩兩正交的矢量組成的矢量集合由兩兩正交的矢量組成的矢量集合-稱為稱為正交矢量集正交矢量集4.1 4.1 信號分解為正交函

8、數(shù)信號分解為正交函數(shù)信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-7 7 7頁頁頁電子教案如三維空間中，以矢量如三維空間中，以矢量vx=（2，0，0）、）、vy=（0，2，0）、）、vz=（0，0，2)所組成的集合就是一個所組成的集合就是一個正交矢量集正交矢量集。且完備。且完備。例如三維空間的矢量例如三維空間的矢量A =(2，5，8)，可以用正交矢量，可以用正交矢量集集 vx，vy，vz分量的線性組合表示。即分量的線性組合表示。即 A= vx+ 2.5 vy+ 4 vz 矢量空間正交分解的概念可推廣到矢量空間正交分解的概念可推廣到信號空間信號空間。在信。在信號空間找到若干個號空間找到若干個

9、相互正交的信號相互正交的信號作為基本信號，作為基本信號，使信號空間中任意信號均可表示成它們的線性組合。使信號空間中任意信號均可表示成它們的線性組合。 4.1 4.1 信號分解為正交函數(shù)信號分解為正交函數(shù)信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-8 8 8頁頁頁電子教案二、信號正交與正交函數(shù)集二、信號正交與正交函數(shù)集1. 信號正交：信號正交： 定義在定義在(t1，t2)區(qū)間的兩個函數(shù)區(qū)間的兩個函數(shù) 1(t)和和 2(t)，若滿足，若滿足 210d)()(*21ttttt(兩函數(shù)的內(nèi)積為兩函數(shù)的內(nèi)積為0)則稱則稱 1(t)和和 2(t) 在區(qū)間在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)內(nèi)正交正交。 2. 正交

10、函數(shù)集：正交函數(shù)集： 若若n個函數(shù)個函數(shù) 1(t)， 2(t)， n(t)構成一個函數(shù)集，構成一個函數(shù)集，當這些函數(shù)在區(qū)間當這些函數(shù)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)滿足內(nèi)滿足 21, 0, 0d)()(*ttijijiKjittt則稱此函數(shù)集為在區(qū)間則稱此函數(shù)集為在區(qū)間(t1，t2)的的正交函數(shù)集正交函數(shù)集。 4.1 4.1 信號分解為正交函數(shù)信號分解為正交函數(shù)信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-9 9 9頁頁頁電子教案3. 完備正交函數(shù)集：完備正交函數(shù)集： 如果在正交函數(shù)集如果在正交函數(shù)集 1(t)， 2(t)， n(t) 之外，之外，不存在函數(shù)不存在函數(shù) (t) (0) 滿足滿足 則此

11、函數(shù)集為則此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集完備正交函數(shù)集。例如例如： 三角函數(shù)集三角函數(shù)集 1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2, 虛指數(shù)函數(shù)集虛指數(shù)函數(shù)集ejnt，n=0，1，2，是兩組典型的在區(qū)間是兩組典型的在區(qū)間(t0，t0+T)(T = 2 /)上的上的完備完備正交函數(shù)集正交函數(shù)集。21( )( )d0titttt( i =1，2，n)4.1 4.1 信號分解為正交函數(shù)信號分解為正交函數(shù)信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-101010頁頁頁電子教案三、信號的正交分解三、信號的正交分解設有設有n個函數(shù)個函數(shù) 1(t)， 2(t)， n(t)在區(qū)間在區(qū)間(t1，t2)構成一

12、個正交函數(shù)集。將任一函數(shù)構成一個正交函數(shù)集。將任一函數(shù)f(t)(t1，t2)用這用這n個個正交函數(shù)的線性組合來近似，表示為正交函數(shù)的線性組合來近似，表示為f(t)C1 1+ C2 2+ Cn n 如何選擇系數(shù)如何選擇系數(shù)Cj使使f(t)與近似函數(shù)之間誤差在區(qū)間與近似函數(shù)之間誤差在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)為最??？內(nèi)為最?。客ǔ＿x誤差的方均值通常選誤差的方均值(稱為稱為均方誤差均方誤差)，使之最小。，使之最小。ttCtfttttnjjjd )()(121211224.1 4.1 信號分解為正交函數(shù)信號分解為正交函數(shù)信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-111111頁頁頁電子教案為使上式最小

13、，求導數(shù)為使上式最小，求導數(shù)0d)()(21122ttnjjjiittCtfCC展開上式中的被積函數(shù)，并求導。其中只有兩項不為展開上式中的被積函數(shù)，并求導。其中只有兩項不為0，210d)()()(222ttiiiiittCttfCC即即 21210d)(2d)()(22ttiittittCtttf2121d)(d)()(2ttittiitttttfC4.1 4.1 信號分解為正交函數(shù)信號分解為正交函數(shù)所以系數(shù)所以系數(shù)21d)()(1ttiitttfK信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-121212頁頁頁電子教案代入，得最小均方誤差（推導過程見教材）代入，得最小均方誤差（推導過程見

14、教材）0d)(112212221njjjttKCttftt當用正交函數(shù)去逼近當用正交函數(shù)去逼近f(t)時，所取的項數(shù)越多，即時，所取的項數(shù)越多，即n越大，越大，則均方誤差越小。當則均方誤差越小。當n（為完備正交函數(shù)集）時，均（為完備正交函數(shù)集）時，均方誤差為方誤差為零零。此時有。此時有12221d)(jjjttKCttf上式稱為上式稱為(Parseval) 帕斯瓦爾公式帕斯瓦爾公式。表明。表明: 在區(qū)間在區(qū)間(t1,t2) f(t)所含能量所含能量恒等于恒等于f(t)在完備正交函數(shù)集中分解的在完備正交函數(shù)集中分解的各正各正交分量能量的總和交分量能量的總和。 1)()(jjjtCtf4.1 4.

15、1 信號分解為正交函數(shù)信號分解為正交函數(shù)函數(shù)函數(shù)f(t)可分解為無窮多項正交函數(shù)之和可分解為無窮多項正交函數(shù)之和信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-131313頁頁頁電子教案4.1 4.1 信號分解為正交函數(shù)信號分解為正交函數(shù)小結小結21d)()(1ttiiitttfKC21d)(2ttiittK1)()(iiitCtfl 函數(shù)函數(shù)f(t)可分解為無窮多項正交函數(shù)之和：可分解為無窮多項正交函數(shù)之和：12221d)(iiittKCttfl 帕斯瓦爾能量公式帕斯瓦爾能量公式:信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-141414頁頁頁電子教案4.2 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級

16、數(shù)4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)一、傅里葉級數(shù)的三角形式一、傅里葉級數(shù)的三角形式1. 三角函數(shù)集三角函數(shù)集 在一個周期內(nèi)在一個周期內(nèi)是一個完備的正交函數(shù)集。是一個完備的正交函數(shù)集。22cossin0TTntmt dt22,2coscos0,TTTmnn tm t dtmn 22,2sinsin0,TTTmnn tm t dtmn由積分可知由積分可知1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2,信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-151515頁頁頁電子教案4.2 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 設周期信號設周期信號f(t)，其周期為，其周期為T，角頻率，角頻率 =2 /T，當滿，當滿

17、足足狄里赫利狄里赫利 ( Dirichlet ) 條件時，它可分解為如下三角條件時，它可分解為如下三角級數(shù)級數(shù) 稱為稱為f(t)的的傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 。110)sin()cos(2)(nnnntnbtnaatf系數(shù)系數(shù)an , bn稱為稱為傅里葉系數(shù)傅里葉系數(shù) 2. 級數(shù)形式級數(shù)形式 22d)cos()(2TTnttntfTa22d)sin()(2TTnttntfTb可見，可見， an 是是n的偶函數(shù)，的偶函數(shù)， bn是是n的奇函數(shù)。的奇函數(shù)。信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-161616頁頁頁電子教案4.2 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)將上式同頻率項合并，可得到將上式同頻

18、率項合并，可得到10)cos(2)(nnntnAAtf3. 其它形式其它形式 式中式中, A0 = a022nnnbaAnnnabarctan上式表明，上式表明，周期信號可分解為直流和許多余弦分量。周期信號可分解為直流和許多余弦分量。 A0/2為為直流分量直流分量 A1cos( t+ 1)稱為稱為基波或一次諧波基波或一次諧波，其角頻率與原周，其角頻率與原周 期信號相同期信號相同 A2cos(2 t+ 2)稱為稱為二次諧波二次諧波，其頻率是基波的，其頻率是基波的2倍倍一般而言，一般而言，Ancos(n t+ n)稱為稱為n次諧波次諧波。 可見：可見：An是是n的偶函數(shù)，的偶函數(shù)， n是是n的奇函

19、數(shù)。的奇函數(shù)。 an = Ancos n， bn = Ansin n，n =1,2,信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-171717頁頁頁電子教案二、波形的對稱性與諧波特性二、波形的對稱性與諧波特性4.2 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù))()(tftf1 . f(t)為偶函數(shù)為偶函數(shù) 對稱縱坐標對稱縱坐標22d)cos()(2TTnttntfTa22d)sin()(2TTnttntfTbbn =0，展開為，展開為余弦級數(shù)余弦級數(shù)。2 . f(t)為奇函數(shù)為奇函數(shù) 對稱于原點對稱于原點an =0，展開為，展開為正弦級數(shù)正弦級數(shù)。)()(tftf信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4

20、-4-4-181818頁頁頁電子教案4.2 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)3 . f(t)為奇諧函數(shù)為奇諧函數(shù) f(t) = f (tT/2)此時此時 其傅里葉級數(shù)中其傅里葉級數(shù)中只含奇次只含奇次諧波分量，諧波分量，而而不含偶次不含偶次諧波分量諧波分量即即 a0=a2=b2=b4=0 4 f(t)為偶諧函數(shù)為偶諧函數(shù) f(t) = f(tT/2)此時此時 其傅里葉級數(shù)中其傅里葉級數(shù)中只含偶次只含偶次諧波分量，諧波分量，而而不含奇次不含奇次諧波分量諧波分量即即 a1=a3=b1=b3=0 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-191919頁頁頁電子教案三、傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式三、傅里葉

21、級數(shù)的指數(shù)形式 三角形式三角形式的傅里葉級數(shù)，含義明確，但系數(shù)運算多，的傅里葉級數(shù)，含義明確，但系數(shù)運算多，常感不便。因而經(jīng)常采用常感不便。因而經(jīng)常采用指數(shù)形式指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)。的傅里葉級數(shù)。4.2 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) e)(jtnnnFtf22j1( )edTTn tnFf ttT系數(shù)系數(shù)Fn 稱為稱為復傅里葉系數(shù)復傅里葉系數(shù) 利用利用 cosx=(ejx + ejx)/2 可從三角形式推出：可從三角形式推出：虛指數(shù)函數(shù)集虛指數(shù)函數(shù)集ejnt，n=0，1，2，信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-202020頁頁頁電子教案10)cos(2)(nnntnAAtf1)(

22、)(0ee22ntnjtnjnnnAA110ee21ee212ntjnjnntjnjnnnAAA4.2 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)上式第三項的上式第三項的n用用n代換，因為代換，因為A n=An， n= n,則則110ee21ee212ntjnjnntjnjnnnAAAntjnjnnAtfee21)(所以：所以：令令00000ee,0jjtAA信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-212121頁頁頁電子教案令復數(shù)：令復數(shù)：1ee2nnjjnnnAFF4.2 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)22222211( )cos()d( )sin()d1( )edTTTTTjntTf tn tt

23、jf tn ttTTf ttT n = 0, 1, 2， 表明表明：任意：任意周期信號周期信號f(t)可可分解為分解為許多許多不同頻率不同頻率的的虛虛指數(shù)指數(shù)信號信號之和之和。 F0 = A0/2為直流分量。為直流分量。)(21)sincos(2121nnnnnnjnnjbajAAeAFnntnnFtfje)( n = 0, 1, 2， j221( )edTntTnFf ttT信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-222222頁頁頁電子教案傅里葉系數(shù)之間關系傅里葉系數(shù)之間關系:nnnnAbaF212122 nnnabarctanjj11ee(j)22nnnnnnnFFAabn的偶函

24、數(shù)：的偶函數(shù)：an ， An ， |Fn | n的奇函數(shù)的奇函數(shù): bn ， n nnnAacosnnnAbsin4.2 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-232323頁頁頁電子教案四、周期信號的功率四、周期信號的功率Parseval等式等式TdttfTP02)(1表明：表明：信號的平均功率等于直流和信號的平均功率等于直流和n次諧波分量在次諧波分量在1 電阻上消耗的平均功率之和。電阻上消耗的平均功率之和。 n0時，時， |Fn| = An/2。周期信號一般是功率信號，其平均功率為周期信號一般是功率信號，其平均功率為將將f(t)的傅立葉級數(shù)展開式代入：

25、的傅立葉級數(shù)展開式代入：4.2 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)022220111( )()|22TnnnnAPft dtAFT這是這是Parseval定理定理在傅里葉級數(shù)情況下的具體體現(xiàn)。在傅里葉級數(shù)情況下的具體體現(xiàn)。信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-242424頁頁頁電子教案4.2 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)例例：將圖示方波信號：將圖示方波信號f(t)展開為傅里葉級數(shù)。展開為傅里葉級數(shù)。解：解：022022222( )cos()( 1) cos()1 cos()TTTTnaf tn t dtn t dtn t dtTTT02 12 12 sin()sin()02Tn tn t

26、TT nT n可得：可得：0na f(t)為周期信號，傅里葉系數(shù)為：為周期信號，傅里葉系數(shù)為：信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-252525頁頁頁電子教案4.2 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)信號的傅里葉級數(shù)展開式為：信號的傅里葉級數(shù)展開式為：011( )cos()sin()2nnnnaf tan tbn t022022222( )sin()( 1) sin()1 sin()TTTTnbf tn t dtn t dtn t dtTTT02 12 12cos() cos()02Tn tn tTT nT n21 cos() 1 cos()2TnnT n21 cos()nn0,2,4,

27、6,4,1,3,5,nnn 4111sin()sin(3)sin(5)sin(),1,3,5,35tttn tnn考慮到考慮到=2 /T，信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-262626頁頁頁電子教案周期信號周期信號分解演示分解演示信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-272727頁頁頁電子教案4.3 4.3 周期信號的頻譜周期信號的頻譜4.3 周期信號的頻譜及特點周期信號的頻譜及特點一、信號頻譜的概念一、信號頻譜的概念 從廣義上說，信號的某種從廣義上說，信號的某種特征量特征量隨信號頻率變隨信號頻率變化的關系，稱為化的關系，稱為信號的頻譜信號的頻譜，所畫出的圖形稱為信

28、，所畫出的圖形稱為信號的號的頻譜圖頻譜圖。 周期信號的頻譜周期信號的頻譜是指周期信號中各次諧波幅值、是指周期信號中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關系，即相位隨頻率的變化關系，即 將將An 和和 n 的關系分別畫在以的關系分別畫在以 為橫軸的為橫軸的平面上得到的兩個圖，分別稱為平面上得到的兩個圖，分別稱為振幅頻譜圖振幅頻譜圖和和相位相位頻譜圖頻譜圖。因為。因為n0，所以稱這種頻譜為，所以稱這種頻譜為單邊譜單邊譜。 也可畫也可畫|Fn| 和和 n 的關系，稱為的關系，稱為雙邊譜雙邊譜。若。若Fn為實數(shù)，也可直接畫為實數(shù)，也可直接畫Fn 。信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-28282

29、8頁頁頁電子教案頻譜圖示（單邊）頻譜圖示（單邊）幅度頻譜幅度頻譜相位頻譜相位頻譜離散譜，譜線離散譜，譜線4.3 4.3 周期信號的頻譜周期信號的頻譜An 曲線曲線 n 曲線曲線信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-292929頁頁頁電子教案4.3 4.3 周期信號的頻譜周期信號的頻譜例：例：周期信號周期信號 f(t) =試求該周期信號的基波周期試求該周期信號的基波周期T，基波角頻率，基波角頻率，畫，畫出它的單邊頻譜圖，并求出它的單邊頻譜圖，并求f(t) 的平均功率。的平均功率。63sin41324cos211tt解解 首先應用三角公式改寫首先應用三角公式改寫f(t)的表達式，即的表

30、達式，即263cos41324cos211)(tttf顯然顯然1是該信號的直流分量。是該信號的直流分量。34cos21t的周期的周期T1 = 812cos433t的周期的周期T2 = 6所以所以f(t)的周期的周期T = 24，基波角頻率，基波角頻率=2 /T = /12信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-303030頁頁頁電子教案4.3 4.3 周期信號的頻譜周期信號的頻譜f(t)的單邊振幅頻譜圖、相位頻譜圖如圖的單邊振幅頻譜圖、相位頻譜圖如圖:34cos21t是是 f(t)的的( /4)/( /12 )=3次諧波分量；次諧波分量； 323cos41t是是 f(t)的的( /3

31、)/( /12 )=4次諧波分量；次諧波分量；323cos4134cos211)(tttf323741212121122P信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-313131頁頁頁電子教案4.3 4.3 周期信號的頻譜周期信號的頻譜 對于雙邊頻譜，負頻率，只是數(shù)學推導，而對于雙邊頻譜，負頻率，只是數(shù)學推導，而無物理意義。為什么引入負頻率？無物理意義。為什么引入負頻率？ f(t)是實函數(shù)，分解成虛指數(shù)，必須有共軛對是實函數(shù)，分解成虛指數(shù)，必須有共軛對ejnt和和e-jnt，只有正負頻率分量相加，才代表一個，只有正負頻率分量相加，才代表一個分量的值，分量的值，才能保證才能保證f(t)的實

32、函數(shù)的性質不變。的實函數(shù)的性質不變。 比較比較|Fn| 與與An 的差別：的差別：(1) |Fn|=An/2；(2) |Fn| 為雙邊譜，為雙邊譜， An 為單邊譜；為單邊譜；(3) An是實函數(shù)，是實函數(shù)， Fn一般是復函數(shù)一般是復函數(shù)信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-323232頁頁頁電子教案4.3 4.3 周期信號的頻譜周期信號的頻譜二、周期信號頻譜的特點二、周期信號頻譜的特點如圖：以幅度為如圖：以幅度為1，脈沖寬，脈沖寬度為度為 、周期為周期為T 的周期矩的周期矩形脈沖，求頻譜。形脈沖，求頻譜。jj222211( )ededTn tn tTnFf tttTTsin()2

33、2nnT令令Sa(x)=sin(x)/x (取樣函數(shù)取樣函數(shù))。 它是偶函數(shù)；當它是偶函數(shù)；當x=0, Sa(x)=1 j22sin()1122ejntnTnTn信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-333333頁頁頁電子教案)()2(TnSaTnSaTFn, n = 0 ,1，2， (1)包絡線形狀：包絡線形狀：抽樣函數(shù)抽樣函數(shù)(3)離散譜（諧波性）離散譜（諧波性） 時取值時取值當當n 。T n處，為處，為 其最大值在其最大值在0(2) 2)4 第第一一個個零零點點坐坐標標：（T 222令nn。相位為相位為，相位為，相位為, 000 nnFF 5 T圖中圖中4.3 周期信號的頻譜

34、周期信號的頻譜(5)Fn是復函數(shù)是復函數(shù)(此處為實函數(shù)此處為實函數(shù))，幅度，幅度/相位相位信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-343434頁頁頁電子教案 周期信號頻譜的周期信號頻譜的特點：特點：(1) 幅度譜幅度譜代表諧波分量的幅度；代表諧波分量的幅度；(2) 幅度譜的幅度譜的包絡線包絡線反映了幅度隨反映了幅度隨n的變化；的變化；(3) 相位譜相位譜反映了各頻率分量的初相位；反映了各頻率分量的初相位；(4) 頻譜具有頻譜具有離散離散(諧波諧波)性性。譜線位置在基頻。譜線位置在基頻 的的 整數(shù)倍的頻率點上；整數(shù)倍的頻率點上；(5) 一般具有一般具有收斂性收斂性，總趨勢減小。，總趨勢

35、減小。4.3 4.3 周期信號的頻譜周期信號的頻譜信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-353535頁頁頁電子教案 譜線的結構與波形參數(shù)的關系：譜線的結構與波形參數(shù)的關系： T 一定一定， 變小：變?。捍藭r此時 （譜線間隔）不變。兩零點之間的譜線數(shù)目：（譜線間隔）不變。兩零點之間的譜線數(shù)目： / =(2 / )/(2 /T ) =T/ 增多。增多。4.3 4.3 周期信號的頻譜周期信號的頻譜信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-363636頁頁頁電子教案4.3 4.3 周期信號的頻譜周期信號的頻譜T( 一定一定)時，會出現(xiàn)什么現(xiàn)象？時，會出現(xiàn)什么現(xiàn)象？ 一定一定，T 增

36、大：增大：間隔間隔 減小，第一零點位置不變，頻譜變密。減小，第一零點位置不變，頻譜變密。 / T 減小，減小，幅度減小。幅度減小。信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-373737頁頁頁電子教案如果如果周期周期T無限增大（這時就成為無限增大（這時就成為非周期信號非周期信號），），那么，那么，譜線間隔將趨近于零譜線間隔將趨近于零，周期信號的，周期信號的離散頻離散頻譜譜就過渡到非周期信號的就過渡到非周期信號的連續(xù)頻譜連續(xù)頻譜。各頻率分量。各頻率分量的幅度也趨近于無窮小。的幅度也趨近于無窮小。 4.3 4.3 周期信號的頻譜周期信號的頻譜信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-

37、383838頁頁頁電子教案4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換4.4 非周期信號的頻譜非周期信號的頻譜傅里葉變換傅里葉變換一、傅里葉變換一、傅里葉變換)(tf：周期信號：周期信號非周期信號非周期信號22jde )(1TTtnnttfTF頻譜頻譜連續(xù)譜連續(xù)譜, 幅度無限小幅度無限小離散譜離散譜引出:T0再用再用Fn表示頻譜就不合適了，雖然各頻譜幅度無限表示頻譜就不合適了，雖然各頻譜幅度無限小，但相對大小仍有區(qū)別，引入小，但相對大小仍有區(qū)別，引入頻譜密度函數(shù)頻譜密度函數(shù)。T2 譜線間隔譜線間隔0信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-393939頁頁頁電子教案4.4 4.4 傅里葉變換傅

38、里葉變換(j )limlim1/nnTTFFF TT稱稱F(j )為為頻譜密度函數(shù)頻譜密度函數(shù)，簡稱為頻譜函數(shù)。，簡稱為頻譜函數(shù)。j221()( )edTntTnF nf ttT ()nTF n單位頻率上單位頻率上的頻譜值的頻譜值()()2()1nnnF nF nF nfT信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-404040頁頁頁電子教案4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換22jde)(TTtnnttfTFntnnTTFtf1e)(jT，無窮小，記為無窮小，記為d ；n （由離散量（由離散量變?yōu)檫B續(xù)量）變?yōu)檫B續(xù)量）2d21T同時，同時， 得到得到j(j )lim( )edtnTFF

39、Tf ttj1( )(j )ed2tf tF傅里葉變換式傅里葉變換式”-”傅里葉反變換式傅里葉反變換式”+”F(j )稱為稱為f(t)的的傅里葉變換傅里葉變換或或頻譜密度函數(shù)頻譜密度函數(shù)，簡稱，簡稱頻譜頻譜 f(t)稱為稱為F(j )的的傅里葉反變換傅里葉反變換或或原函數(shù)原函數(shù)。根據(jù)傅里葉級數(shù)根據(jù)傅里葉級數(shù)信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-414141頁頁頁電子教案4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換F(j )一般是復函數(shù)，寫為一般是復函數(shù)，寫為 F(j ) = | F(j )|e j ( ) = R( ) + jX( ) 說明：說明： (1)推導未遵循嚴格的數(shù)學步驟?？勺C明，

40、函數(shù)推導未遵循嚴格的數(shù)學步驟?？勺C明，函數(shù)f(t)傅里葉變換存在的傅里葉變換存在的充分條件充分條件:ttfd)(2)用下列關系還可方便計算一些積分用下列關系還可方便計算一些積分ttfFd)()0(1(0)(j )d2fF也可簡記為也可簡記為或或F(j ) = F f(t) f(t) = F 1F(j )j ()(Ftf信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-424242頁頁頁電子教案1.矩形脈沖矩形脈沖 (門函數(shù)）門函數(shù)）記為記為g (t)jj22/2j/2ee(j )edjtFt2sin()sin()22Sa()22二、常用函數(shù)的傅里葉變換二、常用函數(shù)的傅里葉變換4.4 4.4 傅

41、里葉變換傅里葉變換信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-434343頁頁頁電子教案頻譜圖頻譜圖21fBB或幅度頻譜幅度頻譜相位頻譜相位頻譜頻寬：頻寬： 20 4 2 4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-444444頁頁頁電子教案2單邊指數(shù)函數(shù)單邊指數(shù)函數(shù)f(t) = e t (t)， 0j1ej1dee)(j0)j(0jttttF4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-454545頁頁頁電子教案221jF0j,1j, 0FF( )arctan 0,( )0,( )2,( )2 幅度頻譜：

42、幅度頻譜：相位頻譜：相位頻譜：頻譜圖頻譜圖4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-464646頁頁頁電子教案3雙邊指數(shù)函數(shù)雙邊指數(shù)函數(shù)0jj022(j )e edeed112jjttttFttf(t) = e | |t| | ， 04.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-474747頁頁頁電子教案4沖激函數(shù)沖激函數(shù) (t)、 (t)1j( )( )edttttj( )( )edtttt4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換j0dejdttt 沖激函數(shù)之頻譜覆蓋所有頻段，各種工業(yè)中產(chǎn)沖激函數(shù)之頻譜覆蓋所有頻

43、段，各種工業(yè)中產(chǎn)生的瞬間電火花，其造成的干擾是全頻段的。生的瞬間電火花，其造成的干擾是全頻段的。信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-484848頁頁頁電子教案5直流信號直流信號1有一些函數(shù)有一些函數(shù)不滿足絕對可積不滿足絕對可積這一充分條件，如這一充分條件，如1， (t) 等，但傅里葉變換卻存在。直接用定義式不好求解。等，但傅里葉變換卻存在。直接用定義式不好求解。 可構造一函數(shù)可構造一函數(shù)序列序列f(t)逼近逼近f (t) ，即，即而而f(t)滿足絕對可積條件，并且滿足絕對可積條件，并且f(t)的傅里葉變換所的傅里葉變換所形成的序列形成的序列F(j )是極限收斂的。則可定義是極限收

44、斂的。則可定義f(t)的傅的傅里葉變換里葉變換F (j )為為)(lim)(tftf(j )lim(j )FF這樣定義的傅里葉變換也稱為這樣定義的傅里葉變換也稱為廣義傅里葉變換廣義傅里葉變換。 討論：討論：4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-494949頁頁頁電子教案推導推導 1?構造構造 f (t)=e- t ， 0 222(j )F)(lim1)(0tftf所以所以22000,02(j )lim(j )lim,0FF又又22200022limdlimdlim2arctan21因此，因此， 12 ( )4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換信號

45、與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-505050頁頁頁電子教案求求F 1另一種方法另一種方法將將 (t)1 代入反變換定義式，有代入反變換定義式，有)(de21jtt將將 t，t- ，有，有)(de21jtt再根據(jù)傅里葉變換定義式，得再根據(jù)傅里葉變換定義式，得)(2)(2de1jtt4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-515151頁頁頁電子教案6. 符號函數(shù)符號函數(shù)0, 10, 1)sgn(tttet et不滿足絕對不滿足絕對可積條件可積條件e,0( )0e,0tttftt )(lim)sgn(0tft2211j2( )(j )jjf

46、tF2200j22sgn( )lim(j )limjtF4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-525252頁頁頁電子教案頻譜圖頻譜圖j2222sgn( )jejt 是偶函數(shù)是偶函數(shù)jF 是奇函數(shù)是奇函數(shù) O 22 222jF 0,20 ,202arctan 4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-535353頁頁頁電子教案7. 階躍函數(shù)階躍函數(shù)11( )sgn( )22tt4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換1( )j 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-545454頁頁頁電子教案4.4

47、 4.4 傅里葉變換傅里葉變換歸納記憶：歸納記憶： (t) (t) 1( )j e - t (t) 1jg (t) Sa2sgn (t) 2je |t|222 1 12 ( )j(j )( )dtFf t etj1( )(j )d2tf tFe1. 變換變換對對F2. 常用函數(shù)常用函數(shù) 變換對：變換對：F信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-555555頁頁頁電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質傅里葉變換的性質4.5 傅里葉變換的性質傅里葉變換的性質一、線性性質一、線性性質 (Linear Property)If f1(t) F1(j )， f2(t) F2(j )thenj1

48、2( )( )edtaf tbf ttjj12( )ed( )edttaf ttbf tt= a F1(j ) + b F2(j ) a f1(t) + b f2(t) a F1(j ) + b F2(j ) Proof: F a f1(t) + b f2(t)信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-565656頁頁頁電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質傅里葉變換的性質For example F(j ) = ?0f ( t )t1-11Ans: f (t) = f1(t) g2(t)f1(t) = 1 2 ( )g2(t) 2Sa( ) F(j ) = 2 ( ) - 2Sa(

49、)0f 1( t )t10g2 ( t )t1-11-信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-575757頁頁頁電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質傅里葉變換的性質二、奇偶虛實性二、奇偶虛實性(Parity)If f(t) is real function, thenj(j )( )ed( )cos()dj( )sin()dtFf ttf tttf ttt22|(j )|( )( )FRX)()(arctan)(RXSo that(1) R( )= R( ) , X( ) = X ( ) |F(j )| = |F( j )| , ( ) = ( )(2) f (t) F (j )

50、 = F*(j ) (3) If f(t) = f(-t) ,then X( ) = 0, F(j ) = R( ) If f(t) = -f(-t) ,then R( ) = 0, F(j ) = jX( )j ()( )j ( )(j ) eRXF 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-585858頁頁頁電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質傅里葉變換的性質三、對稱性三、對稱性(Symmetrical Property)If f (t) F( j ) thenProof:j1( )(j )ed2tf tF（1）in (1) t ， t thenj1( )(j )ed2tfFt

51、t （2）in (2) - - thenj1()(j )ed2tfFtt F( jt) 2 f ( ) endF( jt ) 2 f ( )信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-595959頁頁頁電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質傅里葉變換的性質For example F(j ) = ?211)(ttfAns:22| |2etif =1,2| |12et|2e212 t|2e11t?sin)(1tttf?1)(2tttf練習練習: :信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-606060頁頁頁電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質傅里葉變換的性質四、尺度變換性質四、

52、尺度變換性質(Scaling Transform Property)If f (t) F(j ) then where “a” is a nonzero real constant.Proof:F f (a t ) =j()dtf at etFor a 0,F f (a t ) j1( )edatafa1jFaafor a 0,F f (a t ) jj111( )ed( )edjataaffFaaaa That is,f (a t ) 1j|FaaAlso, letting a = - -1,f (- t ) F( - -j ) 1()j|f atFaa信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第

53、4-4-4-616161頁頁頁電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質傅里葉變換的性質For example f(t) = F(j ) = ?1j1t Ans:1e( )j1tt12 e()j1t12 e( )j1t Using symmetryUsing scaling property with a = -1,so thatf(t) = F(j ) =1j1t )(e2信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-626262頁頁頁電子教案尺度變換意義尺度變換意義(1) 0a 1 時域壓縮，頻域擴展時域壓縮，頻域擴展a倍。倍。 (3) a = - -1 時域反轉，頻域也反轉。時域反轉，

54、頻域也反轉。 ot4 4 tf 2Eo 2 E 4 221 F 4持續(xù)時間短，變化快。信號在頻域高頻分量增加，頻持續(xù)時間短，變化快。信號在頻域高頻分量增加，頻帶展寬，各分量的幅度下降帶展寬，各分量的幅度下降a倍。倍。4.5 4.5 傅里葉變換的性質傅里葉變換的性質信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-646464頁頁頁電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質傅里葉變換的性質五、時移性質五、時移性質(Timeshifting Property)If f (t) F(j ) thenwhere “t0” is a real constant.0j0()e(j )tf ttFj0()ed

55、tf ttt00jj( )edet ttf 0je(j )tFProof: F f (t t0 ) 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-656565頁頁頁電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質傅里葉變換的性質Example 1 F(j ) = ?Ans: f (t) = f1(t) + f2(t) f1(t) = g6(t - 5) , f2(t) = g2(t - 5) g6(t - 5) g2(t - 5) F(j ) =j56Sa(3 )ej52Sa( )ej56Sa(3 )2Sa( )e0f ( t )t2-1214680f1 ( t )t221468+0f2 ( t

56、)t221468信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-666666頁頁頁電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質傅里葉變換的性質Example 2：時移尺度：時移尺度 Given that f (t)F( j ), find f (at b) ?Ans: f (t b) e - -j b F( j )f (at b) j1ej|baFaaorf (at) 1j|Faaf (at b) =)(abtafj1j|baeFaa 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-676767頁頁頁電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質傅里葉變換的性質六、頻移性質六、頻移性質(Freque

57、ncy Shifting Property)If f (t) F(j ) thenProof:where “ 0” is a real constant.00jjje( )e( )edtttf tf ttF F0j()0( )edj()tf ttF0j0e( )j()tf tFFor example 1f(t) = ej3t F(j ) = ?Ans: 1 2 ( ) ej3t 1 2 ( - -3)信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-686868頁頁頁電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質傅里葉變換的性質For example 2f(t) = cos ( 0t) F(j )

58、= ?Ans:00jj11( )ee22ttf tF(j ) = ( - - 0 )+ ( + 0 )For example 3Given that f(t) F(j ) The modulated signal f(t) cos( 0t) ? f(t) = sin ( 0t) F(j ) = ?信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-696969頁頁頁電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質傅里葉變換的性質七、卷積性質七、卷積性質(Convolution Property)Convolution in time domain：If f1(t) F1(j )， f2(t) F2(j

59、)Then f1(t)*f2(t) F1(j )F2(j )Convolution in frequency domain：If f1(t) F1(j )， f2(t) F2(j )Then f1(t) f2(t) F1(j )*F2(j )21信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-707070頁頁頁電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質傅里葉變換的性質Proof:d)()()(*)(2121tfftftf F f1(t)*f2(t) 1212( )()ded( )()eddjtjtff ttff ttUsing time shiftingjtjjFttfe)(de)(22 F

60、f1(t)*f2(t) 1221( )()ed()( )edjjfFjFjf = F1(j )F2(j )信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-717171頁頁頁電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質傅里葉變換的性質For example?)j (sin2FttAns:)Sa(2)(2tgUsing symmetry,)(2)Sa(22gt)()Sa(2gt )(*)(2)(*)(21sin22222ggggttg2()*g2()22- -20F(j)2- -20信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)西安郵電大學第第第4-4-4-727272頁頁頁電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質傅里葉變換