概率點(diǎn)估計(jì)復(fù)習(xí)題解答

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第六、七章(點(diǎn)估計(jì))復(fù)習(xí)題解答1.設(shè)來(lái)自總體X的一個(gè)樣本為(X1,X2，為。)=(2,1,2,3,1,4,4,1,3,4), 求x, s2 , B2 ; (2)求經(jīng)驗(yàn)2 分布函數(shù)Fio(x)并作圖； 求總體期望E(X) = H,方差D(X)=cr的矩估計(jì)值.-1 10(1) x = ' Xi =3(|)10i日解：來(lái)自總體 X 的一個(gè)樣本為(Xi，X2，xio)=(2,1,2,3,1,4,4,1,3,4),故1 一10- 21 10- 2=云(Xi x) =4.6B2 =£ (Xi x) =4.2(2)樣本的頻數(shù)分布為樣本值1234頻數(shù)3223經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)及其

2、圖形為頻率分布為樣本值1234頻率0.30.20.20.3y 411(3)當(dāng)=E(X)=E , A1=X，令料=&，即得？ = X = 3 ；0,X < 10.70.3,1 < x <295,2 玄 x <30.50.7,3<x <40.31,x >4* .F10(x)-第8頁(yè)共5頁(yè)令2=A2 ,即 b2 +蝦=3 Xi2 ,n i% = E(X2) = D(X)+E2(X) =s2 +郵 A2 =乏 X2,n i=1解得 * =寸 Xi2 -？2Xi2 _X2 =B2 =4.2niniY(若記得教材第179頁(yè)例3的結(jié)論，也可以利用來(lái)直接求 E

3、(X) = P , D(X) =。2的矩估計(jì)值.)2.設(shè)X1,X2是總體X N(1, 2)的樣本，求概率 P(X X2)20408).解：X1,X2是總體X N(1, 2)的樣本，故X1,X2 N(1, 2),且相互獨(dú)立.所以X X 2Xi'X2、22”、Xi X2 N(0,4).從而一2N(0,1), (2)E (i)2_ Xi - X 2 2_ Xi - XXi 乂 2P( 2)2. 0.i02) =i - :P(Xi X2)2 £0.408) =P( 2 2)2 3.i02)- P( i 2 2)2 0.i02)=：22于是 ZitGf(i0.i02,查表知 z0.75

4、(1) = 0.102,2ia =0.75, a =0.25.即 P(X一 X2)壬 0.408) = 0.252(考慮一下：此題如果不用 Z分布，而利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表，該怎么求解?)2、3.設(shè)Xi,X2，X5是總體X N(Q。)的樣本，證明2 Xi X2 X3X4 - Xst(i).證明：Xi,X2，X5是總體X N(0,。2)的樣本，故Xi,X2，X5 N(0,。2),且相互獨(dú)立.所以2 Xi X2 X3Xi X2 X3N(0, 3。2), iM3 N(0,i)(X：2.,3。2X4 -X5X4X5 N(0, 2u ) .從而一= N(0,i) V2crX/X；+X3與(牛由)2相互獨(dú)

5、立.'3。, 2 -由(i) (2) (3)及t分布定義知4.設(shè)隨機(jī)變量F F(m, n)Xi X2 X3、.3。(X4=X5)2/i- 2-t(i)即 丫=13Xi X2 X3X4 -X5 t(i).證畢. 求 F0.0i(10,12) ,F 0.99 (10, 12) ； (2)當(dāng) m=n=10 時(shí)，求常數(shù)c,使概率n = 20 時(shí)，求概率 P(F >1.84).P(Fc)=0.05,并把c用上a分位點(diǎn)記號(hào)表示出來(lái)； 當(dāng)m = 15,11解：(1)查教材第 452 頁(yè)附表得：F0.0i(10,12) = 4.30 , F0.99 (10,12) - 0.21；F0.01(i2

6、, i0)4.71查教材第449頁(yè)附表得：c = F。.。5(10, 10)=2.98當(dāng) m=15, n=20 時(shí)，查教材第 448 頁(yè)附表得：F0.i0(15, 20) = 1.84 ,二 P(F1.84) = 0.10.2、5.設(shè)總體X N(5, 2 ) , (1)從中隨機(jī)抽取谷量為25的樣本，求樣本均值 X洛在4.2到5.8之間的概率； 樣本容量n取多大時(shí)，可使P（X <5.8） >0.95?4、解：由題意及抽樣分布定理知，故X N（5, 一） nX2N(0,1)、.n這里n=25,從而*25N（0,1）5于是4.2 -5 X -5P(4.2 £ X < 5.

7、8) = P(0.40.45.8 - 5_-) ： ：，(2) 一巾(一2) =2：，(2)一1 = 2 0.954 1 =0.908（2）要使X55.85P(X <5.8P(-<-8)(0.4、n) _ 0.95 =，(1.645)由分布函數(shù)的單調(diào)不降性知 ，只需0.4如N 1.645，即只要n 216.91,故取n = 17即可.6.設(shè)X，X2,，X10是總體X NW,42 ）的樣本，S2是樣本方差，且P（S2a）=0.1,求常數(shù)a._2（n -1）S解：由題意及抽樣分布定理知 2一a29S22、(n -* 1).這里 n =10, b = 4 ,故 6 f (9).于o9S2

8、9aP(S2a)=P(9S >9a)=0.1,從而16169a1620.1(9) =14.684, a = 26.17.設(shè)某廠生產(chǎn)的晶體管的壽命服從指數(shù)分布,即-EXP（。），6 > 0，未知.現(xiàn)從中隨機(jī)抽取5只進(jìn)行測(cè)試,得到它們的壽命（單位：小時(shí)）如下： 518612713388434.試求該廠晶體管平均壽命的最大似然估討1-X0解：晶體管壽命1 eX的分布密度為f (x) i0.0,似然函數(shù)L（。n=Hi日1XiI -i ie6Xi0, i =1,2, ,n1-/i,nln L(p =' -Ini廿d 口： 1 . 1令履"。二=頊為1 nn(-n，二Xj)

9、= 0i=12x0 _ x,參數(shù)e0,未elsed no 11則?=一£ xi =(518+612 +713+388+434) =533 (小時(shí))為所求最大似然估計(jì)值n*52 , 8.設(shè)總體X的一個(gè)樣本為(X1 , X2,Xn), X的分布密度為f (x)=他0,知.(1)求8的矩估計(jì)量；(2)求矩估計(jì)量的方差；(3)求8的最大似然估計(jì)量. 2x2x解：1 =E(X) = .®xf(x)dx = .0xu,22 . dx =日，A=X,令卜1=丹，即一e = X3 33 得矩估計(jì)重：？ X ；2?3 板 99 D(X)(2) D(。= D(;X) =了 D(X)=-244

10、n2_'2 ,口而 E(X2) = x2f(x)dx =-=ox2 g dx = 1J1 . 2192.920,D(X) = E(x2) e2(X)=V"(/8n£Xi.弓= 1,2, ,nn 2xi似然函數(shù)L(H)=口京，0 i日。ln L(8) =，ln 2+lnxi 21" , 土 ln L(8) =，0§=穹0, in L(6)單調(diào)遞減.故-心j當(dāng)8取其最小可能值時(shí)，ln L(8)有最大值,從而L(6)有最大值.注意到0壬為8, i=1,2，n.等價(jià)于喈xi芝0,如圖于是知8的最大似然估計(jì)值為彳=醪 xi,最大似然估計(jì)量為彳=忌擎Xi.9

11、.設(shè)總體2X有期望E(X)=P，方差D(X)=b ,但均未知.X1,X2L,Xn是取自總體X的樣本,B2 圭(Xi -X)2, n imS2巳£ (Xi -X)2 .試驗(yàn)證：又是卜的無(wú)偏估計(jì)，B2是b 2的漸近 n T 一無(wú)偏估計(jì)，而S2是0'2的無(wú)偏估計(jì).1_、1證明：(1) E(x)=n£ E(Xi)=n£ £以)=£以)=卜，故x是*的無(wú)偏估計(jì)；1.、.、21. 、.2、,2(2) b2 =打二(Xi -X)=打二 xi _x ,從而12_21 ''2_2E(B2) = '、 E(Xi ) E(X ) =

12、、 E(X ) E(X n n i j2 222 )=E(X2) E(X ) =D(X) E2(X) _D(X) E2(X)2,2CT + R_2、-,2 n -122/山、-；"、：(吉 n. -)n故b2是。2的漸近無(wú)偏估計(jì)._2S12 n-(Xi -X)=B n -1 jn -12,. E(S2)土頃"一1 nn n -1 22cr =a第5頁(yè)共5頁(yè)證畢.故S2是。2的無(wú)偏估計(jì).10 .設(shè)Xi,X2，Xn是總體X的一個(gè)子樣，E(X)K , D(X)=b2存在且未知，任意正的常數(shù)ai (i =1, 2,，n)滿足£ ai =1.試證：(i)估計(jì)量合=£ aiX i總是卜的無(wú)偏估計(jì)；(2)在上述無(wú)偏估計(jì)中i =1i=1證明：Xi, X2，Xn是總體X的一個(gè)子樣，故X Xi最有效，并寫出此時(shí)的最小方差 n i4Xi , X2，Xn相互獨(dú)立，且與總體X有相同分布，于是E(Xj)=E(X)K, D(Xi) =D(X)=。2.從而 E(?) =E(' aiXi)=', aiE(Xi)=(