概率論與數(shù)理統(tǒng)計學(xué)習(xí)總結(jié)-概率論學(xué)習(xí)報告

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計學(xué)習(xí)報告學(xué)院學(xué)號：姓名：概率論與數(shù)理統(tǒng)計學(xué)習(xí)報告通過短短一學(xué)期的學(xué)習(xí)，雖然學(xué)習(xí)、研究地并不深入，但該課程 的每一處內(nèi)容都有不同的奇妙吸引著我， 讓我對它在生活中飾演的角 色充滿遐想；它將我?guī)肓艘粋€由隨機變量為橋梁， 通過表面偶然性 找出其內(nèi)在規(guī)律性，從而與其它的數(shù)學(xué)分支建立聯(lián)系的世界， 讓我對 這種進行大量的隨機重復(fù)實驗，通過分析研究得出統(tǒng)計規(guī)律性的過程 產(chǎn)生了極大地興趣。我很喜歡這門課程，但也不得不說課后在它上面 花的時間并不多，因此學(xué)得還不深入，但它真的深深地吸引了我，我 一定會找時間進一步深入地學(xué)習(xí)它。先簡單地介紹一下概率論與數(shù)理統(tǒng)計這門學(xué)科。概率論是基于給出隨機現(xiàn)象的

2、數(shù)學(xué)模型， 并用數(shù)學(xué)語言來描述它 們，然后研究其基本規(guī)律，透過表面的偶然性，找出其內(nèi)在的規(guī)律性， 建立隨機現(xiàn)象與數(shù)學(xué)其他分支的橋梁， 使得人們可以利用已成熟的數(shù) 學(xué)工具和方法來研究隨機現(xiàn)象，進而也為其他數(shù)學(xué)分支和其他新興學(xué) 科提供了解決問題的新思路和新方法。數(shù)理統(tǒng)計是以概率論為基礎(chǔ)， 基于有效的觀測、收集、整理、分析帶有隨機性的數(shù)據(jù)來研究隨機現(xiàn) 象，進而對所觀察的問題作出推斷和預(yù)測， 直至為采取一定的決策和 行動提供依據(jù)和建議。概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象及其規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科。 研究隨機現(xiàn)象的規(guī)律性有其獨特的思想方法， 它不是尋求出現(xiàn)每一現(xiàn) 象的一切物理因素，不能用研究確定性現(xiàn)象的方法研

3、究隨機現(xiàn)象， 而是承認(rèn)在所研究的問題中存在一些人們不能認(rèn)識或者根本不知道的 隨機因素作用下，發(fā)生隨機現(xiàn)象。這樣，人們既可以通過試驗來觀察 隨機現(xiàn)象，揭示其規(guī)律性，作出決策，也可根據(jù)實際問題的具體情況 找出隨機現(xiàn)象的規(guī)律，作出決策。至今，概率論與數(shù)理統(tǒng)計的理論與方法已經(jīng)廣泛應(yīng)用于白然科 學(xué)、社會科學(xué)以及人文科學(xué)等各個領(lǐng)域中， 并隨著計算機的普及，概 率論與數(shù)理統(tǒng)計已成為處理信息、 制定決策的重要理論和方法。它們 不僅是許多新興學(xué)科，如信息論、控制論、排隊論、可靠性論以及人 工智能的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，而且與其他領(lǐng)域的新興學(xué)科的相互交叉而產(chǎn) 生了許多新的分支和邊緣學(xué)科，如生物統(tǒng)計、統(tǒng)計物理、數(shù)理金融、

4、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)統(tǒng)計分析、統(tǒng)計計算等。概率論應(yīng)用隨機變量與隨機變量的概率分布、數(shù)字特征及特征函 數(shù)為數(shù)學(xué)工具對隨機現(xiàn)象進行描述、分析與研究，其前提條件是假設(shè) 隨機變量的概率分布是已知的；而數(shù)理統(tǒng)計中作為研究對象的隨機變 量的概率分布是完全未知的，或者分布類型已知，但其中的某些參數(shù) 或某些數(shù)字特征是未知的。概率論研究問題的方法是從假設(shè)、命題、 已知的隨機現(xiàn)象的事實出發(fā)，按一定的邏輯推理得到結(jié)論，在方法上 是演繹式的。而統(tǒng)計學(xué)的方法是歸納式的，從所研究地對象的全體中 隨機抽取一部分進行試驗或觀測， 以獲得試驗數(shù)據(jù)，依據(jù)試驗數(shù)據(jù)所 獲取的信息，對整體進行推斷，是歸納而得到結(jié)論的。因此掌握它特 有的學(xué)習(xí)方法是

5、很重要的。在學(xué)習(xí)的過程中，不論是老師提出的一些希望我們課后討論的問 題還是白己在做作業(yè)看書過程中遇到的一些問題都引發(fā)了我的一些思考，或許解答得并不全面甚至還可能是不正確的，但確實是白己的一點思考，提出來以后逐步地去解決完善吧。< 一 >隨機事件及其概率問題：(1) 事件 A=n P(A) =0,那么 P(A) =0n A =中 對嗎？解析：此種說法不對。概率論里說了不可能事件的發(fā)生概率是 0,但0概率事件可能發(fā)生.比如在宇宙中抽一個人，抽到你的概率。 這就是一個0概率事件可能發(fā)生的例子！隨機變量分連續(xù)和離散兩種，它們各白的分布描述是不同的。 對 于離散隨機變量，如果它的事件域是有限

6、個事件，則可以認(rèn)為概率為 0的事件一定不會發(fā)生，概率為1的事件必然發(fā)生。但若事件是無限 的，則還要具體分析。既然0概率事件都是有可能發(fā)生的，那么概率 趨近于零的事件果然有可能發(fā)生，只不過我們平時在處理問題的時 候，把概率趨近于零的事件算作 0概率事件，只是算作，不是絕對的 是。對于連續(xù)性隨機變量，單個具體點的概率密度值為一有界常數(shù)， 這個值可以是任意的(包括0和1),但因為點是沒有長度的，所以 該點的概率密度積分為0 (因為該點概率密度值有界)，即該點所對 應(yīng)的事件發(fā)生的概率為0,但這個事件仍然是可能發(fā)生的，因為這個 事件在事件域內(nèi)。也就是說，概率為0的事件并不一定不會發(fā)生。同 理，某個點的概

7、率密度值為1 ,但該點的概率密度積分仍為 0,所以 概率為1的事件也不一定必然發(fā)生?？傊?，對于連續(xù)性隨機變量，討 論單個點的概率是沒有意義的(都為 0),我們討論的是，這個隨機變量落在一個區(qū)間內(nèi)的概率(2)事件A、B、C,它們兩兩獨立，是否 A、B、C 一定是相互獨 立？解析：不一定。舉一個反例：某一個袋中有 4個球，一個白色,一個黑色，一個紅色，一個為這三色，現(xiàn)任取一個球觀察顏色?？芍? 設(shè)事件A,B,C,A=(有紅色)，B=(有白色)，C=(有黑色)。-1P(A) =P(B) =P(C)=211 1AP(AB) = P(AC ) = P(BC) = = x = P(A)P(B) = P(A

8、)P(C) = P(B)P(C) = A、4 2 2B、C 兩兩獨立，又 P(ABC ) =1 ,11=P(A)P(B)P(C)n A、B、C 不4222是相互獨立。所以幾個事件兩兩獨立不一定它們就是相互獨立。(對于此反例，有一個問題就是11 1P ( AB) =P(AC ) = P(BC ) = ，P(A)P(B) = P(A)P(C) = P(B)P(C) = f 42 2雖然在數(shù)值上相等，但會是一個數(shù)值上的巧合嗎？P( AB ) = P( A)P(B) 一定成立嗎？)(3)獨立與互不相容的關(guān)系：(獨立條件：P(AB) = P(A)P(B),互不相 容條件：P(AB)=0)解析：若 0&l

9、t;p(A)<1,0<p(B)<1,則 a : A、B 獨立，P(AB ) = P(A)P(B) a0=A、B相容。 b: A、B不獨立，P(AB)=0=A、B 互不相容； P(AB ) # P(A)P(B) A 0= A、B 相容(4) A與B互相獨立，cub, A、C是否一定互相獨立?解析：A、C不一定獨立。舉一反例：如圖:P(AB ) =P(A)尺 P(B)尹 0 , CUBA、C不獨立<二 > 隨機變量及其分布問題:概率論中引入隨機變量，從而使研究對象由隨機事件擴大為隨機 變量，對于隨機變量的分布函數(shù)，我們能夠用微積分為工具進行研究,強有力的數(shù)學(xué)分析工具大

10、大地增強了我們研究隨機現(xiàn)象的手段<三 > 隨機變量數(shù)字特征與極限定理:我們都知道隨機變量的概率分布能夠完整地描述隨機變量的統(tǒng)計 規(guī)律，但在許多的實際問題中，求概率分布并不容易，另一方面，有 時不需要知道隨機變量的概率分布，而只需要知道他的某些數(shù)字特征 就夠了。數(shù)字特征雖然不像概率分布那樣完整地描述了隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律，但它能集中地反映隨機變量的某些統(tǒng)計特性，而且許多重要 分布中的參數(shù)都與數(shù)字特征有關(guān)，因而數(shù)字特征在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中占有重要地位。我們也學(xué)習(xí)了幾種常見的分布的數(shù)字特征，包括期 望、方差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)以及矩等。(1)不相關(guān)與獨立之間的關(guān)系:解析：不相關(guān)的等價命題:1

11、。 p = 02。cov(x,y)=0 3E(XY)=E(X)E(Y)4。D(X+Y)=D(X)+D(Y)n不相關(guān)獨立n E(XY) =E(X)E(Y)(有數(shù)字特征)結(jié)論：(1) X與Y獨立，則X與Y 一定不相關(guān)(2) X與Y不相關(guān)，則X與Y不一定獨立證明：(1)由于X與Y獨立，所以f(xy)=f(x)f(y), (f為概率密度函數(shù))于是:E(XY)= / / f(xy)dxdy= / / f(x)*f(y)dxdy= / f(x)dx* / f(y)dy=E(X)E(Y) 所以：E(XY)=E(X)E(Y)，即 X , Y 不相關(guān)。(2)反例:X=cost,Y=sint，其中t是(0,2兀上

12、的均勻分布隨機變量。易得X和Y不相關(guān)，因為：E(XY)=E(cost sint)= (1/2 兀)* / sint cost dt = 0E(X)= (1/2 兀)* / cost dt =,0E(Y)= (1/2 兀)* / sint dt = 0所以E(XY)=E(X)E(Y)。但是他們是不獨立的。因為：X和Y各白的概率密度函數(shù)在(-1,1)上有值，但是XY的聯(lián)合概率密度只在單位圓內(nèi)有值，所以 f(XY)不等于f(x)*f(y),兩者不獨立。(2)切比雪夫不等式：PX E(X) _ ； 1< D(x )Z切比雪夫不等式給出了在隨機變量X的分布未知的情況下，利用E(X)和D(X)對X的

13、概率分布進行估計的方法，有很廣泛的應(yīng)用。 注意一些應(yīng)用中的獨立條件：1。概率密度f (x, y) = fX (x) fY (y)；2。卷積公式.fZ (z) = JfX (x)fY (z-x)dx ； 3。N個獨立正態(tài)分布之和nnn仍然是正態(tài)分布乏XiT N (乏出* 。：)； 4。 E(XY ) = E(X)E(Y),i =1idi 2D (X Y) = D (X ) D (Y)<四數(shù)理統(tǒng)計與參數(shù)估計:數(shù)理統(tǒng)計以概率論為理論基礎(chǔ)，根據(jù)試驗或觀測到的數(shù)據(jù)，研究如何利用有效的方法對這些已知的數(shù)據(jù)進行整理、分析和推斷，從而對研究對象的性質(zhì)和統(tǒng)計規(guī)律作出合理科學(xué)的估計和判斷。然而在實際問題中，

14、所研究的總體分布類型往往是已知的， 但依賴于一個或幾 個的未知參數(shù)，如何從樣本估計總體的未知參數(shù)就成為數(shù)理統(tǒng)計的基 本問題之一。通過學(xué)習(xí)，簡單地了解了一些關(guān)于點估計和區(qū)間估計的 問題，能夠解決一些簡單的實際問題。(1)如何推導(dǎo)出的樣本方差:1r Xin 1推導(dǎo)過程：XN(*。2,X N (P,J)。n(注意獨立條件)n'、XjXi j 土 j 狀 n -1Xj-X=Xj- x in n -1 n2)由 s* 2nj=1,jT1. nN (-一，一n - 1n24n 3n 12次:是D(X)的無偏估計從，中隨機抽取n個樣本， U1 是樣本均值,Sn (n -1) = 支(x§

15、- x尸”一 1 -1是樣本方差。那么為什么樣本方差是除以1-1而不是n呢？對于一個隨機變量X,”,薩分別表示其數(shù)學(xué)期望和方差，從中隨機抽取n個樣本Xi.Xg記。(X). Eg .為X*的方差和期望。次=:y口 1 是樣本均值,D(X) =*D(U=iX,) =冬(di Q(x*)=si He(x2)= nm+E2m=亡+ n 廠E(S2) = E(潔yU=i(Xi - X)-)=吉 E(£(XlX)2)=K(U=l(X-2X* + M2)E(弟 iX?) = nE(X?)匕口 = n(D(A；) + £2(A；)=n(r + /2)E(E?=iXM) = EV%：)=nE

16、(X)=nD(X) + E?(X)=n.( + /r)E(S-)=芯(尸+/)一樣無+/)=°2概率論與數(shù)理統(tǒng)計與生活實際問題有著很密切的聯(lián)系。它能將生活中的-些問題建立成一種數(shù)學(xué)模型，并且教給我們一些收集' 分析' 處理試驗數(shù)據(jù)能力，使我們能夠利用學(xué)過的成熟的數(shù)學(xué)工具和方法來 研究隨機現(xiàn)象解決生活實際問題。以下就是幾類我認(rèn)為比較經(jīng)典的模 型和處理方法：(1) “抓閹”是否是真正的公平？解析：建立一個概率論模型：袋中有 a個黑球，b個白球。隨 機地(不放回)把球一個個地摸出來。求 A= "第k次摸出的是黑球” 的概率(kn +b ).解題：把a個黑球與b個白

17、球看作是不同的，且把a + b個球的 每一種排列看作是基本事件。于是基本事件總數(shù)(a+b) !。由于第k次摸得黑球有a種可能，而另外a+b1次摸得球的排列有(a+b1)! 種可能。所以 A中包含的基本事件數(shù)為 ax(a+b_1) !。因此有： 5)=以"刊=。由結(jié)果得出它與k值無關(guān)，無論哪一次取 (a b) .1a b得黑球的概率都是一樣的，或者說是取得黑球概率與先后次序無關(guān)。這就從理論上說明了平常人們采取的“抓閹”的辦法是公平合理的。(2) 把一個比較復(fù)雜的隨機變量 X拆成n個比較簡單的隨機變量Xi的 和，然后通過這些比較簡單的隨機變量的數(shù)學(xué)期望， 根據(jù)數(shù)學(xué)期望的 性質(zhì)求得X的數(shù)學(xué)

18、期望。這是概率論中常采用的處理方法。建立一 個數(shù)學(xué)模型：r個人在樓的底層進入電梯，樓上有n層，每個乘客在任一層下 電梯的概率是相同的。如到某一層無乘客下電梯，電梯就不停下。求 直到乘客都下完時電梯停車的次數(shù) X的數(shù)學(xué)期望。解題：設(shè)Xi表示在第i層電梯停車的次數(shù)，則0,第i層沒有人下電梯,X i = 、1,第i層有人下電梯。nn易 見 X=£Xj,且 E(X)= E(X i)由于每個人在任一層下電梯的概率均為-,n故r個人同時不在第i層下電梯的概率為(1 b，即：p(x j = 0)=(1 _1) nn從而，P(Xi =1) =1 _(1 _1)r于是：n1 r1 r1 rE(Xi)

19、=0 (1 -一)11 -(1 -一)二1 -(1 -一)(i =1,2,., n),n_ nn得 E(X) =£ E(XQ =n .|1 _(1 _：)(3)貝葉斯公式的應(yīng)用：P(AiB)= nP(Ai)P(可&)式中P(Ai)稱為先驗Z P(Aj)P(BAj)j注概率，一般在試驗前就已知，常常是以往的經(jīng)驗總結(jié)；P(Ai B)稱為后驗概率，它反映了試驗之后對各種原因發(fā)生的可能性大小的新知識。貝葉斯公式實際就是根據(jù)先驗概率求后驗概率的公式。例題模型：設(shè)患病的人經(jīng)過檢查，被查出的概率為 0.95,而為患病的人經(jīng)檢查，被誤認(rèn)為有肺病的概率為0.002。又設(shè)在全城居民中患病的概率為