概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)-課程設(shè)計(jì)

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程設(shè)計(jì)概率論的起源、發(fā)展和應(yīng)用作者：摘要：論文簡(jiǎn)要介紹了概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)科的起源和發(fā)展，以及概率論與理統(tǒng)計(jì)在生活中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，起源，發(fā)展，應(yīng)用1、引言概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科，也是一門(mén) 應(yīng)用性很強(qiáng)乂頗具特色的數(shù)學(xué)學(xué)科。它在包括控制、通信、生物、物理、力學(xué)、 金融、社會(huì)科學(xué)等工程技術(shù)領(lǐng)域以及科學(xué)研究、經(jīng)濟(jì)管理、企業(yè)管理、經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè) 等眾多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用；它與其他數(shù)學(xué)分支有著緊密的聯(lián)系（如微積分、高 等代數(shù)、測(cè)度論等），是近代數(shù)學(xué)的重要組成部分；它的方法和理論向各個(gè)基礎(chǔ) 學(xué)科、工程學(xué)科的滲透，是近代科學(xué)技術(shù)發(fā)展的特征之一；它與

2、基礎(chǔ)學(xué)科相結(jié)合 產(chǎn)生出了許多邊緣學(xué)科，如生物統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)物理、數(shù)學(xué)地質(zhì)等；它乂是許多新興 的重要學(xué)科的基礎(chǔ)，如信息論、控制論、可靠性理論、人工智能、信息編碼理論 和數(shù)據(jù)挖掘等。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是工科大學(xué)的一門(mén)應(yīng)用性很強(qiáng)的必修基礎(chǔ)課。學(xué)習(xí)和 掌握概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本理論和基本方法并將其靈活應(yīng)用于科學(xué)研究和工 程實(shí)際中，是社會(huì)發(fā)展對(duì)高素質(zhì)人才培養(yǎng)提出的必然要求。2、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的起源概率論的萌芽源于十七世紀(jì)保險(xiǎn)業(yè)的發(fā)展，但是真正引發(fā)數(shù)學(xué)家們思考的源 泉，卻是賭博者的請(qǐng)求。十七世紀(jì)中葉，法國(guó)貴族德美黑在骰子賭博中，有事急于抽身，須中途停 止賭博，需要根據(jù)對(duì)勝負(fù)的預(yù)測(cè)把賭資進(jìn)行合理的分配， 但不知

3、用什么樣的比例 分配才算合理，于是就寫(xiě)信向當(dāng)時(shí)法國(guó)的最高數(shù)學(xué)家帕斯卡請(qǐng)教。正是這封信使概率論在歷史的舞臺(tái)邁出了第一步。帕斯卡和當(dāng)時(shí)第一流的數(shù)學(xué)家費(fèi)爾瑪一起， 研究了德美黑提出的關(guān)于骰子 賭博的問(wèn)題。于是，一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支-概率論登上了歷史舞臺(tái)。三年后，也就 是1657年，荷蘭著名的天文、物理兼數(shù)學(xué)家惠更斯企圖自己解決這一問(wèn)題，結(jié) 果寫(xiě)成了論機(jī)會(huì)游戲的計(jì)算一書(shū)，這就是最早的概率論著作。為概率論確定嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)的是數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲缏宸颉?933年，他發(fā)表了著名的概率論的基本概念，用公理化結(jié)構(gòu)，這個(gè)結(jié)構(gòu)明確定義了概率論發(fā) 展史上的一個(gè)里程碑，為以后的概率論的迅速發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。3、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的

4、發(fā)展數(shù)理統(tǒng)計(jì)的發(fā)展大致可分為古典時(shí)期、近代時(shí)期和現(xiàn)代時(shí)期三個(gè)階段。古典時(shí)期(19世紀(jì)以前)一一這是描述性的統(tǒng)計(jì)學(xué)形成和發(fā)展階段，是數(shù) 理統(tǒng)計(jì)的萌芽時(shí)期。在這一時(shí)期里，瑞土數(shù)學(xué)家貝努里(1654- 1795年)較早地系統(tǒng)論證了大數(shù)定律。1763年，英國(guó)數(shù)學(xué)家貝葉斯提出了一種歸納推理的理 論，后被發(fā)展為一種統(tǒng)計(jì)推斷方法一一貝葉斯方法，開(kāi)創(chuàng)了數(shù)理統(tǒng)計(jì)的先河。法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫佛(16671754)于1733年首次發(fā)現(xiàn)了正態(tài)分布的密度函數(shù)，并 計(jì)算出該曲線在各種不同區(qū)間內(nèi)的概率，為整個(gè)大樣本理論奠定了基礎(chǔ)。1809年，德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯(1777- 1855)和法國(guó)數(shù)學(xué)家勒讓德(1752- 1833)各自獨(dú)

5、立地發(fā)現(xiàn)了最小二乘法，并應(yīng)用于觀測(cè)數(shù)據(jù)的誤差分析。 在數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論與應(yīng) 用方面都作出了重要貢獻(xiàn)，他不僅將數(shù)理統(tǒng)計(jì)應(yīng)用到生物學(xué)，而且還應(yīng)用到教育 學(xué)和心理學(xué)的研究。并且詳細(xì)地論證了數(shù)理統(tǒng)計(jì)應(yīng)用的廣泛性，他曾預(yù)言：“統(tǒng)計(jì)方法，可應(yīng)用于各種學(xué)科的各個(gè)部門(mén)。”近代時(shí)期(19世紀(jì)末至1845年)一一數(shù)理統(tǒng)計(jì)的主要分支建立，是數(shù)理統(tǒng) 計(jì)的形成時(shí)期。上一世紀(jì)初，由于概率論的發(fā)展從理論上接近完備，加之工農(nóng)業(yè) 生產(chǎn)迫切需要，推動(dòng)著這門(mén)學(xué)科的蓬勃發(fā)展。1889年，英國(guó)數(shù)學(xué)家皮爾遜(1857 1936)提出了矩估計(jì)法，次年乂提出了頻率曲線的理論，并于1900年在德國(guó)數(shù)學(xué)家赫爾梅特在發(fā)現(xiàn) c2分布的基礎(chǔ)上提出了 c

6、2檢驗(yàn)，這是數(shù)理統(tǒng)計(jì)發(fā)展史 上出現(xiàn)的第一個(gè)小樣本分布。1908年，英國(guó)的統(tǒng)計(jì)學(xué)家戈塞特(1876 1937) 創(chuàng)立了小樣本檢驗(yàn)代替了大樣本檢驗(yàn)的理論和方法(即t分布和t檢驗(yàn)法)，這為數(shù)理統(tǒng)計(jì)的另一分支一一多元分析奠定理論基礎(chǔ)。1912年，英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi) 歇(18901962)推廣了 t檢驗(yàn)法，同時(shí)發(fā)展了顯著性檢驗(yàn)及估計(jì)和方差分析等數(shù) 理統(tǒng)計(jì)新分支。這樣，數(shù)理統(tǒng)計(jì)的一些重要分支如假設(shè)檢驗(yàn)、回歸分析、方差分 析、正交設(shè)計(jì)等有了其決定其面貌的內(nèi)容和理論。數(shù)理統(tǒng)計(jì)成為應(yīng)用廣泛、方法 獨(dú)特的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科。現(xiàn)代時(shí)期(1945年以后)，美籍羅馬尼業(yè)數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)家瓦你德(1902- 1950) 致力于用數(shù)學(xué)方法

7、使統(tǒng)計(jì)學(xué)精確化、嚴(yán)密化,取得了很多重要成果。他發(fā)展了決 策理論，提出了一般的判別問(wèn)題，創(chuàng)立了序貫分析理論，提出著名的序貫概率比 檢法。瓦爾德的兩本著作序貫分析和統(tǒng)計(jì)決策函數(shù)論，被認(rèn)為是數(shù)理發(fā)展史上的經(jīng)典之作。八九十年代，計(jì)算機(jī)的應(yīng)用推動(dòng)了數(shù)理統(tǒng)計(jì)在理論研究和應(yīng) 用方面不斷地向縱深發(fā)展，并產(chǎn)生一些新的分支和邊緣性的新學(xué)科， 如最優(yōu)設(shè)計(jì) 和非參數(shù)統(tǒng)計(jì)推斷等。當(dāng)前，數(shù)理統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用范圍愈來(lái)愈廣泛，已滲透到許多科學(xué)領(lǐng)域，應(yīng)用到國(guó)民經(jīng)濟(jì)各個(gè)部門(mén)，成為科學(xué)研究不可缺少的工具。4、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)在生活中的應(yīng)用1) 在求解最大經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)問(wèn)題中的應(yīng)用a)大數(shù)定律在保險(xiǎn)學(xué)中的應(yīng)用大數(shù)定律應(yīng)用在保險(xiǎn)學(xué)中，就是保險(xiǎn)的賠

8、償遵從大數(shù)定律，即參加某項(xiàng)保險(xiǎn) 的投保戶成千上萬(wàn)，雖然每一戶情況各不相同，但對(duì)保險(xiǎn)公司來(lái)說(shuō)，平均每戶的 賠償率幾乎恒等于一個(gè)常數(shù)。假如某保險(xiǎn)公司有10000個(gè)同階層的人參加人壽保險(xiǎn)，每人每年付120元保 險(xiǎn)費(fèi)，在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為 0. 006,死亡時(shí)，其家屆可向保險(xiǎn)公司領(lǐng) 得1 0000元。試問(wèn)：平均每戶支付賠償金 59元至61元的概率是多少？保險(xiǎn)公司 虧本的概率有多大?保險(xiǎn)公司每年在這項(xiàng)險(xiǎn)種中利潤(rùn)大于 40萬(wàn)元的概率是多少？保險(xiǎn)公司虧本，也就是賠償金額大于10000X 120=120(萬(wàn)元)，即死亡人數(shù)大 于 120 人的概率。死亡人數(shù) YB(10000, 0. 006) , E(Y

9、)=60, D(Y)=59. 64,由 中心極限定理，Y近似服從正態(tài)分布N (60 ,59. 64)，則PY>120 0,這說(shuō)明， 保險(xiǎn)公司虧本的概率幾乎等于 0。如果保險(xiǎn)公司每年的利潤(rùn)大于 40萬(wàn)元，即賠 償人數(shù)小于80人。則PY<80=0. 9952。可見(jiàn)，保險(xiǎn)公司每年利潤(rùn)大十 40萬(wàn)元 的概率接近100%。在保險(xiǎn)市場(chǎng)的競(jìng)爭(zhēng)過(guò)程中，在保證相同收益的前提下有兩個(gè)策略可以采用，一是降低保險(xiǎn)費(fèi)，另一個(gè)是提高賠償金，而采用提高賠償金比降 低保險(xiǎn)費(fèi)更能吸引投保戶。b）利用隨機(jī)變量函數(shù)期望求解最大利潤(rùn)某公司經(jīng)銷(xiāo)某種原料，根據(jù)歷史資料：這種原料的市場(chǎng)需求量x （單位：噸） 服從（300 ,5

10、00 ）上的均勻分布，每售出1噸該原料，公司可獲利1.5千元；若積壓 1噸，則公司損失0.5千元，問(wèn)公司應(yīng)該組織多少貨源，可使期望的利潤(rùn)最大 ?分析：此問(wèn)題的解決先是建立利潤(rùn)與需求量的函數(shù)，然后求利潤(rùn)的期望，從 而得到利潤(rùn)關(guān)丁貨源的函數(shù)，最后利用求極值的方法得到答案。解：設(shè)公司組織該貨源a噸，則顯然應(yīng)該有300a <500 , 乂記y為在a噸貨源的條件下的利潤(rùn)，則利潤(rùn)為需求量的函數(shù)，即 y = g（x）,由題設(shè)條件知：當(dāng)x芝a時(shí)，則此a噸貨源全部售出，共獲利1.5 a :當(dāng)x < a時(shí)，則售出x噸（獲利1.5 x ）, a - x噸積壓獲利（0.5 （a x）,所以共獲利1.5 x

11、 -0.5 （a x ）,由此得1.5a X丫 一 g x 一 2X - 0.5a X :a從而得50 0g xdx2003 00E y = . 一一 g x Px x dx =500a=3w 2 x - 0.5 a dx - I 1.5 adx122=-a 900 - 300200上述計(jì)算表明E （ y ）是a的二次函數(shù)，用通常求極值的方法可以求得a =450噸時(shí)，能夠使得期望的利潤(rùn)達(dá)到最大。2) 在經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用在實(shí)際經(jīng)營(yíng)中，許多量之間存在某種密切聯(lián)系，根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)原理，可以根據(jù) 往年資料或市場(chǎng)信息，通過(guò)對(duì)社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象之間客觀存在的因果關(guān)系及其變化趨 勢(shì)進(jìn)行線性回歸分析預(yù)測(cè)，從而得出未來(lái)

12、的數(shù)量狀況。下面以一元線性回歸分析 為例探討一下線性回歸分析在經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用。合金的強(qiáng)度y ( xlG7 pa )與合金中碳的含量x (% )有關(guān)，為了生產(chǎn)強(qiáng)度滿 足用戶需要的合金，在冶煉時(shí)要控制碳的含量?，F(xiàn)調(diào)查收集了 12組數(shù)據(jù)，見(jiàn)下表, 試建立適當(dāng)?shù)木€性回歸模型并進(jìn)行檢驗(yàn)。 如果在冶煉過(guò)程中通過(guò)化驗(yàn)得知了碳的 含量為G.16，根據(jù)模型預(yù)測(cè)這爐合金的強(qiáng)度。)丁與x (% )y ( x10 7 pa )丁與x (%)y ( x107 pa )10.1042.070.1649.020.1143.080.1753.030.1245.090.1850.040.1345.0100.2055.050.

13、1445.0110.2155.00.1547.5100.2360.0解： 第一步，建立線性回歸模型已知一元線性回歸模型為P = a+bx，根據(jù)公式及表中的數(shù)據(jù)得：a =28.53 ， b =130.60，從而所求的回歸模型V =28.53130.6 x第二步，檢驗(yàn)線性關(guān)系的顯著性現(xiàn)在用t檢驗(yàn)法，經(jīng)計(jì)算得t =13.2872 ，取顯著 性水平 a =0.05，則 t0.975 (10) = 2.2281，由丁 132.2872 >2.2281 ，因此在顯著性水平a =0.01下回歸方差是顯著的。第三步，預(yù)測(cè)將x° =0.16代入回歸模型，則得到預(yù)測(cè)值為% = 28.536130.60.16 =49.432在顯著性水平a =0.05下，得y0的概率0.95的預(yù)測(cè)區(qū)間為(46.25，52.61)，即有95%的把握認(rèn)為，碳的含量為0.16時(shí)，合金的強(qiáng)度介丁 (46.25 52.61)之間。5、結(jié)束語(yǔ)通過(guò)以上介紹及討論我們簡(jiǎn)要了解了概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)科的起源和發(fā)展，以及概率