2019屆江蘇省高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)與策略訓(xùn)練：第1部分專題5第16講高考中的圓(含解析)

1、第 16 講高考中的圓題型一 I 直線與圓及圓與圓2 2心的圓 M : x + y - 12x- 14y+ 60= 0 及其上一點 A(2,4).(1)設(shè)圓 N 與 x 軸相切，與圓 M 外切，且圓心 N 在直線 x= 6 上，求圓 N 的標(biāo) 準(zhǔn)方程；設(shè)平行于 OA 的直線 I 與圓 M 相交于 B，C 兩點，且 BC = OA，求直線 I 的 方程； 設(shè)點 T(t,0)滿足：存在圓 M 上的兩點 P 和 Q,使得 TA+ TP= TQ，求實數(shù) t的取值范圍._ 圓 N 與圓 M 外切_解題指導(dǎo)(1)設(shè)圓心 N(6, y0)求出 y0圓 N 與 x 軸相切熱點型探究卜例(2019 江蘇高考)如

2、圖 16- 1,在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知以 M 為圓寫出圓 N 的方程設(shè) I 的方程一弦心距、半弦長、半徑間的關(guān)系求 I 的方程T.r-(3)設(shè) P，Q 的坐標(biāo)-*-卜-鉄TA + TP二TQ -建立 P, Q 坐標(biāo)間的關(guān)系等價轉(zhuǎn)化- 圓與圓的位置關(guān)系解圓 M 的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x- 6)2+ (y- 7)2= 25,(m+ 5?所以 25 =2+ 5，解得 m = 5 或 m= 15. 9 分故直線 l 的方程為 2x y+ 5= 0 或 2x y 15 = 0. 10 分 設(shè) P(x1, y”，Q(X2,y2).T T T因為 A(2,4), T(t,0), TA+ TP= TQ,X

3、2=xi+ 2 t,所以11 分y2=yi+4.所以圓心 M(6,7)，半徑為 5.由圓心 N 在直線 x= 6 上，可設(shè) N(6, yo).因為圓 N 與 x 軸相切，與圓 M 外切,所以 0yo7，圓 N 的半徑為 yo,從而 7-yo= 5 + yo,解得 yo= 1.2 2因此，圓 N 的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x- 6) + (y- 1) = 1.4 分因為直線 I OA，4 0所以直線 I 的斜率為=2. 5 分2 0設(shè)直線 I 的方程為 y=則圓心 M 到直線 I 的距離|2X67+m| |m+5|d二冷一 5 一 *7分因為 BC= OA= 22+ 42= 2 5，2 2因為點 Q 在圓M

4、上，所以(X2 6) + (y2 7) = 25 12 分將代入，得(xi t 4)2+ (yi 3)2= 25.13 分于是點 P(X1, y1)既在圓M上，又在圓x (t+ 4)2+ (y 3)2= 25 上, 從而圓(x6)2+ (y 7)2= 25 與圓x (t+ 4)2+ (y 3)2= 25 有公共點， 所以 5 5Wt+ 4 62+ 3 72 5+ 5，14 分解得 2 2,2K t 2 + 2 21.因此，實數(shù) t 的取值范圍是2 2 21, 2 + 2 21.16 分【名師點評】 本題涉及知識面較廣，既考查了直線與直線的位置關(guān)系，也考查了直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系，求解的關(guān)鍵

5、是充分利用上述關(guān)系建立數(shù)量關(guān) 系，注意等價轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.對點訓(xùn)練1 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知圓 M 經(jīng)過點 A(1,0), B(3,0), C(0,1).(1) 求圓 M 的方程；P = 4,解得 E= 4,F = 3.2 若直線 I: mx 2y (2m+ 1) = 0 與圓 M 交于點 P, Q,且 MP MQ = 0,求實 數(shù)m 的值.解(1)法一：設(shè)圓 M 的方程為 x2+ y2+ Dx+ Ey+ F = 0,D + F + 1= 0, 則 3D + F+ 9= 0,IE+ F + 1= 0,所以圓M的方程 x2+ y2 4x 4y+ 3 = 0. 8 分法二：線段 AC

6、的垂直平分線的方程為 y= x,線段 AB 的垂直平分線的方程為x= 2,y=x, 由 解得 M(2,2).5 分x= 2,所以圓 M 的半徑 r = AM = 5,所以圓 M 的方程為(x 2)2+ (y 2)2= 5. 8 分n(2)因為 MP MQ = 0,所以ZPMQ =空又由得 MP= MQ = r = 5,所以點 M 到直線 I 的距離 d= 014 分|2m 4 2m 1|yf!0廠由點到直線的距離公式可知，-=，解得 m= 6. 16 分寸 m2+ 422. (2019 江蘇高考)如圖 16 2,在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，點 A(0,3),直線 l: y=2x4.設(shè)圓 C

7、的半徑為 1,圓心在 I 上.圖 16 2(1)若圓心 C 也在直線 y=x 1 上，過點 A 作圓 C 的切線，求切線的方程；若圓 C 上存在點 M，使 MA = 2MO,求圓心 C 的橫坐標(biāo) a 的取值范圍.解由題設(shè)，圓心 C 是直線 y= 2x 4 和 y=x 1 的交點，解得點 C(3,2),|3k+1|3由題意，得2 = 1,解得 k= 0 或 k= 3，pk+14于是切線的斜率必存在設(shè)過A(0,3)的圓 C 的切線方程為 y= kx+ 3. 3 分故所求切線方程為 y= 3 或 3x+4y 12= 0.6 分因為圓心在直線 y= 2x 4 上，所以圓 C 的方程為(x a)2+ y

8、 2(a 2)2= 1.設(shè)點 M(x, y),因為 MA = 2MO,10 分所以 - “ + y 32= 2 x +y，化簡得 x +y+ 2y 3= 0,即x+ (y+ 1=4, 所以點 M 在以 D(0, 1)為圓心，2 為半徑的圓上.由題意，點 M(x, y)在圓 C 上，所以圓 C 與圓 D 有公共點，則 |2 1| CD 2+ 1,即卩 1w.：a2+ 2a 32 3.2整理，得8 5a 12a 0.14 分2由 5a 12a + 80,得 a ;212由 5a12a求點 B 及 BC 的長(2)設(shè) OM = d,圓的半徑為 r 用 d 表示 r 建立關(guān)于 d 的不等式組 一 求

9、d 的范圍解法一：(1)如圖(1)，以 O 為坐標(biāo)原點，OC 所在直線為 x 軸，建立平面直 角坐標(biāo)系 xOy.(1)由條件知 A(0,60), C(170,0)，4 直線 BC 的斜率 kBc= tanzBCO= 3.又因為 ABJBC，所以直線 AB 的斜率 kAB= 4. 4 分設(shè)點 B 的坐標(biāo)為(a，b)，b 603kAB=；.a 04聯(lián)立解得 a= 80, b= 120. 6 分所以 BC= : 170 802+ 0 1202= 150.因此新橋 BC 的長是 150 m.8 分設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓M的半徑為 r m, OM = d m(0 d 60).4由條件知，直線 BC 的方程為

10、y= 3(x 170),即 4x+ 3y 680= 0. 10 分由于圓 M 與直線 BC 相切，故點 M(0,d)到直線 BC 的距離是 r，即 r因為 O 和 A 到圓 M 上任意一點的距離均不少于 80 m,解得 10 d 80, 所以r 60 d 80,6803dd80,6803d560d 80.所以當(dāng) OM = 10 m 時，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大.16 分法二: 如圖(2),延長OA,CB交于點 F.4因為 tan/ FCO = 3，4所以 sin/FCO = 4,53 八cos/ FCO = 5.2 分因為 OA= 60, OC= 170,所以 OF = OCtan/ FCO =

11、60, CF=OC= 83,從而 AF = OF OA=53.3cos/ FCO 3，36 分4因為 OA 丄 OC,所以 cos/ AFB = sin/FCO =.5又因為 AB 丄 BC,所以 BF = AFcos/ AFB= 譽(yù),從而 BC= CF BF = 150.因此新橋 BC 的長是 150 m.8 分(2)設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓 M 與 BC 的切點為 D，連結(jié) MD，貝 U MD 丄 BC,且 MD 是圓M 的半徑，并設(shè) MD = r m, OM = d m(0 d 60).因為 OA 丄 OC,所以 sin/CFO = cos/ FCO.MD _ MD _ r _ 3MF_OF-O

12、M_警-d_5,故由知 sin/CFO所以 r6803d512 分因為 O 和 A 到圓 M 上任意一點的距離均不少于 80 m,j(60 d 戸 80,解得 10 d80,即 680】3d圖 16 4轉(zhuǎn)站而運(yùn)至公路上 C 處，讓貨車直接運(yùn)走，試確定點 C 的最佳位置.解(1)由已知得 A(6,0)，直線 ON 的方程為 y= 3x,即貨運(yùn)汽車需要 15 分鐘時間.8 分點 P 到直線 AB 的垂直距離最近，則垂足為 C. 由(1)知直線 AB 的方程為 x+ y6= 0,12 分P(4,8)，則直線 PC 的方程為 x y+ 4 = 0,設(shè)Q(xo,2)(xoO),30+ J 口及 xoO

13、得 xo= 4,Q(4,2).直線 AQ 的方程為 y= (x6),即 x+y 6=0,y= 3x,x= 3,由得x+y6=0, y=9,即 B( 3,9),AB=； 3 62+ 92= 9 2,從而t=9/2 =136,2 4h.聯(lián)立上述兩式得尸1,y=5,即點 C 的坐標(biāo)為(1,5).16 分圖 16 5因為 0vav1,0vbv1,所以 0va+ bv2,12 分于是 AB = 2 (a+ b).又 ab= 2(a+ b) 2解得 0va + bw4 2*2 或 a + b4+ 2： 2.因為 0va+ bv2,所以 0va+ b2 (4 2 2)= 2 2 2, 14 分當(dāng)且僅當(dāng) a= b=2 ,2 時取等號，問： A,B兩點應(yīng)選設(shè) A(a,0),B(0，b)(0vav1,0vbv1),則直線 AB 的方程為；+1,即 bx+ ay ab= 0.因為 AB 與圓 C 相切，所以|b+ a ab|b2+ a21.化簡得 ab 2(a+ b) + 2 = 0,即卩 ab= 2(a+ b) 2. 5 分因此 AB = pa2+ b2=寸(a+ bf-2ab=寸但 + b f4(a+ b + 4所以 AB 的最小值為 2 2 2,此時 a=