Chapter4-6(高斯光束)

1、17 7 高斯光束高斯光束* * 第一節(jié)所討論的平面電磁波是具有確定傳播方向，第一節(jié)所討論的平面電磁波是具有確定傳播方向，但卻廣延于全空間中的波動(dòng)。實(shí)際上應(yīng)用的定向電磁但卻廣延于全空間中的波動(dòng)。實(shí)際上應(yīng)用的定向電磁波除了要求它具有大致確定的傳播方向外，一般還要波除了要求它具有大致確定的傳播方向外，一般還要求它在空間中形成比較狹窄的射束，即場(chǎng)強(qiáng)在空間中求它在空間中形成比較狹窄的射束，即場(chǎng)強(qiáng)在空間中的分布具有有限的寬度。特別是在近年發(fā)展激光技術(shù)的分布具有有限的寬度。特別是在近年發(fā)展激光技術(shù)中，從激光器發(fā)射出來的光束一般是很狹窄的光束。中，從激光器發(fā)射出來的光束一般是很狹窄的光束。研究這種有限寬度的

2、波束在自由空間中傳播的特點(diǎn)對(duì)研究這種有限寬度的波束在自由空間中傳播的特點(diǎn)對(duì)于激光技術(shù)和定向電磁波傳播問題都具有重要意義。于激光技術(shù)和定向電磁波傳播問題都具有重要意義。本節(jié)我們從電磁場(chǎng)基本方程研究波束傳播的特性。本節(jié)我們從電磁場(chǎng)基本方程研究波束傳播的特性。2波束場(chǎng)強(qiáng)在橫截面上的分布形式是由具體激發(fā)條件確波束場(chǎng)強(qiáng)在橫截面上的分布形式是由具體激發(fā)條件確定的現(xiàn)在我們研究一種比較簡(jiǎn)單和常見的形式這定的現(xiàn)在我們研究一種比較簡(jiǎn)單和常見的形式這種波束能量分布具有軸對(duì)稱性，在中部場(chǎng)強(qiáng)最大，靠種波束能量分布具有軸對(duì)稱性，在中部場(chǎng)強(qiáng)最大，靠近邊緣處強(qiáng)度迅速減弱設(shè)波束對(duì)稱軸為近邊緣處強(qiáng)度迅速減弱設(shè)波束對(duì)稱軸為z軸，在

3、橫軸，在橫截面上具有這種分布性質(zhì)的最簡(jiǎn)單的函數(shù)是高斯函數(shù)截面上具有這種分布性質(zhì)的最簡(jiǎn)單的函數(shù)是高斯函數(shù)222wyxe 1亥姆霍茲方程的波束解亥姆霍茲方程的波束解3因此，參數(shù)因此，參數(shù) 表示束的寬度表示束的寬度 . . 22yx wyx 22 由于波動(dòng)的特點(diǎn)，波束在傳播過程中一般不能保持由于波動(dòng)的特點(diǎn)，波束在傳播過程中一般不能保持截面不變，因而波束寬度一般是截面不變，因而波束寬度一般是z的函數(shù)。當(dāng)波束變寬的函數(shù)。當(dāng)波束變寬時(shí)，場(chǎng)強(qiáng)也相應(yīng)減弱，因此波幅也一般為時(shí)，場(chǎng)強(qiáng)也相應(yīng)減弱，因此波幅也一般為z的函數(shù)。以的函數(shù)。以u(píng)(x,y,z)代表電磁場(chǎng)的任一直角分量，考慮到上述這些代表電磁場(chǎng)的任一直角分量，

4、考慮到上述這些特點(diǎn)，我們?cè)O(shè)特點(diǎn)，我們?cè)O(shè)u具有如下形式：具有如下形式：是到波束中心軸（是到波束中心軸（z軸）的距離軸）的距離高斯函數(shù)的值迅速下降高斯函數(shù)的值迅速下降4 ikzyxzfeezgzyxu22, 上式各因子的意義如下：上式各因子的意義如下：eikz代表沿代表沿z方向的傳播因子方向的傳播因子如果電磁波具有確定的沿如果電磁波具有確定的沿z軸方向的波矢量軸方向的波矢量k，這因子，這因子就是唯一的依賴于就是唯一的依賴于z的因子。但是我們知道具有確定的因子。但是我們知道具有確定波矢量的電磁波是廣延于全空間的平面波，因此任何波矢量的電磁波是廣延于全空間的平面波，因此任何有限寬度的射束都不能具有確定

5、的波矢量。因此，射有限寬度的射束都不能具有確定的波矢量。因此，射束只能有大致確定的傳播方向，而因子束只能有大致確定的傳播方向，而因子eikz表示依賴于表示依賴于z的主要因子。的主要因子。5 22yxzfe 是限制束的空間寬度的因子，由于射束不能有完全確是限制束的空間寬度的因子，由于射束不能有完全確定的波矢量，因此束的寬度應(yīng)為定的波矢量，因此束的寬度應(yīng)為z的緩變函數(shù)。因子的緩變函數(shù)。因子g(z)主要表示波的振幅，同時(shí)也含有傳播因子中與純平主要表示波的振幅，同時(shí)也含有傳播因子中與純平面波因子面波因子eikz偏離的部分。令嘗試解偏離的部分。令嘗試解剩下的因子中，還含有對(duì)剩下的因子中，還含有對(duì)z緩變的

6、函數(shù)緩變的函數(shù)g(z)和和f(z)因子因子 (x,y,z)是是z的緩變函數(shù)。所謂緩變是相對(duì)于的緩變函數(shù)。所謂緩變是相對(duì)于eikz而言的而言的 .因因子子eikz當(dāng)當(dāng)z時(shí)已有顯著變化，我們假設(shè)時(shí)已有顯著變化，我們假設(shè) (x,y,z),當(dāng)當(dāng)z 時(shí)時(shí)變化很小，因此在它對(duì)變化很小，因此在它對(duì)z的展開式中可以忽略高次項(xiàng)的展開式中可以忽略高次項(xiàng) 。 22,yxzfezgzyx 6電磁場(chǎng)的任一直角分量電磁場(chǎng)的任一直角分量u(x,y)滿足亥姆霍茲方程滿足亥姆霍茲方程022 uku把把代人，忽略代人，忽略 2 / z2項(xiàng)，得項(xiàng)，得022222 zikyx ikzezyxzyxu, 7用嘗試解用嘗試解 0 2 2

7、222 ikgfgikgfgfyx式中撇號(hào)表示對(duì)式中撇號(hào)表示對(duì)z的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) 。上式應(yīng)對(duì)任。上式應(yīng)對(duì)任意意x，y成立，因此兩方括號(hào)內(nèi)的量應(yīng)等成立，因此兩方括號(hào)內(nèi)的量應(yīng)等于零。由此得于零。由此得f(z)和和g(z)滿足的方程滿足的方程2ikgfg 22ikff 8若這兩方程有解，就表示我們所設(shè)的嘗試解若這兩方程有解，就表示我們所設(shè)的嘗試解是一個(gè)正確的解。這解與橫截面坐標(biāo)是一個(gè)正確的解。這解與橫截面坐標(biāo)x，y有有關(guān)的部分完全含于高斯函數(shù)中，其他因子僅關(guān)的部分完全含于高斯函數(shù)中，其他因子僅為為z的函數(shù)。的函數(shù)。A為積分常數(shù)為積分常數(shù) zkiAzf21 9 zkAiuzg210 u0為另一積分常數(shù)為另

8、一積分常數(shù) A一般是復(fù)數(shù)。一般是復(fù)數(shù)。A的虛數(shù)部分可以用一項(xiàng)的虛數(shù)部分可以用一項(xiàng)(2i/k)z0抵消，即我們總可以選抵消，即我們總可以選z軸的原點(diǎn)，使軸的原點(diǎn)，使A為實(shí)為實(shí)數(shù)。取數(shù)。取A為實(shí)數(shù)，可以把為實(shí)數(shù)，可以把f(z)寫為寫為 zkAiAkzAzf2141122210令令20wA 2202022222141kwzwAkzAz 則則f(z)可寫為可寫為 202211kwizzwzf高斯函數(shù)為高斯函數(shù)為 2022221exp22kwizzwyxeyxzf11函數(shù)函數(shù)g(z)的表示式可寫為的表示式可寫為 iiewwekwzuzg 00220021 202kwztgarc 12 iyxeewwzy

9、xu22200, 22022212zkwzyxkkz13現(xiàn)在討論解的意義現(xiàn)在討論解的意義222wyxe 波束寬度由函數(shù)波束寬度由函數(shù)w(z)代表。在代表。在z0點(diǎn)波束具有最點(diǎn)波束具有最小寬度，該處稱為光束腰部。離腰部愈遠(yuǎn)處波束小寬度，該處稱為光束腰部。離腰部愈遠(yuǎn)處波束的寬度愈大的寬度愈大 。 2.高斯光束的傳播特性高斯光束的傳播特性 式中因子式中因子ei 是相因子是相因子其余的因子表示各點(diǎn)處的波幅其余的因子表示各點(diǎn)處的波幅 .因子因子是限制波束寬度的因子是限制波束寬度的因子 .14 因子因子u0w0/w 是在是在z軸上波的振幅軸上波的振幅 . u0是波束腰部的振是波束腰部的振幅幅 .因子因子w

10、0/w 表示當(dāng)波束變寬后振幅相應(yīng)減弱表示當(dāng)波束變寬后振幅相應(yīng)減弱 . 波的相位為波的相位為 ，波陣面是等相位的曲面，由方程，波陣面是等相位的曲面，由方程 =常數(shù)確定。當(dāng)常數(shù)確定。當(dāng)z=0時(shí)時(shí) = 0，因此，因此z=0平面是一個(gè)波平面是一個(gè)波陣面。即在光束腰部處，波陣面是與陣面。即在光束腰部處，波陣面是與z軸垂直的平面。軸垂直的平面。 距腰部遠(yuǎn)處，當(dāng)距腰部遠(yuǎn)處，當(dāng)20kwz 時(shí)，時(shí)， /2，因此在討論遠(yuǎn)處等相面時(shí)可略去，因此在討論遠(yuǎn)處等相面時(shí)可略去 項(xiàng)。項(xiàng)。遠(yuǎn)處等相面方程為遠(yuǎn)處等相面方程為15常數(shù)常數(shù) zyxz222由于當(dāng)由于當(dāng) z2x2y2時(shí)，時(shí)，22221222211zyxzyx 等相面方程

11、可寫為等相面方程可寫為常數(shù)常數(shù) 212221zyxz或或 常數(shù)常數(shù) 21222zyxr16因此，在遠(yuǎn)處波陣面變?yōu)橐匝恐悬c(diǎn)為球心的球面。因此，在遠(yuǎn)處波陣面變?yōu)橐匝恐悬c(diǎn)為球心的球面。波陣面從腰部的平面逐漸過渡到遠(yuǎn)處的球面形狀。波陣面從腰部的平面逐漸過渡到遠(yuǎn)處的球面形狀。在遠(yuǎn)處在遠(yuǎn)處(z kw02) 02kwzzw波束的發(fā)散角由波束的發(fā)散角由tg =w/z確定確定02kw 17注意當(dāng)注意當(dāng)w0愈小時(shí)愈小時(shí),發(fā)散角愈大。因此如果要求有良好的發(fā)散角愈大。因此如果要求有良好的聚焦聚焦(w0) ,則發(fā)散角必須足夠大則發(fā)散角必須足夠大; 如果要求有良好的定向如果要求有良好的定向( 小小)，則寬度，則寬度w

12、0不能太小。例如當(dāng)不能太小。例如當(dāng)w0=1000 時(shí)，發(fā)散時(shí)，發(fā)散角角 =10 -3/ 弧度。偏離軸向的波失橫向分量為弧度。偏離軸向的波失橫向分量為 kk 。02kw k w= (1)，表示波的空間分布寬度與波失橫向?qū)挾龋硎静ǖ目臻g分布寬度與波失橫向?qū)挾戎g的關(guān)系，是波動(dòng)現(xiàn)象的一個(gè)普遍關(guān)系。只有無限之間的關(guān)系，是波動(dòng)現(xiàn)象的一個(gè)普遍關(guān)系。只有無限寬度的平面波才具有完全確定的波失，任何有限寬度寬度的平面波才具有完全確定的波失，任何有限寬度的射束都沒有完全確定的波失的射束都沒有完全確定的波失 .18 以上我們分析了一種最簡(jiǎn)單的波模。射束還可以以上我們分析了一種最簡(jiǎn)單的波模。射束還可以有其他波模。有些波模的徑向分布不是簡(jiǎn)單高斯函數(shù)有其他波模。有些波模的徑向分布不是簡(jiǎn)單高斯函數(shù) ,另一些波模不具有軸對(duì)稱性。這些波模的特點(diǎn)都是在另一些波模不具有軸對(duì)稱性。這些波模的特點(diǎn)都是在橫截