全國自考0020高等數(shù)學(xué)（一）微積分串講講義

1、.試題特點：知識點覆蓋全面， 大多數(shù)題目難度不大，個別題目有一定的難度， 但都沒有超出大綱要求。復(fù)習(xí)要求：不報僥幸心理， 復(fù)習(xí)要涉及每個知識點。每個知識點要做相應(yīng)的練習(xí)題。全書內(nèi)容可粗分為以下三大部分：第一部分 函數(shù)極限與連續(xù)（包括級數(shù)）第二部分 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（包括多元函數(shù)）第三部分 積分計算及其應(yīng)用 （包括二重積分和方程）第一部分 函數(shù)極限與連續(xù)一、關(guān)于函數(shù)概念及特性的常見考試題型： 1、求函數(shù)的自然定義域。2、判斷函數(shù)的有界性、周期性、單調(diào)性、奇偶性。3、求反函數(shù)。4、求復(fù)合函數(shù)的表達式。二、 極限與連續(xù) 常見考試題型： 1、求函數(shù)或數(shù)列的極限。2、考察分段函數(shù)在分段點處極限是否存在， 函

2、數(shù)是否連續(xù)。3、函數(shù)的連續(xù)與間斷。4、求函數(shù)的漸進線。5、級數(shù)的性質(zhì)及等比級數(shù)。6、零點定理。每年必有的考點第三部分 導(dǎo)數(shù)微分及其應(yīng)用 常見考試題型：1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2、討論分段函數(shù)分段點的連續(xù)性與可導(dǎo)性。3、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)， 隱含數(shù)求導(dǎo)，參數(shù)方程求導(dǎo)；4、討論函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性，求曲線的拐點；5、求閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值；6、實際問題求最值。 每年必有的考點第四部分 積分計算及應(yīng)用 考試常見題型1、不定積分的概念與計算；2、定積分的計算；3、定積分計算平面圖形的面積；4、定積分計算旋轉(zhuǎn)體的體積；5、無窮限反常積分6、二重積分7、微分方程最近幾年考題中，積分計算的題目較多，

3、而且也有一定的難度。第一部分 函數(shù)極限與連續(xù)一、關(guān)于函數(shù)概念及特性的常見考試題型： 1、求函數(shù)的自然定義域。2、判斷函數(shù)的有界性、周期性、單調(diào)性、奇偶性。3、求反函數(shù)。4、求復(fù)合函數(shù)的表達式。例1.函數(shù)y=的定義域是_. 2007.7知識點：定義域 約定函數(shù)的定義域是使函數(shù)的解析表達式有意義的一切實數(shù)所構(gòu)成的數(shù)集。解 要使根式函數(shù)有意義必須滿足，要使成立， 只有，即.注：我們所求定義域的函數(shù)一般都是初等函數(shù)，而初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)，經(jīng)過有限次的×÷運算及有限次的復(fù)合得到的函數(shù)稱為初等函數(shù)。這就需要我們把基本初等函數(shù)的定義域、值域等搞清楚。 基本初等函數(shù)的性質(zhì)與圖形如下表

4、所示(表周期)：名稱表達式定義域 圖 形 特 性常數(shù)函數(shù) 有界，偶函數(shù)冪函數(shù)隨而異，但在上均有定義時在單增；時在單減無界 指 數(shù) 函 數(shù) 單增 單減無界對 數(shù) 函 數(shù) 單增 單減 無界 正 弦 函 數(shù) 奇函數(shù)有界 余 弦 函 數(shù) 偶函數(shù)有界 正 切 函 數(shù) 奇函數(shù)在每個周期內(nèi)單增，無界 余 切 函 數(shù),奇函數(shù)在每個周期內(nèi)單減無界 反 正 弦 函 數(shù)奇函數(shù)單增 有界 反 余 弦 函 數(shù)單減有界 反 正 切 函 數(shù) 奇函數(shù)單增 有界 反 余 切 函 數(shù) 單減有界例2 求函數(shù)的值域 2007.4解：由可知，所以，故的值域為例3 . 1.下列函數(shù)中在所給的區(qū)間上是有界函數(shù)的為（ ）Af (x)= 0，

5、1Bf (x)= （-1，0）Cf (x)=ex (-，+)Df (x)=lnx (0，+)知識點：函數(shù)的有界性 注：函數(shù)的有界性是指值域的有界性。解：A，故f (x)=在0，1上為有界函數(shù)。 B 故f (x)=在（-1，0）上為無界函數(shù)。CD結(jié)合函數(shù)圖像判斷。例4、設(shè)函數(shù)是定義在上的任意函數(shù)，證明： （1）、是偶函數(shù)（2）、是奇函數(shù)知識點：奇偶性 若對于任何，恒有成立，則稱是奇函數(shù)。若對于任何，恒有成立，則稱是偶函數(shù)奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖形關(guān)于y 軸對稱分析：因為是定義在對稱區(qū)間上，根據(jù)定義，只需證明：（1）（2）只證（1）： 偶函數(shù)。例5、求函數(shù)的反函數(shù). 07.10知識點：

6、反函數(shù)求反函數(shù)的步驟是：先從函數(shù)中解出，再置換與，就得反函數(shù)。解：由 ，可得，所以，上式中與的記號互換，即得反函數(shù)為例61. 設(shè)f (x)=x3-x，則f =( )A.-2 B. C.0 D.2. 已知f(x+1)=x2，則f(x)=_.2009.10知識點 ：復(fù)合函數(shù)解：1. 答案：C2. 令 則，故由可得，即.二、 極限與連續(xù) 常見考試題型： 1、求函數(shù)或數(shù)列的極限。2、考察分段函數(shù)在分段點處極限是否存在， 函數(shù)是否連續(xù)。3、函數(shù)的連續(xù)與間斷。4、求函數(shù)的漸進線。5、級數(shù)的性質(zhì)及等比級數(shù)。6、零點定理。典型例題求極限方法總結(jié)：利用極限四則運算、 連續(xù)函數(shù)、重要極限、無窮小代換、洛比達法則等

7、例7求知識點： 若函數(shù)在點處連續(xù)，解 因為 故 例8、解 ： 知識點：一般地，設(shè)，則 例9 _. 2007.7解： 例10 （1）、 2008.1 (2) 2009.1知識點：重要極限：， 解: (1) 因為 ，。(2) 求 2009.1解：例11. 知識點：重要極限 解： (4) 例12求極限（1） （2）知識點：利用等價無窮小代換求函數(shù)極限。為無窮小， 且， 則 解：(1)因為, 所以 （2）因為， ，所以 注：在使用等價無窮小代換時，應(yīng)注意只能對乘除法代換，不能對加減法代換，即只對極限中的各個因式進行代換記住下列幾個常用的等價無窮小以及由此導(dǎo)出其它的等價無窮小1、 導(dǎo)出 時，2、 導(dǎo)出

8、時，3、， 導(dǎo)出 時，4、， 導(dǎo)出 時， 5、， 導(dǎo)出 時，6、， 導(dǎo)出 時，例13：(1) 09.7 (2) 09.4 (3) 07.4 （4）知識點： 洛必達法則：使用洛必達法則必須判斷所求的極限是分式型的未定式 、其它類型的未定式 ， ， 可轉(zhuǎn)化為分式型的未定式，從而可以用洛必達法則解：(1) （2） (3) (4) 例14求極限（1）. 2009.10 (2) 2007.1知識點; 等價無窮小和洛比達法則結(jié)合解： （1） (2) 例15 .設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，且f(0)=1，則（）2007.4A.0B. C.1 D.2知識點： 變上限函數(shù)求導(dǎo)求極限解： =例16設(shè)函數(shù)f(x)=在x=

9、0點連續(xù)，則k=（）2009.4知識點：函數(shù)連續(xù) 若，則稱函數(shù)在點處連續(xù)。分段函數(shù)在分段點點處連續(xù)在點處既左連續(xù)又右連續(xù)。解：因為在點0處連續(xù)，所以 例17函數(shù) 的間斷點的個數(shù)為 【 】(A) 0個 (B) 1個 (C) 2個 (D) 3個知識點： 判斷初等函數(shù)的間斷點如果在點不連續(xù)，則稱是的間斷點 若下列三種情況之一成立，則是的間斷點： i無定義 (是無定義的孤立點) ii不存在 iii有定義，存在，但 若是含有分母的初等函數(shù)，則分母的零點是間斷點 若是分段函數(shù)，則分段的分界點是可疑的間斷點解：將函數(shù)的分母做因式分解，則有分母的零點就是函數(shù)的間斷點可以看到分母的零點為，應(yīng)選擇C注： 對函數(shù)做

10、因式分解是判斷函數(shù)零點的常用方法例18求曲線的水平漸近線和豎直漸近線.2009.10解： 因為 ，所以為曲線的水平漸近線，為曲線的水平豎直漸近線。例19 求級數(shù)的和三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：例20設(shè)f(x)在0,1上連續(xù)，且f(0)=0, f(1)=1. 證明：至少存在一點（0，1），使f()=1-.2008.7知識點 零點定理 若在閉區(qū)間連續(xù)，且，則至少有一點，使證明：.令，則在閉區(qū)間連續(xù)，則由零點定理至少有一點，使即。第二部分 導(dǎo)數(shù)微分及其應(yīng)用 常見考試題型：1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2、討論分段函數(shù)分段點的連續(xù)性與可導(dǎo)性。3、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)， 隱含數(shù)求導(dǎo)，參數(shù)方程求導(dǎo)；4、討論函

11、數(shù)的單調(diào)性和凹凸性，求曲線的拐點；5、求閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值；6、實際問題求最值。 一、有關(guān)定義的題型例21設(shè)f (0)=1，求 2008.10知識點：導(dǎo)數(shù)的定義 解: 例22設(shè)=, 討論該函數(shù)在處的連續(xù)性與可導(dǎo)性知識點： 1、函數(shù)在點處連續(xù)在點處連續(xù)既左連續(xù)又右連續(xù).2、函數(shù)在點處可導(dǎo)左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在且相等3、分段函數(shù)在分段點的左右導(dǎo)數(shù)可用導(dǎo)數(shù)的左右極限來得到。解：因為 所以 在處連續(xù)因為 ，在處不可導(dǎo)總之，在處連續(xù)不可導(dǎo)例23 .設(shè)，則=。2007.4解： 例24求曲線上點（0，1）處的切線是.知識點：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在幾何上表示曲線在點處的切線的斜率 解：因為所以曲線在點（0，1）

12、處的切線方程的斜率為,則曲線在點（0，1）處的切線方程為, 即例25設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，則在處（C.）2005年4月A.極限不一定存在B.不一定連續(xù)C.可微D.不一定可微知識點：可導(dǎo)可微可導(dǎo)連續(xù)例26、若函數(shù)在點處自變量增量=0.25，對應(yīng)函數(shù)增量的線性主部為2，求函數(shù)在該點的導(dǎo)數(shù)值 2006年1月知識點：微分解： 因為 所以 二、有關(guān)導(dǎo)數(shù)計算的題型基本求導(dǎo)公式 導(dǎo)數(shù)的四則運算 若函數(shù)，都在點處可導(dǎo)，則有()； ()；()， 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)及可以復(fù)合成函數(shù)，若 在點可導(dǎo)，且在相應(yīng)的點可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在點處可導(dǎo)，且，或 ， 初等函數(shù)的求導(dǎo)問題全部解決例27、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。1) y= .20

13、09.1 導(dǎo)數(shù)的四則運算 , 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：逐層求導(dǎo)， 外層求導(dǎo)，內(nèi)層不動。解：2）例28、 求下列函數(shù)的微分 知識點:求微分解：（1）因為 所以 （2）設(shè)：，則; ，故所以 例29、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）設(shè) 2005.1 （2） 2007.知識點：當(dāng)冪指函數(shù)求導(dǎo)，或當(dāng)函數(shù)是多個因式相乘時，采用對數(shù)求導(dǎo)法解 兩邊取對數(shù)： 兩邊關(guān)于求導(dǎo)： 因為 例30、設(shè), 求 2004.10知識點： 高階導(dǎo)數(shù) ，熟記下列高階導(dǎo)數(shù)公式 解：,所以 例31 求在點處的偏導(dǎo)數(shù)。知識點：偏導(dǎo)數(shù)計算 解法： , 則 , 例32、求函數(shù))當(dāng)時的全微分. 2005年1月知識點：全微分解： 所以 注意：如果求非

14、具體點的全微分，只需求出偏導(dǎo)函數(shù)，帶入全微分公式即可：例33、y, 求 2009.7解：，例34 設(shè)方程確定隱函數(shù),求 2005.10知識點：隱含數(shù)求導(dǎo)二元方程確定一個一元的隱函數(shù),且F(x, y, z) = 0確定二元函數(shù)z =z (x, y)，且：，解：令原方程即為 ，注：使用公式時，將方程表示為 或三、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用1、導(dǎo)數(shù)和微分在經(jīng)濟分析中的應(yīng)用邊際函數(shù)：在經(jīng)濟學(xué)中，一個經(jīng)濟函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為該函數(shù)的邊際函數(shù)彈性函數(shù): 經(jīng)濟函數(shù)彈性函數(shù)如下定義：注意：1）在點可導(dǎo)，在點的彈性就存在。 2）= 例35 1已知生產(chǎn)某商品x個的邊際收益為30-2x，則總收益函數(shù)為（）2007.1A30-2x2B30-

15、x2C30x-2x2D30x-x2知識點：表示某產(chǎn)品產(chǎn)量， 分別表示成本函數(shù)、收益函數(shù)和利潤函數(shù)，則邊際成本 MC =邊際收益 MR =邊際利潤 ML =顯然：= MRMC 解：因為，答案為.供給價格彈性與需求價格彈性1、設(shè) 是市場對某一種商品的供給函數(shù)，其中為商品價格， 為市場供給量，則： - 供給價格彈性2、設(shè) 是市場對某一種商品的需求函數(shù)，其中為商品價格， 為市場需求量，則： - 需求價格彈性注意，當(dāng)時，所以 負號保證：， 需求價格彈性總是正數(shù)。例36.設(shè)某商品的需求函數(shù)為，其中p表示商品價格，D為需求量，a、b為正常數(shù)，則需求量對價格的彈性（）2005.10A.B. C. D. 解：2

16、、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)形態(tài)方面的應(yīng)用理論基礎(chǔ)：微分中值定理函數(shù)的凹凸性，單調(diào)性， 極值最值例37 函數(shù)在區(qū)間是否滿足羅爾定理的條件，若滿足，求出使的點知識點：、羅爾定理 若函數(shù)滿足： (1) 在閉區(qū)間連續(xù)；(2) 在開區(qū)間可導(dǎo) (3) ，則在內(nèi)至少存在一點，使拉格朗日(Lagrange)中值定理 若函數(shù)滿足： (1) 在閉區(qū)間連續(xù)；(2) 在開區(qū)間可導(dǎo) 則在內(nèi)至少存在一點，使解： 在連續(xù)且可導(dǎo)，又故在滿足羅爾定理的條件由于令，得，即點例38 .函數(shù)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)（）2005年1月A.單調(diào)減小B.單調(diào)增加C.不增不減D.有增有減知識點： 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)， 在上可導(dǎo)，(1)、若在內(nèi)， 則在上單調(diào)增

17、加；(2)、若在內(nèi)， 則在上單調(diào)減少。解：因為 所以應(yīng)該選A例39. 試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。知識點： 求單調(diào)區(qū)間一階導(dǎo)數(shù)為零（駐點）或不存在的點可能恰好是單調(diào)區(qū)間的分界點，這些分界點將函數(shù)的定義域分劃成若干個部分單調(diào)區(qū)間。解：函數(shù)的定義域為， 且當(dāng)時， ， 故函數(shù)在上單調(diào)減少； 當(dāng)時， ， 故函數(shù)在上單調(diào)增加。故為單調(diào)遞增區(qū)間，為單調(diào)增區(qū)間。例40求曲線的凹凸區(qū)間和拐點.知識點：曲線的凹凸區(qū)間和拐點時，曲線為凹的，曲線為凸的。確定曲線拐點的方法：1、求出在區(qū)間上為零或不存在的點；2、這些點將區(qū)間劃分成若干個部分區(qū)間，然后考察在每個部分區(qū)間上的符號，確定曲線的凹凸性；3、若在兩個相鄰的部分區(qū)間上

18、，曲線的凹凸性相反，則此分界點是拐點；若在兩個相鄰的部分區(qū)間上，曲線的凹凸性相同，則此分界點不是拐點。解：時，。例41求函數(shù)y=x-ln(1+x)的極值.知識點： 函數(shù)的極值，駐點（導(dǎo)數(shù)為0的點）連續(xù)函數(shù)的極值點必是駐點和不可導(dǎo)的點求函數(shù)的極值的步驟： 先求出駐點和不可導(dǎo)點（可疑的極值點），再利用第一充分條件，第二充分條件判斷可疑點是否為極值點第一充分條件 設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)連續(xù)，在去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)， (1)、當(dāng) 則為的極大值(2)、當(dāng) 則為的極小值第二充分條件設(shè)函數(shù)在點處具有二階導(dǎo)數(shù)， 且， 則(1)、當(dāng)時， 函數(shù)在處取得極大值；(2)、當(dāng)時， 函數(shù)在處取得極小值。解：， 定義域：令時，所

19、以x=0是函數(shù)的極小值點, 而函數(shù)的極小值為0.例42 求在區(qū)間上的最大值與最小值知識點：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值。 方法： 1、先求區(qū)間內(nèi)部可疑的極值點2、計算區(qū)間端點和內(nèi)部可疑極值點的函數(shù)值。3、比較函數(shù)值大小， 確定最大值和最小值。解 令，得駐點由于，比較可知，在上的最大值為，最小值為。例43證明：當(dāng)時， 。 2007.1知識點：利用單調(diào)性證明不等式。 證明：令，則 ，單調(diào)遞減，所以當(dāng)， ， 即.例44.已知某廠生產(chǎn)件某產(chǎn)品的成本為(1)要使平均成本最小,應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品? 2005年1(2)如產(chǎn)品以每件500元出售,要使利潤最大,應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品? 知識點：實際問題：1）求出目標函數(shù)，寫

20、出定義域。 2）求唯一駐點。 3）由實際意義和駐點唯一直接判斷最值情況。解：(1) 平均成本函數(shù)為 則，令得由實際意義和駐點唯一可知，當(dāng)生產(chǎn)1000產(chǎn)品時，平均成本最小。 (2) 利潤函數(shù)令得由實際意義和駐點唯一可知，當(dāng)生產(chǎn)6000產(chǎn)品時，利潤最大.第三部分 積分計算及應(yīng)用 考試常見題型1、不定積分的概念與計算；2、定積分的計算；3、定積分計算平面圖形的面積；4、定積分計算旋轉(zhuǎn)體的體積；5、無窮限反常積分6、二重積分7、微分方程一、 不定積分例45 設(shè)，則f (x)= _.2007.10知識點：不定積分的概念與性質(zhì)如果或 ，函數(shù)就稱為一個原函數(shù)，得全體原函數(shù)為解：例46知識點：不定積分的計算：

21、運算性質(zhì)性質(zhì)1 性質(zhì)2 ( 為非零常數(shù) )基本積分表為前提1 2 (為常數(shù))， 3 ()， 4 5 6 7， 8 ，9， 10，11， 12 ，13 ， 14 ，解： 注意：計算不定積分一定不要漏掉常數(shù)C。例47 (1) (2) (3) （4）2008.10知識點：不定積分的第一換元積分法（湊微分法）解：(1) 。(2) 。(3) (4)+C注意：常見的湊微分公式 ； ； ； ； ； ； 例48. （1）求不定積分. （2） 2007.4知識點：不定積分第二換元法解：（1） 注意：若被積函數(shù)中含有的式子，取換元（2）則 所以 +C=注意：當(dāng)分母次數(shù)比分子次數(shù)高于1時，可以采用倒代換。例49 求

22、不定積分（1） 2008.1 （2）知識點：分部積分法解：（1） （2） 注意：不定積分的幾種計算方法有時需要結(jié)合使用，而且也可以移植到定積分的計算。二 定積分牛頓(Newton)萊布尼茨(Leibniz)公式 例50 正弦曲線的一段y=sin x)與x軸所圍平面圖形的面積為（ ）09.7A.1B.2C.3D.4知識點：定積分的幾何意義解： 例51 知識點： 被積函數(shù)含有絕對值的定積分解： 由定積分的區(qū)間可加性，原積分 在區(qū)間上，從而； 在區(qū)間上，從而 原積分注： 對于含有絕對值的定積分，應(yīng)利用積分的區(qū)間可加性脫掉絕對值號。例52 計算定積分 （1）。 （2） 2008.1知識點：定積分的換元計算換元必換限， 下限對下限， 上限對上限解： （1） 取代換，則， 原積分 。（2）令， 則 例53 計算定積分 知識點： 對稱區(qū)間上定積分偶倍奇零設(shè)在上連續(xù)，證明：(1) 若為奇函數(shù)，則；(2) 若為偶函數(shù)，則解：