等比數(shù)列(教案+例題+習(xí)題)

1、二、等比數(shù)列1.等比數(shù)列的判斷方法：定義法，其中或。例1“公差為0的等差數(shù)列是等比數(shù)列”；“公比為的等比數(shù)列一定是遞減數(shù)列”；“a,b,c三數(shù)成等比數(shù)列的充要條件是b2=ac”；“a,b,c三數(shù)成等差數(shù)列的充要條件是2b=a+c”，以上四個(gè)命題中，準(zhǔn)確的有（ ）A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)解析：四個(gè)命題中只有最后一個(gè)是真命題。命題1中未考慮各項(xiàng)都為0的等差數(shù)列不是等比數(shù)列；命題2中可知an+1=an×，an+1<an未必成立，當(dāng)首項(xiàng)a1<0時(shí)，an<0，則an>an，即an+1>an，此時(shí)該數(shù)列為遞增數(shù)列；命題3中，若a=b=0，cR，此時(shí)有，但數(shù)列a

2、,b,c不是等比數(shù)列，所以應(yīng)是必要而不充分條件，若將條件改為b=，則成為不必要也不充分條件。些相關(guān)等差數(shù)列、等比數(shù)列的重要結(jié)論。（1）一個(gè)等比數(shù)列共有項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)之積為100，偶數(shù)項(xiàng)之積為120，則為_；（2）數(shù)列中，=4+1 ()且=1，若 ，求證：數(shù)列是等比數(shù)列。2.等比數(shù)列的通項(xiàng)：或。3.等比數(shù)列的前和：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。例2一個(gè)等比數(shù)列有三項(xiàng)，如果把第二項(xiàng)加上4，那么所得的三項(xiàng)就成為等差數(shù)列，如果再把這個(gè)等差數(shù)列的第三項(xiàng)加上32，那么所得的三項(xiàng)又成為等比數(shù)列，求原來的等比數(shù)列。解析：設(shè)所求的等比數(shù)列為a，aq，aq2；則2(aq+4)=a+aq2，且(aq+4)2=a(aq2+32)；解得

3、a=2，q=3或a=，q=5；故所求的等比數(shù)列為2，6,18或，。點(diǎn)評(píng)：第一種解法利用等比數(shù)列的基本量，先求公比，后求其它量，這是解等差數(shù)列、等比數(shù)列的常用方法，其優(yōu)點(diǎn)是思路簡單、實(shí)用，缺點(diǎn)是有時(shí)計(jì)算較繁。（1）設(shè)等比數(shù)列中，前項(xiàng)和126，求和公比. （2）等比數(shù)列中，2，S99=77，求；（3）的值為_；特別提醒：等比數(shù)列前項(xiàng)和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列前項(xiàng)和時(shí)，首先要判斷公比是否為1，再由的情況選擇求和公式的形式，當(dāng)不能判斷公比是否為1時(shí)，要對(duì)分和兩種情形討論求解。4.等比中項(xiàng)：若成等比數(shù)列，那么A叫做與的等比中項(xiàng)。提醒：不是任何兩數(shù)都有等比中項(xiàng)，只有同號(hào)兩數(shù)才存有等比中項(xiàng)，且有兩個(gè)

4、。如已知兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)為A，等比中項(xiàng)為B，則A與B的大小關(guān)系為_提醒：（1）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前和公式中，涉及到5個(gè)元素：、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2個(gè)，即知3求2；（2）為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等比，可設(shè)為，（公比為）；但偶數(shù)個(gè)數(shù)成等比時(shí)，不能設(shè)為，因公比不一定為正數(shù)，只有公比為正時(shí)才可如此設(shè)，且公比為。如有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)成等比數(shù)列，且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和為12，求此四個(gè)數(shù)。5.等比數(shù)列的性質(zhì)：（1）當(dāng)時(shí)，則有，特別地，當(dāng)時(shí)，則有.練一練：在等比數(shù)列中，公比q是整數(shù)

5、，則=_；(2) 若是等比數(shù)列，則、成等比數(shù)列；若成等比數(shù)列，則、成等比數(shù)列； 若是等比數(shù)列，且公比，則數(shù)列 ，也是等比數(shù)列。當(dāng)，且為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列 ，是常數(shù)數(shù)列0，它不是等比數(shù)列. 練一練：在等比數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和，若，則的值為_ _；(3)若，則為遞增數(shù)列；若, 則為遞減數(shù)列；若 ，則為遞減數(shù)列；若, 則為遞增數(shù)列；若，則為擺動(dòng)數(shù)列；若，則為常數(shù)列.(4) 當(dāng)時(shí)，這里，但，這是等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的一個(gè)特征，據(jù)此很容易根據(jù)，判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列。如若是等比數(shù)列，且，則 (5) .如設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，若成等差數(shù)列，則的值為_ ；(6) 在等比數(shù)列中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)

6、，.(7)如果數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列是非零常數(shù)數(shù)列，故常數(shù)數(shù)列僅是此數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件。如設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為（）， 關(guān)于數(shù)列有下列三個(gè)命題：若，則既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列；若，則是等差數(shù)列；若，則是等比數(shù)列。這些命題中，真命題的序號(hào)是 ；例3在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列an中，首項(xiàng)a13，前三項(xiàng)和為21，則a3a4a5（ ）（A）33 （B）72 （C）84 （D）189解析：解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q(q>0)，由題意得:a1+a2+a3=21,即3+3q+3q2=21,q2+q-6=0，求得q=2(q=3舍去)，所以a3+a4+a5=q2(a1+

7、a2+a3)=4故選C。等比數(shù)列課后練習(xí)一、選擇題：(本大題共6小題，每小題6分，共36分，將正確答案的代號(hào)填在題后的括號(hào)內(nèi))1在等比數(shù)列an中，a7·a116，a4a145，則()A.B. C.或 D或2在等比數(shù)列an中a12，前n項(xiàng)和為Sn，若數(shù)列an1也是等比數(shù)列，則Sn等于()A2n12 B3n C2n D3n13設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S6S312，則S9S3等于()A12 B23 C34 D134已知等比數(shù)列an中，an>0，a10a11e，則lna1lna2lna20的值為()A12 B10 C8 De5若數(shù)列an滿足a15，an1(nN*)，則其前10

8、項(xiàng)和是()A200 B150 C100 D506.在等比數(shù)列an中，a1a2an2n1(nN*)，則aaa等于()A(2n1)2 B.(2n1)2 C4n1 D.(4n1)二、填空題：(本大題共4小題，每小題6分，共24分，把正確答案填在題后的橫線上)7數(shù)列an中，設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則S9_.8數(shù)列an的前n項(xiàng)之和為Sn，Sn1an，則an_.9an是等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，S27，S691，則S4_.10設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn(nN)，關(guān)于數(shù)列an有下列四個(gè)命題：若an既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則anan1(nN)若Snan2bn(a，bR)，則an是等差數(shù)列若Sn1(1)n，則an是等比數(shù)列若an是等比數(shù)列，則Sm，S2mSm，S3mS2m(mN)也成等比數(shù)列其中正確的命題是_(填上正確命題的序號(hào))三、解答題：(本大題共3小題，11、12題13分，13題14分，寫出證明過程或推演步驟)11已知數(shù)列an中，a11，前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)任意的自然數(shù)n2，an是3Sn4與2Sn1的等差中項(xiàng)(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求Sn.12設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且(3m)Sn2manm3(nN*)，其中m為常數(shù)，且m3.(1)求證：an是等比數(shù)列；(2)若數(shù)列an的公比qf(m)，