中考數(shù)學 第一部分 基礎知識過關 第一章 數(shù)與式 第4講 二次根式課件 (8)

1、第第2121講講 圓的有關性質圓的有關性質泰安考情分析泰安考情分析基礎知識過關基礎知識過關泰安考點聚焦泰安考點聚焦總綱目錄總綱目錄隨堂鞏固練習隨堂鞏固練習泰安考情分析基礎知識過關知識點一知識點一 圓的有關概念圓的有關概念知識點二知識點二 圓的有關性質圓的有關性質知識點三知識點三 圓內接四邊形圓內接四邊形知識點一知識點一 圓的有關概念圓的有關概念1.1.圓的兩種定義圓的兩種定義(1)在一個平面內,線段OA繞它 固定的一個端點O 旋轉一周,另一個端點A所形成的圖形叫做圓,其固定的端點O叫做 圓心 ,線段OA叫做 半徑 .(2)在同一平面上到定點的距離等于 定長 的所有點的集合叫做圓.2.2.弦和弧

2、弦和弧(1)弦:連接圓上 任意兩點 的線段叫做弦,經過圓心的弦叫做 直徑 ,直徑是圓中最長的弦.(2)弧:圓上 任意兩點間的部分 叫做圓弧,簡稱弧.弧可分為 劣弧 、半圓和優(yōu)弧.3.3.同心圓和等圓同心圓和等圓: :圓心相同的圓叫做同心圓;半徑相等的圓叫做等圓.4.4.圓心角和圓周角圓心角和圓周角: :頂點在 圓心上 的角叫做圓心角;頂點在圓上,并且 兩邊都與圓相交 的角叫做圓周角.5.5.弦心距弦心距: :圓心到弦的距離叫做 弦心距 ,即由圓心向弦作垂線段,則這條垂線段的長度叫做弦心距.知識點二知識點二 圓的有關性質圓的有關性質1.1.圓的對稱性圓的對稱性(1)圓是軸對稱圖形, 任何一條直徑

3、所在的直線 都是圓的對稱軸;(2)圓是中心對稱圖形,對稱中心是 圓心 .2.2.垂徑定理及其推論垂徑定理及其推論(1)定理:垂直于弦的直徑平分 弦 ,并且平分 弦所對的兩條弧 .(2)推論:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的弧.溫馨提示溫馨提示 (1)過圓心;(2)垂直于弦;(3)平分弦;(4)平分弦所對的優(yōu)弧;(5)平分弦所對的劣弧,這五條結論中的任意兩條成立,那么其他的結論也成立.3.3.圓心角、弧、弦之間的關系圓心角、弧、弦之間的關系(1)定理:在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的 弧 相等,所對的 弦 相等,所對的弦的弦心距相等.(2)推論:在同圓或等圓中,兩個圓心角、兩

4、條弧、兩條弦、兩條弦心距中,有一組量相等,那么它們所對應的其余各組量都分別相等.4.4.圓周角定理及推論圓周角定理及推論(1)定理:在同圓或等圓中,同弧所對的圓周角相等,都等于它所對圓心角的 一半 .(2)推論: 同弧或等弧 所對的圓周角相等;半圓(或直徑)所對的圓周角是 直角 ;90的圓周角所對是 直徑 .溫馨提示溫馨提示 (1)同一條弧所對的圓周角相等,同一條弦所對的圓周角相等或互補;(2)當已知條件中有直徑時,常常作直徑所對的圓周角,這是圓中常作的輔助線;(3)等弧只存在于同圓或等圓中,是指能夠完全重合的弧,而不是弧長相等或者所對圓心角相等的弧.知識點三知識點三 圓內接四邊形圓內接四邊形

5、1.定義:四個頂點都在同一個圓上的四邊形叫做圓內接四邊形.2.性質:圓內接四邊形的對角 互補 .泰安考點聚焦考點一考點一 垂徑定理及其推論垂徑定理及其推論考點二考點二 圓心角、弧、弦的關系圓心角、弧、弦的關系考點三考點三 圓周角定理及其推論圓周角定理及其推論考點四考點四 圓內接四邊形的性質圓內接四邊形的性質考點一考點一 垂徑定理及其推論垂徑定理及其推論中考解題指導中考解題指導大部分求圓中弦或線段長度或者出現(xiàn)弦的中點的題目都要用到垂徑定理,我們要熟記垂徑定理的“兩條件三結論”,并熟練運用定理本身和它的推論.例例1 1 (2017泰安一模)如圖,AB是O的直徑,點D平分弧AC,AC=5,DE=1.

6、5,則OE= .43解析解析OD為O半徑,點D平分弧AC,AC=5,ODAC,AE=CE=2.5.設OE=x,DE=1.5,OA=OD=x+1.5.在RtAEO中,AE2+OE2=AO2,即2.52+x2=(x+1.5)2,解得x= .43變式變式1-11-1一條排水管的截面如圖所示,已知排水管的半徑OA=1 m,水面寬AB=1.2 m,某天下雨后,水管水面上升了0.2 m,則此時排水管水面寬CD等于 1.6 m.解析解析如圖,作OEAB于點E,交CD于點F,連接OC.AB=1.2 m,OEAB,由垂徑定理知AE=0.6 m.OA=1 m,OE=0.8 m.水管水面上升了0.2 m,EF=0.

7、2 m,OF=0.8 m-0.2 m=0.6 m,CF= = =0.8(m),CD=1.6 m.22OCOF2210.6考點二考點二 圓心角、弧、弦的關系圓心角、弧、弦的關系例例2如圖,D,E分別是O的半徑OA,OB上的點,CDOA,CEOB,CD=CE,則與的大小關系是 = .AClBClAClBCl解析解析CDOA,CEOB,CDO=CEO=90,又CD=CE,CO=CO,CODCOE.COD=COE,=.AClBCl變式變式2-1 (2017甘肅蘭州)如圖,在O中,的長=的長,點D在O上,CDB=25,則AOB=( B )A.45B.50 C.55D.60ABBC解析連接OC.CDB=2

8、5,COB=50.又=,AOB=COB=50,故選B.ABlBCl變式變式2-22-2如圖,AB是半圓的直徑,點D是弧AC的中點,ABC=50,則DAB等于( C )A.55B.60 C.65D.70解析解析連接BD,如圖.點D是弧AC的中點,即的長=的長,ABD=CBD,又ABC=50,ABD=50=25,AB是半圓的直徑,ADB=90,DAB=90-25=65.故選C.CDAD12方法方法技巧方法方法技巧熟記并能靈活運用圓心角、弧、弦之間的關系的定理及推論是解決此類問題的關鍵.考點三考點三 圓周角定理及其推論圓周角定理及其推論例例3 (2017泰安)如圖,ABC內接于O,若A=,則OBC等

9、于( D )A.180- B.2 C.90+ D.90-解析解析連接OC,則BOC=2A=2,OB=OC,OBC=OCB=(180-2)=90-.12變式變式3-1 (2016泰安)如圖,ABC內接于O,AB是O的直徑,B=30,CE平分ACB交O于E,交AB于點D,連接AE,則SADESCDB=( D )A.1 B.1 C.12 D.233解析解析如圖所示,連接OE.AB是O的直徑,ACB=90.在RtACB中,B=30,設AC=x,則AB=2x,BC=x,OA=x.3CE平分ACB,ACE=BCE=ACB=45,BAE=BCE=45,AOE=2ACE=90,AOE為等腰直角三角形,AE=x

10、,BAE=BCE,ADE=BDC,ADECDB,SADE SCDB=2 3.故選D.1222AEBC223xx變式變式3-23-2 (2018泰安)如圖,O是ABC的外接圓,A=45,BC=4,則O的直徑為 4 .2解析解析連接OB,OC,A=45,BOC=90.OB=OC,BOC為等腰直角三角形.BC=4,OB=OC=2,圓的直徑為22=4.222方法方法技巧方法方法技巧求圓周角的度數(shù),可以轉化為求同弧所對的圓心角的度數(shù),同理,求圓心角的度數(shù),可以轉化為求同弧所對的圓周角的度數(shù).考點四考點四 圓內接四邊形的性質圓內接四邊形的性質中考解題指導中考解題指導圓內接四邊形的對角互補、圓內接四邊形的外

11、角等于它的內對角,此知識點較為簡單,但也是非常容易忽略的,當碰到圓與四邊形結合的題目時,要優(yōu)先考慮圓內接四邊形的性質和推論.例例4 (2017泰安)如圖,圓內接四邊形ABCD的邊AB過圓心O,過點C的切線與邊AD所在直線垂直于點M,若ABC=55,則ACD等于( A )A.20B.35 C.40D.55解析解析連接OC,CM所在直線為O的切線,CMOC.CMAM,OCAM,DAC=ACO.又OA=OC,OAC=ACO,DAC=OAC.AB為O的直徑,ACB=90,ABC=55,CAO=DAC=35.四邊形ABCD為O的內接四邊形,ADC+ABC=180,ADC=125,ACD=180-DAC-

12、ADC=180-35-125=20.變式變式4-1如圖,四邊形ABCD內接于O,若四邊形ABCO是平行四邊形,則ADC的大小為 ( C )A.45B.50C.60D.75解析解析設ADC=x,則AOC=2x.四邊形ABCO是平行四邊形,B=AOC.四邊形ABCD是O的內接四邊形,B+D=180,x+2x=180,x=60.ADC=60.故選C.變式變式4-2如圖,A,B,C三點在O上,且CBD=60,那么AOC= 120 .解析解析如圖,在優(yōu)弧AC上取一點E,連接AE,CE,則四邊形ABCE為圓的內接四邊形,且AOC=2AEC,AEC+ABC=180,CBD+ABC=180,AEC=CBD=6

13、0.AOC=2AEC=120.方法方法技巧通過圓內接四邊形對角互補的性質,實現(xiàn)角與角之方法方法技巧方法方法技巧通過圓內接四邊形對角互補的性質,實現(xiàn)角與角之間的轉化,這是解決此類問題的關鍵.一、選擇題一、選擇題1.(2018濟寧)如圖,點B,C,D在O上,若BCD=130,則BOD的度數(shù)是( D )A.50 B.60 C.80 D.100隨堂鞏固訓練2.在半徑為13的O中,弦ABCD,弦AB和CD的距離為7,若AB=24,則CD 的長為( D )A.10 B.4C.10或4 D.10或2 30301653.(2018湖北武漢)如圖,在O中,點C在優(yōu)弧上,將弧 折疊后剛好經過AB的中點D.若O的半

14、徑為,AB=4,則BC的長是( B )A.2 B.3 C. D.ABBC5325 32652二、填空題二、填空題4.如圖,將半徑為4 cm的圓形紙片折疊后,圓弧恰好經過圓心O,則折痕AB的長為 4 cm.3解析解析連接AO,過O作ODAB,交于點D,交弦AB于點E.折疊后恰好經過圓心O,OE=DE.O的半徑為4cm,ABABOE=OD=4=2cm,由ODAB,知AB=2AE,在RtAOE中,AE=2cm,AB=2AE=4cm.121222OAOE224233三、解答題三、解答題5.如圖,以ABC的一邊AB為直徑的半圓與其他兩邊AC,BC的交點分別為D,E,且 = .(1)試判斷ABC的形狀,并說明理由;(2)已知半圓的半徑為5,BC=12,求sinABD的值.DElBEl解析解析(1)ABC為等腰三角形.理由如下:連接AE,如圖所示.的長=的長,DAE=BA