初中數(shù)學(xué)競賽講解教材第五講三角形的五心

1、第五講 三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、內(nèi)心及旁心，統(tǒng)稱為三角形的五心.一、外心.三角形外接圓的圓心，簡稱外心.與外心關(guān)系密切的有圓心角定理和圓周角定理.例1過等腰ABC底邊BC上一點P引PMCA交AB于M；引PNBA交AC于N.作點P關(guān)于MN的對稱點P.試證：P點在ABC外接圓上.(杭州大學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)競賽習(xí)題)分析：由已知可得MP=MP=MB，NP=NP=NC，故點M是PBP的外心，點N是PPC的外心.有 BPP=BMP=BAC， PPC=PNC=BAC. BPC=BPP+PPC=BAC. 從而，P點與A，B，C共圓、即P在ABC外接圓上. 由于PP平分BPC，顯然還有 PB:PC=BP

2、:PC.例2在ABC的邊AB，BC，CA上分別取點P，Q，S.證明以APS，BQP，CSQ的外心為頂點的三角形與ABC相似. (B·波拉索洛夫中學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克)分析：設(shè)O1，O2，O3是APS，BQP，CSQ的外心，作出六邊形O1PO2QO3S后再由外心性質(zhì)可知 PO1S=2A， QO2P=2B， SO3Q=2C. PO1S+QO2P+SO3Q=360°.從而又知O1PO2+O2QO3+O3SO1=360° 將O2QO3繞著O3點旋轉(zhuǎn)到KSO3，易判斷KSO1O2PO1，同時可得O1O2O3O1KO3. O2O1O3=KO1O3=O2O1K =(O2O1S+SO1

3、K) =(O2O1S+PO1O2) =PO1S=A； 同理有O1O2O3=B.故O1O2O3ABC.二、重心 三角形三條中線的交點，叫做三角形的重心.掌握重心將每條中線都分成定比2:1及中線長度公式，便于解題.例3AD，BE，CF是ABC的三條中線，P是任意一點.證明：在PAD，PBE，PCF中，其中一個面積等于另外兩個面積的和. (第26屆莫斯科數(shù)學(xué)奧林匹克)分析：設(shè)G為ABC重心，直線PG與AB，BC相交.從A，C，D，E，F(xiàn)分別作該直線的垂線，垂足為A，C，D，E，F(xiàn). 易證AA=2DD，CC=2FF，2EE=AA+CC， EE=DD+FF. 有SPGE=SPGD+SPGF. 兩邊各擴(kuò)大

4、3倍，有SPBE=SPAD+SPCF.例4如果三角形三邊的平方成等差數(shù)列，那么該三角形和由它的三條中線圍成的新三角形相似.其逆亦真.分析：將ABC簡記為，由三中線AD，BE，CF圍成的三角形簡記為.G為重心，連DE到H，使EH=DE，連HC，HF，則就是HCF. (1)a2，b2，c2成等差數(shù)列. 若ABC為正三角形，易證. 不妨設(shè)abc，有 CF=， BE=， AD=. 將a2+c2=2b2，分別代入以上三式，得 CF=，BE=，AD=. CF:BE:AD =: =a:b:c. 故有. (2)a2，b2，c2成等差數(shù)列. 當(dāng)中abc時， 中CFBEAD.，()2. 據(jù)“三角形的三條中線圍成的

5、新三角形面積等于原三角形面積的”，有=. =3a2=4CF2=2a2+b2-c2a2+c2=2b2.三、垂心 三角形三條高的交戰(zhàn)，稱為三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四個等(外接)圓三角形，給我們解題提供了極大的便利.例5設(shè)A1A2A3A4為O內(nèi)接四邊形，H1，H2，H3，H4依次為A2A3A4，A3A4A1，A4A1A2，A1A2A3的垂心.求證：H1，H2，H3，H4四點共圓，并確定出該圓的圓心位置. (1992，全國高中聯(lián)賽)分析：連接A2H1，A1H2，H1H2，記圓半徑為R.由A2A3A4知 =2RA2H1=2RcosA3A2A4； 由A1A3A4得 A1H2=2RcosA3A1A

6、4. 但A3A2A4=A3A1A4，故A2H1=A1H2. 易證A2H1A1A2，于是，A2H1 A1H2， 故得H1H2 A2A1.設(shè)H1A1與H2A2的交點為M，故H1H2與A1A2關(guān)于M點成中心對稱. 同理，H2H3與A2A3，H3H4與A3A4，H4H1與A4A1都關(guān)于M點成中心對稱.故四邊形H1H2H3H4與四邊形A1A2A3A4關(guān)于M點成中心對稱，兩者是全等四邊形，H1，H2，H3，H4在同一個圓上.后者的圓心設(shè)為Q，Q與O也關(guān)于M成中心對稱.由O，M兩點，Q點就不難確定了.例6H為ABC的垂心，D，E，F(xiàn)分別是BC，CA，AB的中心.一個以H為圓心的H交直線EF，F(xiàn)D，DE于A1

7、，A2，B1，B2，C1，C2. 求證：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2. (1989，加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克訓(xùn)練題)分析：只須證明AA1=BB1=CC1即可.設(shè)BC=a， CA=b，AB=c，ABC外接圓半徑為R，H的半徑為r. 連HA1，AH交EF于M. A=AM2+A1M2=AM2+r2-MH2 =r2+(AM2-MH2)， 又AM2-HM2=(AH1)2-(AH-AH1)2 =AH·AH1-AH2=AH2·AB-AH2 =cosA·bc-AH2， 而=2RAH2=4R2cos2A,=2Ra2=4R2sin2A.AH2+a2=4R2，AH2=4R2

8、-a2. 由、有A=r2+·bc-(4R2-a2)=(a2+b2+c2)-4R2+r2.同理，=(a2+b2+c2)-4R2+r2，=(a2+b2+c2)-4R2+r2.故有AA1=BB1=CC1.四、內(nèi)心三角形內(nèi)切圓的圓心，簡稱為內(nèi)心.對于內(nèi)心，要掌握張角公式，還要記住下面一個極為有用的等量關(guān)系：設(shè)I為ABC的內(nèi)心，射線AI交ABC外接圓于A，則有A I=AB=AC.換言之，點A必是IBC之外心(內(nèi)心的等量關(guān)系之逆同樣有用).例7ABCD為圓內(nèi)接凸四邊形，取DAB，ABC，BCD，CDA的內(nèi)心O1， O2，O3，O4.求證：O1O2O3O4為矩形. (1986，中國數(shù)學(xué)奧林匹克集訓(xùn)

9、題)證明見中等數(shù)學(xué)1992；4例8已知O內(nèi)接ABC，Q切AB，AC于E，F(xiàn)且與O內(nèi)切.試證：EF中點P是ABC之內(nèi)心.(B·波拉索洛夫中學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克)分析：在第20屆IMO中，美國提供的一道題實際上是例8的一種特例，但它增加了條件AB=AC.當(dāng)ABAC，怎樣證明呢？ 如圖，顯然EF中點P、圓心Q，BC中點K都在BAC平分線上.易知AQ=. QK·AQ=MQ·QN， QK= =. 由RtEPQ知PQ=. PK=PQ+QK=+=. PK=BK. 利用內(nèi)心等量關(guān)系之逆定理，即知P是ABC這內(nèi)心.五、旁心 三角形的一條內(nèi)角平分線與另兩個內(nèi)角的外角平分線相交于一點，是旁切

10、圓的圓心，稱為旁心.旁心常常與內(nèi)心聯(lián)系在一起，旁心還與三角形的半周長關(guān)系密切.例9在直角三角形中，求證：r+ra+rb+rc=2p. 式中r，ra，rb，rc分別表示內(nèi)切圓半徑及與a，b，c相切的旁切圓半徑，p表示半周. (杭州大學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)競賽習(xí)題)分析：設(shè)RtABC中，c為斜邊，先來證明一個特性：p(p-c)=(p-a)(p-b).p(p-c)=(a+b+c)·(a+b-c) =(a+b)2-c2 =ab；(p-a)(p-b)=(-a+b+c)·(a-b+c) =c2-(a-b)2=ab.p(p-c)=(p-a)(p-b). 觀察圖形，可得ra=AF-AC=p-b，rb=

11、BG-BC=p-a，rc=CK=p.而r=(a+b-c) =p-c.r+ra+rb+rc =(p-c)+(p-b)+(p-a)+p =4p-(a+b+c)=2p.由及圖形易證.例10M是ABC邊AB上的任意一點.r1，r2，r分別是AMC，BMC，ABC內(nèi)切圓的半徑，q1，q2，q分別是上述三角形在ACB內(nèi)部的旁切圓半徑.證明：·=.(IMO-12)分析：對任意ABC，由正弦定理可知OD=OA· =AB·· =AB·，OE= AB·.亦即有·= =.六、眾心共圓這有兩種情況：(1)同一點卻是不同三角形的不同的心；(2)同一圖

12、形出現(xiàn)了同一三角形的幾個心.例11設(shè)在圓內(nèi)接凸六邊形ABCDFE中，AB=BC，CD=DE，EF=FA.試證：(1)AD，BE，CF三條對角線交于一點； (2)AB+BC+CD+DE+EF+FAAK+BE+CF. (1991，國家教委數(shù)學(xué)試驗班招生試題)分析：連接AC，CE，EA，由已知可證AD，CF，EB是ACE的三條內(nèi)角平分線，I為ACE的內(nèi)心.從而有ID=CD=DE， IF=EF=FA， IB=AB=BC. 再由BDF，易證BP，DQ，F(xiàn)S是它的三條高，I是它的垂心，利用 不等式有： BI+DI+FI2·(IP+IQ+IS). 不難證明IE=2IP，IA=2IQ，IC=2IS.

13、 BI+DI+FIIA+IE+IC. AB+BC+CD+DE+EF+FA =2(BI+DI+FI) (IA+IE+IC)+(BI+DI+FI) =AD+BE+CF. I就是一點兩心.例12ABC的外心為O，AB=AC，D是AB中點，E是ACD的重心.證明OE丄CD. (加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克訓(xùn)練題)分析：設(shè)AM為高亦為中線，取AC中點F，E必在DF上且DE:EF=2:1.設(shè)CD交AM于G，G必為ABC重心.連GE，MF，MF交DC于K.易證：DG:GK=DC:()DC=2:1. DG:GK=DE:EFGEMF. OD丄AB，MFAB， OD丄MFOD丄GE.但OG丄DEG又是ODE之垂心. 易證O

14、E丄CD.例13ABC中C=30°，O是外心，I是內(nèi)心，邊AC上的D點與邊BC上的E點使得AD=BE=AB.求證：OI丄DE，OI=DE. (1988，中國數(shù)學(xué)奧林匹克集訓(xùn)題)分析：輔助線如圖所示，作DAO平分線交BC于K. 易證AIDAIBEIB，AID=AIB=EIB. 利用內(nèi)心張角公式，有 AIB=90°+C=105°， DIE=360°-105°×3=45°. AKB=30°+DAO =30°+(BAC-BAO) =30°+(BAC-60°) =BAC=BAI=BEI. AKI

15、E. 由等腰AOD可知DO丄AK， DO丄IE，即DF是DIE的一條高. 同理EO是DIE之垂心，OI丄DE. 由DIE=IDO，易知OI=DE.例14銳角ABC中，O，G，H分別是外心、重心、垂心.設(shè)外心到三邊距離和為d外，重心到三邊距離和為d重，垂心到三邊距離和為d垂. 求證：1·d垂+2·d外=3·d重.分析：這里用三角法.設(shè)ABC外接圓半徑為1，三個內(nèi)角記為A，B，C. 易知d外=OO1+OO2+OO3=cosA+cosB+cosC， 2d外=2(cosA+cosB+cosC). AH1=sinB·AB=sinB·(2sinC)=2si

16、nB·sinC， 同樣可得BH2·CH3. 3d重=ABC三條高的和 =2·(sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB) =2， HH1=cosC·BH=2·cosB·cosC. 同樣可得HH2，HH3. d垂=HH1+HH2+HH3=2(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB) 欲證結(jié)論，觀察、，須證(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB)+( cosA+ cosB+ cosC)=si

17、nB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB.即可.練 習(xí) 題1.I為ABC之內(nèi)心，射線AI，BI，CI交ABC外接圓于A，B，C .則AA+BB+CCABC周長.(1982，澳大利亞數(shù)學(xué)奧林匹克)2.T的三邊分別等于T的三條中線，且兩個三角形有一組角相等.求證這兩個三角形相似.(1989，捷克數(shù)學(xué)奧林匹克)3.I為ABC的內(nèi)心.取IBC，ICA，IAB的外心O1，O2，O3.求證：O1O2O3與ABC有公共的外心.(1988，美國數(shù)學(xué)奧林匹克)4.AD為ABC內(nèi)角平分線.取ABC，ABD，ADC的外心O，O1，O2.則OO1O2是等腰三角形.5.ABC中C90°，從AB上M點作CA，CB的垂線MP，MQ.H是CPQ的垂心