大學(xué)物理第十章講義

1、§10-1 電場 電場強(qiáng)度一、電荷及其性質(zhì)1、電荷的種類兩種電荷：正電荷和負(fù)電荷，同種電荷相斥，異種電荷相吸2、電荷守恒定律：孤立系統(tǒng)內(nèi)，電荷的代數(shù)和保持不變3、電荷的量子性在自然界中電荷總是以一個(gè)基本單元的整數(shù)倍出現(xiàn)。 基本電量： C 宏觀物體可認(rèn)為電量連續(xù)變化。4、電荷的相對(duì)論不變性在不同的參考系觀察，同一帶電粒子的電量不變。二、庫侖定律1、庫侖定律真空中兩個(gè)靜止點(diǎn)電荷之間作用力 真空中的介電常數(shù)l 適用條件：真空，靜止，點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷是個(gè)理想化的模型2、靜電力的疊加原理兩個(gè)以上靜止點(diǎn)電荷？兩個(gè)以上靜止的點(diǎn)電荷，它們共同作用于某一點(diǎn)電荷的靜電力等于其它各點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)作用在該點(diǎn)電

2、荷上的靜電力的矢量和 靜電力的疊加原理 實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上總結(jié)出來的基本事實(shí)。三、電場與電場強(qiáng)度1、電場電荷周圍存在著一種特殊的物質(zhì)，稱為電場。處于電場中的電荷都受到該電場的作用力。靜止的點(diǎn)電荷之間是通過電場這種特殊的物質(zhì)傳遞相互作用的。 電荷 電場 電荷 （法拉第最早提出）電場具有能量、動(dòng)量和質(zhì)量等重要性質(zhì)，是一種特殊形式的物質(zhì)！2、電場強(qiáng)度通過檢驗(yàn)電荷 受力定義電場強(qiáng)度矢量 單位正電荷在該點(diǎn)所受的電場力檢驗(yàn)電荷 電量足夠小、尺寸足夠小場強(qiáng) 是空間坐標(biāo)的函數(shù) 四、場強(qiáng)疊加原理檢驗(yàn)電荷 放在點(diǎn)電荷系 、， 所產(chǎn)生的電場中根據(jù)靜電力的疊加原理， 所受的靜電力為 場強(qiáng)的疊加原理電場中某點(diǎn)的場強(qiáng)等于各個(gè)電荷

3、單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)的矢量和。五、場強(qiáng)的計(jì)算已知場源電荷分布，根據(jù)場強(qiáng)疊加原理，求場強(qiáng)分布。1、點(diǎn)電荷的場強(qiáng)PP 球?qū)ΨQ性 ， 與 同向 ， 與 反向2、點(diǎn)電荷系的場強(qiáng)設(shè)真空中有點(diǎn)電荷系 ，求場點(diǎn) 的場強(qiáng) 其中 點(diǎn)電荷 到 的矢徑 例10.2：求電偶極子中垂線上一點(diǎn)B和兩點(diǎn)電荷延長線上一點(diǎn)A的場強(qiáng)。兩個(gè)等值異號(hào)的點(diǎn)電荷 和 組成的點(diǎn)電荷系，當(dāng)它們之間的距離比所討論問題中涉及的距離 小得多時(shí)，即 ，這一對(duì)點(diǎn)電荷系稱為電偶極子。電偶極矩 設(shè)A和B到兩點(diǎn)電荷連線中點(diǎn)O的距離均為解：建立如圖所示的坐標(biāo)系（1）A點(diǎn)的場強(qiáng)yOxA在A點(diǎn)產(chǎn)生場強(qiáng)的大小 方向沿軸正方向 方向沿軸負(fù)方向A點(diǎn)總的場強(qiáng)大小

4、（2）B點(diǎn)的場強(qiáng)yOxB B點(diǎn)場強(qiáng)大小 方向與電偶極矩的方向相反。 3、連續(xù)帶電體的電場把帶電體分割成無限多個(gè)電荷元 P 體分布 體電荷密度 面分布 面電荷密度 線分布 線電荷密度例10.3：真空中均勻帶電直導(dǎo)線，線電荷密度為 ，場點(diǎn) 到直線的距離為， 點(diǎn)和直線兩端的連線與直線之間的夾角分別為 和 ，如圖所示，試求 點(diǎn)的場強(qiáng)。解： x電荷線密度 對(duì)于無限長直導(dǎo)線， 例10.4：真空中均勻帶電圓環(huán)，環(huán)半徑為 ，總電量 ，試計(jì)算圓環(huán)軸線上任一點(diǎn) 的場強(qiáng)。解：電荷線密度 根據(jù)對(duì)稱性 例10.5：真空中均勻帶電薄圓盤，半徑為 ，總電量 ，試計(jì)算圓盤軸線上任一點(diǎn) 的場強(qiáng)。（不講）解：取半徑為 ，寬 的圓

5、環(huán) 討論：1） 當(dāng) 時(shí)（以時(shí)為例） 可視為點(diǎn)電荷2）無限大平面 時(shí)取正，時(shí)取負(fù)六、帶電體在外電場中所受的作用點(diǎn)電荷 在外電場中受靜電力 例10.7：計(jì)算電偶極子 在均勻外電場 中所受的合力和合力矩。O解： ， 在電場作用下，電矩 轉(zhuǎn)到 的方向上Ex. 8-7：一個(gè)半徑為的均勻帶電半圓環(huán)，電荷線密度為,求環(huán)心處點(diǎn)的場強(qiáng)解: 如8-7圖在圓上取 它在點(diǎn)產(chǎn)生場強(qiáng)大小為 方向沿半徑向外則 積分 ，方向沿軸正向Ex.8-13：半徑為的均勻帶電球體內(nèi)的電荷體密度為,若在球內(nèi)挖去一塊半徑為的小球體，如題8-13圖所示試求：兩球心與點(diǎn)的場強(qiáng)，并證明小球空腔內(nèi)的電場是均勻的解：將此帶電體看作帶正電的均勻球與帶電

6、的均勻小球的組合（1）球在點(diǎn)產(chǎn)生電場 球在點(diǎn)產(chǎn)生電場 點(diǎn)電場 （2）在產(chǎn)生電場 球在產(chǎn)生電場 點(diǎn)電場 （3）設(shè)空腔任一點(diǎn)相對(duì)的位矢為 ，相對(duì)點(diǎn)位矢為 則 ， , 腔內(nèi)場強(qiáng)是均勻的§10-2 靜電場的高斯定理一、電力線任何電荷在其周圍激發(fā)電場，可以形象地用電力線描述場強(qiáng)在空間的分布。畫法規(guī)定：1）方向：電力線上每點(diǎn)的切線方向與該點(diǎn)場強(qiáng)的方向一致2）大小：用電力線的疏密表示場強(qiáng)大小的分布情況電力線的疏密情況和場強(qiáng)大小的定量關(guān)系用電通量描述。二、電通量作電力線圖時(shí)，為了反映場強(qiáng)的大小，規(guī)定電場中任一點(diǎn)的電力線數(shù)密度與該點(diǎn)的場強(qiáng)大小相等，即 或 電通量：通過電場中任一給定面的電力線條數(shù)稱為通

7、過該面的電通量 1、均勻電場、平面 S規(guī)定從左 右，電通量為正 （法線方向單位矢量）2、非均勻電場、曲面 S將該曲面劃分為無限多個(gè)面元，每一面元處視為勻強(qiáng)電場任取一面元 ，法線 與 面元處電場 的夾角為 通過曲面的總電通量 電通量正與負(fù)取決于面法線正方向的選取，可以取曲面的任一側(cè)3、閉合曲面規(guī)定：面元的方向約定由面內(nèi)指向面外為正電力線穿出處 電通量為正 電力線穿入處 電通量為負(fù) 凈穿出閉合面的電力線條數(shù)三、靜電場的高斯定理高斯定理是關(guān)于靜電場中閉合曲面電通量的定律，是反映靜電場性質(zhì)的一個(gè)基本定律。地位重要！可由庫侖定律和場強(qiáng)疊加原理導(dǎo)出。1、點(diǎn)電荷 設(shè)真空中只有一個(gè)點(diǎn)電荷 （1）球面與無關(guān) 電

8、力線連續(xù)地延伸到無限遠(yuǎn)點(diǎn)電荷的電通量與球面的半徑無關(guān)，電力線是連續(xù)地延伸到無限遠(yuǎn)的。注意，得到這個(gè)結(jié)果是與庫侖定律的平方反比分不開的。（2）包圍點(diǎn)電荷的任意閉合曲面 電力線從正電荷出發(fā)穿出閉合面 電力線穿入閉合面止于負(fù)電荷（3）不包圍點(diǎn)電荷的閉合曲面每一條穿入的電力線必然從另一處穿出 2、任意帶電系統(tǒng)場強(qiáng)疊加原理 通過任意閉合曲面的電通量 高斯定理：在真空中的靜電場中，通過任一閉合曲面的電通量，等于該面內(nèi)電荷電量代數(shù)和的倍，即 討論：（1） 源自正電荷并穿出 “源” 穿進(jìn)并止于負(fù)電荷 “匯” 一處穿入，另一處穿出 “沒有電荷的地方不中斷” 靜電場是有源場?。?）：面內(nèi)電荷電量的代數(shù)和：空間所有

9、場源電荷所產(chǎn)生場強(qiáng)的矢量和 面外電荷對(duì)電場有貢獻(xiàn)，但對(duì)通過閉合面的總電通量沒貢獻(xiàn)。（3）高斯定理：庫侖定律+場強(qiáng)疊加原理 源于庫侖定律，高于庫侖定律，更基本，變化電場也適用。四、高斯定理的應(yīng)用對(duì)某些具有對(duì)稱性分布（球、板、柱）的電荷，此時(shí) 能拿到積分號(hào)外，可求出場強(qiáng) E 的分布！l 如果電荷分布不對(duì)稱，其電場不能直接由高斯定理求出，不能認(rèn)為高斯定律對(duì)這些電荷分布不成立！例：求均勻帶電球面的電場分布，已知球面半徑為 ，帶電量為 （設(shè) ） 解：電場具有球?qū)ΨQ性，取同心球面為高斯面 時(shí) 時(shí) ROErOr例10.9：求均勻帶電球體的電場分布，已知球面半徑為 ，帶電量為 （設(shè) ）ROErOr解：電場具有

10、球?qū)ΨQ性，取同心球面為高斯面 時(shí) 時(shí) 例：求無限長均勻帶電直線的電場分布，已知線上線電荷密度為 （設(shè) ）lP解：電場有柱對(duì)稱性，取同軸圓柱的表面為高斯面，高為 ，電通量為 由高斯定理 此結(jié)果與前面得到的結(jié)果一樣。對(duì)比可知，用高斯要簡便得多。例10.11：求無限大均勻帶電平面的電場分布，已知帶點(diǎn)平面上的面電荷密度為 s（設(shè)s >0）解：電場具有平面（板）對(duì)稱性，選取軸垂直于帶電平面的圓筒式的封閉面作為高斯面 ，帶電平面平分此圓筒 由高斯定理 l 利用高斯定理求電場 的關(guān)鍵（1）分析場強(qiáng)的對(duì)稱性（方向、大?。?）選擇適當(dāng)?shù)母咚姑娓咚姑鎽?yīng)該通過場點(diǎn)高斯面各部分或 ，或高斯面上各點(diǎn)的場強(qiáng)大小應(yīng)

11、該相等（以便提出積分號(hào)）例10.6：兩個(gè)平行的無限大均勻帶電平面，其面電荷密度分別為 和 ，求這一帶電系統(tǒng)的電場分布。IIIIIIOx解：以水平向右為軸的正方向 ， ， ， Ex.：半徑為和( )的兩無限長同軸圓柱面，單位長度上分別帶有電量和-,試求:(1)；(2) ；(3) 處各點(diǎn)的場強(qiáng)解: 高斯定理 取同軸圓柱形高斯面，側(cè)面積 則 對(duì)(1) (2) 沿徑向向外(3) §10-3 靜電場環(huán)路定理 電勢一、靜電場的保守性當(dāng)電荷在電場中運(yùn)動(dòng)時(shí)，電場力會(huì)作功（電場的兩條基本性質(zhì)中的第二條）。靜電力作功特點(diǎn)？先討論單個(gè)點(diǎn)電荷的靜電場。點(diǎn)電荷的靜電場中移動(dòng)試探電荷 ab元位移 中 電場力的功

12、只與試探電荷的始末位置有關(guān)，與路徑無關(guān) 點(diǎn)電荷的靜電力是保守力，其靜電場是保守力場！由場強(qiáng)疊加原理，可以證明任意點(diǎn)電荷系或連續(xù)帶電體的靜電場也是保守力場！考慮點(diǎn)電荷系 、，的靜電場，根據(jù)場強(qiáng)的疊加原理 當(dāng)試探電荷 從沿任意路徑移動(dòng)到時(shí) 上式求和項(xiàng)中的每一項(xiàng)都與路徑無關(guān)，故總電場力的功也與路徑無關(guān)。二、靜電場環(huán)路定理靜電場力作功與路徑無關(guān)的特點(diǎn)還可以用另外一種形式表達(dá)：靜電場的環(huán)流為零。設(shè)試探電荷 從沿任意路徑到達(dá)，再從沿任意路徑回到點(diǎn)，如圖所示abcd由于靜電場力作功與路徑無關(guān) 此式左端的積分稱為靜電場的環(huán)流，它是場強(qiáng)沿閉合路徑的線積分。在靜電場中，場強(qiáng) 的環(huán)流恒等于零。靜電場為保守力場的數(shù)學(xué)

13、表述。高斯定律是靜電場的第一個(gè)重要規(guī)律，環(huán)路定理是第二個(gè)重要規(guī)律。三、電勢能保守力場可以引入勢能的概念保守力對(duì)質(zhì)點(diǎn)的功等于質(zhì)點(diǎn)勢能的減少（勢能增量的負(fù)值）！靜電場是保守力場，引入電勢能 試驗(yàn)電荷在 點(diǎn)和 點(diǎn)的電勢能根據(jù)電場力的功定義的是電勢能差，電勢能與其他形式的勢能一樣，也有零點(diǎn)選擇的問題。若規(guī)定試驗(yàn)電荷在參考點(diǎn)的電勢能為零 電勢能零點(diǎn)原則上可以任意選擇，通常選在 處 與其他形式的勢能一樣，電勢能也屬于相互作用的系統(tǒng)，屬于試驗(yàn)電荷和電場組成的系統(tǒng)四、電勢 電勢差1、電勢 僅由電場的性質(zhì)和 點(diǎn)的位置決定，與 無關(guān)！是描述電場中任一點(diǎn)電場性質(zhì)的一個(gè)物理量 電勢 2、電勢差 靜電場中， 兩點(diǎn)的電勢

14、差等于單位正電荷從 點(diǎn)移到 點(diǎn)時(shí)電場力作的功。 電勢零點(diǎn)的選擇原則上也是任意的！根據(jù)實(shí)際情況選取。例10.12：求點(diǎn)電荷 產(chǎn)生的電場的電勢分布解：取無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn) 電場中任一點(diǎn)（距離點(diǎn)電荷）的電勢 實(shí)際計(jì)算沿徑向路徑五、電勢疊加原理1、點(diǎn)電荷系真空中的點(diǎn)電荷系 在靜電場中，某點(diǎn)的電勢，等于各點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)產(chǎn)生的電場在該點(diǎn)的電勢的代數(shù)和。電勢疊加原理l 幾個(gè)點(diǎn)電荷電場的電勢零點(diǎn)應(yīng)是共同的2、連續(xù)帶電體將帶電體分割成很多電荷元，點(diǎn)在 電場中電勢a ， 計(jì)算過程與求場強(qiáng)類似： 體分布 體電荷密度 面分布 面電荷密度 線分布 線電荷密度六、電勢的計(jì)算例：長為 的均勻帶電細(xì)棒，電荷線密度為 ， 點(diǎn)

15、在細(xì)棒向右的延長線上，距右端的距離為 ，以無窮遠(yuǎn)處為勢能零點(diǎn)，求 點(diǎn)的電勢。解：以細(xì)棒左端為坐標(biāo)原點(diǎn)取一電荷元 該電荷元到 點(diǎn)的距離為 PxalOdx 例10.14：求半徑為 、帶電量為 的細(xì)圓環(huán)軸線上任意一點(diǎn)的電勢。解：這是連續(xù)帶電體，任取一電荷元 例10-15：求電量為 （設(shè)）的均勻帶電球面的電勢分布，設(shè)球面半徑為 。解：由高斯定理 （） （）球外 （）球內(nèi) （）均勻帶電球面在外部空間的電勢分布與全部電荷集中在球心的點(diǎn)電荷的電勢分布一樣。均勻帶電球面的內(nèi)部空間是等勢空間。ABO例10.16：半徑分別為 和 的兩個(gè)同心均勻帶電球面 和 ，內(nèi)球面 A 帶電 ，外球面 B帶電 ，求 A，B兩球面

16、的電勢差。解法一：根據(jù)高斯定理可求出兩球面間的電場，電場具有球?qū)ΨQ性 ， 解法二：利用電勢疊加原理取無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)，內(nèi)球面A處電勢 外球面B處電勢 §10-4 等勢面 電勢梯度一、等勢面引入等勢面形象地描繪電勢分布。電場中電勢相等的點(diǎn)組成的面稱為等勢面。 畫法：相鄰等勢面的電勢差為常數(shù)。例如：點(diǎn)電荷電場的等勢面沿著等勢面上一元位移 abc 等勢面與電力線正交沿著一根電力線上的元位移 l 任意靜電場中，等勢面與電力線總是處處正交l 等勢面的電勢沿電力線的方向逐漸減小。l 等勢面密處場強(qiáng)大二、場強(qiáng)與電勢梯度的關(guān)系場強(qiáng)與電勢的關(guān)系 場強(qiáng)分布 電勢分布取兩個(gè)十分靠近的等勢面，電勢分別為 和 UU+dUba 場強(qiáng) 沿 方向的分量 等于電勢在該方向上變化率的負(fù)值。電勢是位置的函數(shù) （方向?qū)?shù)） 場強(qiáng) 在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分量 梯度數(shù)學(xué)上梯度矢量算符 電勢的梯度矢量 場強(qiáng)與電勢的微分關(guān)系兩等勢面之