大學(xué)數(shù)學(xué)極限PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1大學(xué)數(shù)學(xué)極限大學(xué)數(shù)學(xué)極限 極限是以發(fā)展的眼光分析事物極限是以發(fā)展的眼光分析事物(變量變量)的變化規(guī)律的變化規(guī)律,通過極限我們通過極限我們可以深入到函數(shù)的局部去了解函可以深入到函數(shù)的局部去了解函數(shù)數(shù),并且體會(huì)如何在運(yùn)動(dòng)的過程并且體會(huì)如何在運(yùn)動(dòng)的過程中把握變化的事物中把握變化的事物,從而深化對(duì)從而深化對(duì)客觀世界的認(rèn)識(shí)?？陀^世界的認(rèn)識(shí)。1.3.1 數(shù)列的極限數(shù)列的極限(limit of sequence)數(shù)列的定義：數(shù)列的定義：第1頁(yè)/共66頁(yè) 按照一定規(guī)律有次序排列的無按照一定規(guī)律有次序排列的無窮多個(gè)數(shù)稱為窮多個(gè)數(shù)稱為數(shù)列數(shù)列。記作記作.nxnx稱為稱為通項(xiàng)通項(xiàng)( (一般項(xiàng)一般項(xiàng)) .)

2、.,4321nxxxxx,1,41,31,21, 1n,) 1( ,1,1,11n第2頁(yè)/共66頁(yè) 數(shù)列的極限數(shù)列的極限 數(shù)列極限的定義，請(qǐng)同學(xué)們回憶一下。數(shù)列極限的定義，請(qǐng)同學(xué)們回憶一下。 中國(guó)古代的極限思想：中國(guó)古代的極限思想：“一尺之椎，日取其半，萬世不竭。一尺之椎，日取其半，萬世不竭?！?21,21,21,21,21432n考察當(dāng)考察當(dāng)n+時(shí)，通項(xiàng)時(shí)，通項(xiàng)xn的變化趨勢(shì)。的變化趨勢(shì)。數(shù)列極限的實(shí)質(zhì)：數(shù)列極限的實(shí)質(zhì)：)(0n第3頁(yè)/共66頁(yè),1,41,31,21, 1n)(0n,) 1(,43,34,21,21nnn)(1n,2,8,4,2n)(n,) 1( ,1,1,11n趨勢(shì)不定趨勢(shì)

3、不定第4頁(yè)/共66頁(yè)Axnnlim數(shù)列數(shù)列nx數(shù)列當(dāng)項(xiàng)數(shù)數(shù)列當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無限變大時(shí)無限變大時(shí)),(n的極限定義的極限定義：數(shù)列的各項(xiàng)數(shù)列的各項(xiàng) 數(shù)值向一個(gè)數(shù)值向一個(gè)常常數(shù)數(shù)A無限靠近，無限靠近，則稱常數(shù)則稱常數(shù)A為該數(shù)列的極限。為該數(shù)列的極限。記記作作或或)(nAxn第5頁(yè)/共66頁(yè) 如果一個(gè)數(shù)列的極限存在如果一個(gè)數(shù)列的極限存在, ,則稱該則稱該數(shù)列是數(shù)列是收斂收斂(converge)(converge)； 如果一個(gè)數(shù)列的極限不存在如果一個(gè)數(shù)列的極限不存在, ,則稱該則稱該數(shù)列是數(shù)列是發(fā)散發(fā)散(diverge)(diverge)。第6頁(yè)/共66頁(yè),21,21,21,21,21432n常數(shù)常數(shù) 0

4、稱為此數(shù)列的極限稱為此數(shù)列的極限)(0n021limnn記作：記作：第7頁(yè)/共66頁(yè),1,41,31,21nnxn1)(0n01limnn第8頁(yè)/共66頁(yè),1,41,31,21nnxn1)(0n,) 1(,43,34,21,21nnnnnxnn1) 1()(1n收收 斂斂第9頁(yè)/共66頁(yè),2,8,4,2nnnx2)(n,) 1( ,1,1,11n1) 1(nnx趨勢(shì)不定趨勢(shì)不定發(fā)發(fā) 散散第10頁(yè)/共66頁(yè)nn2lim,2,8,4,2n)(n記作：記作：第11頁(yè)/共66頁(yè),) 1() 1(2nxnn證明證明.0limnnx證證: :0nx0) 1() 1(2nn2) 1(1n第12頁(yè)/共66頁(yè)n

5、時(shí)，時(shí)，0) 1(12n可以無限變小可以無限變小故故0) 1() 1(limlim2nxnnnn0nx第13頁(yè)/共66頁(yè)01limnn01lim2nn0lim1nnq1q2limnn不存在1) 1(limnn0)32(limnn第14頁(yè)/共66頁(yè)函數(shù)函數(shù))(xf隨著自變量的變化而變化隨著自變量的變化而變化,研究研究函數(shù)的極限函數(shù)的極限,就是研究當(dāng)自變量就是研究當(dāng)自變量按照某種按照某種方式變化時(shí)所對(duì)應(yīng)的方式變化時(shí)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)的極限函數(shù)的極限(limit of function)函數(shù)值的變化趨勢(shì)。函數(shù)值的變化趨勢(shì)。第15頁(yè)/共66頁(yè)二、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限二、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限,

6、 )(xfy 對(duì)0)1(xx 0)2(xx0)3(xxx)4(x)5(x)6(自變量變化過程的六種自變量變化過程的六種形式形式:一、自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容 : :第16頁(yè)/共66頁(yè)x時(shí)時(shí),函數(shù)函數(shù)f(x)的極限的極限第17頁(yè)/共66頁(yè)xy1, 5, 4, 3, 2x0,51,41,31,21y第18頁(yè)/共66頁(yè)xy1,3,3,3, 3432x0,31,31,31,31432y第19頁(yè)/共66頁(yè)xy1,10,10,10,10432x0,101,101,101,101432y第20頁(yè)/共66頁(yè)定義：定義：設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在在 x大于某個(gè)

7、正大于某個(gè)正數(shù)數(shù)a時(shí)有定義時(shí)有定義,A是某確定常數(shù)是某確定常數(shù),如果如果當(dāng)自變量當(dāng)自變量x 趨于趨于 時(shí)，時(shí)，f(x)與與A的的距離任意小距離任意小,則稱函數(shù)則稱函數(shù)f(x)在在 時(shí)以時(shí)以A為極限，為極限，)()()(limxAxfAxfx或x時(shí)時(shí),函數(shù)函數(shù)f(x)的極限的極限x.,時(shí)的極限類似可定義xx記為記為第21頁(yè)/共66頁(yè)指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù))1, 0( aaayxxay xay ) 1( a)1 , 0( xey )10( a第22頁(yè)/共66頁(yè)xexfy)(0limxxexxelim第23頁(yè)/共66頁(yè)01limxx01limxx. 01limxxoxyxy1.10的水平漸近線為xyy同理

8、同理: :第24頁(yè)/共66頁(yè)正弦函數(shù)正弦函數(shù)xysin xysin 不存在xxsinlim第25頁(yè)/共66頁(yè)xycos xycos 余弦函數(shù)余弦函數(shù)不存在xxcoslim第26頁(yè)/共66頁(yè)對(duì)數(shù)函對(duì)數(shù)函數(shù)數(shù))1, 0(log aaxyaxyln xyalog xyalog )1( a)0 , 1( )10( a第27頁(yè)/共66頁(yè)xxlnlim第28頁(yè)/共66頁(yè)xyarctan xyarctan 反反正正切切函函數(shù)數(shù)第29頁(yè)/共66頁(yè)2arctanlimxx2arctanlimxx第30頁(yè)/共66頁(yè)0 xx時(shí)時(shí),函數(shù)函數(shù)f(x)的極的極限限第31頁(yè)/共66頁(yè)2xy ,51,41,31,212222

9、y00,51,41,31,21x第32頁(yè)/共66頁(yè)2xy ,51,41,31,212222y00,51,41,31,21x第33頁(yè)/共66頁(yè)2xy ,51,41,31,212222y0061,51,41,31,21x第34頁(yè)/共66頁(yè)2xy 0,31,31,31,31432x0,31,31,31,318642y第35頁(yè)/共66頁(yè)1) 1(22xxy998. 3 ,98. 3, 6 . 3, 2 . 3, 2y999. 0 , ,99. 0, 9 . 0, 8 . 0, 5 . 0 x14第36頁(yè)/共66頁(yè)1) 1(22xxy002. 4 ,02. 4, 2 . 4, 4 . 4, 5y,001

10、. 1 ,01. 1, 1 . 1, 2 . 1, 5 . 1x14第37頁(yè)/共66頁(yè)定義：定義：設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0的某空心的某空心鄰域內(nèi)有定義鄰域內(nèi)有定義，A是某確定常數(shù)，是某確定常數(shù)，如果如果當(dāng)自變量當(dāng)自變量x趨近于趨近于x0時(shí)時(shí)，f(x)與與A的距離的距離任意小任意小,則稱函數(shù)則稱函數(shù)f(x)在在x趨趨于于x0時(shí)以時(shí)以A為極限，為極限，0 xx時(shí)時(shí),函數(shù)函數(shù)f(x)的極限的極限)()()(lim00 xxAxfAxfxx或記記為為第38頁(yè)/共66頁(yè) 1 , 1)(xxxfx1yo10)(lim0 xfx11)(2xxxfyxoy12)(lim1xfx2第39頁(yè)/共66頁(yè)

11、正弦函數(shù)正弦函數(shù)xysin xysin 1sinlim2xx0sinlim0 xx第40頁(yè)/共66頁(yè)xycos xycos 余弦函數(shù)余弦函數(shù)1coslim0 xx0coslim2xx第41頁(yè)/共66頁(yè)0coscoslim0 xxxx0sinsinlim0 xxxx00limxxxx 可以證明：可以證明：以下的極限均成立以下的極限均成立CCxx0lim.lim00 xxxx第42頁(yè)/共66頁(yè)第43頁(yè)/共66頁(yè)左極限左極限 : )0(0 xfAxfxx)(lim0 x如果當(dāng)如果當(dāng) 從從0 x的的左側(cè)無限趨近左側(cè)無限趨近0 x時(shí)時(shí),記著記著,0 xx函數(shù)函數(shù)f(x)無限趨近于一個(gè)確定的常無限趨近于一

12、個(gè)確定的常數(shù)數(shù)A, 則稱則稱A為函數(shù)為函數(shù)f(x)當(dāng)當(dāng)0 xx時(shí)的左極限。記作時(shí)的左極限。記作第44頁(yè)/共66頁(yè)類似可定義類似可定義右極限右極限 : )0(0 xfAxfxx)(lim0函數(shù)的左極限和右極限函數(shù)的左極限和右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限。統(tǒng)稱為單側(cè)極限。第45頁(yè)/共66頁(yè)x1yo1,010,)(xxxxf)(lim)00(0 xffx0lim0 xx第46頁(yè)/共66頁(yè)對(duì)數(shù)函對(duì)數(shù)函數(shù)數(shù))1, 0(log aaxyaxyln xyalog xyalog )1( a)0 , 1( )10( a第47頁(yè)/共66頁(yè)xxlnlim0第48頁(yè)/共66頁(yè)例如：例如：xxxxxxxfy2, 1220,sin

13、01,)(2),(lim0 xfx求0lim)(lim200 xxfxx0sinlim)(lim00 xxfxx)(lim0 xfx第49頁(yè)/共66頁(yè)定理定理：Axfxx)(lim0當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), ,函數(shù)函數(shù) 極限存在的極限存在的充要條件是左、右極限存在且相等，充要條件是左、右極限存在且相等，即即)(xf0 xx Axfxfxxxx)(lim)(lim00第50頁(yè)/共66頁(yè)0,10,00, 1)(xxxxxxf討論討論 0 x時(shí)時(shí))(xf的極限是否存在的極限是否存在 . 解解: 利用定理利用定理 因?yàn)橐驗(yàn)?(lim)00(0 xffx) 1(lim0 xx1第51頁(yè)/共66頁(yè))(lim)00(0

14、 xffx) 1(lim0 xx1顯然顯然, )00()00(ff所以所以)(lim0 xfx不存在不存在 .第52頁(yè)/共66頁(yè)xyo11xy11xy0,10,00, 1)(xxxxxxf第53頁(yè)/共66頁(yè)例例7 7 問問a a為何值時(shí)為何值時(shí), ,所給函數(shù)所給函數(shù)x x=2=2處極處極限存在。限存在。)2(2)2(2)2(10)(2xaxxaxxxf解解：左極限左極限2010lim)(lim)02(22xxffxx右極限右極限aaxxffxx24)2lim)(lim)02(222（第54頁(yè)/共66頁(yè)欲函數(shù)在欲函數(shù)在x x=2=2處極限存在，必須左極處極限存在，必須左極限限等于右極限，等于右極

15、限，即即a=a=8 8第55頁(yè)/共66頁(yè)思考：思考： 1)1)研究函數(shù)極限時(shí)研究函數(shù)極限時(shí), ,是否要考慮是否要考慮f f( (x x) )在在x x= =x x0 0時(shí)的性態(tài)？為什么？時(shí)的性態(tài)？為什么？ 2)2)若若f f ( (x x0 0+0)+0)和和f f ( (x x0 0-0)-0)都存在都存在, ,當(dāng)當(dāng)x x趨趨于于x x0 0時(shí)時(shí), ,f f( (x x) )的極限存在嗎？的極限存在嗎？ 3)3)如何利用如何利用f f ( (x x0 0+0)+0)和和f f ( (x x0 0-0)-0)來判斷來判斷當(dāng)當(dāng)x x趨于趨于x x0 0 時(shí)時(shí), ,f f( (x x) )的極限不

16、存在？的極限不存在？ ？第56頁(yè)/共66頁(yè)4)4)若極限若極限)(lim0 xfxx是否一定有是否一定有)()(lim00 xfxfxx？第57頁(yè)/共66頁(yè)1coslim0 xx0coslim2xx2arctanlimxx2arctanlimxx1sinlim2xx0sinlim0 xx0limxxe01limxx常用的極限結(jié)果：常用的極限結(jié)果：)(lim0為常數(shù)CCCxx第58頁(yè)/共66頁(yè)xxelim2limxxxxlnlimxxlnlim0 xx1lim0 xxcoslimxxsinlim極限不存在的有：極限不存在的有：第59頁(yè)/共66頁(yè)練習(xí)：練習(xí)：設(shè)設(shè))1(12)11(1)1()(2xx

17、xxxxxf求：求：)(lim1xfx)(lim1xfx)(lim1xfx)(lim1xfx第60頁(yè)/共66頁(yè)0) 1(lim)(lim11xxfxx不存在)(lim1xfx1) 12(lim)(lim11xxfxx1) 1(lim)(lim2211xxfxx第61頁(yè)/共66頁(yè)作業(yè)作業(yè)NO.13:(3) 分析分析 22)3(2xxy的復(fù)合結(jié)構(gòu)的復(fù)合結(jié)構(gòu).解解:由由2232xxvvuyu復(fù)合而成的復(fù)合而成的.第62頁(yè)/共66頁(yè)作業(yè)作業(yè)NO.13:(4) 分析分析 3)5cos3tan(1 3xy的復(fù)合結(jié)構(gòu)的復(fù)合結(jié)構(gòu).解解:由由xttvvuuy5cos3tan1323復(fù)合而成的復(fù)合而成的.xhttvvuu