多元函數(shù)的基本概念52782PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念52782v 預(yù)備知識預(yù)備知識 v 多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限第九章第九章 多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分法 v 多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念v 多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念第1頁/共30頁1.1.鄰域鄰域0P ),(0 PU |0PPP 設(shè)設(shè)P0( x0，y0) 是是x o y 平面上的一個點，平面上的一個點，是某一正是某一正數(shù)，與點數(shù)，與點P0(x0，y0)的距離小于的距離小于的點的點P（x，y）的全體）的全體，稱為點，稱為點P0（x0，y0）的鄰域，記為）的鄰域，記為

2、U(P0 , )，即，即 )y , x(),P(U0 2020)yy()xx(上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第2頁/共30頁2.2.區(qū)域區(qū)域EP （1 1）內(nèi)點和開集）內(nèi)點和開集 設(shè)設(shè)E 是平面上的一個點集，是平面上的一個點集，P是平面上的一個點是平面上的一個點。如果存在點。如果存在點 P 的某一鄰域的某一鄰域U(P) E，則稱，則稱P為為E 的內(nèi)點的內(nèi)點. E 的內(nèi)點屬于的內(nèi)點屬于E. 如果屬于點集如果屬于點集E 的點都是內(nèi)點，則稱的點都是內(nèi)點，則稱E為開集為開集.上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第3頁/共30頁EP （2 2）邊界點和邊界）邊界點和邊界 如果點如果點P 的

3、任一個鄰域內(nèi)既有屬于的任一個鄰域內(nèi)既有屬于E 的點，也有的點，也有不屬于不屬于E 的點（點的點（點P 本身可以屬于本身可以屬于E，也可以不屬，也可以不屬于于E ），則稱），則稱P 為為E 的邊界點的邊界點.E 的邊界點的全體為的邊界點的全體為E 的邊界的邊界.上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第4頁/共30頁說明：說明：E 的邊界點可能屬于的邊界點可能屬于E，也可能不屬于，也可能不屬于E.41| ),(22 yxyxE例如例如,對于集合對于集合xyo12E 的邊界的邊界為為41| ),(2222 yxyxyxD或或其中邊界其中邊界點點1| ),(22 yxyx都不屬于都不屬于E，而邊界而

4、邊界點點4| ),(22 yxyx都屬于都屬于E.上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第5頁/共30頁D （3 3）連通）連通 設(shè)設(shè)D是點集，如果對于是點集，如果對于D內(nèi)任何兩點，都可用折內(nèi)任何兩點，都可用折線連接起來，且該折線上的點都屬于線連接起來，且該折線上的點都屬于D，則稱點集，則稱點集D是連通的。是連通的。（4 4）開區(qū)域和閉區(qū)域）開區(qū)域和閉區(qū)域連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域 開區(qū)域連同它的邊界一起所構(gòu)成的點集稱為開區(qū)域連同它的邊界一起所構(gòu)成的點集稱為閉區(qū)域閉區(qū)域上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第6頁/共30頁例如，例如，0),( yxyx41),(2

5、2yxyx開區(qū)域開區(qū)域xyo21 0),( yxyx閉區(qū)域閉區(qū)域 41),(22 yxyxxyoxyo21上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 xyo第7頁/共30頁 整個平整個平面面 點集點集 1x)y,x( 是開集，是開集， 是最大的開區(qū)域是最大的開區(qū)域 , 也是最大的閉區(qū)域；也是最大的閉區(qū)域；但非區(qū)域但非區(qū)域 .11oxyE U（O，r），），其中其中O 是坐標(biāo)原點，則稱是坐標(biāo)原點，則稱E為為有界集有界集.否則稱否則稱E為無界集為無界集.（5 5）有界集與無界集）有界集與無界集對于平面點集對于平面點集E , 若存在某一正數(shù)若存在某一正數(shù) r , 使得使得上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)

6、束結(jié)束 第8頁/共30頁0| ),( yxyx是有界閉區(qū)域；是有界閉區(qū)域；是無界開區(qū)域是無界開區(qū)域xyo例如，例如，41| ),(22 yxyx上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第9頁/共30頁（6 6）聚點）聚點 內(nèi)點一定是聚點；內(nèi)點一定是聚點；說明：說明： 邊界點一定是聚點；邊界點一定是聚點； 設(shè)設(shè)E是平面上的一個點集，是平面上的一個點集，P是平面上的一是平面上的一個點，如果點個點，如果點P的任何一個鄰域內(nèi)總有無限多的任何一個鄰域內(nèi)總有無限多個點屬于點集個點屬于點集E，則稱，則稱P為為E 的聚點。的聚點。 點集點集E 的聚點可以屬于的聚點可以屬于E，也可以不屬于，也可以不屬于E上頁上

7、頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第10頁/共30頁3.n3.n維空間維空間 設(shè)設(shè)n為取定的一個自然數(shù)，我們用為取定的一個自然數(shù)，我們用Rn表示表示n 元有序數(shù)元有序數(shù)組組 的全體所構(gòu)成的集合，稱其為的全體所構(gòu)成的集合，稱其為n 維空維空間間，即即),(21nxxx nkxxxxRknn,2,1,R),(21 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第11頁/共30頁 從而可定義從而可定義n 維空間中的領(lǐng)域、內(nèi)點、邊界點、維空間中的領(lǐng)域、內(nèi)點、邊界點、區(qū)域、聚點等概念區(qū)域、聚點等概念下面給出下面給出 n 維空間中兩點間距離公式的定義維空間中兩點間距離公式的定義.)()()(|2222211nn

8、xyxyxyPQ 特殊地當(dāng)特殊地當(dāng) 時，便為數(shù)軸、平面時，便為數(shù)軸、平面、空間兩點間的距離、空間兩點間的距離3, 2, 1 n),(21nxxxP),(21nyyyQ設(shè)設(shè)為為n 維空間中兩點，維空間中兩點，定義這兩點的距離公式為定義這兩點的距離公式為定義：定義：上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第12頁/共30頁 圓柱體的體積圓柱體的體積 長方體的質(zhì)量長方體的質(zhì)量 三角形面積的海倫公式三角形面積的海倫公式,2hrV )2(cbap 記記cba 0, 0),( hrhr cbacbacba , 0, 0, 0),( )()(cpbpappS hrabcdcbaM 記密度為記密度為d d 0

9、, 0, 0, 0),( dcbadcba，上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第13頁/共30頁設(shè)設(shè) D 是是R 2 的一個非空子集，若存在對應(yīng)法則的一個非空子集，若存在對應(yīng)法則 f ，DPPfz , )(或或點集點集 D 稱為函數(shù)的稱為函數(shù)的定義域定義域 ; 數(shù)集數(shù)集 DP,Pfzz )(稱為函數(shù)的稱為函數(shù)的值域值域.則稱則稱 f 為定義在為定義在 D 上的上的 二元函數(shù)二元函數(shù),記作記作Dyxyxfz ),(, ),(上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 對任意的對任意的Dyx ),(, 總有唯一確定的總有唯一確定的z 值與之對應(yīng)，值與之對應(yīng)，定義定義x, y 稱為稱為自變量自變量

10、, z 稱為稱為因變量因變量;第14頁/共30頁xzy例如，例如， 二元函二元函數(shù)數(shù)221yxz 定義域為定義域為 1),(22 yxyx圓域圓域 2. 二元函數(shù)二元函數(shù) z = f (x, y), (x, y) D圖形為中心在原點的上半球面圖形為中心在原點的上半球面.的圖形一般為空間曲面的圖形一般為空間曲面 .1o上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 1.類似可定義三元函數(shù)以及三元以上的函數(shù)類似可定義三元函數(shù)以及三元以上的函數(shù). 二元及二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱為二元及二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù)多元函數(shù).第15頁/共30頁例例1 求求 的定義域的定義域222)3arcsin(),(yxyxyxf

11、 解解2231xy2224xy所求定義域為所求定義域為., 42| ),(222yxyxyxD 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 20 xy2xy 第16頁/共30頁定義：定義： APfPP )(lim0為為 D 的聚點，若的聚點，若 D 中的點中的點P(x,y)按任意方式趨于按任意方式趨于P0時，時，),(),(000yxPyxPAyxfyyxx ),(lim00上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Ayxfyxyx ),(lim),(),(00函數(shù)函數(shù)f (x,y)總趨向于某個確定的數(shù)值總趨向于某個確定的數(shù)值A(chǔ)，則稱，則稱 A 為函數(shù)為函數(shù)時的時的極限極限（二重極限）（二重極限），

12、f (x,y) 當(dāng)當(dāng)或或或或設(shè)二元函數(shù)設(shè)二元函數(shù) f ( P )=f (x,y)的定義域為的定義域為D，P0 (x0 , y0 ) 定義定義(略略)記記作作第17頁/共30頁上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 1.1. 上述二重極限存在與否與上述二重極限存在與否與f (x,y)在在P0 (x0 , y0 ) 是否有定義無關(guān)是否有定義無關(guān). .表示點表示點P 以任何方式以任何方式趨向于趨向于時函數(shù)的極限值都等于時函數(shù)的極限值都等于A.0P 選擇一條路徑，使得極限不存在；選擇一條路徑，使得極限不存在；故驗證二重極故驗證二重極限限),(lim00yxfyyxx不存在，方法有二不存在，方法有二：

13、選擇不同路徑，使得極限不相等選擇不同路徑，使得極限不相等. . 2.Ayxfyxyx ),(lim),(),(00第18頁/共30頁解解 沿曲線沿曲線yxyxxxyyx 2)0,0(),(4lim不存在不存在.取極限取極限故原極限不存在故原極限不存在.例例1. 驗證極限驗證極限yxyxyx 200lim4xxy 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 4)(lim420 xxxxx )1(lim20 xxx 第19頁/共30頁取取 P(x , y) 沿直線沿直線 y = k x3 趨于點趨于點 (0, 0) ,則有則有),(lim30yxfkxyx 在點在點 (0, 0) 的極限的極限.),(

14、yxf故故21kk k 值不同，極限值不同值不同，極限值不同 !在在 (0,0) 點極限不存在點極限不存在 .例例2. 討論函數(shù)討論函數(shù)上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 263),(yxyxyxf 6263303limxkxkxxkxyx 解：解：第20頁/共30頁 二元函數(shù)極限的四則運算法則、夾逼二元函數(shù)極限的四則運算法則、夾逼準(zhǔn)則等均與一元函數(shù)類似，可借助一元函數(shù)準(zhǔn)則等均與一元函數(shù)類似，可借助一元函數(shù)求極限的方法求一些簡單的二元函數(shù)的極限求極限的方法求一些簡單的二元函數(shù)的極限. .例例4. 求極限：求極限：解：解：.)sin(lim20 xxyyx原式原式上頁上頁 下頁下頁 返回返回

15、 結(jié)束結(jié)束 yxyxyyx )sin(lim20yttyt20limsinlim 2 例例3. 求極限：求極限：yxxyyx 2211lim解：解：yxxyyx 2211lim12112 第21頁/共30頁.11lim00yxyxyx )11(1)1(lim200 yxxyyxyx21 111lim00 yxyx解解 原式原式例例5.求極求極限限上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 有理有理化化注：注： 二元函數(shù)求極限不能用洛比達(dá)法二元函數(shù)求極限不能用洛比達(dá)法則則.第22頁/共30頁例例6.6.函數(shù)函數(shù) 000),(222222yxyxyxxyyxf),(lim00yxfyx2222210y

16、xyxxy021lim2200yxyx0lim),(lim220000yxxyyxfyxyx第23頁/共30頁設(shè)二元函數(shù)設(shè)二元函數(shù) f (P) =f (x,y)的定義域為的定義域為 D,),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx 如果如果則稱函數(shù)則稱函數(shù) f (x,y)在點在點P0 (x0 , y0 ) 連續(xù)連續(xù). .若若f (x,y)在點在點上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 ,),(000DyxP 定義：定義：P0 (x0 , y0 )不連續(xù)不連續(xù), ,則稱則稱 P (x0 , y0 )為函數(shù)的為函數(shù)的間斷點間斷點. .第24頁/共30頁例如例如, ,函數(shù)函數(shù) 0,00

17、,),(2222263yxyxyxyxyxf在點在點(0 , 0) 極限不存在極限不存在, 又如又如, 函數(shù)函數(shù)11),(22 yxyxf上間斷上間斷.122 yx 故故 ( 0, 0 )為其間斷點為其間斷點.在圓周在圓周上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 見例見例2注：注： 二元函數(shù)的間斷點可能為孤立點或一條曲線二元函數(shù)的間斷點可能為孤立點或一條曲線.第25頁/共30頁上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的圖形是一張沒有點洞，也沒有區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的圖形是一張沒有點洞，也沒有裂縫的裂縫的連續(xù)曲面連續(xù)曲面. 如果函數(shù)在如果函數(shù)在D 上各點處都連續(xù)上各點處都連續(xù),則稱此函數(shù)則稱此函數(shù)在在D上連續(xù)上連續(xù).定理定理 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).第26頁/共30頁性質(zhì)性質(zhì)1 1（有界性與最大最小值定理）（有界性與最大最小值定理）閉區(qū)域閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì): :上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，必在上的多元連續(xù)函數(shù)，必在D上有界，上有界，且能取得它的最大值和最小值且能取得它的最大值和最小值.性質(zhì)性質(zhì)2 2（介值定理）（介值定理） 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)