復變函數(shù)與積分變換21PPT學習教案

1、會計學1復變函數(shù)與積分變換復變函數(shù)與積分變換21第1頁/共55頁第2頁/共55頁設設 z = x+iy, w = u+iv ,wf zf xiyu x yiv x y其確定了自變量為其確定了自變量為x和和y的兩個二元實變函數(shù)的兩個二元實變函數(shù) u ,v .例如例如, 考察函數(shù)考察函數(shù) w = z2.令令 z = x+iy, w = u+iv , 則則u+iv = (x+iy)2 = x2- -y2+i2xy ,因而函數(shù)因而函數(shù) w = z2 對應于兩個二元函數(shù)對應于兩個二元函數(shù):u = x2- -y2, v = 2xy第3頁/共55頁 在以后的討論中在以后的討論中, E常常是一個平面區(qū)域常常是

2、一個平面區(qū)域, 并且并且, 如如無特別聲明無特別聲明, 所討論的函數(shù)均為單值函數(shù)所討論的函數(shù)均為單值函數(shù).二、二、 映射的概念映射的概念 函數(shù)函數(shù) w=f (z) 在幾何上可以看做是把在幾何上可以看做是把 z平面上的一個點平面上的一個點集集E(定義集合定義集合)變到變到 w平面上的一個點集平面上的一個點集G (函數(shù)值集函數(shù)值集合合)的的映射映射(或或變換變換). 如果如果 E 中的點中的點 z 被映射被映射 w=f (z) 映映射成射成 G中的點中的點 w, 則則 w 稱為稱為 z 的的象象(映象映象), 而而 z 稱為稱為 w 的的原象原象.xuEGZzwW=f(z)vyW第4頁/共55頁設

3、函數(shù)設函數(shù)w = z =x iy ; u=x , v=-yxyOuvOABCz1z2ABCw1w2第5頁/共55頁設函數(shù)設函數(shù) w = z2 = (x+iy)2 = x2- -y2+i2xy , 有有 u = x2- -y2, v = 2xyxyOuvOz1z2w2z3w3w1123121ziziz -1231341wwiw - - 第6頁/共55頁的的. 此時此時, 我們也稱集合我們也稱集合E與集與集合合G是一一對應的是一一對應的.第7頁/共55頁2. 復變函數(shù)的極限復變函數(shù)的極限函數(shù)的極限定義函數(shù)的極限定義 設函數(shù)設函數(shù) w = f (z)定義在定義在 z0的去心鄰域的去心鄰域 0|z-

4、-z0|0, 相應地必有一正數(shù)相應地必有一正數(shù)d d (e e) (0 d d r), 使得當使得當 0 |z- -z0|d d 時有時有| f (z)- -A |e e ,則稱則稱A為為f (z)當當 z趨向于趨向于z0時的時的極限極限, 記作記作Azfzz)(lim0或記作當或記作當 zz0 時時 , f (z)A.第8頁/共55頁幾何意義幾何意義: : xyOz0dzOuvAef(z)0lim( )zzAf z意味著：0( )zzf z當 從平面上任一方向、沿任何路徑、以任意方式趨近于 時，均以A為極限。第9頁/共55頁等價定義等價定義： 設設 f (z) = u(x,y) + iv(x

5、,y) , A = u0+iv0 , z0 = x0+iy0 , 則則0000000lim( ,)lim( ).lim( ,)xxyyzzxxyyu x yuf zAv x yv運算性質運算性質： )(lim)(lim)()(lim)1(000zgzfzgzfzzzzzz)(lim)(lim)()(lim)2(000zgzfzgzfzzzzzz0)(lim)(lim)(lim)()(lim)3(0000zgzgzfzgzfzzzzzzzz第10頁/共55頁當當 z0 時的極限不存時的極限不存在在例例1 證明函證明函數(shù)數(shù)Re( )( )|zf zz證證 令令 z = x + i y, 則則22(

6、 ),xf zxy由此得由此得22( , ), ( , )0.xu x yv x yxy讓讓 z 沿直線沿直線 y = k x 趨于零趨于零, 我們有我們有2200()()lim( , )limxxy kxy kxxu x yxy22201lim.(1)1xxkxk 故極限不存在故極限不存在. 第11頁/共55頁3. 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性定義定義2.3)()(lim00zfzfzz如果 則說則說 f (z)在在 z0 處處連續(xù)連續(xù). 如果如果 f (z) 在區(qū)域在區(qū)域D內處內處處連續(xù)處連續(xù), 我們說我們說 f (z) 在在D內連續(xù)內連續(xù).函數(shù)函數(shù) f (z) = u(x, y) + iv(

7、x, y)在在 z0 = x0 + iy0處連處連續(xù)的充要條件是續(xù)的充要條件是 u(x, y)和和 v(x, y)在在 (x0, y0)處連處連續(xù)續(xù).性質：性質： (1)(1)連續(xù)函數(shù)的四則運算仍然連續(xù)；連續(xù)函數(shù)的四則運算仍然連續(xù)； (2)(2)連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)仍然連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)仍然連續(xù)； 第12頁/共55頁有理分式函數(shù)有理分式函數(shù)其中其中P(z)和和Q(z)都是多項式都是多項式, 在復在復平面分母不為零的點也是連續(xù)的平面分母不為零的點也是連續(xù)的.,)()(zQzPw 第13頁/共55頁(4)有界閉區(qū)域有界閉區(qū)域D D上的連續(xù)函數(shù)必有界上的連續(xù)函數(shù)必有界例題例題1 1 討討論論zzf

8、arg)(的連續(xù)性。的連續(xù)性。x00222-2-第14頁/共55頁arctg,0,0,02argarctg,0,0,0,0argtg.22yxxxyzyxyxxyyx-其中第15頁/共55頁第二章第二章 解析函數(shù)解析函數(shù)2.2 解析函數(shù)的概解析函數(shù)的概念念;),(Dzzfw函數(shù)1 1 復變函數(shù)的導復變函數(shù)的導數(shù)數(shù) 定義：定義：Dzzz00,zwz0lim極限zzfzzfz-)()(lim000存在存在, 則就說則就說f (z)在在 z0可導可導, 此極限值就稱為此極限值就稱為f (z)在在 z0 的的導數(shù)，記作導數(shù)，記作00().zzdwfzdz或應該注意：上述定義中應該注意：上述定義中 的方

9、式是任意的。的方式是任意的。0z 第16頁/共55頁如果如果 f (z) 在區(qū)域在區(qū)域D內處處可導內處處可導, 就說就說 f (z) 在在內可導內可導.例例1 求求 f (z) = z2 的導數(shù)。的導數(shù)。解解 因為因為0( )( )limzf zzf zz-220( )limzzzzz-0lim(2 )2 .zzzz所以f (z) = 2z .復變函數(shù)的導數(shù)具有與實函數(shù)同樣的復變函數(shù)的導數(shù)具有與實函數(shù)同樣的求導法則求導法則 。（即（即f (z) = z2 在復平面處處可導。在復平面處處可導。）第17頁/共55頁0)(),()()()()(1)()()52-zgzgzfzfzgzgzgzf. 0

10、)(,)()(,)(1)()7wwzzfwwzf且數(shù)個互為反函數(shù)的單值函是兩與其中第18頁/共55頁例例2 問問 f (z) = x +2yi 是否可導是否可導?解解 這里這里0()( )limzf zzf zz -0()2()2limzxxyy ixyixyi - 02limzxyixyi 0,zx 取002limlim1.zzxyixxyix 0,zi y 取0022limlim2.zzxyiyxyiy 所以所以 f (z) = x + 2yi 的導數(shù)不存在的導數(shù)不存在.（即（即 f (z) = x + 2yi 在整個復平面處處不可導在整個復平面處處不可導.）第19頁/共55頁0)(lim

11、),()()()()()()(0000000-zzfzzfzzfzzfzzfzzfze則令連續(xù)在即所以0000)(),()(limzzfzfzzfz可導可導 連續(xù)。連續(xù)。第20頁/共55頁例例3 討論討論2)(zzfw的可導性。的可導性。-zzfzzfzw)()(解解：zzzz-22zzzzzzz-)(zzzzz:0z)0(0zzzw0)0( f:0z0 xz取zzzw0yiz取zzzw-所以2)(zzfw在復平面上除原點外處處不可導在復平面上除原點外處處不可導。第21頁/共55頁2. 解析函數(shù)的概念解析函數(shù)的概念函數(shù)在一點解析函數(shù)在一點解析在該點可導。在該點可導。 反之不一定成立。反之不一定

12、成立。在區(qū)域內：在區(qū)域內：解析可導.例如例如 f (z) = z2 在整個復平面上解析；在整個復平面上解析；2)(zzfw僅在原點可導，故在整個復平面上不解析；僅在原點可導，故在整個復平面上不解析；f (z) = x +2yi在整個復平面上不解析。在整個復平面上不解析。定義定義2.52.5解析：在0)(zzf0( )f zz在 的某鄰域內可導.稱為解析點，0z否則稱為奇點否則稱為奇點 。內解析：在區(qū)域Dzf)( )f zD在 內處處解析.第22頁/共55頁例例 討論函數(shù)討論函數(shù) f (z)=1/z 的解析性的解析性.解：210 ,dwzdzz -故 f (z)=1/z 除 z = 0外處處解析

13、；z = 0 是它的一個奇點。是它的一個奇點。解析函數(shù)的性質：解析函數(shù)的性質：(1) 兩個解析函數(shù)的和、差、積、商仍為解析函數(shù)；兩個解析函數(shù)的和、差、積、商仍為解析函數(shù)；(2) 兩個解析函數(shù)的復合函數(shù)仍為解析函數(shù)；兩個解析函數(shù)的復合函數(shù)仍為解析函數(shù)；(3) 一個解析函數(shù)不可能僅在一個點或一條曲線上解析一個解析函數(shù)不可能僅在一個點或一條曲線上解析； 所所 有解析點的集合必為開集。有解析點的集合必為開集。第23頁/共55頁第24頁/共55頁問題問題：對函數(shù)對函數(shù) f (z) = u(x,y) + iv(x,y)，如何判別其解析（可導）性？如何判別其解析（可導）性？換句話說：換句話說：( ),f z

14、u v的解析 可導 與的偏導數(shù)之間有什么關系？第25頁/共55頁偏導數(shù)偏導數(shù) 對于二元函數(shù)f(x,y), 如果將y視為常量將其固定，看作是 x 的函數(shù)，對 x 求導，所獲得的函數(shù)就叫f(x,y)對x 的偏導數(shù)， 記作fx, 而將 x 固定， 將其看作 y 的函數(shù)， 對 y 求導， 所獲得的函數(shù)就叫 f(x,y)對 y 的偏導數(shù)， 記作fy。 當然上面的說法必須是在相應的偏導數(shù)存在的情況下。 第26頁/共55頁例: 設二元函數(shù)f(x,y)=x2sin2y, 則22 sin22cos2fxyxfxyy第27頁/共55頁iv)微分的概念微分的概念 設函數(shù)設函數(shù)w=f(z)在在z0可導可導, 則有則有

15、 w=f(z0+ z)- -f(z0)=f (z0) z+ ( z) z, 0)(lim0zz其中 因此因此, | ( z) z|是是| z|的高階無窮小量的高階無窮小量, 而而f (z0) z是函數(shù)是函數(shù)w=f(z)的改變量的改變量 w的線性的線性部分部分, 稱為函數(shù)稱為函數(shù)w=f(z)在點在點z0的微分的微分, 記作記作 dw=f (z0) z (*) 如果函數(shù)在如果函數(shù)在z0的微分存在的微分存在, 則稱則稱函數(shù)函數(shù)f(z)在在z0可微可微.第28頁/共55頁 dw=f (z0) z(*) 特別特別, 當當f(z)=z時時, 由由(*)得得dz= z. 于是于是 dw=f (z)dz,即即

16、|0dd)(zzzwzf 由此可見由此可見, 函數(shù)函數(shù)w=f(z)在在z0可導與在可導與在z0可微可微是等價的是等價的. 如果如果f(z)在區(qū)域在區(qū)域D內處處可微內處處可微, 則稱則稱f(z)在在D內可微內可微.第29頁/共55頁2.3 函數(shù)可導與解析的充要條件函數(shù)可導與解析的充要條件第30頁/共55頁 在工程中在工程中, 往往是要用復變函數(shù)來解決實際問題往往是要用復變函數(shù)來解決實際問題. 而實際問題中遇到的復變函數(shù)而實際問題中遇到的復變函數(shù), 通常都是某個實變函數(shù)通常都是某個實變函數(shù)延拓而來的延拓而來的. 即即, 如果原來有一個實變函數(shù)如果原來有一個實變函數(shù)f(x), 自變量自變量是實數(shù)是實

17、數(shù), 函數(shù)值也是實數(shù)函數(shù)值也是實數(shù), 則將則將x用一個復數(shù)代替用一個復數(shù)代替, 就產就產生了一個自變量和函數(shù)值都是復數(shù)的復變函數(shù)生了一個自變量和函數(shù)值都是復數(shù)的復變函數(shù). 事實上我們只關心這樣的復變函數(shù)事實上我們只關心這樣的復變函數(shù). 比如說：比如說：實變函數(shù)實變函數(shù)f(x)=x2-x+1, 則相應的延拓的復變函數(shù)就是則相應的延拓的復變函數(shù)就是f(z)=z2-z+1. 經常就是實變函數(shù)中的基本初等函數(shù)及組合構成經常就是實變函數(shù)中的基本初等函數(shù)及組合構成的初等函數(shù)延拓到復變函數(shù)的初等函數(shù)延拓到復變函數(shù).第31頁/共55頁 假設假設f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函數(shù)是

18、解析函數(shù), 我們我們也可以將它看作是變量也可以將它看作是變量x,y的二元函數(shù)的二元函數(shù), 則對則對x求偏導和求偏導和對對y求偏導求偏導, 得兩個公式得兩個公式y(tǒng)yxxivuyyxviyyxuiyxf iivuxyxvixyxuiyxf),(),()(),(),()(yyiuviyxf-)(即yyxuxyxvyyxvxyxuuvvuyxyx-),(),(,),(),(及由此得第32頁/共55頁,uvvuxyxy -稱Cauchy-Riemann為方程( )( , )( , )wf zu x yiv x yD即在 內一點 x,y 解析u(x,y) 與與 v(x,y) 在該點可微在該點可微, 并且滿

19、足并且滿足柯西柯西-黎曼黎曼(Cauchy-Riemann)方程。方程。第33頁/共55頁定理定理3.8 函數(shù)函數(shù)f (z) = u(x,y) + iv(x,y) 在其定義域在其定義域D內解內解析的充要條件是：析的充要條件是： （1）u(x,y) 與與 v(x,y) 在在D內可微內可微, （2）u(x,y) 與與 v(x,y) 在在D內內滿足滿足Cauchy-Riemann方程方程.定理定理3.7 函數(shù)函數(shù)f (z) = u(x,y)+iv(x,y)定義在區(qū)域定義在區(qū)域D內一點內一點z =x+iy 可導的充分必要條件是可導的充分必要條件是:（1） u(x,y)與與v(x,y)在點在點(x,y)

20、可微可微, （2）u(x,y)與與v(x,y)在點在點(x,y) 滿足滿足Cauchy-Riemann方程方程 。第34頁/共55頁推論推論 ：,( , )u vx yCR-若在處一階偏導數(shù)連續(xù)且滿足方程,( )f zuivzxiy則在處可導.例題例題1 ,u v解析 可導可微且滿足C-R方程 222f zxyi xyuivfz-已知，求解解： 2222xxfzuivxi yxiyz例題2 判斷下列函數(shù)在何處可導, 在何處解析:1);2)Re( )wzwzz2222yyviuxiyxiyz-第35頁/共55頁解：1),wzxiy-由 得 ux, v-y, 所以1,0,0,1xyxyxyyxuu

21、vvuv uv - -在復平面內處處不可導在復平面內處處不可導, 處處不解析處處不解析；wz故2) 由w = z Re(z) = x2 + ixy, 得u = x2, v = xy, 所以2 ,0,xyxyuxuvyvx當且僅當當且僅當 x = y = 0時時,xyyxuvuv -因而函數(shù)僅在因而函數(shù)僅在z = 0可導可導, 但在復平面內任何地方都但在復平面內任何地方都不解析不解析.第36頁/共55頁)Re()3);sin(cose)()2;) 1zzwyiyzfzwx1, 0, 0, 1-yvxvyuxu可知柯西-黎曼方程不滿足, 所以w=z在復平面內處處不可導, 處處不解析第37頁/共55

22、頁yyvyxvyyuyxuxxxxcose,sinesine,cose-函數(shù)ez.第38頁/共55頁xyvyxvyuxxu,0,2第39頁/共55頁第40頁/共55頁2.4 初等函數(shù)3.1 指數(shù)函數(shù) 定義： )sin(cosyiyeeexiyxz1,:00eeeyxzyiyeexiyzsincos:0性質： (1)0zzee 定義在全平面上，且 (2)zzzeee在全平面解析，且21,)3(2121zzeeezzzz加法定理：(4)2zei是以為基本周期的周期函數(shù)(0,cossin00)xiyzeeyiye第41頁/共55頁22(cos2sin2,)zk izk izzee eekike kZ

23、(5)lim.zze不存在( lim, lim0 )zzz xz xee - 3.2 三角函數(shù)定義： ,2sinieeziziz-,2cosizizeez-性質：(1)Euler 公式仍然成立： zizeizsincos(2)全平面解析函數(shù)，zzzzsincos,cossin-且(3)各種三角恒等式仍然成立(半角公式除外) (4)sin z為奇函數(shù)，cos z為偶函數(shù)第42頁/共55頁(5)2以為基本周期的周期函數(shù)：sin2sin ,cos2sin .()zkzzkz kZ(6) sincoszz與的模可以大于一甚至無界：例如11cos1,2eei-cos.2yyeeiyy- (7)定義其他的

24、三角函數(shù)：.sin1csc,cos1sec,sincosctg,cossintgzzzzzzzzzz第43頁/共55頁3.3 雙曲函數(shù)定義： eeeech, sh.22zzzzzz- （1）全平面解析函數(shù)： ,.shzchzchzshz（2）以2i為基本周期的周期函數(shù)：2,2.sh zk ishz ch zk ichz（3）chz為偶函數(shù), shz為奇函數(shù)。（4）與三角函數(shù)的關系：shsin ,izizchcosizzsinsh ,izizcosch ,izz第44頁/共55頁例題1解方程sin1.zish解：sinsinsin coscos sinzxiyxiyxiysincos1xchyixshyish sin01cos12xchyxshysh :0sin0,chyxxkkZ由 1 因 211kshysh -代入11ykyk -為偶數(shù)為奇數(shù)2.21niznZni-第45頁/共55頁3.4 對數(shù)函數(shù)定義： :(0),wwez z若 滿足Ln(0).wzz則,wuiv記：izreu ivuiviee erelnlnarg2uerurzvArgzzklnarg2wLnzzizklnarg2ln2zizi kzk i 多值性多值性lnlnargzziz-主值支主值支例如：ik