多元函數(shù)的概念二PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1多元函數(shù)的概念二多元函數(shù)的概念二復(fù)習(xí)二、多元函數(shù)的極限二、多元函數(shù)的極限一、多元函數(shù)的定義、定義域、圖形一、多元函數(shù)的定義、定義域、圖形, ),.,(nxxxfu2 21 1 點(diǎn)函數(shù)點(diǎn)函數(shù)u=f(P)能表示所有的函數(shù)能表示所有的函數(shù).2 2 n多元函數(shù)的極限定義多元函數(shù)的極限定義 APfpp )(lim0, ),(yxfz Dyx ),(Ayxfyyxx ),(lim00利用點(diǎn)函數(shù)的形式有利用點(diǎn)函數(shù)的形式有n元函數(shù)的極元函數(shù)的極限限第1頁(yè)/共22頁(yè)3一一. .多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性二二. .偏導(dǎo)數(shù)及高階偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)及高階偏導(dǎo)數(shù)第2頁(yè)/共22頁(yè)4一一. .多元函數(shù)的連續(xù)性多元函

2、數(shù)的連續(xù)性第3頁(yè)/共22頁(yè)重點(diǎn)二元函數(shù)的連續(xù)性的概念二元函數(shù)的連續(xù)性的概念 1.1.了解二元函數(shù)的連續(xù)性的概念了解二元函數(shù)的連續(xù)性的概念 2.2.了解有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)了解有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第4頁(yè)/共22頁(yè)四四. .多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) z= f (x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)P0(x0, y0)的某一鄰域的某一鄰域),(),(lim00,00yxfyxfyyxx 若在點(diǎn)若在點(diǎn)P0(x0, y0) 處處,自變量自變量x, y各取增量各取增量x, ),(),(0000yxfyyxxfz 則稱函數(shù)則稱函數(shù) z = f (x, y)在點(diǎn)在點(diǎn) P0(x0, y0) 處處連續(xù)

3、連續(xù) . , 0lim00 zyx)()(lim00 xfxfxx 在點(diǎn)在點(diǎn) 處處連續(xù)連續(xù).),(000yxP則稱函數(shù)則稱函數(shù) f (x, y)若若內(nèi)有定義內(nèi)有定義, 1.定義定義即即函數(shù)隨之取得增量函數(shù)隨之取得增量z，y時(shí)，時(shí)，若若一元函數(shù)連續(xù)定義：一元函數(shù)連續(xù)定義：0lim0 yx或或第5頁(yè)/共22頁(yè)例例1 1 討論函數(shù)討論函數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的連續(xù)性的連續(xù)性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化， 極限不存在極限不存在故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)(

4、0,0)處不連續(xù)處不連續(xù)四四. .多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性第6頁(yè)/共22頁(yè).)1, 2()85(),(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論 yxyxf又又2)85() 1, 2()1, 2( yxf2)85(lim)1,2(),( yxyx的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在)1, 2(),( yxf故故解解.)1, 2()85(),(處處連連續(xù)續(xù)在在 yxyxf例例2 2四四. .多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性第7頁(yè)/共22頁(yè)2.二元函數(shù)二元函數(shù)z=f (x, y)在區(qū)域在區(qū)域D上的連續(xù)性上的連續(xù)性 如果二元函數(shù)如果二元函數(shù)z=f (x, y)在平面區(qū)域在平面區(qū)域D內(nèi)內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，每

5、一點(diǎn)都連續(xù)， 是空間中的一個(gè)不斷是空間中的一個(gè)不斷開(kāi)開(kāi)(無(wú)孔無(wú)縫無(wú)孔無(wú)縫)的連續(xù)曲面。的連續(xù)曲面。二元連續(xù)函數(shù)的圖形二元連續(xù)函數(shù)的圖形并稱并稱z=f (x, y)為區(qū)域?yàn)閰^(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù).連續(xù)，連續(xù)，則函數(shù)則函數(shù)z=f (x, y)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)內(nèi)四四. .多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性第8頁(yè)/共22頁(yè)OxyzD),(yxfz 四四. .多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性第9頁(yè)/共22頁(yè) 如果函數(shù)如果函數(shù) z= f (x, y) 在點(diǎn)在點(diǎn)P0(x0, y0)不連續(xù)，不連續(xù)，(1) 在點(diǎn)在點(diǎn) P0(x0, y0) 沒(méi)有定義，沒(méi)有定義，(2) 極限極限 不存在，不存在，),(lim

6、00yxfyyxx(3)，),(),(lim0000yxfyxfyyxx 則點(diǎn)則點(diǎn) P0(x0, y0)為函數(shù)的為函數(shù)的 z = f (x, y) 的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn).如果函數(shù)如果函數(shù) z= f (x, y) 有下列情形之一：有下列情形之一：或稱或稱間斷點(diǎn)間斷點(diǎn).是函數(shù)是函數(shù) f (x, y) 的的不連續(xù)點(diǎn)不連續(xù)點(diǎn)，),(000yxP點(diǎn)點(diǎn)3.間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)則稱則稱四四. .多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性第10頁(yè)/共22頁(yè) 二元函數(shù)間斷的情況要比一元函數(shù)復(fù)雜二元函數(shù)間斷的情況要比一元函數(shù)復(fù)雜, 例例 0001),(xyxyyxf此函數(shù)對(duì)于此函數(shù)對(duì)于x軸與軸與y軸上的點(diǎn)均間斷軸上的點(diǎn)均間斷. 010

7、),(222222yxyxyxyxf此函數(shù)在原點(diǎn)此函數(shù)在原點(diǎn)(0,0)處間斷處間斷.有間斷點(diǎn)外有間斷點(diǎn)外, 它除了它除了還可能有還可能有間斷線間斷線.例例1 11 12 22 2 yxzsin.上間斷上間斷在在1 12 22 2 yx例例四四. .多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性第11頁(yè)/共22頁(yè)4.4.二元函數(shù)的連續(xù)性質(zhì)二元函數(shù)的連續(xù)性質(zhì) 由變量由變量x的初等函數(shù)、的初等函數(shù)、y的初等函的初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算或有限次復(fù)合步驟而構(gòu)成的，數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算或有限次復(fù)合步驟而構(gòu)成的， 二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)處處連續(xù)二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)處處連續(xù). 連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商連續(xù)函數(shù)的

8、和、差、積、商(分母不為零分母不為零)與復(fù)合仍連與復(fù)合仍連續(xù)續(xù).定理定理二元初等函數(shù)二元初等函數(shù)稱為稱為二元初等函數(shù)二元初等函數(shù).一個(gè)數(shù)學(xué)式子表示的函數(shù)一個(gè)數(shù)學(xué)式子表示的函數(shù),且且用用定理定理四四. .多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性第12頁(yè)/共22頁(yè)例例3 求求2212limxyxyxxyy 解解 一般地，求一般地，求 時(shí)，如果時(shí)，如果f (P) 是初等函數(shù)，是初等函數(shù)，0lim( )PPf P00lim( )().PPf Pf P 22221212lim11122xyxyxxyy 于是于是 則則 f (P) 在在P0處連續(xù)處連續(xù)，且且 P0是是f (P) 的定義域內(nèi)的點(diǎn)，的定義域內(nèi)的點(diǎn)，四

9、四. .多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性第13頁(yè)/共22頁(yè)例例4 求極求極限限22210arcsinlimyxyx .11lim00 xyxyyx )11(11lim00 xyxyxyyx,arcsinlim22210yxyx 解解xyxyyx11lim00 .6 41arcsin .21 .)ln(lim 2 22 20 01 1yxexyyx 求求)0 , 1(f 原式原式. 2ln 例例5 解解四四. .多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性第14頁(yè)/共22頁(yè)5. 5. 閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的二元連續(xù)函數(shù)，如果在上的二元連續(xù)函數(shù)，如果在

10、D D上取得上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在D D上必取得介于這兩值上必取得介于這兩值之間的任何值至少一次之間的任何值至少一次(2) (2) 最大值和最小值定理最大值和最小值定理(3) (3) 介值定理介值定理 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域 D上的二元連續(xù)函數(shù)在上的二元連續(xù)函數(shù)在 D上一定有最大上一定有最大值和最小值值和最小值.四四. .多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性（1 1）有界性定理）有界性定理 有界閉區(qū)域有界閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函數(shù)是上的多元連續(xù)函數(shù)是D D上的有界函數(shù)上的有界函數(shù)第15頁(yè)/共22頁(yè) 多元函數(shù)的連續(xù)多元函數(shù)的連續(xù)多元函數(shù)的連續(xù)定義多元函數(shù)的連續(xù)定義

11、 )()(lim00PfPfpp 由于這種形式上的統(tǒng)一，使得多元函數(shù)的一些主要概由于這種形式上的統(tǒng)一，使得多元函數(shù)的一些主要概念、性質(zhì)念、性質(zhì)與二元函數(shù)類似與二元函數(shù)類似. .并將其統(tǒng)一為并將其統(tǒng)一為點(diǎn)函數(shù)點(diǎn)函數(shù)形式形式. 同二元函數(shù)類似，可以定義多元函數(shù)的連續(xù)概念同二元函數(shù)類似，可以定義多元函數(shù)的連續(xù)概念.可以由二元函數(shù)微積分類似推廣可以由二元函數(shù)微積分類似推廣.微積分的研究微積分的研究主要以二元函數(shù)為主主要以二元函數(shù)為主,多元函數(shù)微積分多元函數(shù)微積分因此，對(duì)于多元函數(shù)因此，對(duì)于多元函數(shù)四四. .多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性第16頁(yè)/共22頁(yè)小 結(jié)一一. .多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)

12、性),(),(lim,0 00 00 00 0yxfyxfyyxx 0 00 00 0 zyxlim作業(yè):P302 5(1)二二. .閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第17頁(yè)/共22頁(yè)思考題思考題1？最最近近的的點(diǎn)點(diǎn)存存在在？為為什什么么點(diǎn)點(diǎn)最最遠(yuǎn)遠(yuǎn)和和上上是是否否一一定定有有到到一一點(diǎn)點(diǎn)。問(wèn)問(wèn)外外為為，為為空空間間任任一一有有界界閉閉區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè)PP 四四. .多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性第18頁(yè)/共22頁(yè)思考題思考題1解答解答有有.,),(),(000任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)上上為為，點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)為為設(shè)設(shè) zyxQzyxP四四. .多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性數(shù)數(shù)的的性性質(zhì)

13、質(zhì)可可知知，由由閉閉區(qū)區(qū)域域上上連連續(xù)續(xù)函函上上的的連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)，它它是是 2 20 02 20 02 20 0)()()(zzyyxxPQ 則則兩兩點(diǎn)點(diǎn)間間距距離離為為一定有最大值和最小值存在一定有最大值和最小值存在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)即為最值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)即為最值點(diǎn). .第19頁(yè)/共22頁(yè) 若若點(diǎn)點(diǎn)),(yx沿沿著著無(wú)無(wú)數(shù)數(shù)多多條條平平面面曲曲線線趨趨向向于于點(diǎn)點(diǎn)),(00yx時(shí)時(shí)，函函數(shù)數(shù)),(yxf都都趨趨向向于于 A，能能否否斷斷定定Ayxfyxyx ),(lim),(),(00？ 思考題思考題2 2不能不能.,)(),(:24223yxyxyxf 例如例如)0 , 0(),(yx,kxy 取取2442223)(),(xkxxkxkxxf 00 x,2 2yx 但若取但若取244262)(),(yyyyyyf .41第20頁(yè)/共22頁(yè)二二.多元函數(shù)極限的概念及極限不存在的判多元函數(shù)極限的概念及極限不存