復(fù)變函數(shù)與積分變換第四章級數(shù)PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1復(fù)變函數(shù)與積分變換第四章級數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換第四章級數(shù)第1頁/共87頁 本章介紹復(fù)變函數(shù)級數(shù)的概念,重點是Taylor級數(shù)、Laurent級數(shù)及其展開.第2頁/共87頁1 復(fù)數(shù)序列2 復(fù)數(shù)項級數(shù)3 復(fù)變函數(shù)項級數(shù)4 冪級數(shù)5 冪級數(shù)的運算性質(zhì)第3頁/共87頁稱 為復(fù)數(shù)列, 簡稱 (1,2,3,)nnnaibn 為數(shù)列, 記為 .n 定義4.1設(shè) 是數(shù)列， 是常數(shù). n aib 如果e 0, 存在正整數(shù)N, 使得當nN 時, 不等式 n e e 成立, 則稱當n時, 收斂于 na, 或稱 是 的極限, 記作 n lim,nn 或 .nn 第4頁/共87頁復(fù)數(shù)列收斂與實數(shù)列收斂的關(guān)系.l

2、im,limbbaannnn 定理4.1 limnn 的充分必要條件是 該結(jié)論說明: 判別復(fù)數(shù)列的斂散性可轉(zhuǎn)化為判別兩個實數(shù)列的斂散性.第5頁/共87頁 nnn 211為復(fù)數(shù)項級數(shù).稱nnkknS 211為該級數(shù)的前 n 項部分和.設(shè) 是復(fù)數(shù)列, 則稱 nnnaib 第6頁/共87頁級數(shù)收斂與發(fā)散的概念定義4.2如果級數(shù) nnn 211的部分和數(shù)列 收斂于復(fù)數(shù) S, 則稱級數(shù)收斂, nS這時稱S為級數(shù)的和, 并記做 1.nnS 如果 不收斂，則稱級數(shù)發(fā)散. nS第7頁/共87頁復(fù)數(shù)項級數(shù)與實數(shù)項級數(shù)收斂的關(guān)系定理4.2 級數(shù) 收斂的充要11()nnnnnaib 條件是 都收斂, 并且 11,

3、nnnnab111.nnnnnnaib 說明 復(fù)數(shù)項級數(shù)的收斂問題兩個實數(shù)項級數(shù)的收斂問題第8頁/共87頁解 因為級數(shù)2111 nnnbn 收斂, 所以原復(fù)數(shù)項級數(shù)發(fā)散. 練習(xí) 級數(shù) 是否收斂?111ninn 111nnnan 發(fā)散, 而級數(shù)第9頁/共87頁級數(shù)收斂的必要條件lim0.nn 推論4.1如果級數(shù) 收斂, 則 1nn 重要結(jié)論: 發(fā)散.1lim0nnnn 于是在判別級數(shù)的斂散性時, 可先考察lim0.nn ?第10頁/共87頁非絕對收斂的收斂級數(shù)稱為條件收斂級數(shù).定義4.3設(shè) 是復(fù)數(shù)項級數(shù), 如果正項1nn 級數(shù) 收斂, 則稱級數(shù) 絕對收斂. 1nn 1nn 絕對收斂級數(shù)的性質(zhì)定理

4、4.3若級數(shù) 絕對收斂, 則它收斂, 1nn 并且11.nnnn 第11頁/共87頁補充 因為 所以22,nnnnnabab 221111.nnnnkkkkkkkkkabab 綜上可得:因此, 如果 和 都絕對收斂時, 也 1nna 1nnb 1nn 絕對收斂. 1nn 絕對收斂 和 都絕對收斂. 1nna 1nnb 第12頁/共87頁都收斂, 故原級數(shù)收斂. 但是級數(shù)條件收斂, 所以原級數(shù)非絕對收斂, 是條件收斂的.解 因為例4.1 級數(shù) 是否絕對收斂? 1( 1)1 2nnnin 11( 1)1, 2nnnnn 1( 1)nnn 第13頁/共87頁1. 復(fù)變函數(shù)項級數(shù)的定義(2) 稱 為區(qū)

5、域 G 內(nèi) )()()()(211zfzfzfzfnnn(1) 稱 為區(qū)域 G 內(nèi)的復(fù)變函數(shù)序列。,2,1)( nnzf定義設(shè)復(fù)變函數(shù) 在區(qū)域 G 內(nèi)有定義，)(zfn的復(fù)變函數(shù)項級數(shù)，簡記為. )( zfn4.1.3 復(fù)變函數(shù)項級數(shù)第14頁/共87頁2. 復(fù)變函數(shù)項級數(shù)收斂的定義(1) 稱 為級數(shù) 的部分和。 nkknzfzs1)()( )(zfn定義設(shè) 為區(qū)域 G 內(nèi)的復(fù)變函數(shù)項級數(shù)， )(zfn稱級數(shù) 在 點收斂。 )(zfnz0則稱級數(shù) 在區(qū)域 D 內(nèi)收斂。 )(zfn, )()(limzszsnn (3) 如果存在區(qū)域 D G ， 有 ,Dz 此時，稱)(zs, )()(lim00z

6、szsnn (2) 如果對 G 內(nèi)的某一點 ，有z0則為和函數(shù)，D 為收斂域。4.1.3 復(fù)變函數(shù)項級數(shù)第15頁/共87頁1 冪級數(shù)的概念2 冪級數(shù)的斂散性3 冪級數(shù)的性質(zhì)第16頁/共87頁(1) 下面主要是對 型冪級數(shù)進行討論，所得到的結(jié)論()注1. 冪級數(shù)的概念其中， 為復(fù)常數(shù)。aan,定義 稱由下式給出的復(fù)變函數(shù)項級數(shù)為冪級數(shù)：,)()()(22100 azaazaaazannn( I )特別地，當 時有0 a.22100 zazaazannn()只需將 換成 即可應(yīng)用到 型冪級數(shù)。( I )(az z(2) 對于 型冪級數(shù)，在 點肯定收斂。0 z()第17頁/共87頁定理4.6 (Ab

7、el定理)若級數(shù) 在 0nnnc z 10z 處收斂，則當 時, 級數(shù) 絕對收斂; 0nnnc z 1zz 若級數(shù) 在 處發(fā)散，則當 時, 級數(shù) 0nnnc z 2z2zz 0nnnc z 發(fā)散. 2. 冪級數(shù)的斂散性第18頁/共87頁(1) 對所有的復(fù)數(shù)z都收斂.由阿貝爾定理知:級數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處絕對收斂.由 , 冪級數(shù) 收斂情況有三種:0nnnc z (2) 除 z=0 外都發(fā)散.此時, 級數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除z=0外處處發(fā)散.第19頁/共87頁 (3)存在一點z10,使級數(shù)收斂(此時,根據(jù)阿貝爾定理知,它必在圓周|z|=|z1|內(nèi)部絕對收斂), 另外又存在一點z2,使級數(shù)發(fā)散.(肯定|z2|z

8、1|);根據(jù)阿貝爾定理的推論知,它必在圓周|z|=|z2|外部發(fā)散.)如下圖第20頁/共87頁xyo1z.2z.R收斂圓收斂半徑收斂圓周 在這種情況下,可以證明,存在一個有限正數(shù)R,使得級數(shù)在圓周|z|=R內(nèi)部絕對收斂,在圓周|z|=R外部發(fā)散.冪級數(shù)的收斂范圍是以原點為中心的圓域動畫演示第21頁/共87頁 冪級數(shù)00()nnnczz 的收斂范圍是因此，事實上, 冪級數(shù)在收斂圓周上斂散性的討問題：冪級數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何?以 為中心的圓域.0zz 收斂半徑根據(jù)前面所述的三種情形, 分別, 0, . R規(guī)定為論比較復(fù)雜, 沒有一般的結(jié)論, 要對具體級數(shù)進行具體分析.第22頁/共87頁例如,

9、 級數(shù): 0200nnnnnnnznzz1, 1 zR收斂圓周收斂圓周均為均為收斂圓周上無收斂點;,1在在其其它它點點都都收收斂斂發(fā)發(fā)散散在在點點 z在收斂圓周上處處收斂.第23頁/共87頁解2111(1).1nnnzSzzzzz 1 z1lim1nnSz 級數(shù) 0nnz收斂,1 z0lim nnz級數(shù) 0nnz發(fā)散.絕對收斂, 且有在 內(nèi), 級數(shù)1z 0nnz例4.2 求級數(shù) 的和函數(shù)與收斂半徑.0nnz 所以收斂半徑1,R 11.1nnzz 第24頁/共87頁收斂半徑的計算方法(一)(3) 當 時, 收斂半徑 .1 R0 1lim,nnncc ;R (1) 當 時, 收斂半徑 0 0;R

10、(2) 當 時, 收斂半徑 定理4.7 (比值法)設(shè)級數(shù) 如果0.nnnc z 則第25頁/共87頁收斂半徑的計算方法(二)(3) 當 時, 收斂半徑 .1 R0 lim,nnnc ;R (1) 當 時, 收斂半徑 0 0;R (2) 當 時, 收斂半徑 定理4.8 (根值法)設(shè)級數(shù) 如果0.nnnc z 則第26頁/共87頁例 求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂圓。 02nnnz由解221)1(lim|lim nnaannnn,1 收斂圓為.1| z收斂半徑為,1 R例 求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂圓。 0!nnnz由解)!1(!lim|lim1 nnaannnn,011lim nn收斂圓為.| z收斂半

11、徑為, R得得第27頁/共87頁例 求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂圓。 0)1(112)(nnnzn收斂圓為.1| 1|e z故級數(shù)的收斂半徑為,1e R由于解nnna |limnnnn2)(11lim nnn)(11lim ,e 第28頁/共87頁1limlim1.1pnnnncncn 練習(xí) 求冪級數(shù) 1npnnz的收斂半徑, 其中p為正整數(shù).解 因為 所以1npcn ，于是收斂半徑11.R 第29頁/共87頁 00)()(nnnnnnzbzazgzf;)(0 nnnnzba 00)()(nnnnnnzbzazgzf, ),min(21rrr 令則在 內(nèi)有rz | 00)(nnnkknkzba1.

12、 冪級數(shù)的四則運算性質(zhì)P68 4.1.5 冪級數(shù)的運算性質(zhì)第30頁/共87頁2. 冪級數(shù)的分析性質(zhì)即 110.)()(nnnzznazf(3) 在收斂圓內(nèi)可以逐項積分，即)(zf(1) 函數(shù)在收斂圓 內(nèi)解析。Rzz |0設(shè)性質(zhì),|,)()(000Rzzzzazfnnn 則(2) 函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)可由其冪函數(shù)逐項求導(dǎo)得到，)(zfP69 4.1.5 冪級數(shù)的運算性質(zhì)第31頁/共87頁3. 冪級數(shù)的代換(復(fù)合)性質(zhì) 在把函數(shù)展開成冪級數(shù)時，上述三類性質(zhì)有著重要的作用。又設(shè)函數(shù) 在 內(nèi)解析，且滿足)(zgrz |,| )(|Rzg 設(shè)級數(shù) 在 內(nèi)收斂，和函數(shù)為性質(zhì) 0nnnzaRz |,)(0 nnnz

13、azf. )( )(0 nnnzgazgf當 時，有rz |則4.1.5 冪級數(shù)的運算性質(zhì)第32頁/共87頁解 方法一 利用乘法運算性質(zhì)zzz 1111)1(12)1( )1(22 zzzz,)1(3212 nznzz.1| z方法二 利用逐項求導(dǎo)性質(zhì))(11)1(12 zz)1(2 zz,)1(3212 nznzz.1| z第33頁/共87頁,)()()()()()(11322 nnabazabazabazababazab 111解)()(11abazbz 其收斂半徑為, |abR 收斂圓為. |abaz 第34頁/共87頁一 Taylor定理二 將函數(shù)展開成Taylor級數(shù)第35頁/共87

14、頁實函數(shù)在一點的鄰域內(nèi)展開成Taylor級數(shù)是非常重要的問題，它是表示函數(shù)、研究函數(shù)性質(zhì)以及進行數(shù)值計算的一種工具. 對于復(fù)變函數(shù), 我們已經(jīng)知道冪級數(shù)在收斂圓域內(nèi)收斂于解析函數(shù). 在本節(jié)我們將證明解析函數(shù)在解析點的某鄰域內(nèi)一定能夠展開成冪級數(shù)Taylor級數(shù). 這是解析函數(shù)的重要特征. 第36頁/共87頁z0DC一、泰勒(Taylor)定理,)()(00 nnnzzazf則當 時，有Rzz |0定理 設(shè)函數(shù) 在區(qū)域 D 內(nèi)解析，)(zfC 為 D 的邊界，,0Dz , |min0zzRCz . )(!10)(zfnann 其中，證明 (略) R.d)()(2110 lnzzzzfil 為 D

15、 內(nèi)包圍 點的z0的任意一條閉曲線。 l P70定理 4.10 (進入證明?)第37頁/共87頁一、泰勒(Taylor)定理注 (1) 為什么只能在圓域 上展開為冪級數(shù)，Rzz |0z0RDC而不是在整個解析區(qū)域 D 上展開？回答這是由于受到冪級數(shù)本身的收斂性質(zhì)的限制： 冪級數(shù)的收斂域必須是圓域。 冪級數(shù)一旦收斂，其和函數(shù)一定解析。第38頁/共87頁一、泰勒(Taylor)定理注 (2) 展開式中的系數(shù) 還可以用下列方法直接給出。na方法一 101010)()()(nnzzazzaazf,)()(1010 nnnnzzazza, )()(!0)(0)(zpzzanzfnn ,!)(0)(nna

16、nzf . )(!10)(zfnann 第39頁/共87頁一、泰勒(Taylor)定理注 (2) 展開式中的系數(shù) 還可以用下列方法直接給出。na方法二. )(!1d)()(210)(10zfnzzzzfianlnn 20110010)()()()(zzazzazzzfnnn,10 nnazza nnzzaazf)()(00z0RDCl,020 nai lnzzzzfd)()(10第40頁/共87頁一、泰勒(Taylor)定理注 (3) 對于一個給定的函數(shù)，用任何方法展開為冪級數(shù)，其結(jié)果都是一樣的，即具有唯一性。將函數(shù) 在 點展開為冪級數(shù)。比如zzf 11)(0 z方法一 利用已知的結(jié)果(4.2

17、 ):方法二 利用泰勒定理 :. )1| (,1112 zzzz方法三 利用長除法。.1!)0()( nfann(長除法)第41頁/共87頁一、泰勒(Taylor)定理注 (4) 對于一個給定的函數(shù)，能不能在不具體展開為冪級數(shù)的情況下，就知道其收斂域？ 可以知道。函數(shù) 在 點展開為泰勒級數(shù)，其收斂半徑)(zf0z結(jié)論等于從 點到 的最近一個奇點 的距離。0zz)(zf(1) 冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)解析， 因此奇點 不可能理由z在收斂圓內(nèi)；(2) 奇點 也不可能在收斂圓外，不然收斂半徑z還可以擴大，故奇點 只能在收斂圓周上。z第42頁/共87頁將函數(shù)展開為Taylor級數(shù)的方法:1. 直接方法; 2.

18、 間接方法.1. 直接方法 ( )01()0,1,2,!nncfznn由Taylor定理計算級數(shù)的系數(shù)然后將函數(shù) f (z)在z0 展開成冪級數(shù).二、將函數(shù)展開成泰勒級數(shù)第43頁/共87頁例 求( )zf ze 在0z 的Taylor展開式.( )( )00(0)()1,nznzzzfee 所以它在 0z 處的Taylor級數(shù)為( )00(0)!nnznnnfzeznn 21,2!nzzzn并且收斂半徑.R 因為( )zf ze 在復(fù)平面上解析，且 第44頁/共87頁2. 間接方法 借助于一些已知函數(shù)的展開式 , 結(jié)合解析函數(shù)的性質(zhì), 冪級數(shù)運算性質(zhì) (逐項求導(dǎo), 逐項積分等)和其它的數(shù)學(xué)技巧

19、 (代換等) , 求函數(shù)的Taylor展開式.間接法的優(yōu)點: 不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑 , 因而比直接展開更為簡潔 , 使用范圍也更為廣泛 .第45頁/共87頁附: 常見函數(shù)的Taylor展開式20(1)1,2!nnznzzzeznn 201(2)1,1nnnzzzzz 201(3)1( 1)( 1),1nnnnnzzzzz 3521(4)sin( 1),3!5!(21)!nnzzzzzn )1( z)1( z)( z)( z第46頁/共87頁242(5)cos1( 1),2!4!(2 )!nnzzzzn )( z231(6) ln(1)( 1),231nnzzzzzn 011)1(nnnn

20、z)1( z23(1)(1)(2)(7)(1)12!3!zzzz ,!)1()1( nznn )1( z第47頁/共87頁 211( 1) 1 ,1nnzzzzz 例 求 21( )(1)f zz 在0z 點鄰域內(nèi) 的Taylor級數(shù). 解11z 是( )f z的惟一奇點, 且 101,z 故收斂半徑1.R 逐項求導(dǎo)，得 221123( 1) (1) 1 .(1)nnzznzzz 因為第48頁/共87頁1111( )111,111(1)2212zf zzzzz 例 將函數(shù) ( )1zf zz 在01z 處展開 成Taylor級數(shù)，并指出該級數(shù)的收斂范圍. 10011(1)( )1( 1)1(

21、1).222nnnnnnnzzf z 當 即 時,11,2z 12z 第49頁/共87頁.2|1 | iR故收斂半徑函數(shù) 有奇點解)(zf,1 znniizi 0111 z11(1)iizi 11111,)1()(01 nnniiz.2| iz(2) zz11)1(12 111)1()(nnniizn,)()1(102nnnizin .2| iz)()1(1izi 第50頁/共87頁4.3 洛朗級數(shù)一、含有負冪次項的“冪級數(shù)”二、羅朗(Laurent)定理三、將函數(shù)展開為洛朗級數(shù)的方法第51頁/共87頁一、含有負冪次項的“冪級數(shù)”1. 問題分析引例 根據(jù)前面的討論已知，函數(shù) 在 點的冪級數(shù)z

22、110 z展開式為. )1| (,1112 zzzz 事實上，該函數(shù)在整個復(fù)平面上僅有 一個奇點，1 z但正是這樣一個奇點，使得函數(shù)只能在 內(nèi)展開1| z為 z 的冪級數(shù)， 而在 如此廣大的解析區(qū)域內(nèi)不能1| z展開為 z 的冪級數(shù)。 有沒有其它辦法呢？一粒老鼠屎，壞了一鍋湯！第52頁/共87頁一、含有負冪次項的“冪級數(shù)”1. 問題分析設(shè)想 這樣一來，在整個復(fù)平面上就有由 ，,1|1 z1| z有 從而可得zzz111111 .11132 zzz; )1| (,1112 zzzz. )1| (,1111132 zzzzz第53頁/共87頁一、含有負冪次項的“冪級數(shù)”1. 問題分析啟示 如果不限

23、制一定要展開為只含正冪次項的冪級數(shù)的話，即如果引入負冪次項，那么就有可能將一個函數(shù)在整個復(fù)平面上展開(除了奇點所在的圓周上)。 在引入了負冪次項以后，“冪級數(shù)”的收斂特性如何呢？ 下面將討論下列形式的級數(shù):.)()(202010 zzazzaa101202)()( zzazza nnnzza)(0雙邊冪級數(shù)第54頁/共87頁一、含有負冪次項的“冪級數(shù)”分析2. 級數(shù) 的收斂特性 nnnzza)(0將其分為兩部分：正冪次項部分與負冪次項部分。;)()(202010 zzazzaa 00)(nnnzza(A) 10)(nnnzza.)()(202101 zzazza(B)(1) 對于 (A) 式，

24、其收斂域的形式為;|20Rzz (2) 對于 (B) 式，其收斂域的形式為;|10Rzz 根據(jù)上一節(jié)的討論可知：第55頁/共87頁nnnzzc)(00 nnnzzc )(0110)( zz 令令nnnc 1收斂半徑R收斂收斂時時,R 101RRzz 收斂域收斂半徑R220Rzz 收斂域:)1( 21RR 若若兩收斂域無公共部分,:)2(21RR 兩收斂域有公共部分.201RzzR 第56頁/共87頁z0R1R2有有公公共共收收斂斂域域21RR z0R2R1無無公公共共收收斂斂域域21RR :)1( 21RR 若若兩收斂域無公共部分,:)2(21RR 兩收斂域有公共部分H.201RzzR H第5

25、7頁/共87頁一、含有負冪次項的“冪級數(shù)”結(jié)論2. 級數(shù) 的收斂特性 nnnzza)(0(1) 如果級數(shù) 收斂， nnnzza)(0.|201RzzR 則其收斂域“一定”為環(huán)域： 如果只含正冪次項(或者加上有限個負冪次項)，特別地則其收斂域為：Rzz |00.|00Rzz 或 如果只含負冪次項(或者加上有限個正冪次項)，則其收斂域為：.|0 zzR 上述兩類收斂域被看作是一種特殊的環(huán)域。第58頁/共87頁一、含有負冪次項的“冪級數(shù)”結(jié)論2. 級數(shù) 的收斂特性 nnnzza)(0(1) 如果級數(shù) 收斂， nnnzza)(0.|201RzzR 則其收斂域“一定”為環(huán)域：而且具有與冪級數(shù)同樣的運算性

26、質(zhì)和分析性質(zhì)。(2) 級數(shù) 在收斂域內(nèi)其和函數(shù)是解析的, nnnzza)(0 因此，下面將討論如何將一個函數(shù)在其解析環(huán)域內(nèi)展開為上述形式的級數(shù)。第59頁/共87頁R2z0R1D二、羅（洛）朗(Laurent)定理設(shè)函數(shù) 在圓環(huán)域定理)(zf,)()(0 nnnzzazfC 為在圓環(huán)域內(nèi)繞 的任何一條簡單閉曲線。0z解析,201|:RzzRD 內(nèi)在此圓環(huán)域中展開為則 一定能)(zf,d)()(2110 Cnnzfia , ),2,1,0( n其中，證明 (略)C P75定理 4.12 (進入證明?)第60頁/共87頁說明:函數(shù))(zf在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開式)(zf在圓環(huán)域內(nèi)的羅朗(Laurent

27、)級數(shù). nnnzzczf)()(0 第61頁/共87頁注 (1) 展開式中的系數(shù) 可以用下面得方法直接給出。na.d)()(2110 cnnzzzzfia 20110)()()(zzazzzfnn,10 nnazza,020 nai Cnzzzzfd)()(10二、羅朗(Laurent)定理R2z0R1CD 1010101)()()()(nnnnnnzzazzazzazf第62頁/共87頁注 (2) 羅朗級數(shù)中的正冪次項和負冪次項分別稱為羅朗級數(shù)二、羅朗(Laurent)定理的解析部分和主要部分。(3) 一個在某圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開為含有正負冪次項的級數(shù)是唯一的。(4) 系數(shù) Cnnzfi

28、a d)()(2110. )(!10)(zfnn ?(5) 若函數(shù) 在圓環(huán) 內(nèi)解析，則 在Rzz |00)(zf)(zf在此圓環(huán)內(nèi)的羅朗展開式就是泰勒展開式。第63頁/共87頁三、將函數(shù)展開為羅朗級數(shù)的方法1. 直接展開法 根據(jù)羅朗定理，在指定的解析環(huán)上101( )d .2()nnCfaizR2z0R1CD直接計算展開系數(shù)： 有點繁！有點煩！第64頁/共87頁三、將函數(shù)展開為羅朗級數(shù)的方法 根據(jù)唯一性，利用一些已知的展開式，通過有理運算、代換運算、逐項求導(dǎo)、逐項求積等方法展開。 兩個重要的已知展開式,! 3! 21!032e nnzzzznz.| z,111320zzzzznn .1| z2.

29、 間接展開法第65頁/共87頁三、將函數(shù)展開為羅朗級數(shù)的方法都需要根據(jù)函數(shù)的奇點位置，將復(fù)平面(或者題目指定無論是直接展開法還是間接展開法，在求展開式之前，注意的展開區(qū)域 )分為若干個解析環(huán)。比如 設(shè)函數(shù)的奇點為,321zzz展開點為,0z則復(fù)平面被分為四個解析環(huán)：0z1z2z3zr1r2r3第66頁/共87頁1 2函數(shù) 有兩個奇點：)(zf,2,1 zz以展開點 為中心，0 z將復(fù)平面分為三個解析環(huán)：解 (1) 將復(fù)平面分為若干個解析環(huán);1|0 z;2|1 z.|2 z(2) 將函數(shù)進行部分分式分解)2( )1(1)( zzzf.2111zz 第67頁/共87頁解 當 時，1|0 z(3)

30、將函數(shù)在每個解析環(huán)內(nèi)分別展開zzzf 2111)(21121z z 11.21101)( nnnz 0221nnnz 0nnz1 2第68頁/共87頁解 當 時，2|1 z(3) 將函數(shù)在每個解析環(huán)內(nèi)分別展開zzzf 2111)(21121z zz1111 011nnzz 0221nnnz.210101 nnnnnzz1 2第69頁/共87頁解 當 時， |2z(3) 將函數(shù)在每個解析環(huán)內(nèi)分別展開zzzf 2111)(zz2111 zz1111 011nnzz 021nnnzz.1201 nnnz1 2第70頁/共87頁函數(shù) 有兩個奇點：)(zf,2,1 zz以展開點 為中心，1 z解 (1)

31、 將復(fù)平面分為若干個解析環(huán)注意：不需要將函數(shù)進行部分分式分解。;1| 1|0 z.| 1|1 z 0將復(fù)平面分為兩個解析環(huán)：12第71頁/共87頁解 當 時，1| 1|0 z(2) 將函數(shù)在每個解析環(huán)內(nèi)分別展開12zzzzf 21)1(11)(2.)1(11)1(111)(2 zzz 0201)1()1()(nnnnzzzf,)1()1(110 nnzz.)1(2)1(1012 nnzz第72頁/共87頁解 當 時， | 1|1z(2) 將函數(shù)在每個解析環(huán)內(nèi)分別展開zzzzf 21)1(11)(2.)1(11)1(111)(2 zzz 1211)1(1)1(1)(nnnnzzzf,)1(1)1

32、(111 nnzz.)1(12)1(132 nnzz12第73頁/共87頁次積分等計算來獲得。次積分等計算來獲得。、逐次求導(dǎo)、逐、逐次求導(dǎo)、逐泰勒展開式，經(jīng)過代換泰勒展開式，經(jīng)過代換基本初等函數(shù)的基本初等函數(shù)的展開式，可以利用已知展開式，可以利用已知等函數(shù)的洛朗等函數(shù)的洛朗對于無理函數(shù)及其他初對于無理函數(shù)及其他初)1(2)對于有理函數(shù)的洛朗展開式，首先把有理 函數(shù)分解成多項式與若干個最簡分式之和，然后利用已知的幾何級數(shù)，經(jīng)計算展成需要的形式。小結(jié)：把f (z)展成洛朗( Laurent )級數(shù)的方法：第74頁/共87頁A 根據(jù)區(qū)域判別級數(shù)方式：在圓域內(nèi)需要把 f (z) 展成泰勒(Taylor)級數(shù)，在環(huán)域內(nèi)需要把f (z)展成洛朗( Laurent )級數(shù)。第75頁/共87頁(1) 01;z(2) 12;z(3) 2;z 內(nèi)展開成Laurent級數(shù).練習(xí) 將函數(shù)1 ( )(1)(2)f zzz 在圓環(huán)域(4) 011z 處都解析, 并且可分解為 11( ).12f zzz 函數(shù)f (z)在z=1和z=2處不解析, 在其它點第76頁/共87頁