導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用90239PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用90239 1.掌握利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際生活中的優(yōu)化問題的方法和步驟，如用料最少、費(fèi)用最低、消耗最省、利潤(rùn)最大、效率最高等. 2.掌握導(dǎo)數(shù)與不等式、幾何等綜合問題的解題方法.第1頁/共32頁1.對(duì)任意實(shí)數(shù)x,若f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x)，且x0時(shí)，f (x)0,g(x)0，則x0,g(x)0 B.f (x)0,g(x)0C.f (x)0 D.f (x)0,g(x)0，f (x)0，所以f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增，所以f(x)在(-,0)上也是單調(diào)遞增,即x0.同理，g(x)在(-,0)上單調(diào)遞減，所以x0時(shí)，g(x)0，故選B.第3

2、頁/共32頁2.已知函數(shù)y=f (x)的圖象如右圖所示(其中f (x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)).下面四個(gè)圖象中,y=f(x)的大致圖象是( )A第4頁/共32頁 y=f (x),由題圖知，當(dāng)x-1時(shí)，y0,所以f (x)0,所以f(x)遞增;當(dāng)0 x1時(shí),y0,所以f (x)0,所以f(x)遞減;當(dāng)x1時(shí)，y0,所以f (x)0,所以f(x)遞增.故選A.第5頁/共32頁3.內(nèi)接于半徑為R的半圓的周長(zhǎng)最大的矩形的邊長(zhǎng)分別是 . R和 R554 55 如圖，設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為2x,則另一邊長(zhǎng)為 (0 xR),所以矩形的周長(zhǎng)y=2(2x+ ),所以y=2(2- ) (0 xR).令y=0,得x= R

3、,此時(shí) = R，易得x= R是y=2(2x+ )的極大值點(diǎn)，即同時(shí)也是定義域上的最大值點(diǎn).22Rx22Rx22xRx2 5522Rx552 5522Rx第6頁/共32頁4.設(shè)點(diǎn)P是曲線y=x3- x+ 上任意一點(diǎn)，P點(diǎn)處切線的傾斜角為，則角的取值范圍是 . 0, ) ,)23223因?yàn)閥=3x2- - ,所以tan- ,所以0, ) ,).2233333第7頁/共32頁1.利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題可歸結(jié)為求函數(shù)的最值問題其解題的程序:讀題(文字語言)建模(數(shù)學(xué)語言)求解(數(shù)學(xué)應(yīng)用)反饋(檢驗(yàn)作答)注意事項(xiàng)：(1)函數(shù)建模，要設(shè)出兩個(gè)變量，根據(jù)題意分析它們的關(guān)系，把變量間的關(guān)系轉(zhuǎn)化成函數(shù)關(guān)系

4、式，并確定自變量的取值范圍；第8頁/共32頁(2)問題求解中所得出的數(shù)學(xué)結(jié)果要檢驗(yàn)它是否符合問題的實(shí)際意義；(3)在函數(shù)定義域內(nèi)只有一個(gè)極值，則該極值就是所求的最大(小)值.2.近幾年高考中和導(dǎo)數(shù)有關(guān)的綜合題主要有以下幾類(1)求參數(shù)的取值范圍.多數(shù)給出單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的逆向思維問題,靈活運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想方法,建立關(guān)于字母參數(shù)的不等關(guān)系.第9頁/共32頁(2)用導(dǎo)數(shù)方法證明不等式.其步驟一般是：構(gòu)造可導(dǎo)函數(shù)研究單調(diào)性或最值得出不等關(guān)系整理得出結(jié)論.(3)與幾何圖形相關(guān)的最值問題.根據(jù)幾何知識(shí)建立函數(shù)關(guān)系，然后用導(dǎo)數(shù)方法求最值.第10頁/共32頁例1 已知函數(shù)

5、f(x)=x3-ax2-3x.（1）若f(x)在1,+)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若x=3是f(x)的極值點(diǎn)，當(dāng)x1,a時(shí)，求f(x)的最大值和最小值.第11頁/共32頁 （1）可由y=f(x)在1,+)上f(x)0恒成立來確定含參不等式，利用等價(jià)轉(zhuǎn)化求得a的取值范圍. (1)f (x)=3x2-2ax-30，在x1,+)上恒成立，所以a (x- ). 當(dāng)x1時(shí)，y= (x- )是增函數(shù)，其最小值為 (1-1)=0.所以a0，又a=0也合題意，所以a0.321x321x32第12頁/共32頁(2)依題意f (3)=0，即27-6a-3=0，所以a=4.所以f(x)=x3-4x2-3

6、x,則f (x)=3x2-8x-3=(3x+1)(x-3),故f(x)有極大值點(diǎn)x=- ，極小值點(diǎn)x=3.此時(shí)，f(x)在- ,3上是減函數(shù)，在3,+)上是增函數(shù).所以f(x)在x1,a上的最小值是f(3)=-18,最大值是f(1)=-6（這里f(a)=f(4)=-120.設(shè)兩曲線y=f(x),y=g(x)有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同. (1)用a表示b，并求b的最大值； (2)求證：f(x)g(x)(x0).12第15頁/共32頁 第（1）問由函數(shù)f(x)與g(x)在公共點(diǎn)(x0,y0)處的切線相同，建立關(guān)于b的函數(shù)關(guān)系式，然后求出b的最大值； 第（2）問求證f(x)g(x)(x0)，先構(gòu)

7、造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)(x0)，再證明在x0時(shí)，F(xiàn)(x)0成立即可.第16頁/共32頁 (1)設(shè)y=f(x)與y=g(x)(x0)在公共點(diǎn)(x0,y0)處的切線相同.又f (x)=x+2a,g(x)= ，由題意知 f(x0)=g(x0) f (x0)=g(x0),即 x02+2ax0=3a2lnx0+b x0+2a= ,由x0+2a= 得x0=a,或x0=-3a(舍去)，即有b= a2+2a2-3a2lna= a2-3a2lna.23ax12203ax203ax1252第17頁/共32頁令h(t)= t2-3t2lnt(t0),則h(t)=2t(1-3lnt).由h(t)=0,得t

8、=e 或t=0(舍去）,列表如下：52于是h(t)在(0,+)上的最大值為h(e )= e ，即b的最大值為 e .13t(0,e ) e(e ,+)h(t)+0-h(t)極大值極大值1313131332233223第18頁/共32頁(2)證明：設(shè)F(x)=f(x)-g(x) = x2+2ax-3a2lnx-b(x0),則F(x)=x+2a- = (x0).故F(x)在(0,a)上為減函數(shù),在(a,+)上為增函數(shù),由F(x)=0，得x=a或=-3a(舍去).列表如下：23ax12()(3 )xa xaxx(0,a) a(0,+)F(x)-0+F(x)極小值極小值第19頁/共32頁 于是函數(shù)F(

9、x)在(0,+)上的最小值是F(a)=F(x0)=f(x0)-g(x0)=0.故當(dāng)x0時(shí),有f(x)-g(x)0,即當(dāng)x0時(shí),f(x)g(x).第20頁/共32頁 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，就是把不等式恒成立的問題，通過構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的問題應(yīng)用這種方法的難點(diǎn)是如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)或者根據(jù)題目證明目標(biāo)的要求，構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式破解的基本思路是從函數(shù)的角度分析和理解要證明的不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去構(gòu)造函數(shù)式，或者從不等式證明的放縮方向上去構(gòu)造函數(shù)式，使所構(gòu)造出的函數(shù)是不等式證明所需要的最佳函數(shù).第21頁/共32頁 受金融危機(jī)的影響，三峽某旅游公司經(jīng)濟(jì)效益出現(xiàn)了一定程度的滑坡.現(xiàn)需要

10、對(duì)某一景點(diǎn)進(jìn)行改造升級(jí)，提高旅游增加值.經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查,旅游增加值y萬元與投入x萬元之間滿足:y= x-ax2-ln , t,+)，其中t為大于 的常數(shù).當(dāng)x=10時(shí),y=9.2. (1)求y=f(x)的解析式和投入x的取值范圍； (2)求旅游增加值y取得最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值.例3515010 x212xx12第22頁/共32頁 第(1)問把x=10,y=9.2代入函數(shù)式,即可求出a的值,得到y(tǒng)=f(x);第(2)問求f(x)在區(qū)間上的最大值,需要先討論y=f(x)的單調(diào)性,確定取得最大值的區(qū)間和對(duì)應(yīng)的x的值. （1）因?yàn)楫?dāng)x=10時(shí)，y=9.2，即 10-a102-ln1=9.2，解得a= ,

11、所以f(x)= x- -ln .因?yàn)?t且t ，所以60，且f(x)在(6,50上連續(xù)，因此，f(x)在(6,50上是增函數(shù)；當(dāng)x(50,+)時(shí)，f(x)0且f(x)在50,+)上連續(xù).515050 x1x2515050 xxx(1)(50)50 xxx第24頁/共32頁因此，f(x)在50,+)上是減函數(shù).所以x=50為極大值點(diǎn).當(dāng) 50，即t( , 時(shí)，投入50萬元改造時(shí)取得最大增加值；當(dāng)6 50,即t( ,+)時(shí),投入 萬元改造時(shí)取得最大增加值.1221tt 1225441221tt 25441221tt 第25頁/共32頁 本題的難點(diǎn)是求旅游增加值y取得最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值由第(1)問

12、可知x的取值范圍是(6， ，因此需要從研究f(x)在這個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性入手，找到變量t所在區(qū)間上y取得最大值時(shí)x的值.利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)作為解題工具研究函數(shù)的最值等，體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)知識(shí)在求解實(shí)際問題中的應(yīng)用價(jià)值，需要考生多揣摩.1221tt 第26頁/共32頁1.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式，關(guān)鍵在于構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù).2.利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題，關(guān)鍵在于建立目標(biāo)函數(shù)，并且還要根據(jù)實(shí)際問題，寫出函數(shù)的定義域.3.在求實(shí)際問題的最值時(shí)，如果只有一個(gè)極值點(diǎn)，則此點(diǎn)就是最值點(diǎn).第27頁/共32頁學(xué)例1 (2009湖南卷)某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米，余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩.經(jīng)測(cè)算，一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬元；距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為(2+ )x萬元.假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素.記余下工程的費(fèi)用為y萬元. (1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式； (2)當(dāng)m=640米時(shí)，需新建多少個(gè)橋墩才能使y最小?x第28頁/共32頁 (1)設(shè)需新建n個(gè)橋墩，則(n+1)x=m,即n= -1,所以y=f(x)=256n+(n+1)(2+ )x =256( -1)+ (2+ )x = +m +2m-256. (2)由(1)知，f(x)=