數(shù)學(xué)建模校賽

1、題目：如何選擇不同類型的汽車摘要：隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展，汽車正加速進(jìn)入中國(guó)家庭。但即使是相對(duì)富裕人士，對(duì)于選購(gòu)汽車來說，一般也比較慎重。因而對(duì)汽車的成本和能耗的分析與研究在當(dāng)代就顯得尤為有意義、有價(jià)值。本問題針對(duì)不同類型的汽車能耗和使用成本進(jìn)行研究，并且分別從能耗和成本角度對(duì)不同類型的汽車進(jìn)行比較分析。在具體解決這些問題的時(shí)候，通過使用因子分析法、灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)模型等，經(jīng)分析比較后得出結(jié)論。關(guān)鍵詞：能耗； 使用成本； 因子分析法； 灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)模型 目 錄一 問題重述 1.1 1.2 二 問題分析 三 模型假設(shè) 四 符號(hào)說明 五 模型的建立與求解 六 模型的檢驗(yàn) 七 模型的優(yōu)缺點(diǎn)分析 八 模型的推廣

2、與改進(jìn) 參考文獻(xiàn) 附 錄 一、問題重述傳統(tǒng)汽車以汽油為動(dòng)力原料，利用燃油發(fā)動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)汽車行駛。電動(dòng)汽車（Electric Vehicle）是指以車載電源(蓄電池)為動(dòng)力，用電機(jī)驅(qū)動(dòng)車輪行駛的車輛?；旌蟿?dòng)力汽車（Hybrid Electric Vehicle，HEV）的混合動(dòng)力就是指汽車使用汽油驅(qū)動(dòng)和電力驅(qū)動(dòng)兩種驅(qū)動(dòng)方式,以節(jié)省燃油及降低排放為其主要優(yōu)點(diǎn)。結(jié)合目前的汽油價(jià)格和電能（車用蓄電池）價(jià)格，對(duì)這三類汽車的能耗和成本（生產(chǎn)成本和使用成本）進(jìn)行分析比較，試建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，根據(jù)相關(guān)資料，解決以下問題：1、從能耗的角度，分析比較這三類汽車哪一類節(jié)能效果最好；2、從使用成本角度，分別為三類汽車建

3、立相應(yīng)的成本模型；3、請(qǐng)具體選取三類汽車，對(duì)其使用成本進(jìn)行比較和分析；4、請(qǐng)?zhí)接懫蛢r(jià)格的變化對(duì)三類汽車所占市場(chǎng)份額的影響。二、問題分析問題一中讓我們從能耗角度比較三類車的節(jié)能效果，我們可以通過計(jì)算來進(jìn)行比較；問題二我們可以通過分析成本成分從而建立成本模型；問題三我們們可以分別選取一款車，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查的出的有關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，進(jìn)而進(jìn)行比較；問題四我們可以通過著名的灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)模型比較汽油價(jià)格的變化對(duì)三類汽車所占市場(chǎng)份額的影響。三、模型假設(shè)假設(shè)1：三類汽車在相同的路面狀況下行駛且不存在堵車情況；假設(shè)2：三輛車的司機(jī)對(duì)車的熟練程度相同；假設(shè)3：假設(shè)車的使用成本只與燃料費(fèi)、保養(yǎng)費(fèi)、年檢費(fèi)、折舊費(fèi)、保險(xiǎn)

4、費(fèi)、 維修費(fèi)有關(guān)；假設(shè)5：假設(shè)汽車的折舊率只有五年，三種汽車的使年限都只有15年；假設(shè)6：假設(shè)三種汽車的保險(xiǎn)、保養(yǎng)采用同種等級(jí)，汽油的價(jià)格維持不變， 電費(fèi)的價(jià)格也維持不變，三種汽車行駛同等距離的磨損程度相同；四、符號(hào)說明符號(hào)意義單位備注表示汽車的使用成本元表示汽車百公里的燃油體積升表示每年的保養(yǎng)費(fèi)元表示每年年檢的費(fèi)用元表示汽車的殘值率表示每年保險(xiǎn)費(fèi)元表示每年維修費(fèi)元表示汽車的成本元表示汽車每年用電度數(shù)千瓦時(shí)a表示汽油的單價(jià)元/升r表示電的單價(jià)元/千瓦時(shí)t表示年數(shù)年s表示汽車每年行駛路程百公里表示三種汽車百公里耗能焦耳表示傳統(tǒng)汽車耗能；表示電動(dòng)汽車耗能；表示混合動(dòng)力汽車耗能五、模型的建立與求解1

5、.比較傳統(tǒng)汽車、電動(dòng)汽車和混合動(dòng)力汽車三種汽車的使用成本，首先查閱相關(guān)資料得知汽車的使用成本由燃料費(fèi)、保養(yǎng)費(fèi)、年檢費(fèi)、折舊費(fèi)、保險(xiǎn)費(fèi)、維修費(fèi)構(gòu)成，然后再各個(gè)因素去查閱，最后用因子分析法的模型以年為單位統(tǒng)一相加得到各種車型的使用成本。（1）傳統(tǒng)汽車模型：傳統(tǒng)汽車的使用成本由燃油費(fèi)、保養(yǎng)費(fèi)、年檢費(fèi)、折舊費(fèi)、保險(xiǎn)費(fèi)、維修費(fèi)等構(gòu)成： （2）混合動(dòng)力汽車模型：混合動(dòng)力汽車的使用成本由燃油費(fèi)、保養(yǎng)費(fèi)、年檢費(fèi)、折舊費(fèi)、保險(xiǎn)費(fèi)、維修費(fèi)等構(gòu)成： （3）電動(dòng)汽車模型：電動(dòng)汽車的使用成本由耗電費(fèi)、保養(yǎng)費(fèi)、年檢費(fèi)、折舊費(fèi)、保險(xiǎn)費(fèi)、維修費(fèi)等構(gòu)成： 2.比較傳統(tǒng)汽車、電動(dòng)汽車和混合動(dòng)力汽車三種汽車的能耗情況，首先查閱相關(guān)

6、資料得知汽車的每千克汽油所含的能量，汽油的密度，每度電所含的電能，然后用對(duì)比分析法比較各種車型的能耗大小。根據(jù)題中所給的相關(guān)信息，我們可知，傳統(tǒng)汽車以汽油為動(dòng)力原料，電動(dòng)汽車是以車載電源 (蓄電池)為動(dòng)力，混合動(dòng)力汽車是以汽油和電力為動(dòng)力。而混合動(dòng)力車所需電能是由其內(nèi)燃機(jī)工作所提供的，不需要外加電源，故其消耗的能量可以說是只來自汽油。我們可以從3類汽車分別在行駛一百公里所消耗的汽油，電能，汽油及電能內(nèi)所包含的能量來進(jìn)行比較。眾所周知，汽油是從石油中分餾出來的，中間的能量轉(zhuǎn)換較少，可以忽略。經(jīng)過查閱相關(guān)資料我們得知，我國(guó)現(xiàn)在的電能78%來自火力發(fā)電，其發(fā)電效率為37%，22%來自其他形式的發(fā)電。

7、我們可以得出下面的關(guān)系圖：經(jīng)過查閱相關(guān)資料，我們得知，三種普通家庭適用版車型在城市平直公路上運(yùn)行時(shí)的百公里耗油、耗電量，如下表：汽車類型耗油（電）量傳統(tǒng)汽車電動(dòng)汽車混合動(dòng)力車我們都取三類汽車的百公里所消耗的能量來進(jìn)行比較。 (1) 傳統(tǒng)汽車經(jīng)過查閱相關(guān)資料，我們得知，每千克汽油所含的能量為，汽油的密度為，由此我們可以得出傳統(tǒng)汽車百公里的耗能為 (2) 電動(dòng)汽車我們知道，每度電所含的電能為,因此電動(dòng)汽車的百公里耗能為 (3) 混合動(dòng)力車混合動(dòng)力車的百公里耗能為由上述計(jì)算結(jié)果可知因此從耗能的角度分析，電動(dòng)汽車的耗能最少，所以電動(dòng)汽車最節(jié)能。選取具體三類汽車天我們分別是： 汽車種類 使用成本BYD

8、F3(傳統(tǒng)汽車)BYD F3DM(混合動(dòng)力汽車)BYD E6(純電動(dòng)車)車輛價(jià)格（萬元）7.0314.9836.98百公里耗油（L）7.973.50百公里耗電需要沖的電（KWh）0020保養(yǎng)(元/年)200020002000保險(xiǎn)（元/年）360036003600年檢（元/年）100100100維修（元/年）140014001400殘值率5%5%5%以下是能源的單價(jià)：汽油單價(jià)a（元/L）7.470電費(fèi)單價(jià)r（元/KWh）0.573由以上的數(shù)據(jù)可以求出這三種車三年后的使用成本： = =9.71萬元 =11.82萬元 =23.90萬元三種汽車類型使用成本（萬元）排名（由低到高）BYD F3(傳統(tǒng)汽車

9、)9.711BYD F3DM(混合動(dòng)力汽車)11.822BYD E6(純電動(dòng)車)23.903由以上的數(shù)據(jù)可以求出這三種車五年后的使用成本： = =16.18萬元 =20.11萬元 =39.82萬元成本 汽車種類使用成本（萬元）排名（由低到高）BYD F3(傳統(tǒng)汽車)16.181BYD F3DM(混合動(dòng)力汽車)20.112BYD E6(純電動(dòng)車)39.823由以上的數(shù)據(jù)可以求出這三種車八年后的使用成本： = =21.88萬元 =24.09萬元 =42.64萬元成本汽車種類使用成本（萬元）排名（由低到高）BYD F3(傳統(tǒng)汽車)21.881BYD F3DM(混合動(dòng)力汽車)24.092BYD E6(

10、純電動(dòng)車)42.643由以上的數(shù)據(jù)可以求出這三種車十年后的使用成本： = =25.69萬元 =26.56萬元 =44.52萬元使用成本汽車種類使用成本（萬元）排名（由低到高）BYD F3(傳統(tǒng)汽車)26.691BYD F3DM(混合動(dòng)力汽車)26.562BYD E6(純電動(dòng)車)44.523 由以上的數(shù)據(jù)可以求出這三種車十二年后的使用成本： = =29.49萬元 =29.03萬元 =46.40萬元成本汽車種類使用成本（萬元）排名（由低到高）BYD F3DM(混合動(dòng)力汽車)29.031BYD F3(傳統(tǒng)汽車)29.492BYD E6(純電動(dòng)車)46.403由以上的數(shù)據(jù)可以求出這三種車十五年后的使用

11、成本： = =35.19萬元 =32.72萬元 =49.22萬元 成本汽車種類使用成本（萬元）排名（由低到高）BYD F3DM(混合動(dòng)力汽車)32.721BYD F3(傳統(tǒng)汽車)35.192BYD E6(純電動(dòng)車)49.223由模型求解得到的數(shù)據(jù)可知:1、 在汽車使用的前12年，傳統(tǒng)汽車的使用成本最低；2、 在使用汽車的12-15年，混合動(dòng)力型汽車的使用成本最低；3、 在使用十五年內(nèi)，純電動(dòng)車的成本一直是最高；4、 一般私家車的強(qiáng)制報(bào)廢年限是15年，所以綜合比較混合動(dòng)力型汽車的使用成本最低； 模型結(jié)果與實(shí)際比較貼近，通過觀察得出的結(jié)果，參考生活中的實(shí)際情況，有這些可以看出，分析建模的結(jié)果與實(shí)際

12、是非常接近的。另外通過改變適當(dāng)?shù)牧恳部梢宰龀鲱愃频臋z驗(yàn)，均符合現(xiàn)實(shí)。3.為探討汽油價(jià)格的變化對(duì)三類汽車所占市場(chǎng)份額的影響，通過建立灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)模型，借助與MATLAB軟件最終分別得出油價(jià)對(duì)各類汽車影響的關(guān)系式，進(jìn)而可以預(yù)測(cè)任意油價(jià)對(duì)市場(chǎng)份額的影響。根據(jù)近幾年的油價(jià)和各類汽車市場(chǎng)份額的實(shí)際數(shù)據(jù)，如下： 百分比 時(shí)間 傳統(tǒng)汽車電動(dòng)汽車混合動(dòng)力汽車油價(jià)200687.042.3610.6067.12200780.895.9013.2074.46200883.163.1713.6764.83200978.655.8415.5160.35201077.296.4316.2879.36201175.487.

13、4217.10100，31 借助于上述數(shù)據(jù)，分別預(yù)測(cè)三類汽車對(duì)于傳統(tǒng)汽車：油價(jià)變化與傳統(tǒng)汽車市場(chǎng)份額的關(guān)系進(jìn)行灰色預(yù)測(cè)（1）由原始數(shù)據(jù)列計(jì)算一次累加序列，結(jié)果見表 一次累加數(shù)據(jù)年份200620072008200920102011油價(jià)67.1274.4664.8360.3579.36100.3187.0480.8983.1678.6577.2975.4887.04167.93251.09329.74407.03482.51（2）建立矩陣（3）計(jì)算 （4）有=，求評(píng)估和 把和帶入時(shí)間響應(yīng)方程，由于故時(shí)間響應(yīng)方程為 得響應(yīng)方程為 （5）計(jì)算擬合值，再用后減運(yùn)算還原計(jì)算值（6）進(jìn)行精度檢驗(yàn)與預(yù)測(cè) 計(jì)算

14、殘差與相對(duì)殘差（7） 后驗(yàn)差檢驗(yàn)，分別計(jì)算： 的均值： ； 的方差： ； 殘差的均值： ； 后驗(yàn)差比值：; 小誤差概率：；（8）預(yù)測(cè)精度等級(jí)對(duì)照表 對(duì)于純電動(dòng)汽車：油價(jià)變化與純電動(dòng)汽車市場(chǎng)份額的關(guān)系進(jìn)行灰色預(yù)測(cè)（9）由原始數(shù)據(jù)列計(jì)算一次累加序列，結(jié)果見表 一次累加數(shù)據(jù)年份200620072008200920102011油價(jià)67.1274.4664.8360.3579.36100.312.365.903.175.846.437.422.368.2611.4317.2723.731.12（10）建立矩陣（11）計(jì)算 （12）有=，求評(píng)估和 把和帶入時(shí)間響應(yīng)方程，由于故時(shí)間響應(yīng)方程為 得響應(yīng)方程為

15、（13）計(jì)算擬合值，再用后減運(yùn)算還原計(jì)算值（14）進(jìn)行精度檢驗(yàn)與預(yù)測(cè) 計(jì)算殘差與相對(duì)殘差（15） 后驗(yàn)差檢驗(yàn)，分別計(jì)算： 的均值： ； 的方差： ； 殘差的均值： ； 后驗(yàn)差比值：; 小誤差概率：；（16）預(yù)測(cè)精度等級(jí)對(duì)照表 對(duì)于混合動(dòng)力汽車：油價(jià)變化與混合動(dòng)力汽車市場(chǎng)份額的關(guān)系進(jìn)行灰色預(yù)測(cè)（17）由原始數(shù)據(jù)列計(jì)算一次累加序列，結(jié)果見表 一次累加數(shù)據(jù)年份200620072008200920102011油價(jià)67.1274.4664.8360.3579.36100.3110.6013.2013.6715.5116.2817.1010.6023.837.4752.9869.2686.36（18）建立

16、矩陣（19）計(jì)算 （20）有=，求評(píng)估和 把和帶入時(shí)間響應(yīng)方程，由于故時(shí)間響應(yīng)方程為 得響應(yīng)方程為 （21）計(jì)算擬合值，再用后減運(yùn)算還原計(jì)算值（22）進(jìn)行精度檢驗(yàn)與預(yù)測(cè) 計(jì)算殘差與相對(duì)殘差（23）然后驗(yàn)差檢驗(yàn)，分別計(jì)算： 的均值： ； 的方差： ； 殘差的均值： ； 后驗(yàn)差比值：; 小誤差概率：；（24）預(yù)測(cè)精度等級(jí)對(duì)照表 算將上述算法以及數(shù)據(jù)寫入MATLAB，編寫程序求解，源程序及輸出結(jié)果詳見附件。根據(jù)程序運(yùn)行結(jié)果可以得出對(duì)于傳統(tǒng)汽車和油價(jià)關(guān)系：(1)dx/dt+ax=u：a=-0.14401015，u=84.47278810(2)時(shí)間響應(yīng)方程： X(k+1)=669.5752*exp(0.

17、1440k)-586.5752(3)殘差 E(k)：(1)0.00000000 (2) -8.71441263 (3) 10.22065739 (4) 2.66733676 (5) -3.75981586 (6) 0.49405494 (4)第一次累加值:(1)87.04000 (2)167.93000 (3)251.090000 (4)329.74000 (5)407.030000 (6)482.510000 (5)相對(duì)殘差e(k)：(1)0.00000000 (2)-0.09173066 (3)0.07862044 (4)0.01891728(5)-0.02410138(6) 0.0026

18、7057 (6)原數(shù)據(jù)均值avg(x)：131.66666667(7)原數(shù)據(jù)方差 S(1)：34.73550857(8)殘差的均值avg(E)：0.18156412(9)殘差的方差 S(2)：6.35189717(10)后驗(yàn)差比值 C：0.18286467(11)小誤差概率 P：1.00000000預(yù)測(cè)精度等級(jí)： 好！ 這表明：在油價(jià)上升的過程中傳統(tǒng)汽車的市場(chǎng)份額在逐步的減小。對(duì)于純電動(dòng)汽車和油價(jià)關(guān)系：(1)dx/dt+ax=u：a=-0.14401015，u=84.47278810(2)時(shí)間響應(yīng)方程： X(k+1)=669.5752*exp(0.1440k)-586.5752(3)殘差 E(

19、k)：(1)0.00000000 (2) -8.71441263 (3) 10.22065739 (4) 2.66733676 (5) -3.75981586 (6) 0.49405494 (4)第一次累加值:(1)2.360000 (2)8.260000 (3)11.430000 (4)17.27000 (5)23.700000 (6)31.120000 (5)相對(duì)殘差e(k)：(1)0.00000000 (2)-0.09173066 (3)0.07862044 (4)0.01891728 (5)-0.02410138 (6)0.00267057 (6)原數(shù)據(jù)均值avg(x)：131.666

20、66667(7)原數(shù)據(jù)方差 S(1)：34.73550857(8)殘差的均值avg(E)：0.18156412(9)殘差的方差 S(2)：6.35189717(10)后驗(yàn)差比值 C：0.18286467(11)小誤差概率 P：1.00000000預(yù)測(cè)精度等級(jí)： 好！ 這表明：在油價(jià)升高的時(shí)候，純電動(dòng)汽車的市場(chǎng)份額會(huì)增大。對(duì)于混合動(dòng)力汽車和油價(jià)關(guān)系：(1)dx/dt+ax=u：a=-0.14401015，u=84.47278810(2)時(shí)間響應(yīng)方程： X(k+1)=669.5752*exp(0.1440k)-586.5752(3)殘差 E(k)：(1)0.00000000 (2) -8.7144

21、1263 (3) 10.22065739 (4) 2.66733676 (5) -3.75981586 (6) 0.49405494 (4)第一次累加值:(1)10.600000 (2)23.80000 (3)37.470000 (4)52.98000 (5)69.260000 (6)86.360000 (5)相對(duì)殘差e(k)：(1)0.00000000 (2)-0.09173066 (3)0.07862044 (4)0.01891728 (5)-0.02410138 (6) 0.00267057 (6)原數(shù)據(jù)均值avg(x)：131.66666667(7)原數(shù)據(jù)方差 S(1)：34.7355

22、0857(8)殘差的均值avg(E)：0.18156412(9)殘差的方差 S(2)：6.35189717(10)后驗(yàn)差比值 C：0.18286467(11)小誤差概率 P：1.00000000預(yù)測(cè)精度等級(jí)： 好！ 這表明：在油價(jià)發(fā)生變化的時(shí)候，對(duì)于混合動(dòng)力的汽車的市場(chǎng)份額影響不大，只是使其市場(chǎng)份額稍有上升。六、模型的檢驗(yàn)通過上面的程序輸出數(shù)據(jù)可以看出當(dāng)油價(jià)上升的時(shí)候，與之對(duì)應(yīng)的三類汽車的市場(chǎng)份額變化為：傳統(tǒng)汽車的市場(chǎng)份額減小，純電動(dòng)汽車的市場(chǎng)份額增大，混合動(dòng)力汽車的市場(chǎng)份額略有減小。 通過觀察程序得出的結(jié)果，參考生活中的實(shí)際情況，可以看出，分析建模的結(jié)果與實(shí)際是非常接近的。另外通過改變適當(dāng)?shù)?/p>

23、量也可以做出類似的檢驗(yàn)，均符合現(xiàn)實(shí)。七、模型的優(yōu)缺點(diǎn)分析優(yōu)點(diǎn)（1）模型結(jié)構(gòu)清晰，層次分明，數(shù)學(xué)表達(dá)式含義直觀，明確，易懂。（2）從問題出發(fā)，分析了應(yīng)該考慮到的各種情況，建立了一般的數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行了實(shí)例驗(yàn)證，從而證明我們建立的數(shù)學(xué)模型可以較好地解決實(shí)際問題。（3）本模型與實(shí)際緊密聯(lián)系，具有廣泛的應(yīng)用性，對(duì)每一種情況都可以通過模型求解。缺點(diǎn)（1）模型為了使計(jì)算簡(jiǎn)單，使所得的結(jié)果更理想化，忽略了一些次要因素。（2）本模型中，某些參數(shù)僅是根據(jù)相關(guān)學(xué)術(shù)機(jī)構(gòu)市場(chǎng)調(diào)查和新聞報(bào)道給出的數(shù)據(jù)求解得出，與實(shí)際情況可能有一點(diǎn)偏差。八、模型的推廣與改進(jìn)模型的改進(jìn) 此模型在處理本問題的時(shí)候，為了使計(jì)算更加簡(jiǎn)潔，選擇性忽略掉一些現(xiàn)實(shí)中的限制條件，因此在改進(jìn)的時(shí)候，可以把現(xiàn)實(shí)中的限制條件適當(dāng)考慮，比如不同的司機(jī)開車習(xí)慣不一樣，不同的路況耗油不同等等，這樣模型就可以更好更準(zhǔn)確地解決現(xiàn)實(shí)中的問題了。模型的推廣我們所建立的這個(gè)模型主要是為了解決三類汽車使用成本和三類汽車所占市場(chǎng)份額的問題，并且該模型可以推廣到傳統(tǒng)能源和清潔能源的合理開發(fā)問題以及摩托車、電視機(jī)、空調(diào)等的市場(chǎng)分析的問題種去。另外，