八年級一次函數(shù)分段函數(shù)經(jīng)典講解

1、認(rèn)清分段函數(shù) , 解決收費(fèi)問題定義：一般地，如果有實(shí)數(shù) a1，a2，a3k1,k, 2k3b1,b 2, b3且 a1a2a3函數(shù) Y 與自變量 X 之間存在k x+b1x a11y =k x+b2a xa2的函數(shù)解析式，則稱該函數(shù)解析式為X 的分21段函數(shù)。K x+b3a2x a33 應(yīng)該指出:( 一),函數(shù) 解 析 式 這 個整 體 只 是 一 個 函 數(shù) , 并 非 是 Y=KX+b11Y=KX+b 等幾個不同函數(shù)的簡單組合 , 而 k x+b1,k x+b 是函數(shù) Y 的幾種不同的表22122這個整體只是一個函數(shù)，不能認(rèn)為達(dá)式. 。所以上例中 Y=它是兩個不同的函數(shù)，只能說 110X和

2、 110×80%X是同一函數(shù)中的自變量 X在兩種不同取值范圍內(nèi)的不同表達(dá)式。( 二),由于k1,k2,k 3b1,b 2,b 3是實(shí)數(shù), 所以函數(shù)Y 在X 的某個范圍內(nèi)的特殊函數(shù), 如正比例函數(shù)和常數(shù)函數(shù)。( 三 ), 由于問題的不同，當(dāng)然分段函數(shù)也可能在自變量某范圍內(nèi)不是一次函數(shù)而是其他形式的函數(shù)，在這里我們不予討論。( 四 ),一次函數(shù)的分段函數(shù)是簡單的分段函數(shù)。分段函數(shù)應(yīng)用題分段函數(shù)是指自變量在不同的取值范圍內(nèi)，其關(guān)系式（或圖象）也不同的函數(shù)，分段函數(shù)的應(yīng)用題多設(shè)計(jì)成兩種情況以上， 解答時需分段討論。 在現(xiàn)實(shí)生活中存在著很多需分段計(jì)費(fèi)的實(shí)際問題， 因此，分段計(jì)算的應(yīng)用題成了近幾

3、年中考應(yīng)用題的一種重要題型。收費(fèi)問題與我們的生活息息相關(guān), 如水費(fèi)問題、電費(fèi)問題、話費(fèi)問題等，這些收費(fèi)問題往往根據(jù)不同的用量，采用不同的收費(fèi)方式.以收費(fèi)為題材的數(shù)學(xué)問題多以分段函數(shù)的形式出現(xiàn)在中考試題中，下面請看幾例.一、話費(fèi)中的分段函數(shù)例 1 （四川廣元） 某移動公司采用分段計(jì)費(fèi)的方法來計(jì)算話費(fèi)，與相應(yīng)話費(fèi)y （元）之間的函數(shù)圖象如圖1 所示：月通話時間x（分鐘）（）月通話為100 分鐘時，應(yīng)交話費(fèi)元；（）當(dāng)x 100 時，求 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式；（ 3）月通話為280 分鐘時，應(yīng)交話費(fèi)多少元？圖 1分析：本題是一道和話費(fèi)有關(guān)的分段函數(shù)問題，通過圖象可觀察到，在分鐘之間月話費(fèi)y(元

4、 )是月通話時間x(分鐘 )的正比例函數(shù),當(dāng) x 100 時 ,是月通話時間x(分鐘 )的一次函數(shù) .0到100月話費(fèi) y(元 )解：（ 1）觀察圖象可知月通話為100 分鐘時，應(yīng)交話費(fèi)（ 2）設(shè) y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b由圖上知： x=100 時 ,y=40 ； x=200 時 ,時， y=6040 元；40100kbk15則有200k,解之得60bb20所求函數(shù)關(guān)系式為 y1 x20 .51（3）把 x=280 代入關(guān)系式 y20 ,得 y1x280 20 7655即月通話為280 分鐘時，應(yīng)交話費(fèi)76 元二、水費(fèi)中的分段函數(shù)例 2（廣東） 某自來水公司為了鼓勵居民節(jié)約用

5、水，采取了按月用水量分段收費(fèi)辦法，某戶居民應(yīng)交水費(fèi)y(元 )與用水量x(噸 )的函數(shù)關(guān)系如圖2.(1) 分別寫出當(dāng) 0 x 15 和 x 15 時 ,y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式 ;(2)若某戶該月用水21 噸 ,則應(yīng)交水費(fèi)多少元?分析 :本題是一道與收水費(fèi)有關(guān)的分段函數(shù)問題.觀察圖象可知 , 0 x 15 時 y 是的正比例函數(shù) ; x15時 ,y 是 x 的一次函數(shù) .x279解 : (1) 當(dāng) 0 x 15 時 ,設(shè) y=kx,把 x=15,y=27 代入 ,得 27=15k,所以 k=,所以9155時 ,設(shè) y=ax+b,將 x=15,y=27和y= x;當(dāng) x 155x=20,y=39.

6、5 代入 ,得15ab27,20ab39.5解得 a=2.5,b=-10.5所以 y=2.5x-10.5圖 2(2) 當(dāng)該用戶該月用21 噸水時 ,三、電費(fèi)中分段函數(shù)例 3 ( 廣東 )今年以來，廣東大部分地區(qū)的電力緊缺，電力公司為鼓勵市民節(jié)約用電，采取按月用電量分段收費(fèi)辦法，若某戶居民每月應(yīng)交電費(fèi)y（元）與用電量x（度）的函數(shù)圖象是一條折線（如圖3 所示），根據(jù)圖象解下列問題：（ 1）分別寫出當(dāng) 0 x 100 和 x 100 時， y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式；（ 2）利用函數(shù)關(guān)系式，說明電力公司采取的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)；（ 3）若該用戶某月用電62 度，則應(yīng)繳費(fèi)多少元？若該用戶某月繳費(fèi)105 元時，則

7、該用戶該月用了多少度電？圖 3分析 :從函數(shù)圖象上看圖象分為兩段,當(dāng) 0 x 100 時 ,電費(fèi) y 是電量 x 的正比例函數(shù) ,當(dāng) x 100 時 ,y 是 x 的一次函數(shù) ,且函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(100,65)和 (130,89), 設(shè)出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式 ,將點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可確定函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)函數(shù)關(guān)系式可解決問題.解 : (1) 設(shè)當(dāng)0 x 100 時 ,函數(shù)關(guān)系式為y=kx,將 x=100,y=65 代入 ,得 k=0.65,所以y=0.65x;設(shè)當(dāng) x 100 時,函數(shù)關(guān)系式為y=ax+b,將 x=100,y=65 和 x=130,y=89 代入 ,得100ab65,解得 a=0.8,b

8、=-15. 所以 y=0.8x-15130ab89.綜上可得 y0.65x(0 x 100)0.8x15( x 100)(2)用戶月用電量在 0度到 100 度之間時 ,每度電的收費(fèi)的標(biāo)準(zhǔn)是0.65 元 ;超出 100 度時,每度電的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是0.80 元.(3)用戶月用電62 度時 ,用戶應(yīng)繳費(fèi) 40.3 元 ,若用戶月繳費(fèi)105 元時 ,該戶該月用了 150度電 .談?wù)勚锌贾械姆侄魏瘮?shù)分段函數(shù)，是近幾年中考數(shù)學(xué)中經(jīng)常遇到的題型。它是考查分類思想，讀取、搜集、處理圖像信息等綜合能力的綜合題。這些分段函數(shù)都是直線型。通常是正比例函數(shù)的圖像和一次函數(shù)的圖像構(gòu)成。 下面我們歸納分析如下， 供學(xué)習(xí)時

9、參考。1、二段型分段函數(shù)1.1 正比例函數(shù)與一次函數(shù)構(gòu)成的分段函數(shù)解答這類分段函數(shù)問題的關(guān)鍵, 就是分別確定好正比例函數(shù)的解析式和一次函數(shù)的解析式。例 1 某家庭裝修房屋，由甲、乙兩個裝修公司合作完成，選由甲裝修公司單獨(dú)裝修3天，剩下的工作由甲、乙兩個裝修公司合作完成工程進(jìn)度滿足如圖1 所示的函數(shù)關(guān)系，該家庭共支付工資8000 元（ 1）完成此房屋裝修共需多少天？（ 2）若按完成工作量的多少支付工資，甲裝修公司應(yīng)得多少元？解析：設(shè)正比例函數(shù)的解析式為：y=k 1x，因?yàn)閳D象經(jīng)過點(diǎn)（3， 1 ），所以，144= k 1× 3，所以 k1= 1 ，所以 y= 1 x， 0 x 31212

10、設(shè)一次函數(shù)的解析式（合作部分）是y=k2x+b，（ k0，k ，b是常數(shù)）因?yàn)閳D象經(jīng)過點(diǎn)（3， 1 ），（ 5， 1 ），所以，42k 231b1 ,b1由待定系數(shù)法得：4 ，解得： k2k 25188b2一次函數(shù)的表達(dá)式為11，所以，當(dāng) y1時， 1x11 ，解得 x 9yx8888完成此房屋裝修共需9 天。方法 2解：由正比例函數(shù)解析式可知：甲的效率是1 ，乙工作的效率：1111281224甲、乙合作的天數(shù)：3116（天）41224甲先工作了 3 天， 完成此房屋裝修共需9 天（2）由正比例函數(shù)的解析式：1，可知：甲的工作效率是1，y=x1212所以，甲 9 天完成的工作量是：913 ，124甲得到的工資是：380006000 （元）4評析：在這里未知數(shù)的系數(shù)的