全國(guó)考研數(shù)學(xué)三真題

1、2017 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試真題試卷數(shù)學(xué)三試題一、選擇題 :1 8 小題每小題 4 分，共 32 分1若函數(shù) f ( x)1cosx, x0 在 x 0 處連續(xù)，則axb,x0（ A）ab1（ ）ab1（ ）ab 0（ ）2B2CD ab 22二元函數(shù) zxy(3xy) 的極值點(diǎn)是（）（ A） (0,0)（B） (0, 3)（C） (3, 0)（D） (1,1)3設(shè)函數(shù) f ( x) 是可導(dǎo)函數(shù)，且滿足 f ( x) f (x)0 ，則（ A） f (1)f (1)（B） f (1)f ( 1)（ C） f (1)f ( 1)（D） f (1)f (1)4 若級(jí)數(shù)1k ln(11收斂

2、，則 k（）sin)n 2nn（A） 1（B） 2（C） 1（D） 25設(shè)為 n 單位列向量， E 為 n 階單位矩陣，則（ A）ET不可逆（ ）T 不可逆BE（ C）E2T不可逆（ ）E 2T不可逆D2002101006已知矩陣 A 021， B020 ， C020 ，則001001002（A） A,C 相似， B,C 相似（B） A, C 相似， B,C 不相似（C） A,C 不相似， B,C 相似（D） A,C 不相似， B,C 不相似7設(shè) A, B ， C 是三個(gè)隨機(jī)事件，且A,C 相互獨(dú)立， B, C 相互獨(dú)立，則 A U B 與 C 相互獨(dú)立的充分必要條件是（）精選文庫(kù)（ A） A

3、, B 相互獨(dú)立（B） A, B 互不相容（C） AB, C 相互獨(dú)立（D） AB,C 互不相容8設(shè) X1 , X 2 ,L , X n (n2) 為來(lái)自正態(tài)總體 N ( ,1) 的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，若1 nXi ，則Xn i1下列結(jié)論中不正確的是（）n)2 服從2 分布22 分布（ A）( Xi（B） 2 XnX1 服從i1nX)2服從 2分布) 2服從2 分布（ C）( Xi（ D） n( Xi1二、填空題（本題共6 小題，每小題4 分，滿分 24 分.把答案填在題中橫線上）9(sin 3 x2x2 ) dx10差分方程 yt 12 yt2t 的通解為11設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的平均成本C (Q )1e

4、 Q ，其中產(chǎn)量為 Q ，則邊際成本為.12設(shè)函數(shù)f ( x, y) 具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且已知df ( x, y)yeydxx(1y) ey dy ，f (0,0)0 ，則 f ( x, y)10113設(shè)矩陣 A 112， 1 ,2 , 3 為線性無(wú)關(guān)的三維列向量，則向量組 A 1, A 2, A 3011的秩為14設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率分布為 P X21，PX 1a ，P X 3b ，若 EX0 ，2則 DX-2精選文庫(kù)三、解答題15（本題滿分 10 分）x求極限 limx tet dt03x 0x16（本題滿分 10 分）計(jì)算積分y32 dxdy ，其中 D 是第一象限中以曲線 yx

5、與 x 軸為邊界的無(wú)界x24)D (1y區(qū)域17（本題滿分 10 分）求 limnk2 ln 1knk1 nn-3精選文庫(kù)18（本題滿分 10 分）已知方程11內(nèi)有實(shí)根，確定常數(shù) k 的取值范圍ln(1 x)k 在區(qū)間 (0,1)x-4精選文庫(kù)19（本題滿分 10 分）設(shè) a01,a10, an 11 (nan an 1 )(n 1,2,3 L ), ， S( x) 為冪級(jí)數(shù)an xn 的和函數(shù)n1n 0（ 1）證明an xn 的收斂半徑不小于 1n 0（ 2）證明 (1 x)S (x) xS(x) 0( x ( 1,1) ，并求出和函數(shù)的表達(dá)式-5精選文庫(kù)20（本題滿分 11 分）設(shè)三階矩陣

6、 A1 ,2 , 3 有三個(gè)不同的特征值，且 3 1 2 2 .（ 1）證明： r ( A)2；（2）若12 ,3 ，求方程組 Ax的通解21（本題滿分 11 分）設(shè)二次型f ( x1 , x2 , x3 )2x12x22ax322x1x28x1x32x2x3 在正交變換xQy 下的標(biāo)準(zhǔn)形為1 y122 y22 ，求 a 的值及一個(gè)正交矩陣 Q -6精選文庫(kù)22（本題滿分 11 分）設(shè)隨機(jī)變量 X , Y 相互獨(dú)立，且 X 的概率分布為 PX0P X21 ，Y 的概率密度22 y,0y1為 f ( y)0,其他（ 1）求概率 P（ Y EY）；（ 2）求 Z X Y 的概率密度-7精選文庫(kù)23

7、（本題滿分 11 分）某工程師為了解一臺(tái)天平的精度，用該天平對(duì)一物體的質(zhì)量做了n 次測(cè)量，該物體的質(zhì)量 是已知的，設(shè) n 次測(cè)量結(jié)果 X1, X2 ,L , X n 相互獨(dú)立且均服從正態(tài)分布N( , 2).該工程師記錄的是n次測(cè)量的絕對(duì)誤差,(1,2, , ) ，利用估計(jì)參數(shù)ZiX iiL nZ1, Z2,L , Zn（ 1）求 Zi 的概率密度；（ 2）利用一階矩求 的矩估計(jì)量；（ 3）求參數(shù) 最大似然估計(jì)量-8精選文庫(kù)2017 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試真題試卷數(shù)學(xué)三試題答案一、選擇題 :1 8 小題每小題4 分，共 32 分1cosx1 x1 ， lim1解： lim f ( x)li

8、mlim2f ( x)b f (0) ，要使函數(shù)在 x 0x 0x 0axx 0 ax2ax 0處連續(xù)，必須滿足1bab1 所以應(yīng)該選（ A）2a22解： zy(3xy)xy3y 2xyy2 ， z3xx22xy ，xy2 z2 y,2 z2x,2 z2 z2xx2y2xyy3xz3y 2xy y20解方程組x，得四個(gè)駐點(diǎn) 對(duì)每個(gè)駐點(diǎn)驗(yàn)證 ACB2 ，發(fā)現(xiàn)只有在點(diǎn)z3xx22xy0y(1,1) 處滿足 ACB230，且AC20 ，所以 (1,1) 為函數(shù)的極大值點(diǎn)，所以應(yīng)該選（ D）3解：設(shè) g(x)( f ( x)2 ，則 g ( x)2 f ( x) f2是單調(diào)增加函數(shù)也(x) 0 ，也就

9、是 f ( x)就得到 f (1)2f (1)2f ( 1) ，所以應(yīng)該選（ C）f (1)4111211 k 11解： ivn時(shí)k1 1 1(1sin nk ln(1 n )nn2 no n2k) n2 n2 on2顯然當(dāng)且僅當(dāng) (1k)0，也就是 k1 時(shí)，級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)是關(guān)于1 的二階無(wú)窮小，級(jí)數(shù)n收斂，從而選擇（ C）5解：矩陣T 的特征值為 1和 n1個(gè)0，從而 ET , ET,E 2T,E 2T 的特征值分別為 0,1,1,L 1； 2,1,1,L ,1 ；1,1,1,L ,1 ； 3,1,1,L,1 顯然只有 ET 存在零特征值，所以不可逆，應(yīng)該選（ A）-9精選文庫(kù)6解：矩陣 A

10、, B 的特征值都是12 2,31是否可對(duì)解化，只需要關(guān)心2 的情況000對(duì)于矩陣 A ， 2EA001，秩等于1 ，也就是矩陣 A 屬于特征值2 存在兩001個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，也就是可以對(duì)角化，也就是AC010對(duì)于矩陣 B ， 2EB000，秩等于2 ，也就是矩陣 A 屬于特征值2 只有一001個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，也就是不可以對(duì)角化，當(dāng)然B, C 不相似故選擇（ B）7解：P(AU B)C) P(ACAB )P(AC)P( BC)P( ABC )P( A) P(C) P( B)P(C)P( ABC )P(A U B) P(C)(P( A)P(B)P( AB ) P(C)P(A) P(C

11、)P( B)P(C ) P(AB) P(C )顯然， A U B與 C 相互獨(dú)立的充分必要條件是P( ABC)P( AB)P(C) ，所以選擇（ C ）8解 ：（ 1 ） 顯 然 ( X i) N (0,1)( X i) 22 (1),i 1,2, Ln 且 相 互 獨(dú) 立 ， 所 以n)22 (n) 分布，也就是（ A）結(jié)論是正確的；( Xi服從i 1n22(n22（ 2）( XiX )(n1)S1)S(n1)，所以（ C）結(jié)論也是正確的；2i1（ 3）注意1n( X) N (0,1)n( X22）結(jié)論也是XN( , )(1) ，所以（ Dn正確的；（ 4）對(duì)于選項(xiàng)（ B）： ( XnX1)

12、 N (0,2)X nX1 N (0,1)1 ( X n X1 )2 2 (1)，所22以（ B）結(jié)論是錯(cuò)誤的，應(yīng)該選擇（B）-10精選文庫(kù)二、填空題（本題共6 小題，每小題4 分，滿分 24 分.把答案填在題中橫線上）(sin 3 x2x2 )dx2x2 dx39解：由對(duì)稱性知20210解：齊次差分方程 yt 12 yt0 的通解為 yC 2x ；設(shè) yt 1 2 yt 2t 的特解為 ytat 2t，代入方程，得 a1 ；12所以差分方程 yt12 yt2t 的通解為 yC 2tt 2t.211解：答案為1(1Q) e Q 平均成本 C(Q)1e Q ，則總成本為 C (Q)QC (Q)Q

13、 Qe Q ，從而邊際成本為C (Q ) 1 (1 Q )e Q .12解： df (x, y)yey dx x(1 y)eydyd( xyey ) ，所以 f (x, y)xyeyC ，由 f (0,0)0 ，得 C 0 ，所以 f (x, y)xyey 10110110113解：對(duì)矩陣進(jìn)行初等變換A112011011 ，知矩陣 A 的秩011011000為 2，由于 1,2 ,3 為線性無(wú)關(guān)，所以向量組 A1, A2, A 3的秩為 214解：顯然由概率分布的性質(zhì)，知a b112111EXa3 b a 3b 10 ，解得 a21,b429，DX EX29 4EX 22 a 9bE2(X )

14、22三、解答題15（本題滿分 10 分）解：令 x tu ，則 txu , dtdu ，xte t dtxuex u du0x0xtxxuxuxxte dteueduueduxe2limlim0lim00limx 0x3x 0x3x 0x3x 03x3216（本題滿分 10 分）-11精選文庫(kù)解：y3xy3y4 ) 2 dxdydxy4 )2 dyD (1 x200 (1 x21xd (1x2y4 )4 0dx(1x2y4 )20111dx124 01 x21 2x28217（本題滿分 10 分）解：由定積分的定義nklnklim1 nklim21ln 1n1 nnnn k 1nk11x)dx

15、22ln(10k1nx ln(1 x)dx01418（本題滿分 10 分）解：設(shè)f ( x)11(0,1)，則ln(1x), xxf (x)11(1x) ln 2 (1 x)x2(1x) ln 2 (1x)x2x2 (1x) ln 2 (1x)令 g (x)(1x)ln 2 (1x)x2 ，則 g(0)0, g(1)2ln 2 21g (x)ln 2 (1x)2ln(1x)2x, g (0)0g (x)2(ln(1x)x)0, x(0,1) ，所以 g ( x) 在 (0,1)上單調(diào)減少，1x由于 g(0)0，所以當(dāng) x (0,1)時(shí)， g (x) g0)0 ，也就是 g( x) g ( x)

16、 在 (0,1) 上單調(diào)減少，當(dāng)x (0,1) 時(shí)， g( x)g(0)0 ，進(jìn)一步得到當(dāng)x (0,1) 時(shí)， f (x)0 ，也就是 f (x) 在(0,1) 上單調(diào)減少limf ( x)lim11limxln(1x)1， f (1)11，也就是得到x 0x 0ln(1 x)xx 0x ln(1 x)2ln 211 k1 ln 2219（本題滿分 10 分）解：（1）由條件 an 11an 1 )(n1)an 1nan an 1(nann1-12精選文庫(kù)也就得到 (n1)(an 1an )( anan1 ) ，也就得到 an 1an1, n 1,2,Lanan 1n 1an 1anan 1a

17、nanan 1La2a1( 1)n1a1a0anan 1an 1an 2a1a0(n 1)!也就得到 an1an(1)n 11, n1,2,L(n1)!n( 1)k 1 1an 1(an 1an ) (anan 1 ) L(a2a1) a1k2k!lim n ann111n1limLlime 1，所以收斂半徑 Rnn2!3!n!n（ 2）所以對(duì)于冪級(jí)數(shù)an xn， 由和函數(shù)的性質(zhì)，可得 S ( x)nan xn 1 ，所以n0n 1(1x)S ( x)(1x)nan xn1nan xn 1nan xnn 1n 1n 1( n 1)an 1xnnan xnn 0n 1a( n1)a1na ) x

18、n1n 1nnan1 xnan xn1xan xnxS( x)n 1n 0n0也就是有 (1x) S (x)xS( x)0( x( 1,1) 解微分方程 (1x)S ( x)xS( x)0，得 S(x)CexS(0)a01，得C 11，由于x所以 S(x)ex1x20（本題滿分 11 分）解：（1）證明：因?yàn)榫仃囉腥齻€(gè)不同的特征值，所以A 是非零矩陣，也就是r ( A)1假若 r (A)1時(shí)，則 r0 是矩陣的二重特征值，與條件不符合，所以有r (A) 2 ，又因?yàn)?1220 ，也就是 1, 2,3 線性相關(guān)， r ( A) 3 ，也就只有 r ( A)2 （ 2）因?yàn)?r ( A) 2，所以

19、 Ax0 的基礎(chǔ)解系中只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量由于-13精選文庫(kù)1312 20，所以基礎(chǔ)解系為 x2；11又由12 ,3 ，得非齊次方程組 Ax的特解可取為1；111方程組 Ax的通解為 x k21，其中 k 為任意常數(shù)1121（本題滿分 11 分）214解：二次型矩陣 A11141a因?yàn)槎涡偷臉?biāo)準(zhǔn)形為1 y122 y22 也就說(shuō)明矩陣 A 有零特征值，所以 A0 ，故 a 2.114E A11 1(3)( 6)412令 E A0 得矩陣的特征值為13,26, 30 1通過(guò)分別解方程組 ( i EA) x0 得矩陣的屬于特征值3 的特征向量1，111311111屬于特征值特征值26 的特征向量20， 30的特征向量 32 ，2611111326所以 Q1,2,3102為所求正交矩陣3611132622（本題滿分 11 分）解：（1） EY