第十一章時間序列趨勢預測法

1、 第十一章第十一章 時間序列趨勢預測法時間序列趨勢預測法 n第一節(jié)第一節(jié) 最小二乘法最小二乘法n第二節(jié)第二節(jié) 直線模型預測法直線模型預測法 n第三節(jié)第三節(jié) 多項式曲線模型預測法多項式曲線模型預測法n第四節(jié)第四節(jié) 指數(shù)曲線模型預測法指數(shù)曲線模型預測法n第五節(jié)第五節(jié) 修正指數(shù)曲線模型預測法修正指數(shù)曲線模型預測法n第六節(jié)第六節(jié) 成長曲線預測模型成長曲線預測模型97-2概念概念97-3概念概念97-4概念概念n應用趨勢預測法有兩個假設前提：應用趨勢預測法有兩個假設前提：n（1）決定過去預測目標發(fā)展的因素，在很）決定過去預測目標發(fā)展的因素，在很大程度上仍將決定其未來的發(fā)展；大程度上仍將決定其未來的發(fā)展；

2、n（2）預測目標發(fā)展過程一般是漸進變化，）預測目標發(fā)展過程一般是漸進變化，而不是跳躍式變化。而不是跳躍式變化。 常見的趨勢線常見的趨勢線直線直線btay指數(shù)曲線指數(shù)曲線taby 二次曲線二次曲線2ctbtay三次曲線三次曲線32dtctbtay修正指數(shù)曲線修正指數(shù)曲線tabky龔柏茲曲線龔柏茲曲線tbkay 簡易平均法，是將一定觀察期內預測目標的時間序列的各期數(shù)據(jù)加總后進行簡單平均，以其平均數(shù)作為預測期的預測值。此法適用于靜態(tài)情況的預測。這類預測方法是預測技術中比較簡易的方法。它個僅易懂、計算方便，而且也容易掌握。常用的簡易平均法有算術平均法、加權平均法和幾何平均法。一、算術平均法一、算術平均

3、法算術平均法，就是以觀察期數(shù)據(jù)之和除以算術平均法，就是以觀察期數(shù)據(jù)之和除以求和時使用的數(shù)據(jù)個數(shù)求和時使用的數(shù)據(jù)個數(shù)(或資料期數(shù)或資料期數(shù))，求得，求得平均數(shù)。平均數(shù)。資料數(shù)或期限為資料編號；觀察期的資料，平均數(shù)；niiixxnxx式中：式中：運用算術平均法求平均數(shù)，有兩種形式：運用算術平均法求平均數(shù)，有兩種形式：（1 1）以最后一年的每月平均值，或數(shù)年的每月平以最后一年的每月平均值，或數(shù)年的每月平均值，作為次年的每月預測值。均值，作為次年的每月預測值。 如果通過數(shù)年的時間序列顯示，觀察期資料并無顯著如果通過數(shù)年的時間序列顯示，觀察期資料并無顯著的長期升降趨勢變動和季節(jié)變動時，就可以采用此方法。

4、的長期升降趨勢變動和季節(jié)變動時，就可以采用此方法。 (2)(2)以觀察期的每月平均值作為預測期對應月份以觀察期的每月平均值作為預測期對應月份的預測值。的預測值。 當時間序列資料在年度內變動顯著，或呈季節(jié)性變化當時間序列資料在年度內變動顯著，或呈季節(jié)性變化時，如果用上一種方法求得預測值，其精確度難以保證。時，如果用上一種方法求得預測值，其精確度難以保證。例：例：假設某商品最近四年的每月銷售量如表假設某商品最近四年的每月銷售量如表5.15.1所示，所示，在在95%95%的可靠程度下的可靠程度下, ,預測預測20082008年的每月年的每月銷售量。銷售量。 如果以如果以20072007年的每月平均值

5、作為年的每月平均值作為20082008年的每年的每月預測值；月預測值；如果以如果以2004200420072007年的月平均值作為年的月平均值作為20082008年年的月預測值。的月預測值。月月 年年200420042005200520062006200720071 13283302983352 23313243173213 33603483283464 43183603303635 53243273233296 62943423483277 73423603423688 83483573513509 9357321318341101032129733631211113303183543271

6、212348354358351年合計年合計4001403840034070月平均月平均333.4336.5333.7339.2表表5.1 5.1 某商品年銷售額及平均值某商品年銷售額及平均值 單位：單位：v 首先，用下列公式估計出預測標準差。首先，用下列公式估計出預測標準差。觀察期數(shù)預測值（平均數(shù)）實際值標準差）（nxxSnxxSixix12式中：式中：v 然后，計算某種可靠程度要求時的預測區(qū)間。然后，計算某種可靠程度要求時的預測區(qū)間。xtSx 以以20072007年的月平均值年的月平均值339.2339.2千元作為千元作為20082008年年的每月預測值，標準差為：的每月預測值，標準差為：0

7、3.171168.31911121ASx 在在95%95%的可靠程度下，的可靠程度下，20082008年每月預測區(qū)年每月預測區(qū)間為間為339.2339.21.1.9696x17.03x17.03，即即305.8305.8375.52375.52千千元之間。元之間。以四年的每月平均值以四年的每月平均值335.7335.7干元作為干元作為20082008年的年的每月預測值，標準差為：每月預測值，標準差為：78. 2141BSx18.237 .3352 .3397 .3357 .3337 .3355 .3367 .3354 .3332222）（）（）（）（B 在在9595的可靠程度下，的可靠程度下，

8、20082008年每年每月預測值區(qū)間為月預測值區(qū)間為335.7335.7土土1.961.96x2.78x2.78，即在即在330.25330.25341.15341.15千元之間。千元之間。 可以看出，選擇觀察期的長短不同，預測值可以看出，選擇觀察期的長短不同，預測值也隨之不同。所得預測值和實際銷售值之間有差也隨之不同。所得預測值和實際銷售值之間有差異。如果差異過大就會使預測值失去意義，所以，異。如果差異過大就會使預測值失去意義，所以，必須確定合理的誤差。必須確定合理的誤差。 用最小二乘法用最小二乘法擬合直線趨勢方程擬合直線趨勢方程n最小平方法，又稱最小二乘法。其方法最小平方法，又稱最小二乘法

9、。其方法的計算依據(jù)是利用算術平均數(shù)的數(shù)學性質，的計算依據(jù)是利用算術平均數(shù)的數(shù)學性質，兩條性質分別是：兩條性質分別是：n1、各個變量值與平均數(shù)的離差之和等于零，、各個變量值與平均數(shù)的離差之和等于零，用表達式表示即；用表達式表示即；n2、各個變量值與平均數(shù)的離差平方之和為、各個變量值與平均數(shù)的離差平方之和為最小值。最小值。n最小平方法的數(shù)學依據(jù)是實際值最小平方法的數(shù)學依據(jù)是實際值(觀察值觀察值)與與理論值理論值(趨勢值趨勢值)的離差平方和為最小。據(jù)此的離差平方和為最小。據(jù)此來擬合回歸方程或趨勢方程。來擬合回歸方程或趨勢方程。最小二乘法介紹最小二乘法介紹n這兩條數(shù)學性質已證明過，我們把它們這兩條數(shù)學

10、性質已證明過，我們把它們應用到回歸分析和趨勢預測中來。回歸分析應用到回歸分析和趨勢預測中來。回歸分析和時間序列趨勢預測中，主要是為求得回歸和時間序列趨勢預測中，主要是為求得回歸方程或趨勢方程，但在求得方程的參數(shù)時，方程或趨勢方程，但在求得方程的參數(shù)時，就要用到上面的兩條數(shù)學性質。就要用到上面的兩條數(shù)學性質。n a , b 估計參數(shù)的確定估計參數(shù)的確定a , b 估計參數(shù)的確定估計參數(shù)的確定參見教材參見教材p233 直線模型預測法直線模型預測法n 在時間序列分析中，我們常常利用最小在時間序列分析中，我們常常利用最小平方法擬合直線趨勢方程，直線趨勢方程與平方法擬合直線趨勢方程，直線趨勢方程與直線回

11、歸方程基本原理相同，只是直線回歸直線回歸方程基本原理相同，只是直線回歸方程中的自變量方程中的自變量x被時間變量被時間變量t所取代，方程所取代，方程中的兩個待定系數(shù)也用同樣的方法求得。中的兩個待定系數(shù)也用同樣的方法求得。n如果時間數(shù)列的一階增長量（差分值）如果時間數(shù)列的一階增長量（差分值）大致相等，則可擬合直線趨勢方程。大致相等，則可擬合直線趨勢方程。 第二節(jié)約第二節(jié)約直線模型預測法直線模型預測法n直線預測模型為：直線預測模型為：n直線預測模型的特點，是一階差分為一常數(shù)：直線預測模型的特點，是一階差分為一常數(shù)：btaytbyyyttt1教材教材p234公式公式直線趨勢方程的簡捷計算形式直線趨勢方

12、程的簡捷計算形式n如果時間序列有偶數(shù)項，則對稱編號方如果時間序列有偶數(shù)項，則對稱編號方式：式：，-5，-3，-1，1，3，5，n如果時間序列有奇數(shù)項，則對稱編號方如果時間序列有奇數(shù)項，則對稱編號方式：式：，-2，-1，0，1，2， 例題：已知某商店1991年1998年某一種商品銷售量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表，試預測1999年該商品銷售量。年份年份19911992199319941995199619971998銷售銷售量量248253257260266270279285第一步，分析觀察期數(shù)據(jù)長期變動趨勢，畫數(shù)據(jù)點的散布圖根據(jù)圖，我們可以觀察出其長期趨勢基本上呈直線趨勢，它的根據(jù)圖，我們可以觀察出其長期趨勢

13、基本上呈直線趨勢，它的預測模型為預測模型為Y=a+btY=a+bt第二步，根據(jù)已知的第二步，根據(jù)已知的y y和和t t來求來求a a和和b b年度年度序號序號 t銷售量銷售量Y t2 t*Y19911992199319941995199619971998-7-5-3-11357248253257260266270279285492591192549-1736-1265-771-26026681013951995合計合計t=0Y=2118 t2=168tY=434 a=Y/n=2118/8=264.75a=Y/n=2118/8=264.75 b=tY/tb=tY/t2 2 =434/168=2.

14、58 =434/168=2.58 第三步，利用預測模型進行預測值的計算第三步，利用預測模型進行預測值的計算 Y=a+bt=264.75+2.58tY=a+bt=264.75+2.58t 19991999年的數(shù)據(jù)序號為年的數(shù)據(jù)序號為t=9t=9則則Y Y19991999=264.75+2.58=264.75+2.589=2889=288例例2 某市某市20012009年化纖零售量如表所示，年化纖零售量如表所示，試預測試預測2010年化纖零售量。年化纖零售量。 n某市化纖零售量及其一階差分某市化纖零售量及其一階差分 單位：萬米單位：萬米n解：解：1、選擇預測模型、選擇預測模型 計算序列的一階差分，

15、列于表中，從計算結果計算序列的一階差分，列于表中，從計算結果可以看出，一階差分大體接近。因此，可配合直線可以看出，一階差分大體接近。因此，可配合直線預測模型來預測。預測模型來預測。n2、建立直線預測模型、建立直線預測模型 根據(jù)資料列表計算有關數(shù)據(jù)。根據(jù)資料列表計算有關數(shù)據(jù)。年份年份200120022003200420052006200720082009零售量零售量265297333370405443474508541一階差分一階差分 3236373538313433某市化纖零售量直線預測模型最小平方法計算表某市化纖零售量直線預測模型最小平方法計算表 tty2tty ttyy2)(ttyy ty

16、年份年份t2001-4265-106016264.520.480.23042002-3297-8919299.39-2.395.71212003-2333-6664334.26-1.261.58762004-1370-3701369.130.870.75692005040500404.0011200614434431438.874.1317.0569200724749484473.740.260.06762008350815249508.61-0.610.372120094541216416543.48-2.486.1504總和總和03636209260363632.93487.3460209

17、240493636ban所求直線預測模型為：所求直線預測模型為：n3、預測、預測n以以 代入預測模型，則可預測代入預測模型，則可預測2010年化纖年化纖零售量為：零售量為：tyt87.3440450t)(35.578587.344041987萬米y直線趨勢延伸法的特點直線趨勢延伸法的特點 （1 1）直線趨勢預測法僅適用于預測目標時間序列）直線趨勢預測法僅適用于預測目標時間序列呈現(xiàn)直線長期趨勢變動情況。呈現(xiàn)直線長期趨勢變動情況。 （2 2）它對時間序列資料一律同等看待，在擬合中）它對時間序列資料一律同等看待，在擬合中消除了季節(jié)、不規(guī)則、循環(huán)三類變動因素的影響消除了季節(jié)、不規(guī)則、循環(huán)三類變動因素的

18、影響 （3 3）反映時間序列資料長期趨勢的平均變動水平。）反映時間序列資料長期趨勢的平均變動水平。 （4 4）只要未來發(fā)展趨勢大體上不會發(fā)生大起大落）只要未來發(fā)展趨勢大體上不會發(fā)生大起大落的變化，繼續(xù)遵循直線趨勢發(fā)展變化的假設，那的變化，繼續(xù)遵循直線趨勢發(fā)展變化的假設，那么選用此法進行中長期預測既簡便又有一定的可么選用此法進行中長期預測既簡便又有一定的可靠性靠性。 時間序列分析與預測時間序列分析與預測 （1）定義）定義1t2t3t4t5t6t7t3321ttt3432ttt3543ttt3654ttt3765ttt新數(shù)列新數(shù)列2t3t4t5t6t時間序列分析與預測時間序列分析與預測（2）移動項

19、數(shù)（時距）的確定）移動項數(shù)（時距）的確定時間序列分析與預測時間序列分析與預測Mt（3）移動平均值用于水平預測）移動平均值用于水平預測NYYYYMYNtttttt/ )(1211Yt+1 下期預測值下期預測值Mt -第第t期一次移動平均值期一次移動平均值N-期數(shù)期數(shù) 一次移動平均預測一次移動平均預測年份年份產(chǎn)量（萬噸）產(chǎn)量（萬噸）2003143720041532200515032006149820071524200815522009154220101632 一次移動平均預測一次移動平均預測 一次移動平均預測一次移動平均預測年份年份產(chǎn)量（萬噸）產(chǎn)量（萬噸）預測值（預測值（N=3N=3）預測值（預測

20、值（N=5N=5）200314372004153220051503144120061498151120071524150814992008155215251522200915421539152420101632157515312011？ （二）二次移動平均法（二）二次移動平均法 簡單移動平均法比較適合預測目標的基本簡單移動平均法比較適合預測目標的基本趨勢是在某一水平上下波動的較平穩(wěn)的情趨勢是在某一水平上下波動的較平穩(wěn)的情況。如果目標發(fā)展趨勢存在趨勢變化，簡況。如果目標發(fā)展趨勢存在趨勢變化，簡單移動平均法就會產(chǎn)生預測偏差和滯后，單移動平均法就會產(chǎn)生預測偏差和滯后，為了解決這個問題，在簡單移動平均

21、的基為了解決這個問題，在簡單移動平均的基礎上再作趨勢移動平均，以求得平滑系數(shù)礎上再作趨勢移動平均，以求得平滑系數(shù)來解決問題，也就是進行二次移動平均。來解決問題，也就是進行二次移動平均。 公式：公式：(1)(1)1211tttt ntt nttY YYYY YMMnn 121(1)(1)(1)(1)(1)(1)(2)(2)1ttt nttt nttMMMMMMMMnn 一次移動平均公式一次移動平均公式二次移動平均公式二次移動平均公式 模型模型 二次移動平均法是以最近實際值的一次移二次移動平均法是以最近實際值的一次移動平均值為起點，以二次移動平均值估計動平均值為起點，以二次移動平均值估計趨勢變化的

22、斜率，建立預測模型趨勢變化的斜率，建立預測模型，即：即：式中：式中：at-預測直線的截距預測直線的截距 bt-預測直線的斜率預測直線的斜率 n-每次移動平均的長度每次移動平均的長度 t-項數(shù)項數(shù) T-距最近實際值的項數(shù)距最近實際值的項數(shù)t TttyabT(1)(2)2tttaMM(1)(2)2()1tttbMMn 例如：某商店例如：某商店19902001年銷售額如下，請預測年銷售額如下，請預測2002年、年、2003年、年、2004年、年、2005年、年、2006年的年的銷售額。銷售額。(n=4) 年年度度90909191929293939494959596969797989899990000

23、0101銷銷售售額額440440481481 513513 510510536536575575 620620 660660711711736736791791825825年度年度銷售額銷售額 n=4n=4一次移動平均一次移動平均二次移動平均二次移動平均 y yt+it+i1990199019911991199219921993199319941994199519951996199619971997199819981999199920002000200120012002200220032003200420042005200544044048148151351351051053653657557

24、5620620660660711711736736791791825825486486510510533.5533.5560.25560.25597.75597.75641.5641.5681.75681.75724.5724.5765.75765.75522.4375522.4375550.375550.375583.25583.25620.3125620.3125661.375661.375703.375703.375869.705869.705911.285911.285952.865952.865994.445994.445 取取t=12 n=4 at=a12=2M12 (1) -M1

25、2 (2) =2765.75-703.375=828.125 bt=b12=2/(n-1) (M12 (1) - M12 (2) ) =2/(4-1) (765.75-7.3.375)=41.58 建立預測模型：建立預測模型：Yt+T=at+btT Yt+1=828.125+41.581=869.705 Yt+2 =828.125+41.582=911.285 Yt+3=828.125+41.583=952.865 Yt+4=828.125+41.584=994.445時間序列指數(shù)平滑預測法時間序列指數(shù)平滑預測法 指數(shù)平滑法是移動平均法的發(fā)展，是一種指數(shù)平滑法是移動平均法的發(fā)展，是一種特殊的加

26、權移動平均法?；驹硎歉鶕?jù)特殊的加權移動平均法?；驹硎歉鶕?jù)確定的平滑系數(shù)，以本期實際值和本期預確定的平滑系數(shù)，以本期實際值和本期預測值確定下一期的預測值的方法。適用于測值確定下一期的預測值的方法。適用于預測呈長期趨勢變動和季節(jié)變動的事物。預測呈長期趨勢變動和季節(jié)變動的事物。它具有連續(xù)運用、不需保存歷史數(shù)據(jù)、計它具有連續(xù)運用、不需保存歷史數(shù)據(jù)、計算方便、更新預測模型簡易等優(yōu)點，所以算方便、更新預測模型簡易等優(yōu)點，所以是一種常用的市場預測方法。實際應用中是一種常用的市場預測方法。實際應用中有一次指數(shù)平滑法和多次指數(shù)平滑法。在有一次指數(shù)平滑法和多次指數(shù)平滑法。在此介紹一次指數(shù)平滑和二次指數(shù)平滑

27、法。此介紹一次指數(shù)平滑和二次指數(shù)平滑法。一、一次指數(shù)平滑法一、一次指數(shù)平滑法 1 1、一次指數(shù)平滑法一次指數(shù)平滑法是指以預測目標的本期是指以預測目標的本期實際值和本期預測值為基數(shù)，分別給二者實際值和本期預測值為基數(shù)，分別給二者以不同的權數(shù)，求出指數(shù)平滑值，作為確以不同的權數(shù)，求出指數(shù)平滑值，作為確定的預測值。適用于預測目標時間序列波定的預測值。適用于預測目標時間序列波動無明顯增加、減少的長期趨勢的場合。動無明顯增加、減少的長期趨勢的場合。2 2、公式：、公式：Y Yt+1t+1=S=St t(1)(1)=Y=Yt t+(1-)S+(1-)St-1t-1(1)(1) 3 3、值的選取值的選取從公

28、式中可以看出平滑系數(shù)從公式中可以看出平滑系數(shù)的大小直接影的大小直接影響預測效果。平滑系數(shù)的選擇可遵循如下響預測效果。平滑系數(shù)的選擇可遵循如下原則：原則：（1 1）時間序列雖有不規(guī)則起伏變動，但整個）時間序列雖有不規(guī)則起伏變動，但整個長期發(fā)展趨勢變化平穩(wěn)，則長期發(fā)展趨勢變化平穩(wěn)，則應取小一點應取小一點（0.050.20.050.2）（2 2）時間序列變化呈階梯式或按固定速度上）時間序列變化呈階梯式或按固定速度上升或下降時，升或下降時，取較大值比如取較大值比如0.30.60.30.6，使近期信息對指數(shù)平滑起重要作用。使近期信息對指數(shù)平滑起重要作用。（3 3）時間序列有緩慢的變化趨向，）時間序列有緩

29、慢的變化趨向，取取0.20.40.20.4。（4 4）資料缺乏時，可以選取不同的）資料缺乏時，可以選取不同的值模擬計算，選取誤差小的值模擬計算，選取誤差小的值值4 4、初始值的確定、初始值的確定從指數(shù)平滑公式不難看出，要計算從指數(shù)平滑公式不難看出，要計算指數(shù)平滑值，首先必須確定一個初指數(shù)平滑值，首先必須確定一個初始值始值S S0 0(1)(1), ,一般情況下可取時間序一般情況下可取時間序列的第一個數(shù)據(jù)或前三個數(shù)據(jù)的平列的第一個數(shù)據(jù)或前三個數(shù)據(jù)的平均值作為初始值。均值作為初始值。 某企業(yè)要進行食鹽銷售量預測，現(xiàn)在有最近連續(xù)某企業(yè)要進行食鹽銷售量預測，現(xiàn)在有最近連續(xù)30個月的個月的歷史資料試用一

30、次指數(shù)平滑法預測以后月份的銷售量歷史資料試用一次指數(shù)平滑法預測以后月份的銷售量。時序時序銷售量銷售量時序時序銷售量銷售量時序時序銷售量銷售量1234567891026.729.52929.932.231.425.732.129.130.81112131415161718192025.730.931.528.130.829.529.830.029.931.52122232425262728293027.629.930.230.330.828.830.832.231.225.4由此時間序列數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)食鹽銷售量有變化，但基本上在由此時間序列數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)食鹽銷售量有變化，但基本上在2530噸之間波動，沒有長

31、期增長趨勢，適合用一次噸之間波動，沒有長期增長趨勢，適合用一次指數(shù)平滑法預測。選擇指數(shù)平滑法預測。選擇=0.1， =0.3， =0.5三個不三個不同的值同的值 =0.3時，取第一個數(shù)據(jù)作為初始值時，取第一個數(shù)據(jù)作為初始值 S0(1)=26.7 S1(1)=Yt+(1-)S0(1)=0.326.7+(1-0.3)26.7=26.7 S2(1)=0.329.5+(1-0.3) 26.7=27.5 S29(1)=0.331.2+0.730.1=30.4 S30(1)=0.325.4+0.730.4=28.9 相應的第相應的第31個月的預測值為個月的預測值為28.9 噸噸 例題：例題： 某商店某商店9

32、 9月份的銷售額為月份的銷售額為142142萬元，萬元，9 9月份的月份的預測值為預測值為148148萬元，試利用一次指數(shù)平滑法萬元，試利用一次指數(shù)平滑法預測該商店預測該商店1010月份的銷售額。取月份的銷售額。取=0.3=0.3。 S S1010=Y Yt-1t-1+(1-)S+(1-)St-1t-1 =0.3=0.3142+(1-0.3)142+(1-0.3)148 =146.2 (148 =146.2 (萬元萬元) )二、二次指數(shù)平滑法二、二次指數(shù)平滑法 由于一次指數(shù)平滑法在處理由線性趨勢的由于一次指數(shù)平滑法在處理由線性趨勢的時間序列時也可能產(chǎn)生滯后偏差，特別是時間序列時也可能產(chǎn)生滯后偏

33、差，特別是對有明顯上升或下降趨勢的時間序列，為對有明顯上升或下降趨勢的時間序列，為彌補此缺陷，需要再一次平滑的基礎上，彌補此缺陷，需要再一次平滑的基礎上，再作一次指數(shù)平滑，然后確定預測值。再作一次指數(shù)平滑，然后確定預測值。 1 1、二次指數(shù)平滑公式：、二次指數(shù)平滑公式： S St t(2)(2)= S= St t(1)(1)+(1-)S+(1-)St-1t-1(2)(2) 2 2、預測模型是：、預測模型是：t Tttyab T (1)(2)2tttaSS(1)(2)()1tttbSS 例題：某商店例題：某商店1990200119902001年銷售額如下，請運用年銷售額如下，請運用指數(shù)平滑法預測

34、指數(shù)平滑法預測20022002年、年、20032003年、年、20042004年、年、20052005年、年、20062006年的銷售額。（年的銷售額。（ 0.90.9）年年度度90909191 9292 939394949595969697979898 999900000101銷銷售售額額440440481481513513510510 536536 575575 620620 660660711711736736 791791 825825 初始值分別為：初始值分別為： S S1 1(1)=(440+481+513)/3=478.0=(440+481+513)/3=478.0 S S1 1

35、(2)=(478.0+480.7+509.8)=489.5=(478.0+480.7+509.8)=489.5年份年份時序時序銷售額銷售額 S(1)0.9 S(2)0.9199019911992199319941995199619971998199920002001123456789101112440481513510536575620660711736791825478.0480.7509.8510.0533.4570.8615.1655.5705.5733.0785.2821.0489.5481.6507.0509.7531.0566.8610.3651.0700.1729.7779.78

36、16.9 t=12系數(shù)分別為：系數(shù)分別為： at=a12=2S12(1)-S12(2)=2821-816.9=825.1 bt=b12=/(1-) (St(1)-St(2)=0.9/(1-0.9) (821-816.9)=36.9 得預測方程得預測方程 Yt+T=at+btT=825.1+36.9T Y13=Y12+1=a12+b121=825.1+36.91=862 Y14=Y12+2=a12+b122=825.1+36.92=898.9 Y15=Y12+3=a12+b123=825.1+36.93=935.8 Y16=Y12+4=a12+b124=825.1+36.94=927.7 Y17

37、=Y12+5=a12+b125=825.1+36.95=1009.6三、三、指數(shù)平滑預測模型的選擇指數(shù)平滑預測模型的選擇 （1 1）平穩(wěn)移動趨勢的指數(shù)平滑預測模型）平穩(wěn)移動趨勢的指數(shù)平滑預測模型 Y Yt+1t+1=S=St t(1)(1) 含義是如果時間序列的發(fā)展變化趨勢是平含義是如果時間序列的發(fā)展變化趨勢是平穩(wěn)的，則未來各期的預測值是最近一期的穩(wěn)的，則未來各期的預測值是最近一期的一次平滑值一次平滑值 （2 2）線性趨勢的指數(shù)平滑預測模型為）線性趨勢的指數(shù)平滑預測模型為 Y Yt+Tt+T=a=at t+b+bt tT T 直線趨勢方程擬合法與平滑技術法的比直線趨勢方程擬合法與平滑技術法的比

38、較較 運用最小二乘法建立的直線趨勢方程擬合運用最小二乘法建立的直線趨勢方程擬合預測模型與運用平滑技術（二次移動平均預測模型與運用平滑技術（二次移動平均法或二次指數(shù)平滑法）建立的直線預測模法或二次指數(shù)平滑法）建立的直線預測模型比較，相同點為：都遵循事物發(fā)展連續(xù)型比較，相同點為：都遵循事物發(fā)展連續(xù)原則；都適用于目標時間序列資料呈現(xiàn)為原則；都適用于目標時間序列資料呈現(xiàn)為單位時間增（減）量大體相同的長期趨勢單位時間增（減）量大體相同的長期趨勢變動的預測。變動的預測。二者的區(qū)別為：二者的區(qū)別為：1、預測模型的參數(shù)計算方法不同、預測模型的參數(shù)計算方法不同2、預測模型中的時間變量的取值不、預測模型中的時間變

39、量的取值不同同3、模型適應市場的靈活性不同、模型適應市場的靈活性不同4、隨時間推進，建模參數(shù)計算的簡、隨時間推進，建模參數(shù)計算的簡便性不同便性不同 三點法三點法 在時間序列資料中選取三個代表點；根據(jù)在時間序列資料中選取三個代表點；根據(jù)三個點的坐標值建立由三個二次曲線方程組成三個點的坐標值建立由三個二次曲線方程組成的聯(lián)立方程組；求解方程組得到三個參數(shù)值。的聯(lián)立方程組；求解方程組得到三個參數(shù)值。 用三點法確定待定系數(shù)n 0500100015002000250019961997199819992000200120022003200420052006銷售額由于三個參數(shù)需三個方程估算，故將歷史數(shù)據(jù)分解成

40、三組：由于三個參數(shù)需三個方程估算，故將歷史數(shù)據(jù)分解成三組： 其原理：其理論值與實際值的離差代數(shù)和為零，即其原理：其理論值與實際值的離差代數(shù)和為零，即 ()0iiyyStep1.Step1.選點選點v當時間序列的項數(shù)當時間序列的項數(shù)N N為奇數(shù)時，并且為奇數(shù)時，并且N N 1515時，在時間序時，在時間序列的首尾兩端及正中各取五項，分別求出加權平均數(shù)，列的首尾兩端及正中各取五項，分別求出加權平均數(shù)，權數(shù)根據(jù)時期的遠近，分別取權數(shù)根據(jù)時期的遠近，分別取1 1、2 2、3 3、4 4、5 5，以加重，以加重近期信息在平均數(shù)中的比重。近期信息在平均數(shù)中的比重。v當時間序列的項數(shù)為奇數(shù)時，并且當時間序列

41、的項數(shù)為奇數(shù)時，并且9 9 N N 1515時，在時間時，在時間序列的首尾兩端及正中各取三項，權數(shù)根據(jù)時期的序列的首尾兩端及正中各取三項，權數(shù)根據(jù)時期的遠近，分別取遠近，分別取1 1、2 2、3 3，分別求出三個加權平均數(shù)。，分別求出三個加權平均數(shù)。v當時間序列的項數(shù)為偶數(shù)時，可去掉第一項，余下按當時間序列的項數(shù)為偶數(shù)時，可去掉第一項，余下按項數(shù)為奇數(shù)時處理。項數(shù)為奇數(shù)時處理。Step2.Step2.求加權平均數(shù)求加權平均數(shù)設由遠及近的三點坐標分別為：設由遠及近的三點坐標分別為：則五項加權平均時則五項加權平均時：),(),(),(332211TtMStMRtM，5432154325432154

42、325432154321234211254321nnnnndddddYYYYYTYYYYYSYYYYYR. 34543215) 1(4)2(3)3(2)4(67354321)2(5) 1(43) 1(2)2(311543215544332211321nnnnnntndddddtt三點坐標分別為：三點坐標分別為：),343(),673(),311(321TnMSnMRM，同理，三項加權平均時同理，三項加權平均時：6326326321211321nnndddYYYTYYYSYYYR32363) 1(226536) 1(32137633221321nnnntndddtt三點坐標分別為：三點坐標分別為

43、：),323(),653(),37(321TnMSnMRM，將三點坐標值代入二次曲線預測模型，得：將三點坐標值代入二次曲線預測模型，得：Step3.Step3.建立方程組建立方程組, ,求解參數(shù)求解參數(shù)2)5()2(237359121311NSTRccnnRTbcbRa五項加權平均五項加權平均2) 3()2(2353394937NSTRccnnRTbcbRa三項加權平均三項加權平均例：例： 某公司某公司20002008年某產(chǎn)品銷售額如表所示。試預年某產(chǎn)品銷售額如表所示。試預測測2009年的銷售額。年的銷售額。 n某產(chǎn)品銷售額及其差分某產(chǎn)品銷售額及其差分 單位：萬元單位：萬元年份年份200020

44、012002200320042005200620072008收購量收購量54.564.176.492.3110.7132.2156.8183.6214.0一階差分一階差分_9.612.315.918.421.524.626.830.4二階差分二階差分_2.73.62.53.13.12.23.6解：解：1、選擇預測模型。計算序列的一階、二階差分，、選擇預測模型。計算序列的一階、二階差分，列于表中，從計算結果可看出，二階差分是比較平穩(wěn)列于表中，從計算結果可看出，二階差分是比較平穩(wěn)的。因此，可配合二次拋物線預測模型來預測。的。因此，可配合二次拋物線預測模型來預測。2、建立二次拋物線預測模型。列表計算

45、有關數(shù)據(jù)、建立二次拋物線預測模型。列表計算有關數(shù)據(jù)。 twyty 2)(ttyy 年份年份年次年次t收購量收購量yt權數(shù)權數(shù)w2000154.5154.554.9620.213442001264.12128.264.7430.413452002376.43229.277.4361.073302003492.3192.393.0430.5520520045110.72221.4111.5630.7447720056132.23396.6132.9950.6320320067156.81156.8157.3410.2926820078183.62367.2184.6001.000020089214

46、.03642214.7710.59444總計總計5.51616n根據(jù)上表資料計算得：根據(jù)上表資料計算得：n代入公式得代入公式得： 3333.19466422 .3678 .1563833.11866 .3694 .2213 .9265.6862 .2292 .1285 .54TSR0941.484565. 19494112. 53765.684112. 54565. 135933965.683333.1944565. 1) 39()3833.11823333.19465.68(22abcn二次拋物線預測模型為：二次拋物線預測模型為：n將各年的將各年的t值代入預測模型，可得各年的追溯值代入預測模

47、型，可得各年的追溯預測值預測值 24565. 14112. 50941.48ttyt 曲線趨勢方程擬合預測法曲線趨勢方程擬合預測法 由于直線趨勢方程擬合預測法僅適用于預測目標時間由于直線趨勢方程擬合預測法僅適用于預測目標時間序列呈現(xiàn)直線長期趨勢變動情況，它對時間序列資料序列呈現(xiàn)直線長期趨勢變動情況，它對時間序列資料一律同等看待，在擬合中消除了季節(jié)、不規(guī)則、循環(huán)一律同等看待，在擬合中消除了季節(jié)、不規(guī)則、循環(huán)三類變動因素的影響，反映時間序列資料長期趨勢的三類變動因素的影響，反映時間序列資料長期趨勢的平均變動水平。只要未來發(fā)展趨勢大體上不會發(fā)生大平均變動水平。只要未來發(fā)展趨勢大體上不會發(fā)生大起大落的

48、變化，繼續(xù)遵循直線趨勢發(fā)展變化的假設，起大落的變化，繼續(xù)遵循直線趨勢發(fā)展變化的假設，那么選用此法進行中長期預測即簡便又有一定的可靠那么選用此法進行中長期預測即簡便又有一定的可靠性。性。 曲線趨勢方程擬合預測法曲線趨勢方程擬合預測法 但是很多市場經(jīng)濟活動的發(fā)展趨勢，用直線趨但是很多市場經(jīng)濟活動的發(fā)展趨勢，用直線趨勢方程擬合預測法來預測是不夠準確的。因為很勢方程擬合預測法來預測是不夠準確的。因為很多市場經(jīng)濟活動是受多種因素影響的，會表現(xiàn)出多市場經(jīng)濟活動是受多種因素影響的，會表現(xiàn)出不同形狀的曲線變動趨勢。因此就需要采用曲線不同形狀的曲線變動趨勢。因此就需要采用曲線趨勢變動線，然后加以延伸，進行趨勢擬

49、合以求趨勢變動線，然后加以延伸，進行趨勢擬合以求得預測值得預測值。（一）指數(shù)曲線趨勢預測法（一）指數(shù)曲線趨勢預測法（1 1）含義：是指預測目標觀測值數(shù)據(jù)的變化發(fā)展趨）含義：是指預測目標觀測值數(shù)據(jù)的變化發(fā)展趨勢符合指數(shù)增長規(guī)律，建立該指數(shù)曲線方程，并勢符合指數(shù)增長規(guī)律，建立該指數(shù)曲線方程，并據(jù)此作為預測的數(shù)學模型推測事件的未來發(fā)展趨據(jù)此作為預測的數(shù)學模型推測事件的未來發(fā)展趨勢的方法。勢的方法。（2 2）使用條件：適用于預測目標時間序列逐期增減）使用條件：適用于預測目標時間序列逐期增減率大體相同，即按幾乎同一比例增長的趨勢發(fā)展。率大體相同，即按幾乎同一比例增長的趨勢發(fā)展。（3 3）預測模型為：）預

50、測模型為：y yt t=ab=abt t 取對數(shù)取對數(shù)lgylgyt t=lga+tlgb=lga+tlgb ( (教材公式教材公式11.3.2)11.3.2) 令令Y Yt t=lgy=lgyt t A=lga B=lgb A=lga B=lgb 則則Y Yt t=A+Bt,=A+Bt,就可以就可以采用直線趨勢預測法進行預測采用直線趨勢預測法進行預測示例：某百貨公司示例：某百貨公司19961996年年20042004年的銷售量統(tǒng)計數(shù)據(jù)年的銷售量統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表，試用指數(shù)曲線方程預測如下表，試用指數(shù)曲線方程預測20052005年的銷售量。年的銷售量。年度年度19961996 19971997 1

51、99819981991999 920002000 20012001 20022002 20032003 20042004時間時間序列序列t t1 12 23 34 45 56 67 78 89 9銷售銷售量量16516527027045045074074012201220 20102010 31203120 54605460 90009000第一，選擇預測模型第一，選擇預測模型（1）描散點圖，根據(jù)散點圖分布來選用模型）描散點圖，根據(jù)散點圖分布來選用模型根據(jù)圖，我們可以初步確定選擇指數(shù)成長模型進行預測根據(jù)圖，我們可以初步確定選擇指數(shù)成長模型進行預測yt=abt計算數(shù)字特征計算數(shù)字特征年度年度19

52、96 19971998199920002001200220032004銷售銷售額額16527045074012202010312054609000比率比率0.390.400.390.390.3930.3560.4280.393由增長特征法公式：由增長特征法公式：教材公式教材公式11.4.4(270-165)/270=0.388(450-270)/450=0.4 (740-450)/740=0.39(1220-740)/1220=0.39(2010-1220)/2010=0.393(3120-2010)/3120=0.356 byUttln)1(1)1(tttyyU 由上表可知，觀察值的比率大體

53、相等,符合指數(shù)曲線的數(shù)字特征。 從圖形和數(shù)字特征看，所給的資料都與指數(shù)曲線相符，因此可以選擇模型yt=abt第二步，求導曲線模型如表第二步，求導曲線模型如表年度年度序號序號 t yt lgyt t2 tlgyt199619971998199920002001200220032004-4-3-2-101234165270450740122020103120546090002.21752.43142.65322.86923.08643.30323.49423.73723.9542 16941014916 -8.87-7.2942-5.3064-2.869203.30326.988411.21161

54、5.8168 t=0 - lgyt=27.7465 t2=60 tlgyt=12.9802 lgalga=lgy=lgyt t/n=27.7465/9=3.082944 /n=27.7465/9=3.082944 a=10a=103.0829443.082944=1210.44=1210.44 lgblgb=tlgy=tlgyt t/t/t2 2=12.9802/60=12.9802/60 =0.2163 =0.2163 b=10 b=100.21630.2163=1.645508=1.645508 最后求得指數(shù)曲線模型為最后求得指數(shù)曲線模型為y yt t=1210.44=1210.44(1.

55、645508)(1.645508)t t 第三，預測第三，預測 與與20052005年相對應的序號年相對應的序號t=5t=5，所以：，所以： y y20052005=1210.44=1210.44（1.6455081.645508）5 5 =1210.44 =1210.44 12.0642=14603.0312.0642=14603.03練習題練習題1 1：某企業(yè)連續(xù)：某企業(yè)連續(xù)9 9年的銷售額如下，試用簡潔直年的銷售額如下，試用簡潔直線預測模型預測下一年的銷售額。線預測模型預測下一年的銷售額。年份年份 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004銷

56、售銷售額額300324347372396420446469495第一步，分析觀察期數(shù)據(jù)長期變動趨勢，畫數(shù)據(jù)點的散布圖 根據(jù)圖，我們可以觀察出其長期趨勢基本上呈直線趨勢，它的預測模型為Y=a+bt第二步，根據(jù)已知的y和t來求a和b如表年份年份序號序號 t t銷售額銷售額 Y Yt t t t2 2 tY tYt t199619961997199719981998199919992000200020012001200220022003200320042004-4-4-3-3-2-2-1-10 01 12 23 34 43003003243243473473723723963964204204464

57、4646946949549516169 94 41 10 01 14 49 91616-1200-1200-972-972-694-694-372-3720 04204208928921407140719801980合計合計練習題練習題2：一次移動平均法：一次移動平均法 某零售企業(yè)20022008年的銷售收入見表，使用一次移動平均法預測該企業(yè)2009年的銷售收入（取N=3和N=5）。年份年份2002002 22002003 32002004 42002005 52002006 62002007 72002008 8銷售銷售收入收入776.6776.6874.5874.51121.11121.11103.31103.31085.21085.21089.51089.5 1124.01124.0年份年份銷售收入銷售收入N=3N=3