復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的微分法PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的微分法復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的微分法先復(fù)習(xí)一元函數(shù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則)(),(xuufy 設(shè)設(shè)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù))(xfy dxdydudy )()(xuf )()(),(xvvuufy 設(shè)設(shè)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù))(xfy dxdydudy )()()(xvuf dxdudvdudxdv第1頁/共28頁一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則),(),(yxyxfz 這個(gè)復(fù)合過程，zuvxy下面先對(duì)二元函數(shù)的復(fù)合函數(shù)進(jìn)行討論),(),(yxuvufz 通通過過中中間間變變量量設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)的的下面定理給出直接由下面定理給出直接由),(),(),(yxyxvuf

2、 .,的求導(dǎo)公式的求導(dǎo)公式求求yzxz .,),(的復(fù)合函數(shù)的復(fù)合函數(shù)成為成為及及yxyxv ,偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)可以形象的用一條鏈來描述：第2頁/共28頁定理1）處處有有偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，在在點(diǎn)點(diǎn)（設(shè)設(shè)yxyxvyxu,),(),( 有有連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，在在對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)點(diǎn)點(diǎn)),(),(vuvufz 處處有有偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，在在點(diǎn)點(diǎn)),(),(),(yxyxyxfz 則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)且 xz yz上述復(fù)合過程可以形象的用一條鏈來描述：zuvxyxuuz xvvz yuuz yvvz 第3頁/共28頁解 xzuz xu vz xv yzuz yu vz yv zuvxy，求求xz yz ,lnvezu

3、 設(shè)設(shè)例例1.22yxv ,xyu 222yxxexy veuln y.)ln(22yxyexy x2veu1 veuln xveu1 y222222yxyyxxexy )ln(第4頁/共28頁解 xzuz xu vz xv veucos ),cossin(vvyeu yzuz yu vz yv xveu sin)cossin(vvxeu zuvxyveusin y 1 ，求求xz yz ,sinvezu 設(shè)設(shè),xyu . yxv ),cos()sin(yxyxyexy ).cos()sin(yxyxxexy 1 veucos練習(xí)第5頁/共28頁uvxz，若若)(),(xvxu 的的函函數(shù)數(shù)，

4、是是則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)xxxfz)(),( 簡(jiǎn)單表示為的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)稱稱為為全全導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，對(duì)對(duì)此此時(shí)時(shí)xz dxdz且且有有),(,vufz 對(duì)對(duì)中中在在定定理理11.uz vz dxdudxdv第6頁/共28頁.)(sincosdxdyxyx的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求例例 2解xvxucos,sin 令令，則則vuy uyxvdxdyuy vy 1 vvuxcosuuvln )sin(x )ln(sin)(sincos)(sin1cos21cosxxxxxx dxdu dxdv 第7頁/共28頁),(1vufz 中，對(duì)中，對(duì)在定理在定理，若若xvyxu ),( 2.的的函函數(shù)數(shù)，是是則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)

5、數(shù)yxxyxfz,),( 復(fù)合過程zuxyxxz yuuz 兩者的區(qū)別xf 求偏導(dǎo)求偏導(dǎo)對(duì)對(duì)對(duì)對(duì)xxyxfz),( xf為了區(qū)別將其改為求偏導(dǎo)求偏導(dǎo)對(duì)對(duì)對(duì)對(duì)xxufz),( xxz uz yz可以形象的用一條鏈來描述：xu 第8頁/共28頁例3yzxzyxuuFyuyfz ,),(),( 22求求設(shè)設(shè)解zuyxuz )(uF )(222yxFx uz yf )(uF )(2122yxFy yz xz yxu x2yu )(y2 1 第9頁/共28頁zwvuyx定理1可推廣到中間變量和自變量多于兩個(gè)的情形3.具具有有連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，例例如如，設(shè)設(shè)),(wvufz 都都具具有有偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，

6、而而),(),(),(yxwyxvyxu ),(),(),(yxyxyxfz 復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)復(fù)合過程wz wz xzuz vz yz uz vz 形象的用一條鏈來描述：xu xv xw yu yv yw 第10頁/共28頁例4,2222222tsytsxzyxu 設(shè)設(shè),stz2 tusu ,求求zyxust解tu su zu tzzu xu yu txxu tyyu 222zyxx s2 222zyxy s2 222zyxz t2 2222zyxztysxs )(2222zyxzsytxt )(sx sy sz 第11頁/共28頁),(wvufz 對(duì)對(duì),),(),(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xwyxvyxu

7、),(),(xyxyxfz 復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)復(fù)合過程zvuyxxxf xzuz vz yz uz vz x形象的用一條鏈來描述：xu xv yu yv 第12頁/共28頁，設(shè)設(shè)例例25xvexvufzu sin),(xz 求求yz 和和解zvuyxxxf xzxuuz xvvz yz yuuz yvvz ,xyv , yxu 其中其中veucos veusin yxxyyxyeyx2 )cos()sin(veusin veucos x)cos()sin(xyxxyeyx x2 第13頁/共28頁zwvux),(wvufz 對(duì)對(duì)時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng))(),(),(xwxvxu )(),(),(xxxfz

8、復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)復(fù)合過程dxdwwz dxdzdxduuz dxdvvz 形象的用一條鏈來描述：第14頁/共28頁例例 6 6 設(shè)設(shè)tuvzsin ，而而teu ，tvcos ， 求求全全導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)dtdz. 解tcos tcos .cos)sin(costttet tZuvtz dtdzuz vz tetetcos tetsin v tdtdu dtdv tsin u第15頁/共28頁例 7yzxzyxxyfz ,),(求求設(shè)設(shè)解,xyu 令令),(vufz 則則zuvxyxvvz vz yzvz xz 于是于是xuuz uz uz yyvvz yuuz x, yxv 第16頁/共28頁，對(duì)對(duì)

9、),(.vufz 1的的函函數(shù)數(shù)，是是則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)yxyxyxfz,),(),( xz yzzuvxyxuuz xvvz yuuz yvvz ，若若),(),(yxvyxu uvxz，若若)(),(xvxu 的的函函數(shù)數(shù)，是是則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)xxxfz)(),( dxdz),(.vufz 對(duì)對(duì)2vz dxdudxdv回 顧uz 第17頁/共28頁的的函函數(shù)數(shù)，是是則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)yxxyxfz,),( zuxyxyuuz xf xz xuuz yz),(.xufz 對(duì)對(duì)3),(yxu 若若zwvuyx，對(duì)對(duì)),(.wvufz 4),(),(yxvyxu 若若),(),(),(y

10、xyxyxfz 復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)xwwz ywwz xzxuuz xvvz yz yuuz yvvz ，),(yxw 第18頁/共28頁),(.xvufz 對(duì)對(duì)5,),(),(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)yxvyxu ),(),(xyxyxfz 復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)zvuyxxxf xzxuuz xvvz yz yuuz yvvz zwvux),(.wvufz 對(duì)對(duì)6時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng))(),(),(xwxvxu )(),(),(xxxfz 復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)dxdwwz dxdzdxduuz dxdvvz 第19頁/共28頁形式隱函數(shù)形式隱函數(shù) 0),(. 1 yxF的的導(dǎo)導(dǎo)所所確確定定的的函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)方方程程)(),(xf

11、yyxF 0處處某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)),(),(yxyxF，及及的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)),(),(yxFyxFyx的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為確確定定的的則則由由)(0),(xfyyxF dxdy, 0),( yxFy且且)(),(xfyyxF 確確定定函函數(shù)數(shù)因因?yàn)闉?0)(,( xfxFFxy證明),(yxFx),(yxFy 0 dxdy),(),( yxFyxFdxdyyx 有連續(xù)有連續(xù)數(shù)存在，數(shù)存在，),(),(yxFyxFyx 第20頁/共28頁),(sinxfyxyyx 確確定定函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)方方程程xxyyyxF sin),(令令 dxdy則則xyxxyycoscos 11xyxxyyc

12、os1cos1 例1dxdy求求解yxFF dxdy則則),(),(yxFyxFyx 0 ),(yxFxyyxsin 0 xxyysin第21頁/共28頁已已知知xyyxarctanln22 ，求求 dxdy. 令則 ),(yxF,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFdxdy .xyyx ,arctanlnxyyx 22提示：練習(xí)第22頁/共28頁形式的隱函數(shù)形式的隱函數(shù)0),(. 2 zyxF確確定定的的函函數(shù)數(shù)為為因因?yàn)闉?),( zyxF),(yxfz Fxyz0),(,( yxfyxF求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)和和兩兩邊邊分分別別對(duì)對(duì)yxxF的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有連連

13、續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(),(zyxzyxF，偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)),(),(),(zyxFzyxFzyxFzyx. 0),( zyxFz且且的的所所確確定定的的函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)方方程程),(0),(yxfzzyxF 存在，存在，及及偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)yzxz 證明,zxFFxz 則則0 zF zxFFxz zyFFyz 同理同理zyFFyz xz 第23頁/共28頁，確確定定函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)方方程程例例),(yxfzxyzez 2xyzezyxFz ),(令令zyFFyz zxFFxz 則則xyeyzz yyzz xyxyzyz 由對(duì)稱性xxzz zyzxFFyzFFxz ,則則0),( zyxF.yzxz 及及求求解第24頁/共28頁yyxzzyzxzln 11),(yxfzyzzx 確確定定函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)方方程程0,yz 求求.xz 練習(xí)解 ),(zyxF令令zyFFyz 則則zxyz yyxzzzzxxlnln 1zxFFxz 則則第25頁/共28頁解令, zyxu ,xyzv 則0),( vuFFuvxyz xFuF yF u