復(fù)變函數(shù)及其代數(shù)運算PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1復(fù)變函數(shù)及其代數(shù)運算復(fù)變函數(shù)及其代數(shù)運算21. 鄰域鄰域:. : )( , 000的鄰域的鄰域內(nèi)部的點的集合稱為內(nèi)部的點的集合稱為的圓的圓為半徑為半徑任意的正數(shù)任意的正數(shù)為中心為中心平面上以平面上以zzzz 說明說明. , 0 , 點的鄰域點的鄰域稱為無窮遠(yuǎn)稱為無窮遠(yuǎn)其中實數(shù)其中實數(shù)所有點的集合所有點的集合的的且滿足且滿足包括無窮遠(yuǎn)點自身在內(nèi)包括無窮遠(yuǎn)點自身在內(nèi) MMz第1頁/共23頁32.去心鄰域去心鄰域:. 0 00的去心鄰域的去心鄰域集合為集合為所確定的點的所確定的點的稱由不等式稱由不等式zzz 說明說明. . , , zMMz可以表示為可以表示為域域稱為無窮遠(yuǎn)點的去心鄰稱為無窮

2、遠(yuǎn)點的去心鄰的所有點的集合的所有點的集合僅滿足僅滿足內(nèi)內(nèi)不包括無窮遠(yuǎn)點自身在不包括無窮遠(yuǎn)點自身在第2頁/共23頁43.內(nèi)點內(nèi)點:. , , . , 000的內(nèi)點的內(nèi)點稱為稱為那末那末于于該鄰域內(nèi)的所有點都屬該鄰域內(nèi)的所有點都屬的一個鄰域的一個鄰域存在存在如果如果中任意一點中任意一點為為為一平面點集為一平面點集設(shè)設(shè)GzGzGzG4.開集開集: 如果如果 G 內(nèi)每一點都是它的內(nèi)點內(nèi)每一點都是它的內(nèi)點, ,那末那末G 稱稱為開集為開集. .第3頁/共23頁55.區(qū)域區(qū)域: 如果平面點集如果平面點集D滿足以下兩個條件滿足以下兩個條件, ,則稱則稱它為一個區(qū)域它為一個區(qū)域. .(1) D是一個是一個開集

3、開集；(2) D是是連通的連通的, ,就是說就是說D中任何兩點都可以用中任何兩點都可以用完全屬于完全屬于D的一條折線連結(jié)起來的一條折線連結(jié)起來.6.邊界點、邊界邊界點、邊界: 設(shè)設(shè)D是復(fù)平面內(nèi)的一個區(qū)域是復(fù)平面內(nèi)的一個區(qū)域, ,如果點如果點 P P 不不屬于屬于D, 但在但在 P P 的任意小的鄰域內(nèi)總有的任意小的鄰域內(nèi)總有D中的中的點點,這樣的這樣的 P P 點我們稱為點我們稱為D的的邊界點邊界點.第4頁/共23頁6D的所有邊界點組成的所有邊界點組成D的的邊界邊界. .說明說明 (1) 區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點所組成的的點所組成的. (2)

4、 區(qū)域區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域閉區(qū)域 .Dz 1C2C3Cz 1C2C3C第5頁/共23頁7以上基以上基本概念本概念的圖示的圖示1z 2z 區(qū)域區(qū)域 0z 鄰域鄰域P 邊界點邊界點邊界邊界7.有界區(qū)域和無界區(qū)域有界區(qū)域和無界區(qū)域:. , , 0, , 界的界的否則稱為無否則稱為無稱為有界的稱為有界的那末那末點都滿足點都滿足使區(qū)域的每一個使區(qū)域的每一個即存在即存在為中心的圓里面為中心的圓里面點點可以被包含在一個以原可以被包含在一個以原如果一個區(qū)域如果一個區(qū)域DMzMD 第6頁/共23頁8(1) 圓環(huán)域圓環(huán)域:;201rzzr 0z 2r1r課堂練習(xí)課堂練習(xí)判斷下列區(qū)域是否

5、有界判斷下列區(qū)域是否有界?(2) 上半平面上半平面:; 0Im z(3) 角形域角形域:;arg0 z(4) 帶形域帶形域:.Imbza 答案答案(1)有界有界; (2) (3) (4)無界無界.xyo第7頁/共23頁91. 連續(xù)曲線連續(xù)曲線:. , )( ),( , )( , )( )( 稱為連續(xù)曲線稱為連續(xù)曲線表一條平面曲線表一條平面曲線代代那末方程組那末方程組是兩個連續(xù)的實變函數(shù)是兩個連續(xù)的實變函數(shù)和和如果如果btatyytxxtytx 平面曲線的復(fù)數(shù)表示平面曲線的復(fù)數(shù)表示:)().()()(btatiytxtzz 第8頁/共23頁102. 光滑曲線光滑曲線:.0, )( )( , ,

6、)( )( , 22稱這曲線為光滑的稱這曲線為光滑的那末那末有有的每一個值的每一個值且對于且對于都是連續(xù)的都是連續(xù)的和和上上如果在如果在 tytxttytxbta 由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線稱為按段光滑曲線稱為按段光滑曲線. .xyoxyo第9頁/共23頁113. 簡單曲線簡單曲線:. )( )( , )()( :的起點和終點的起點和終點分別稱為分別稱為與與為一條連續(xù)曲線為一條連續(xù)曲線設(shè)設(shè)CbzazbtatzzC . )( , )()( , , 121212121的重點的重點稱為曲線稱為曲線點點時時而有而有當(dāng)當(dāng)與與的的對于滿足對于滿足Ctztztz

7、ttttbtabta 沒有重點的曲線沒有重點的曲線 C 稱為簡單曲線稱為簡單曲線( (或若爾或若爾當(dāng)曲線當(dāng)曲線).).第10頁/共23頁12. , )( )( , 為簡單閉曲線為簡單閉曲線那末稱那末稱即即的起點和終點重合的起點和終點重合如果簡單曲線如果簡單曲線CbzazC 換句話說換句話說, 簡單曲線自身不相交簡單曲線自身不相交. 簡單閉曲線的性質(zhì)簡單閉曲線的性質(zhì): 任意一條簡單任意一條簡單閉曲線閉曲線 C 將復(fù)平面將復(fù)平面唯一地分成三個互唯一地分成三個互不相交的點集不相交的點集.xyo內(nèi)部內(nèi)部外部外部邊界邊界第11頁/共23頁13課堂練習(xí)課堂練習(xí) 判斷下列曲線是否為簡單曲線判斷下列曲線是否為

8、簡單曲線?答答案案簡簡單單閉閉簡簡單單不不閉閉不不簡簡單單閉閉不不簡簡單單不不閉閉 )(az)(bz )(az)(bz )(az)(bz )(az)(bz 第12頁/共23頁144. 單連通域與多連通域的定義單連通域與多連通域的定義: 復(fù)平面上的一個區(qū)域復(fù)平面上的一個區(qū)域B, 如果在其中任作一如果在其中任作一條簡單閉曲線條簡單閉曲線, 而曲線的內(nèi)部總屬于而曲線的內(nèi)部總屬于B, 就稱為就稱為單連通域單連通域. 一個區(qū)域如果不是單連通域一個區(qū)域如果不是單連通域, 就稱為就稱為多連通域多連通域.單連通域單連通域多連通域多連通域第13頁/共23頁15例例1 1 指明下列不等式所確定的區(qū)域指明下列不等式

9、所確定的區(qū)域, 是有界的還是有界的還是無界的是無界的,單連通的還是多連通的單連通的還是多連通的. 111)5(; 411)4(; 31)3(;3arg)2(; 1)Re()1(2 zzzzzzz解解 , )1(時時當(dāng)當(dāng)iyxz ,)Re(222yxz , 11)Re(222 yxz無界的單連通域無界的單連通域(如圖如圖).第14頁/共23頁163arg)2( z,3arg33arg zz是角形域是角形域, 無界的單連通域無界的單連通域(如圖如圖).31)3( z,3131 zz, 31 ,的圓的外部的圓的外部半徑為半徑為是以原點為中心是以原點為中心無界的多連通域無界的多連通域. 第15頁/共2

10、3頁17411)4( zz表示到表示到1, 1的距離之的距離之和為定值和為定值4的點的軌跡的點的軌跡, 是橢圓是橢圓,411 zz ,411表示該橢圓內(nèi)部表示該橢圓內(nèi)部 zz有界的單連通域有界的單連通域.第16頁/共23頁18111)5( zz,sincos irrz 令令 111 zz邊界邊界1sin)1cos(sin)1cos(222222 rrrr1)1cos2)(1cos2(22 rrrr1)cos(4)1(222 rr ,2cos2 02 rr或或 , )( 2cos22也稱雙紐線也稱雙紐線是雙葉玫瑰線是雙葉玫瑰線 r ,111是其內(nèi)部是其內(nèi)部 zz有界的單連通域有界的單連通域.第1

11、7頁/共23頁19例例2 2解解 滿足下列條件的點集是什么滿足下列條件的點集是什么, 如果是區(qū)域如果是區(qū)域, 指出是單連通域還是多連通域指出是單連通域還是多連通域?, 3Im)1( z是一條平行于實軸的直線是一條平行于實軸的直線, -3-2-1123x123456y不是區(qū)域不是區(qū)域., 2Re)2( z), 2Re ( 2Re zz不包括直線不包括直線為左界的半平面為左界的半平面以以單連通域單連通域.第18頁/共23頁20, 210)3( iz, 2 , )1( 的去心圓盤的去心圓盤為半徑為半徑為圓心為圓心以以i 是多連通域是多連通域.,4)arg()4( iz), ( 1 , ii不包括端點不包括端點的半射線的半射線斜率為斜率為為端點為端點以以不是區(qū)域不是區(qū)域.第19頁/共23頁21,4arg0)5( iziz , 時時當(dāng)當(dāng)iyxz iziz ,)1(2)1(1222222 yxxiyxyx 4arg0 知知由由 iziz0,)1(12222 yxyx0,)1(222 yxx第20頁/共23頁22, 0)1( 22 yx因為因為 , 12, 01, 02 2222yxxyxx于是于是 . 2)1(, 1, 0 2222yxyxx, 2)1( 22集集部且屬于左半平面的點部且屬