函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、周期性和對(duì)稱(chēng)性的綜合應(yīng)用名師制作優(yōu)質(zhì)教學(xué)資料

1、函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、周期性和對(duì)稱(chēng)性的綜合應(yīng)用例 1、設(shè) f(x)是定義在R 上的奇函數(shù)，且yf x 的圖象關(guān)于直線(xiàn)x1 對(duì)稱(chēng)，則 f (1)+2f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_0_.【考點(diǎn)分析 】本題考查函數(shù)的周期性解析： f0f0 得 f00 ，假設(shè) fn0因?yàn)辄c(diǎn)（n ，0）和點(diǎn)（ n1,0 ）關(guān)于 x1 對(duì)稱(chēng)，所以fn21fnfn0因此，對(duì)一切正整數(shù)n 都有： fn0從而： f 1f2f3f4f50 。本題答案填寫(xiě)：0例 2、（2006 福建卷） 已知 f (x) 是周期為 2 的奇函數(shù)，當(dāng) 0x 1時(shí)， f ( x) lg x.設(shè) af ( 6), bf ( 3)

2、, cf ( 5), 則522（A ） a b c（ B） b a c（ C） c b a（D） c a b解：已知 f ( x) 是周期為 2 的奇函數(shù)，當(dāng)0 x 1時(shí)， f (x) lg x.設(shè) af ( 6) f (4)f ( 4) ， bf ( 3)f ( 1)f (1 ) ， cf ( 5 )f ( 1 ) <0，55522222c ab ，選 D.例 3、（安徽卷理） 函數(shù) fx 對(duì)于任意實(shí)數(shù) x 滿(mǎn)足條件 f x 21，若fxf 15,則 f f 5。_【考點(diǎn)分析 】本題考查函數(shù)的周期性與求函數(shù)值，中檔題。解析：由 f x 21得 fx41f ( x) ，所以 f (5)f

3、 (1) 5 ，則f xf x2f f 5f ( 5) f ( 1)f (12)1 。15【窺管之見(jiàn)】函數(shù)的周期性在高考考查中除了在三角函數(shù)中較為直接考查外，一般都比較靈活。本題應(yīng)直觀理解f x21“只要加 2，則變倒數(shù)，加兩次xf則回原位”則一通盡通也。例 4、設(shè) f x是,上的奇函數(shù)， f x2fx ，當(dāng) 0x1時(shí)， f xx ，則 f（7.5）等于（）A.0.5B.0.5C.1.5D. 1.5解析：由 f x2f xf 7.5f 5.5f 3.5f 1.5 f0.5 ，又 fx是奇函數(shù)，故f0.5f 0.50.5 ，故選擇B。例 5、（福建卷）f ( x) 是定義在R 上的以3 為周期的

4、偶函數(shù)，且f ( 2)0 ，則方程f (x) =0 在區(qū)間（ 0，6）內(nèi)解的個(gè)數(shù)的最小值是（B）A5B4C3解析：由 f ( x) 的周期性知，f (2)f 5f即至少有根 1，2，4，5。故選擇 B。1f 1D2f 40例 6、（廣東卷） 設(shè)函數(shù)f ( x)在 (,)上滿(mǎn)足f (2x)f (2x) ， f (7x)f (7x) ，且在閉區(qū)間0， 7上，只有f (1)f (3)0 （）試判斷函數(shù)yf ( x) 的奇偶性；（）試求方程 f ( x) =0 在閉區(qū)間 -2005，2005上的根的個(gè)數(shù)， 并證明你的結(jié)論解: 由 f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函數(shù) yf (

5、x) 的對(duì)稱(chēng)軸為 x2和 x7 ,從而知函數(shù) yf (x)不是奇函數(shù) ,由 f (2x)f (2x)f (x)f (4x)f ( 4 x)f (14x)f (7x)f (7x)f (x)f (14x)f ( x)f ( x10) , 從而知函數(shù) y f ( x) 的周期為 T10又 f (3)f (0)0,而f (7)0 , 故函數(shù) yf ( x) 是非奇非偶函數(shù) ;(II)由 f (2x)f (2x)f ( x)f (4x)f (4x) f (14 x)f (7x)f (7x)f ( x)f (14x)f ( x) f ( x10)(II)又 f (3)f (0) 0, f (11)f (1

6、3)f (7)f ( 9)0故 f(x)在 0,10 和-10,0上均有有兩個(gè)解 , 從而可知函數(shù) yf (x)在 0,2005 上有 402個(gè)解 , 在-2005.0上有 400 個(gè)解 , 所以函數(shù) yf ( x)在 -2005,2005上有802 個(gè)解 .例7、若f （ x ）是偶函數(shù)，g（ x ）是奇函數(shù)，它們有相同的定義域，且f (x)g( x)1，求f （x）， g（ x）的表達(dá)式。x1解： f (x) g( x)1， f (x) g ( x)1，x1x1 f （ x）是偶函數(shù)f ( x)f ( x) ，g（x）是奇函數(shù)g( x)g(x) ，1f ( x)g(x)，x11 +得： f

7、 ( x)，2x1 - 得： g( x)x。2x1例 8、已知函數(shù) f ( x) x3x, x R（ 1）指出 f（x）在定義域 R 的奇偶性與單調(diào)性；（只須寫(xiě)出結(jié)論，無(wú)須證明）（ 2）若 a，b，cR，且 a+b>0， b+c>0，c+a>0，證明： f （a）+f（b）+f （c） >0。（12 分）解：（1）f （x）是定義域 R上的奇函數(shù)且為增函數(shù)。（ 2）由 a+b>0 得 a>-b，由增函數(shù) f(a)>f(-b)，且奇函數(shù) f （ -b ）=-f （ b），得 f （a）+f （b）>0。同理可得 f （ b）+f （ c） >

8、0，f （ c）+f （a）>0。相加得： f （ a） +f （b）+f （c）>0。例 9、設(shè)函數(shù) f（x ）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且對(duì)于定義域內(nèi)任意的x1 x2 ，有f (x1 x2 )1f ( x1 )f ( x2 ) ，試判斷 f（x）的奇偶性，并證明你的結(jié)論。 （ 12 分）f ( x2 )f (x1 )解： f (x11 f ( x1 ) f ( x2 )x1 )x2 )f ( x2f ( x2 ) f ( x1 )1 f ( x1 ) f ( x2 )1 f (x1 ) f (x2 )f (x1 x2 ) ，f (x1 )f ( x2 )f ( x2 ) f ( x

9、1 )設(shè) x x1x2 ，則 x x2 x1 ， f （ -x ）=-f （ x）；又 f （x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，f （ x）為奇函數(shù)。例 10、設(shè) （fx）的定義域?yàn)椋?，+），且在（ 0，+）是遞增的， f ( x ) f (x) f ( y) y（ 1）求證： f（1）=0，f（ xy）=f （x ）+f（y）；（ 2）設(shè) f （2）=1，解不等式 f ( x) f (1 ) 2。（12分）x3證明：（ 1） f ( x )f (x) f ( y) ，令 x=y=1，y則有： f （1）=f （1）-f （ 1） =0，f (xy)xf ( x)f (1f ( x) f (1)f

10、( y)f ( x) f ( y) 。f ( )1yy（ 2）解： f (x)f (1)f ( x) f (1)f ( x3)x3f ( x)f ( x3)f ( x23x) ， 2=2×1=2f （2）=f （ 2） +f （2）=f （ 4）， f (x)f (1)2 等價(jià)于：f (x 23x)f (4) ，x 3且 x>0，x-3>0 由 f （x）定義域?yàn)椋?0，+）可得 。 x( x 3) x2 3x 0 ， 4>0，又 f （ x）在（ 0，+）上為增函數(shù)，x 23x41x4 。又 x>3，原不等式解集為： x|3<x 4 。例 11、如圖

11、1-3-1 由 A 城運(yùn)物到 B 城，先走一段水路 AD ，再走一段公路 DB ，已知水路運(yùn)費(fèi)是公路運(yùn)費(fèi)的一半， AC=40 公里， BC=30 公里，問(wèn)碼頭 D 建在何處才能使運(yùn)費(fèi)最?。浚?12 分）解：設(shè) AD=x公里，則 CD=40-x 公里， BD(40x)2302 公里。設(shè)每公里的水路費(fèi)用 m，則 每公 里的 路費(fèi)為 2m，由 A 城到 B 城 的貨 物的總運(yùn)費(fèi)為 ：M mx2m(40x) 2302。令 yM 顯然要求 M最小值，只要求 y 最小值即m可。把整理得：3x 22(160y) x (10000y 2 )0，對(duì)方程04(16y) 212(10000y) 20y40303 或

12、 y 40 30 3 0 （ 舍去）。把 y 40303代入解得 x10(43)23（公里）。答：將碼頭建在離A 城約 23 公里處，運(yùn)費(fèi)最省。例 12、已知 f ( x)x 2c ，且 f f (x)f ( x21) 。（ 1）設(shè) g（x ）=ff （ x） ，求 g（x）的解析式；（ 2）設(shè) ( x) g( x) f (x) ，試問(wèn)是否存在實(shí)數(shù) ，使 (x) 在（-，-1）遞減，且在（-1，0）上遞增？解：（1） f ( x)x2c ， f (x 21)( x21) 2c ， g( x)f f (x)f ( x2c)(x 2c) 2c 。又 f f ( x)f ( x 21)( x 21)

13、 2c( x2c)2cc1， g( x) ( x21) 21。（ 2） (x)g(x)f (x) (x 21) 21( x2c)x4( 2) x22，任取 x1x2 ，則 ( x1 )(x2 )x14(2) x12x24(2) x22( x12x22 )( x12x222) 。( x) 在 (,1)上遞減x2x11x12x22x12x220，x1x2 且 ( x)遞減 <0，又 x12x220 ，則： x12x2220 恒成立x12x222 ，x2x111x12x22x12x22244 。( x) 在（ -1 ， 0）上遞增1x2x10x12x22x12x220 。x1x2 且 (x) 遞增 >0，又 x12x220 ，則 x12x2220 恒成立x12x222 , 1 x2x100 x1222 1 x12x222 44，由、知4。 解題點(diǎn)撥 本題綜合性較強(qiáng)，考查的是復(fù)合函數(shù)解析式求法、恒等式成立的條件、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性等知識(shí)