初二數(shù)學(xué)《三角形、四邊形》動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題分析與講解

1、初二數(shù)學(xué)三角形、四邊形動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題分析與講解所謂“ 動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題 ”是指題設(shè)圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn) , 它們?cè)诰€段、射線或弧線上運(yùn)動(dòng)的一類(lèi)開(kāi)放性題目 . 解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是動(dòng)中求靜 , 靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題 .關(guān)鍵 : 動(dòng)中求靜 .數(shù)學(xué)思想：分類(lèi)思想數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化思想例題分析與講解：1. 如圖，在直角梯形 ABCD 中，AD BC， B=90°，AD=24cm ，AB=8cm ， BC=26cm ，動(dòng)點(diǎn) P 從 A 開(kāi)始沿 AD 邊向 D 以 1cm/s 的速度運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn) Q 從點(diǎn) C 開(kāi)始沿 CB 邊向 B 以 3cm/s 的速度運(yùn)動(dòng) P、Q 分別從點(diǎn) A、C 同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其

2、中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另外一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 ts（ 1）當(dāng) t 為何值時(shí)，四邊形 PQCD 為平行四邊形？（ 2）當(dāng) t 為何值時(shí)，四邊形 PQCD 為等腰梯形？（ 3）當(dāng) t 為何值時(shí)，四邊形 PQCD 為直角梯形？分析：（ 1）四邊形 PQCD 為平行四邊形時(shí) PD=CQ （ 2）四邊形 PQCD 為等腰梯形時(shí) QC-PD=2CE （ 3）四邊形 PQCD 為直角梯形時(shí) QC-PD=EC 所有的關(guān)系式都可用含有 t 的方程來(lái)表示，即此題只要解三個(gè)方程即可解答：解：（ 1）四邊形 PQCD 平行為四邊形 PD=CQ 24-t=3t解得： t=6即當(dāng) t=6 時(shí)，四邊形 PQCD

3、平行為四邊形（ 2）過(guò) D 作 DEBC 于 E則四邊形 ABED 為矩形 BE=AD=24cm EC=BC-BE=2cm四邊形 PQCD 為等腰梯形 QC-PD=2CE即 3t-（ 24-t ）=4解得： t=7（s）即當(dāng) t=7 （s）時(shí)，四邊形 PQCD 為等腰梯形（ 3）由題意知： QC-PD=EC 時(shí)，四邊形 PQCD 為直角梯形即 3t-（ 24-t ）=2解得： t=6.5 （s）即當(dāng) t=6.5 （ s）時(shí)，四邊形 PQCD 為直角梯形點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平行四邊形、等腰梯形，直角梯形的判定，難易程度適中2.如圖， ABC 中，點(diǎn) O 為 AC 邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) O 作直線

4、 MN BC ，設(shè) MN 交 BCA 的外角平分線 CF 于點(diǎn) F，交 ACB 內(nèi)角平分線 CE 于 E（ 1）試說(shuō)明 EO=FO ；（ 2）當(dāng)點(diǎn) O 運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形 AECF 是矩形并證明你的結(jié)論；（ 3）若 AC 邊上存在點(diǎn) O，使四邊形 AECF 是正方形，猜想 ABC 的形狀并證明你的結(jié)論分析：（ 1）根據(jù) CE 平分 ACB ，MN BC ，找到相等的角，即 OEC= ECB ，再根據(jù)等邊對(duì)等角得 OE=OC ，同理 OC=OF ，可得 EO=FO （ 2）利用矩形的判定解答，即有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形是矩形（ 3）利用已知條件及正方形的性質(zhì)解答解答：解：（ 1） CE 平

5、分 ACB ， ACE= BCE ， MNBC， OEC= ECB ， OEC= OCE ， OE=OC ，同理， OC=OF ， OE=OF （ 2）當(dāng)點(diǎn) O 運(yùn)動(dòng)到 AC 中點(diǎn)處時(shí)，四邊形AECF 是矩形如圖 AO=CO ，EO=FO ，四邊形 AECF 為平行四邊形， CE 平分 ACB ， ACE= ACB ，同理， ACF= ACG ， ECF= ACE+ ACF=（ ACB+ ACG ）=×180°=90°，四邊形 AECF 是矩形（ 3） ABC 是直角三角形四邊形 AECF 是正方形， AC EN ，故 AOM=90° ，MNBC， BC

6、A= AOM ， BCA=90° ， ABC 是直角三角形點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用平行線的性質(zhì) “等角對(duì)等邊 ”證明出結(jié)論（ 1），再利用結(jié)論（ 1）和矩形的判定證明結(jié)論（ 2），再對(duì)（ 3）進(jìn)行判斷解答時(shí)不僅要注意用到前一問(wèn)題的結(jié)論， 更要注意前一問(wèn)題為下一問(wèn)題提供思路， 有相似的思考方法 是矩形的判定和正方形的性質(zhì)等的綜合運(yùn)用3.如圖，直角梯形 ABCD 中， AD BC ， ABC=90° ，已知 AD=AB=3 ，BC=4 ，動(dòng)點(diǎn) P 從 B 點(diǎn)出發(fā)，沿線段 BC 向點(diǎn) C 作勻速運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn) Q 從點(diǎn) D 出發(fā)，沿線段 DA 向點(diǎn) A 作勻速運(yùn)動(dòng)過(guò) Q 點(diǎn)垂直于 AD

7、 的射線交 AC 于點(diǎn) M，交 BC 于點(diǎn)NP、Q 兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都為每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)度當(dāng) Q 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 A 點(diǎn)，P、 Q 兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)設(shè)點(diǎn) Q 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t 秒（ 1）求 NC ，MC 的長(zhǎng)（用 t 的代數(shù)式表示）；（ 2）當(dāng) t 為何值時(shí)，四邊形 PCDQ 構(gòu)成平行四邊形；（ 3）是否存在某一時(shí)刻， 使射線 QN 恰好將 ABC 的面積和周長(zhǎng)同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí) t 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（ 4）探究： t 為何值時(shí)， PMC 為等腰三角形分析：（ 1）依據(jù)題意易知四邊形 ABNQ 是矩形 NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ ， BC 、AD 已知，

8、DQ 就是 t，即解； AB QN， CMN CAB ， CM ： CA=CN ：CB ，（2）CB 、CN 已知，根據(jù)勾股定理可求 CA=5 ，即可表示 CM ；四邊形 PCDQ 構(gòu)成平行四邊形就是 PC=DQ ，列方程 4-t=t 即解；（ 3）可先根據(jù) QN 平分 ABC 的周長(zhǎng)，得出 MN+NC=AM+BN+AB ，據(jù)此來(lái)求出 t 的值然后根據(jù)得出的 t 的值，求出 MNC 的面積，即可判斷出 MNC 的面積是否為 ABC 面積的一半，由此可得出是否存在符合條件的t 值（ 4）由于等腰三角形的兩腰不確定，因此分三種情況進(jìn)行討論：當(dāng) MP=MC 時(shí)，那么 PC=2NC ，據(jù)此可求出 t

9、的值當(dāng) CM=CP 時(shí)，可根據(jù) CM 和 CP 的表達(dá)式以及題設(shè)的等量關(guān)系來(lái)求出 t 的值當(dāng) MP=PC 時(shí)，在直角三角形 MNP 中，先用 t 表示出三邊的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理即可得出 t 的值綜上所述可得出符合條件的t 的值解答 :解：（ 1） AQ=3-t CN=4- （ 3-t） =1+t在 Rt ABC 中， AC2=AB2+BC2=32+42 AC=5在 Rt MNC 中， cos NCM=，CM=（ 2）由于四邊形 PCDQ 構(gòu)成平行四邊形 PC=QD ，即 4-t=t解得 t=2 （ 3）如果射線 QN 將 ABC 的周長(zhǎng)平分，則有：MN+NC=AM+BN+AB即： （ 1+t

10、） +1+t=（ 3+4+5 ）解得： t= （5 分）而 MN= NC= （1+t ） SMNC=（1+t ）2= （1+t ） 2當(dāng) t=時(shí)， SMNC= （1+t ）2=×4×3不存在某一時(shí)刻t，使射線 QN 恰好將 ABC 的面積和周長(zhǎng)同時(shí)平分（ 4）當(dāng) MP=MC 時(shí)（如圖 1）則有： NP=NC即 PC=2NC 4-t=2 （ 1+t ）解得： t=當(dāng) CM=CP 時(shí)（如圖 2）則有：（ 1+t）=4-t解得： t=當(dāng) PM=PC 時(shí)（如圖 3）則有：在 Rt MNP 中， PM2=MN2+PN2而 MN=NC=（1+t ）PN=NC-PC= （1+t ）-（4

11、-t ）=2t-3 （ 1+t） 2+ （2t-3 ） 2=（4-t ）2解得： t1=，t2=-1 （舍去）當(dāng) t=，t=，t=時(shí)， PMC 為等腰三角形點(diǎn)評(píng)：此題繁雜，難度中等，考查平行四邊形性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì) 考查學(xué)生分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法4.如圖，在矩形 ABCD 中， BC=20cm ，P， Q，M，N 分別從 A，B，C， D 出發(fā)沿 AD ，BC ，CB ，DA 方向在矩形的邊上同時(shí)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)有一個(gè)點(diǎn)先到達(dá)所在運(yùn)動(dòng)邊的另一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)即停止已知在相同時(shí)間內(nèi)，若 BQ=xcm （x0），則 AP=2xcm ，CM=3xcm ， DN=x2cm （ 1）當(dāng) x 為何值時(shí)，

12、以 PQ ，MN 為兩邊，以矩形的邊（ AD 或 BC ）的一部分為第三邊構(gòu)成一個(gè)三角形；（ 2）當(dāng) x 為何值時(shí)，以 P， Q，M，N 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；（ 3）以 P，Q ，M，N 為頂點(diǎn)的四邊形能否為等腰梯形？如果能，求x 的值；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由分析：以 PQ ，MN 為兩邊，以矩形的邊（ AD 或 BC ）的一部分為第三邊構(gòu)成一個(gè)三角形的必須條件是點(diǎn) P 、 N 重合且點(diǎn) Q 、 M 不重合，此時(shí) AP+ND=AD 即 2x+x2=20cm ，BQ+MC BC 即 x+3x 20cm；或者點(diǎn) Q、M 重合且點(diǎn) P、N 不重合，此時(shí) AP+NDAD 即 2x+x220cm，

13、BQ+MC=BC 即 x+3x=20cm 所以可以根據(jù)這兩種情況來(lái)求解 x 的值以 P，Q，M，N 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的話，因?yàn)橛傻谝粏?wèn)可知點(diǎn)Q 只能在點(diǎn) M 的左側(cè)當(dāng)點(diǎn) P 在點(diǎn) N 的左側(cè)時(shí)， AP=MC ，BQ=ND ；當(dāng)點(diǎn) P 在點(diǎn) N的右側(cè)時(shí)， AN=MC ， BQ=PD 所以可以根據(jù)這些條件列出方程關(guān)系式如果以 P ，Q，M， N 為頂點(diǎn)的四邊形為等腰梯形，則必須使得AP+NDAD 即2x+x2 20cm，BQ+MC BC 即 x+3x 20cm，AP=ND 即 2x=x2 ，BQ=MC 即 x=3x ，x0這些條件不能同時(shí)滿足，所以不能成為等腰梯形解答：解：（ 1）當(dāng)點(diǎn)

14、P 與點(diǎn) N 重合或點(diǎn) Q 與點(diǎn) M 重合時(shí)，以 PQ ，MN 為兩邊，以矩形的邊（ AD 或 BC ）的一部分為第三邊可能構(gòu)成一個(gè)三角形當(dāng)點(diǎn) P 與點(diǎn) N 重合時(shí)，由 x2+2x=20 ，得 x1=-1，x2=-1（舍去）因?yàn)?BQ+CM=x+3x=4 （-1） 20 ，此時(shí)點(diǎn) Q 與點(diǎn) M 不重合所以 x=-1 符合題意當(dāng)點(diǎn) Q 與點(diǎn) M 重合時(shí)，由 x+3x=20 ，得 x=5此時(shí) DN=x2=25 20，不符合題意故點(diǎn) Q 與點(diǎn) M 不能重合所以所求 x 的值為-1（ 2）由（ 1）知，點(diǎn) Q 只能在點(diǎn) M 的左側(cè)，當(dāng)點(diǎn) P 在點(diǎn) N 的左側(cè)時(shí)，由 20- （x+3x ）=20- （2

15、x+x2 ），解得 x1=0 （舍去）， x2=2 當(dāng) x=2 時(shí)四邊形 PQMN 是平行四邊形當(dāng)點(diǎn) P 在點(diǎn) N 的右側(cè)時(shí)，由 20- （x+3x ）=（2x+x2 ）-20 ，解得 x1=-10 （舍去）， x2=4 當(dāng) x=4 時(shí)四邊形 NQMP 是平行四邊形所以當(dāng) x=2 或 x=4 時(shí)，以 P， Q，M，N 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形（ 3）過(guò)點(diǎn) Q，M 分別作 AD 的垂線，垂足分別為點(diǎn) E，F(xiàn)由于 2x x，所以點(diǎn) E 一定在點(diǎn) P 的左側(cè)若以 P，Q， M，N 為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形，則點(diǎn) F 一定在點(diǎn) N 的右側(cè)，且 PE=NF ，即 2x-x=x2-3x 解得 x1=0

16、（舍去）， x2=4 由于當(dāng) x=4 時(shí)，以 P， Q，M，N 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，所以以 P， Q，M，N 為頂點(diǎn)的四邊形不能為等腰梯形點(diǎn)評(píng)：本題考查到三角形、平行四邊形、等腰梯形等圖形的邊的特點(diǎn)5.如圖，在梯形 ABCD 中，AD BC ，B=90°，AB=14cm ，AD=15cm ，BC=21cm ，點(diǎn) M 從點(diǎn) A 開(kāi)始，沿邊 AD 向點(diǎn) D 運(yùn)動(dòng)，速度為 1cm/s ；點(diǎn) N 從點(diǎn) C 開(kāi)始，沿邊 CB 向點(diǎn) B 運(yùn)動(dòng)，速度為 2cm/s 、點(diǎn) M、N 分別從點(diǎn) A、C 出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t 秒（ 1）當(dāng) t 為何值時(shí)，

17、四邊形 MNCD 是平行四邊形？（ 2）當(dāng) t 為何值時(shí)，四邊形 MNCD 是等腰梯形？分析：（ 1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對(duì)邊相等，求得（ 2）根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，下底減去上底等于t 值；12，求解即可解答：解：（ 1） MD NC，當(dāng) MD=NC ，即 15-t=2t ，t=5 時(shí)，四邊形 MNCD 是平行四邊形；（ 2）作 DE BC ，垂足為 E，則 CE=21-15=6 ，當(dāng) CN-MD=12 時(shí)，即 2t-（ 15-t ） =12 ，t=9 時(shí)，四邊形 MNCD 是等腰梯形點(diǎn)評(píng)：考查了等腰梯形和平行四邊形的性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是中考的重點(diǎn)內(nèi)容6.如圖，在直角梯形 ABCD 中， AD B

18、C ， C=90°，BC=16 ， DC=12 ，AD=21 ，動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) D 出發(fā)，沿射線 DA 的方向以每秒 2 個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn) Q 從點(diǎn) C 出發(fā)，在線段 CB 上以每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn) B 運(yùn)動(dòng)，P、Q 分別從點(diǎn) D、C 同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn) Q 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) B 時(shí)，點(diǎn) P 隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（ 1）設(shè) BPQ 的面積為 S，求 S 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系；（ 2）當(dāng) t 為何值時(shí)，以 B、P、 Q 三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？分析：（ 1）若過(guò)點(diǎn) P 作 PM BC 于 M，則四邊形 PDCM 為矩形，得出 PM=DC=12 ，由QB=16

19、-t，可知： s=PM× QB=96-6t；（ 2）本題應(yīng)分三種情況進(jìn)行討論，若PQ=BQ ，在 Rt PQM中，由PQ2=PM2+MQ2 ，PQ=QB ，將各數(shù)據(jù)代入，可將時(shí)間t 求出；若 BP=BQ ，在 RtPMB 中，由 PB2=BM2+PM2 ，BP=BQ ，將數(shù)據(jù)代入，可將時(shí)間 t 求出；若 PB=PQ ，PB2=PM2+BM2 ， PB=PQ ，將數(shù)據(jù)代入，可將時(shí)間t 求出解答：解：（ 1）過(guò)點(diǎn) P 作 PM BC 于 M ，則四邊形 PDCM 為矩形 PM=DC=12 ， QB=16-t ， s=?QB?PM=（16-t ）×12=96-6t （0t ）（

20、2）由圖可知， CM=PD=2t ，CQ=t ，若以 B、 P、 Q 為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，可以分三種情況：若 PQ=BQ ，在 RtPMQ 中，PQ2=t2+122 ，由 PQ2=BQ2 得 t2+122=（ 16-t ）2，解得；若 BP=BQ ，在 Rt PMB 中，PB2=（16-2t ）2+122 ，由 PB2=BQ2 得（16-2t ） 2+122= （16-t ） 2，此方程無(wú)解， BP PQ若 PB=PQ ，由 PB2=PQ2 得 t2+122= （16-2t ）2+122 得，t2=16 （不合題意，舍去）綜上所述，當(dāng)或時(shí)，以 B、 P、Q 為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形點(diǎn)

21、評(píng)：本題主要考查梯形的性質(zhì)及勾股定理在解題（2）時(shí)，應(yīng)注意分情況進(jìn)行討論，防止在解題過(guò)程中出現(xiàn)漏解現(xiàn)象7.8.直線 y=- 34x+6 與坐標(biāo)軸分別交于 A、B 兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) P、Q 同時(shí)從 O 點(diǎn)出發(fā)，同時(shí)到達(dá) A 點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)停止點(diǎn) Q 沿線段 OA 運(yùn)動(dòng)，速度為每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn) P 沿路線 O? B? A 運(yùn)動(dòng)（ 1）直接寫(xiě)出 A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（ 2）設(shè)點(diǎn) Q 的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t（秒）， OPQ 的面積為 S，求出 S 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式；（ 3）當(dāng) S= 485 時(shí)，求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)，并直接寫(xiě)出以點(diǎn) O、P 、 Q 為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn) M 的坐標(biāo)分析：（ 1）分別令 y=0， x=0 ，即可求出 A、 B 的坐標(biāo)；（ 2）因?yàn)?OA=8 ，OB=6 ，利用勾股定理可得 AB=10 ，進(jìn)而可求出點(diǎn) Q 由 O 到 A 的時(shí)間是 8 秒，點(diǎn) P 的速度是 2，從而可求出，當(dāng) P 在線段 OB 上運(yùn)動(dòng)（或 0t 3）時(shí)，OQ=t ，OP=2t ，S=t2 ，當(dāng) P 在線段 BA