DEA模型ppt課件

1、.1第一講第一講 評(píng)價(jià)相對(duì)有效性的評(píng)價(jià)相對(duì)有效性的DEA模型模型 運(yùn)籌學(xué)的新領(lǐng)域運(yùn)籌學(xué)的新領(lǐng)域 1978年由著名的運(yùn)籌學(xué)家年由著名的運(yùn)籌學(xué)家A.Charnes(查恩斯查恩斯), W.W.Cooper(庫(kù)伯庫(kù)伯), 及及E.Rhodes(羅茲羅茲)首先提出了一個(gè)被稱首先提出了一個(gè)被稱為數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（為數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（Data Envelopment analysis, DEA模型模型）的方法，用于評(píng)價(jià)相同部門間的相對(duì)有效性（因此被稱為的方法，用于評(píng)價(jià)相同部門間的相對(duì)有效性（因此被稱為DEA有效）有效）.他們的第一個(gè)模型被命名為他們的第一個(gè)模型被命名為C2R模型模型.從生產(chǎn)函從生產(chǎn)函數(shù)的角度看數(shù)的角

2、度看,這一模型是用來研究具有多個(gè)輸入這一模型是用來研究具有多個(gè)輸入,特別是具有特別是具有多個(gè)輸出的多個(gè)輸出的“生產(chǎn)部門生產(chǎn)部門”同時(shí)為同時(shí)為“規(guī)模有效規(guī)模有效”與與“技術(shù)有技術(shù)有效效”的十分理想且卓有成效的方法的十分理想且卓有成效的方法.1985年查恩斯年查恩斯,庫(kù)伯庫(kù)伯,格格拉尼拉尼(B.Golany),賽福德賽福德(L.Seiford)和斯圖茨和斯圖茨(J.Stutz)給出另給出另一個(gè)模型一個(gè)模型(稱為稱為C2GS2模型模型),這一模型用來研究生產(chǎn)部門間的這一模型用來研究生產(chǎn)部門間的“技術(shù)有效性技術(shù)有效性”. .2 1987年查恩斯年查恩斯,庫(kù)伯庫(kù)伯,魏權(quán)齡和黃志明又得到了稱為錐比魏權(quán)齡和

3、黃志明又得到了稱為錐比率的數(shù)據(jù)包絡(luò)模型率的數(shù)據(jù)包絡(luò)模型C2WH模型。這一模型可用來處理模型。這一模型可用來處理具有過多的輸入及輸出的情況具有過多的輸入及輸出的情況,而且錐的選取可以體現(xiàn)決策而且錐的選取可以體現(xiàn)決策者的者的“偏好偏好”.靈活地應(yīng)用這一模型靈活地應(yīng)用這一模型,可以將可以將C2R模型中確定模型中確定出的出的DEA有效決策單元進(jìn)行分類或排隊(duì)有效決策單元進(jìn)行分類或排隊(duì). 數(shù)據(jù)包絡(luò)分析是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)新的研究領(lǐng)域數(shù)據(jù)包絡(luò)分析是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)新的研究領(lǐng)域.查恩斯和查恩斯和庫(kù)伯等人的第一個(gè)應(yīng)用庫(kù)伯等人的第一個(gè)應(yīng)用DEA的十分成功的案例的十分成功的案例,就是評(píng)價(jià)為就是評(píng)價(jià)為弱智兒童開設(shè)公立學(xué)校項(xiàng)目的

4、效果弱智兒童開設(shè)公立學(xué)校項(xiàng)目的效果.在評(píng)估中在評(píng)估中,輸出包括輸出包括“自自尊尊”等無形的指標(biāo)等無形的指標(biāo);輸入包括父母的照料和父母的文化程度輸入包括父母的照料和父母的文化程度等等,無論哪種指標(biāo)都有無法與市場(chǎng)價(jià)格相比較無論哪種指標(biāo)都有無法與市場(chǎng)價(jià)格相比較,也難以輕易定也難以輕易定出適當(dāng)?shù)臋?quán)重出適當(dāng)?shù)臋?quán)重(權(quán)系數(shù)權(quán)系數(shù)),這也是這也是DEA的優(yōu)點(diǎn)之一的優(yōu)點(diǎn)之一. DEA的優(yōu)點(diǎn)吸引眾多的應(yīng)用者的優(yōu)點(diǎn)吸引眾多的應(yīng)用者,應(yīng)用范圍已擴(kuò)展到美國(guó)軍應(yīng)用范圍已擴(kuò)展到美國(guó)軍用飛機(jī)的飛行用飛機(jī)的飛行,基地維修與保養(yǎng)基地維修與保養(yǎng),以及陸軍征兵以及陸軍征兵,城市城市,銀行銀行 .3等方面等方面.目前目前,這一方法應(yīng)

5、用的領(lǐng)域在不斷地?cái)U(kuò)大這一方法應(yīng)用的領(lǐng)域在不斷地?cái)U(kuò)大.它也可以用它也可以用來研究多種方案之間的相對(duì)有效性來研究多種方案之間的相對(duì)有效性(例如投資項(xiàng)目的評(píng)價(jià)例如投資項(xiàng)目的評(píng)價(jià));研究在決策之前去預(yù)測(cè)一旦做出決策后它的相對(duì)效果如何研究在決策之前去預(yù)測(cè)一旦做出決策后它的相對(duì)效果如何(例如建立新廠后例如建立新廠后,新廠相對(duì)于已有的一些工廠是否為有效新廠相對(duì)于已有的一些工廠是否為有效).DEA是對(duì)其決策單元（同類型的企業(yè)或部門）的投入規(guī)模是對(duì)其決策單元（同類型的企業(yè)或部門）的投入規(guī)模、技術(shù)有效性作出評(píng)價(jià)，即對(duì)各同類型的企業(yè)投入一定數(shù)、技術(shù)有效性作出評(píng)價(jià)，即對(duì)各同類型的企業(yè)投入一定數(shù)量的資金、勞動(dòng)力等資源后

6、，其產(chǎn)出的效益（經(jīng)濟(jì)效益和量的資金、勞動(dòng)力等資源后，其產(chǎn)出的效益（經(jīng)濟(jì)效益和社會(huì)效益）作一個(gè)相對(duì)有效性評(píng)價(jià)。社會(huì)效益）作一個(gè)相對(duì)有效性評(píng)價(jià)。為了說明為了說明DEA模型的建模思路，我們看下面的例子模型的建模思路，我們看下面的例子.4 例例1： 某公司有甲、乙、丙三個(gè)企業(yè)，為評(píng)價(jià)這幾個(gè)企某公司有甲、乙、丙三個(gè)企業(yè)，為評(píng)價(jià)這幾個(gè)企業(yè)的生產(chǎn)效率，收集到反映其投入（固定資產(chǎn)年凈值業(yè)的生產(chǎn)效率，收集到反映其投入（固定資產(chǎn)年凈值x1、流動(dòng)資金流動(dòng)資金x2、職工人數(shù)職工人數(shù)x3）和產(chǎn)出（總產(chǎn)值和產(chǎn)出（總產(chǎn)值y1、利稅總額利稅總額y2）的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表 企業(yè)指標(biāo)甲乙丙x1（萬元）41527x2

7、（萬元）1545x3 （萬元）825y1 （萬元）602224y2 （萬元）1268 由于投入指標(biāo)和產(chǎn)出指標(biāo)都不止一個(gè)，故通常采用加由于投入指標(biāo)和產(chǎn)出指標(biāo)都不止一個(gè)，故通常采用加權(quán)的辦法來綜合投入指標(biāo)值和產(chǎn)出指標(biāo)值。權(quán)的辦法來綜合投入指標(biāo)值和產(chǎn)出指標(biāo)值。 .5對(duì)于第一個(gè)企業(yè)，產(chǎn)出綜合值為對(duì)于第一個(gè)企業(yè)，產(chǎn)出綜合值為60u1+12u2,投入綜合值投入綜合值4v1+15v2+8v3，其中其中u1 u2 v1 v2 v3分別為產(chǎn)出與投入的權(quán)重系分別為產(chǎn)出與投入的權(quán)重系數(shù)。數(shù)。我們定義第一個(gè)企業(yè)的生產(chǎn)效率為：我們定義第一個(gè)企業(yè)的生產(chǎn)效率為：總產(chǎn)出與總投入的比總產(chǎn)出與總投入的比即即vvvuuh32121

8、181541260類似，可知第二、第三個(gè)企業(yè)的生產(chǎn)效率分別為：類似，可知第二、第三個(gè)企業(yè)的生產(chǎn)效率分別為：vvvuuh3212122415622vvvuuh4527824321213.6我們限定所有的我們限定所有的hj值不超過值不超過1，即，即 ，這意味著，這意味著，若第若第k個(gè)企業(yè)個(gè)企業(yè)hk=1，則該企業(yè)相對(duì)于其他企業(yè)來說生產(chǎn)率最則該企業(yè)相對(duì)于其他企業(yè)來說生產(chǎn)率最高，或者說這一生產(chǎn)系統(tǒng)是相對(duì)有效的，若高，或者說這一生產(chǎn)系統(tǒng)是相對(duì)有效的，若hk1，那么該那么該企業(yè)相對(duì)于其他企業(yè)來說，生產(chǎn)效率還有待于提高，或者企業(yè)相對(duì)于其他企業(yè)來說，生產(chǎn)效率還有待于提高，或者說這一生產(chǎn)系統(tǒng)還不是有效的。說這一生

9、產(chǎn)系統(tǒng)還不是有效的。1maxhj即即因此，建立第一個(gè)企業(yè)的生產(chǎn)效率最高的優(yōu)化模型如下：因此，建立第一個(gè)企業(yè)的生產(chǎn)效率最高的優(yōu)化模型如下：這是一個(gè)分式規(guī)劃，需要這是一個(gè)分式規(guī)劃，需要將它化為線性規(guī)劃才能求將它化為線性規(guī)劃才能求解。解。vvvuuh32121181541260max12415622321212vvvuuh14527824321213vvvuuh181541260321211vvvuuh.7設(shè)設(shè)vvvt32181541vtwutiiii,則此分式規(guī)劃可化為如下的則此分式規(guī)劃可化為如下的線性規(guī)劃線性規(guī)劃1w8w15w4w4w5w27824w2w4w15622w8w15w41260. t

10、 . s1260hmax321321213212132121211其對(duì)偶其對(duì)偶問題為問題為128612602422608428155415427154. t . sVmin321321321321321Dvvvuuh32121181541260max12415622321212vvvuuh14527824321213vvvuuh1v8v15v4u12u60h321211.8 設(shè)vi為第i個(gè)指標(biāo)xi的權(quán)重，ur為第r個(gè)產(chǎn)出yr指標(biāo)的權(quán)重，則第j個(gè)企業(yè)投入的綜合值為 ，產(chǎn)出的綜合值為 其生產(chǎn)效率定義為: 于是問題實(shí)際上是確定一組最佳的權(quán)變量v1,v2,v3和u1,u2，使第j個(gè)企業(yè)的效率值hj最大

11、。這個(gè)最大的效率評(píng)價(jià)值是該企業(yè)相對(duì)于其他企業(yè)來說不可能更高的相對(duì)效率評(píng)價(jià)值。 xvij31iiyurj21rr31iiji21rrjrjxvyuh 我們限定所有的hj值(j=1,2,3)不超過1，即maxhj1。這意味著，若第k個(gè)企業(yè)hk=1，則該企業(yè)相對(duì)于其他企業(yè)來說生產(chǎn)率最高，或者說這一系統(tǒng)是相對(duì)而言有效的；若hk1，那么該企業(yè)相對(duì)于其他企業(yè)來說，生產(chǎn)率還有待于提高，或者說這一生產(chǎn)系統(tǒng)還不是有效的。 .9 根據(jù)上述分析，可以建立確定任何一個(gè)企業(yè)（如第3 個(gè)企業(yè)即丙企業(yè)）的相對(duì)生產(chǎn)率最優(yōu)化模型如下： 3 , 2 , 1i , 0, 2 , 1r , 03 , 2 , 1j , 1. t .

12、sHmaxvuhhirj31、評(píng)價(jià)決策單元技術(shù)和規(guī)模綜合效率的、評(píng)價(jià)決策單元技術(shù)和規(guī)模綜合效率的C2R模型模型 設(shè)有n個(gè)同類型的企業(yè)（也稱決策單元），對(duì)于每個(gè)企業(yè)都有m種類型的“輸入”（表示該單元對(duì)“資源”的消耗）以及p種類型的“輸出”（表示該單元在消耗了“資源”之后的產(chǎn)出）。 這n個(gè)企業(yè)及其輸入-輸出關(guān)系如下： .10:y1ny2n:ypny1jy2j:ypj:y12y22:yp2y11y21:yp1u1u2:up12:p輸出x1nx2n:xmnx1jx2j:xmj:x12x22:xm2x11x21:xm1v1v2:vm12:m輸入nj21 部門指標(biāo) 權(quán)數(shù)每個(gè)決策單元的效率評(píng)價(jià)指數(shù)定義為：

13、m1iijip1rrjrjxvyuhj=1,2,n.11而第j0個(gè)決策單元的相對(duì)效率優(yōu)化評(píng)價(jià)模型為： 上述模型中xij,yrj為已知數(shù)（可由歷史資料或預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)得到），vi,ur為變量。模型的含義是以權(quán)系數(shù)vi,ur為變量，以所有決策單元的效率指標(biāo)hj為約束，以第j0個(gè)決策單元的效率指數(shù)為目標(biāo)。即評(píng)價(jià)第j0個(gè)決策單元的生產(chǎn)效率是否有效，是相對(duì)于其他所有決策單元而言的。 m1i0ijip1r0rjr0jxvyuhmax s.t. vi,ur0, i=1,2,m; r=1,2,p n,.,2 , 1j , 1m1iijip1rrjrxvyu（1）.12 這是一個(gè)分式規(guī)劃模型，我們必須將它化為線性規(guī)劃

14、模型才能求解。為此，令 m1i0ijixv1tvwiiturrt則模型（1）轉(zhuǎn)化為：p,.,2 , 1r;m,.2 , 1i, 0,1n,.,2 , 1j, 0. t . swxwxwyyhmaxir0ijm1iip1rm1iijirjrp1r0rjr0 j（2）.13p,.,2 , 1r;m,.2 , 1i, 0,1n,.,2 , 1j, 0. t . swxwxwyyhmaxir0ijm1iip1rm1iijirjrp1r0rjr0 j（2）寫成向量形式有:njXXYtsYhTjTjTTj,.,2 , 10, 010. .max000.14其對(duì)偶問題為：無約束,0p,.,2, 1r ,m,

15、.,2, 1i ,. t . sminjn1j0rrjjn1j0iijjDyyxxv（3）寫成向量形式有：, 0, 0, 0jn1j0jj0jn1jjssysyxsxs.t.無約束（4） min.15設(shè)問題（4）的最優(yōu)解為*，s*-,s*+,*，則有如下結(jié)論： （1）若*=1，則DMUj0為弱DEA有效（總體）。（2）若*=1，且s*-=0,s*+=0，則DMUj0為DEA有效（總體）（3）令 0=*x0- s*-, 0=y0+ s*+,則為在有效前沿面上的投影，相對(duì)于原來的n個(gè)DMU是有效（總體）的。 x y x y （4）若存在j*(j=1,2,m),使 =1成立，則DMUj0為規(guī)模效益不

16、變；若不存在j*(j=1,2,m)，使 =1成立，則 1 DMUj0為規(guī)模效益遞減。 n1j*jn1j*jn1j*jn1j*jn1j*j.16有效解的解釋：有效解的解釋：F(X)=f1(X),f2(X),fn(X)如對(duì)于求極大(max)型，其各種解定義如下：絕對(duì)最優(yōu)解：若對(duì)于任意的X，都有F（X*）F(X)有效解：若不存在X，使得F（X*） F(X)弱有效解：若不存在X，使得F（X*)F(X).17.18P63例例28 以以1997年全部獨(dú)立核算企業(yè)為對(duì)象年全部獨(dú)立核算企業(yè)為對(duì)象,對(duì)安徽、江西對(duì)安徽、江西、湖南和湖北四省進(jìn)行生產(chǎn)水平的比較。投入要素取固定、湖南和湖北四省進(jìn)行生產(chǎn)水平的比較。投入

17、要素取固定資產(chǎn)凈值年平均余額資產(chǎn)凈值年平均余額(億元億元),流動(dòng)資金年平均余額及從業(yè)人流動(dòng)資金年平均余額及從業(yè)人員員(萬人萬人),產(chǎn)出要素取總產(chǎn)值產(chǎn)出要素取總產(chǎn)值(億元億元)和利稅總額和利稅總額(億元億元).安徽安徽江西江西湖南湖南湖北湖北固定資產(chǎn)固定資產(chǎn)932.66583.08936.841306.56流動(dòng)資金流動(dòng)資金980.45581.64849.311444.30從業(yè)人員從業(yè)人員401.8294.2443.20461.00利稅總額利稅總額179.2949.76144.20181.41總產(chǎn)值總產(chǎn)值2196.09930.221659.042662.21全要素相對(duì)生產(chǎn)率全要素相對(duì)生產(chǎn)率(即即D

18、EA評(píng)價(jià)值評(píng)價(jià)值)1.0000.71400.92851.000排序排序1321.191. 建立評(píng)價(jià)湖南省的建立評(píng)價(jià)湖南省的DEA模型如下模型如下 無約束無約束, 004.1659s21.266204.165922.93009.219620.144s410.18120.144760.4929.17920.443s000.46120.44320.24980.40131.849s40.144431.84964.58145.98084.936s56.130684.93608.58366.932. t . sVminj2432114321343212432114321D求解結(jié)果為求解結(jié)果為:24.107

19、s, 0s,17.88s, 0s,71.119s, 0,8043. 0,9285. 0213214321 調(diào)整方案為調(diào)整方案為:輸入調(diào)整前輸入調(diào)整前輸入調(diào)整后輸入調(diào)整后輸出調(diào)整前輸出調(diào)整前輸出調(diào)整后輸出調(diào)整后936.84936.84*0.9285-119.71=750.15144.20144.20849.31849.31*0.9285=788.581659.041659.04+107.24=1766.28443.20443.2*0.9285-88.17=323.34.202、具有非阿基米德無窮小的C2R模型在評(píng)價(jià)決策單元是否為DEA有效時(shí),如果利用原線性規(guī)劃問題njXXYtsYhTjTjTTj

20、,.,2 , 10, 010. .max000需要判斷是否存在最優(yōu)解 ，滿足00,1, 0, 000000Yhj如果利用對(duì)偶線性規(guī)劃0, 0. .min1010SSYSYXSXtsjnjjjnjjj需要判斷它的所有最優(yōu)解都滿足1, 0, 0000SS 無論是對(duì)于線性規(guī)劃還是對(duì)于對(duì)偶規(guī)劃，這都是不容易做到的。因此Charnes 和Cooper引入了非阿基米德無窮小的概念，利用線性規(guī)劃方法求解。去判斷決策單元的DEA有效性。.21令是非阿基米德無窮小量，它是一個(gè)小于任何正數(shù)、且大于零的數(shù)?？紤]帶有非阿基米德無窮小的C2R模型：njeeXXYtsYhTTTTTjTjTTj,.,2 , 110. .m

21、ax000對(duì)偶問題為：0, 0. .) (min1010SSYSYXSXtsSeSejnjjjnjjjTT其中smTEeEe)1,.,1 ,1()1,.,1 ,1(.225、DEA有效性的經(jīng)濟(jì)含義有效性的經(jīng)濟(jì)含義考慮投入量為 ，產(chǎn)出量為 的某種生產(chǎn)活動(dòng)。我們的目的是根據(jù)所觀察到的生產(chǎn)活動(dòng)（xj,yj),j=1,2,n,去描述生產(chǎn)可能集，特別是根據(jù)這些觀察數(shù)據(jù)去確定哪些生產(chǎn)活動(dòng)是相對(duì)有效的。TmxxxX),.,(21TsyyyY),.,(21生產(chǎn)可能集生產(chǎn)可能集定義為：T=(X,Y)|產(chǎn)出向量Y可以由投入向量X生產(chǎn)出來因此，生產(chǎn)可能集可確定為：njnjjjjjjYyXxYXT110,| ),(.

22、23有效性定義：有效性定義：對(duì)任何一個(gè)決策單元，它達(dá)到對(duì)任何一個(gè)決策單元，它達(dá)到100%的效率是的效率是指：在現(xiàn)有的輸入條件下，任何一種輸出都無法增加，指：在現(xiàn)有的輸入條件下，任何一種輸出都無法增加，除非同時(shí)降低其他種類的輸出；要達(dá)到現(xiàn)有的輸出，任除非同時(shí)降低其他種類的輸出；要達(dá)到現(xiàn)有的輸出，任何一種輸入都無法降低，除非同時(shí)增加其他種類的輸入。何一種輸入都無法降低，除非同時(shí)增加其他種類的輸入。一個(gè)決策單元達(dá)到了一個(gè)決策單元達(dá)到了100%的效率，該決策單元就是有效的的效率，該決策單元就是有效的，也就是有效的決策單元。，也就是有效的決策單元。無效性定義無效性定義：（1）對(duì)任意（X，Y）T，并且 ，

23、均有（2）對(duì)任意（ X，Y）T，并且 ，均有這就是說，以較多的輸入或較少的輸出進(jìn)行生產(chǎn)總是可能的。XX YY TYX),(TYX),(.24既是技術(shù)有效,也是規(guī)模有效 下面我們以單輸入單輸出的情況來說明下面我們以單輸入單輸出的情況來說明DEA有效性的經(jīng)有效性的經(jīng)濟(jì)含義。首先敘述生產(chǎn)函數(shù)的概念。生產(chǎn)函數(shù)濟(jì)含義。首先敘述生產(chǎn)函數(shù)的概念。生產(chǎn)函數(shù)Y=f(X）表表示在生產(chǎn)處于最好的理想狀態(tài)時(shí)，當(dāng)投入量為示在生產(chǎn)處于最好的理想狀態(tài)時(shí)，當(dāng)投入量為X,所能獲得所能獲得的最大輸出的最大輸出.因此因此,生產(chǎn)函數(shù)圖象上的點(diǎn)生產(chǎn)函數(shù)圖象上的點(diǎn)(X表示輸入表示輸入,Y表示輸表示輸出出)所對(duì)應(yīng)的決策單元所對(duì)應(yīng)的決策單元

24、,從生產(chǎn)函數(shù)的角度看從生產(chǎn)函數(shù)的角度看,是處于是處于“技術(shù)技術(shù)有效有效”的狀態(tài)的狀態(tài).一般來說生產(chǎn)函數(shù)的圖象如下一般來說生產(chǎn)函數(shù)的圖象如下:ABC既不是技術(shù)有效,也不是規(guī)模有效技術(shù)有效,但不是規(guī)模有效.25我們現(xiàn)在來研究在模型我們現(xiàn)在來研究在模型C2R之下的之下的DEA有效性的經(jīng)濟(jì)含義有效性的經(jīng)濟(jì)含義.檢驗(yàn)決策單元檢驗(yàn)決策單元j0的的DEA有效性有效性,即考慮線性規(guī)劃問題即考慮線性規(guī)劃問題:njYYXXtsjnjjjnjjj.,2 , 1, 0. .min1010TYX),(00由于 ,即 滿足),(00YXnjjjnjjjYYXX1010 可以看出可以看出,線性規(guī)劃是表示在生產(chǎn)可能集線性規(guī)劃

25、是表示在生產(chǎn)可能集T內(nèi)內(nèi),當(dāng)產(chǎn)出當(dāng)產(chǎn)出Y0保持不變的情況下保持不變的情況下,盡量將投入量盡量將投入量X0按同一比例按同一比例減少減少.如果如果投入量投入量X0不能按同一比例不能按同一比例減少減少,即線性規(guī)劃的最優(yōu)值即線性規(guī)劃的最優(yōu)值=1,在單輸入與單輸出的情況下在單輸入與單輸出的情況下,決策單元決策單元j0既為技術(shù)有效既為技術(shù)有效,也也為規(guī)模有效為規(guī)模有效.反之反之,如果投入量如果投入量X0能按同一比例能按同一比例減少減少,即線即線性規(guī)劃的最優(yōu)值性規(guī)劃的最優(yōu)值1,在單輸入與單輸出的情況下在單輸入與單輸出的情況下,決策單元決策單元j0不為技術(shù)有效不為技術(shù)有效,或不為規(guī)模有效或不為規(guī)模有效.26例

26、題例題: 下面是具有下面是具有3個(gè)決策單元的單輸入數(shù)據(jù)和單輸出數(shù)據(jù)個(gè)決策單元的單輸入數(shù)據(jù)和單輸出數(shù)據(jù).相應(yīng)決策單元所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)以相應(yīng)決策單元所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)以A,B,C表示表示,其中點(diǎn)其中點(diǎn)A、C在生產(chǎn)在生產(chǎn)曲線上曲線上,點(diǎn)點(diǎn)B在生產(chǎn)曲線下方。由在生產(chǎn)曲線下方。由3個(gè)決策單元所確定的生產(chǎn)個(gè)決策單元所確定的生產(chǎn)可能集可能集T也在圖中標(biāo)出來。也在圖中標(biāo)出來。2 4 52 1 3.5輸入輸出A(2,2)B(4,1)C(3,5)Y=Y(X)對(duì)于決策點(diǎn)A,它是“技術(shù)有效”和“規(guī)模有效”,它所對(duì)應(yīng)的C2R模型為0,25 . 322542.min321321321ts其最優(yōu)解為:1,)0 , 0 , 1 (00T.

27、272 4 52 1 3.5輸入輸出A(2,2)B(4,1)C(3,5)Y=Y(X)對(duì)于決策點(diǎn)B,它不是“技術(shù)有效”,因?yàn)辄c(diǎn)B不在生產(chǎn)函數(shù)曲線上,也不是“規(guī)模有效”,這是因?yàn)樗耐顿Y規(guī)模太大.0,15 . 324542.min321321321ts其最優(yōu)解為:4/1,)0 , 0 , 2/1 (00T其對(duì)應(yīng)的C2R模型如下:由于1,故B點(diǎn)不是DEA有效,由 ,知該部門的規(guī)模收益是遞減的.3100121jj.282 4 52 1 3.5輸入輸出A(2,2)B(4,1)C(3,5)Y=Y(X)0,5 . 35 . 325542.min321321321ts其最優(yōu)解為:10/7,)0 , 0 , 4

28、/7(00T對(duì)于決策點(diǎn)C,因?yàn)辄c(diǎn)C是在生產(chǎn)函數(shù)曲線上,它是“技術(shù)有效”,但由于它的投資規(guī)模太大,所以不是“規(guī)模有效”.其對(duì)應(yīng)的C2R模型如下:由于1,故C點(diǎn)不是DEA有效,由 ,知該部門的規(guī)模收益是遞減的.31001251jj.29二、評(píng)價(jià)技術(shù)有效性的二、評(píng)價(jià)技術(shù)有效性的C2GS2模型模型考慮一對(duì)線性規(guī)劃對(duì)偶問題：考慮一對(duì)線性規(guī)劃對(duì)偶問題：njXXYtsYVTjTjTTP,.,2 , 10, 010. .max0000(P)0, 01. .min11010SSYSYXSXtsVjnjjnjjjnjjjD(D) 該模型計(jì)算出的DMU效率是純技術(shù)效率，反映DMU的純技術(shù)效率狀況，稱為純技術(shù)效率。設(shè)

29、問題的最優(yōu)解為*，s*-,s*+,*，則有如下結(jié)論： (1)若*=1，則DMUj0為弱DEA有效（ C2GS2純技術(shù)）。(2)若*=1，且s*-=0,s*+=0，則DMUj0為DEA有效(C2GS2純技術(shù))。.30線性規(guī)劃線性規(guī)劃(D)的經(jīng)濟(jì)解釋是的經(jīng)濟(jì)解釋是:在生產(chǎn)可能集在生產(chǎn)可能集T內(nèi)內(nèi),當(dāng)產(chǎn)出當(dāng)產(chǎn)出Y0保持不變的情況下保持不變的情況下,盡量將盡量將投入量投入量X0按同一比例按同一比例減少減少.如果投入量如果投入量X0不能按同一比例不能按同一比例減少減少,即線性規(guī)劃的最優(yōu)即線性規(guī)劃的最優(yōu)值值=1,在單輸入與單輸出的情況下在單輸入與單輸出的情況下,決策決策單元單元j0既為技術(shù)有效既為技術(shù)有效

30、.反之反之,如果投入量如果投入量X0能按同一比例能按同一比例減少減少,即線性規(guī)劃的最優(yōu)值即線性規(guī)劃的最優(yōu)值1,在單輸入與單輸出的情況下在單輸入與單輸出的情況下,決策單決策單元元j0不為技術(shù)有效不為技術(shù)有效.C2GS2模型的經(jīng)濟(jì)解釋模型的經(jīng)濟(jì)解釋:0, 01. .min11010SSYYXXtsVjnjjnjjjnjjjD(D)在這里之所以與在這里之所以與C2R模型的情況不同模型的情況不同,是因?yàn)樯a(chǎn)可能集是因?yàn)樯a(chǎn)可能集T的構(gòu)成不滿足的構(gòu)成不滿足“錐性錐性”的公理假設(shè)的公理假設(shè).“錐性錐性”的公理假設(shè)的公理假設(shè):對(duì)任意對(duì)任意(X,Y)T,及數(shù)及數(shù)k0,均有均有這就是說這就是說,若以投入量若以投

31、入量X的的k倍進(jìn)行輸入倍進(jìn)行輸入,那么產(chǎn)出量也以原那么產(chǎn)出量也以原來產(chǎn)出來產(chǎn)出Y的的k倍產(chǎn)出是可能的倍產(chǎn)出是可能的.TkYkXYXk),(),(.31具有非阿基米德無窮小的模型為具有非阿基米德無窮小的模型為:0,01.)(min11010SSYSYXSXtsSeSeVjnjjnjjjnjjjTTDnjeeXXYtsYVTTTTjTjTTP,.,2 , 110. .max0000(P)(D).32例題例題:考慮具有一個(gè)輸入和一個(gè)輸出的問題考慮具有一個(gè)輸入和一個(gè)輸出的問題,它們由下表給出它們由下表給出:1 3 42 3 1輸入輸出考察決策單元考察決策單元1,相應(yīng)的線性規(guī)劃模型為相應(yīng)的線性規(guī)劃模型為

32、:0,123243.min321321321321ssts其最優(yōu)解為:0, 1,)0 , 0 , 1 (00ssT知決策單元1為DEA有效(C2GS2).331 3 42 3 1輸入輸出考察決策單元考察決策單元2,相應(yīng)的線性規(guī)劃模型為相應(yīng)的線性規(guī)劃模型為:0,1332343.min321321321321ssts其最優(yōu)解為:0, 1,)0 , 1 , 0(00ssT知決策單元2為DEA有效(C2GS2).341 3 42 3 1輸入輸出考察決策單元考察決策單元3,相應(yīng)的線性規(guī)劃模型為相應(yīng)的線性規(guī)劃模型為:0,1132443.min321321321321ssts其最優(yōu)解為:1, 0, 4/1,

33、)0 , 0 , 1 (00ssT知決策單元3不為DEA有效(C2GS2)T(1,2)(3,3)(4,1).351 3 42 3 1輸入輸出對(duì)于決策單元對(duì)于決策單元2,為為DEA有效有效(C2GS2),但卻不是但卻不是DEA(C2R)有有效效.0,332343.min321321321ssts其最優(yōu)解為:21,)0 , 0 ,23(00T知決策單元2不為DEA有效(C2R)T(1,2)(3,3)(4,1)T(1,2)(3,3)(4,1)其其C2R模型為模型為:.36三、評(píng)價(jià)第三、評(píng)價(jià)第j0決策單元決策單元DMU純規(guī)模效率模型為：純規(guī)模效率模型為： *s（6） 根據(jù)DEA的理論，總體效率*、純技

34、術(shù)效率*、純規(guī)模效率s*三個(gè)參數(shù)之間存在（6）式所述的關(guān)系，由（6）可直接計(jì)算DMU的純規(guī)模效率。 .37四、具有錐比率的四、具有錐比率的C2WH模型模型假設(shè)有假設(shè)有n個(gè)決策單元對(duì)應(yīng)的輸入數(shù)據(jù)和輸出數(shù)據(jù)如下個(gè)決策單元對(duì)應(yīng)的輸入數(shù)據(jù)和輸出數(shù)據(jù)如下XY1 2 nm1s1矩陣為nmxxxXn),.,(21矩陣為nsyyyYs),.,(21 VEVmint,并且為閉凸錐 UEUsint,并且為閉凸錐為閉凸錐nEK則則C2WH模型如下：模型如下：njUVXKYXtsYVTjTjTTP,.,2 , 1,1. .max00 .38則則C2WH模型如下：模型如下：njUVXKYXtsYVTjTjTTP,.,2

35、 , 1,1. .max00 (P)結(jié)論結(jié)論:(1)若規(guī)劃若規(guī)劃P存在最優(yōu)解存在最優(yōu)解 ,滿足滿足*0*0.minKUYYVXXtsVD (D)00, UVYVTpint,int, 10000 100YVTp 則稱決策單元?jiǎng)t稱決策單元j0為弱為弱DEA有效有效(C2WH) (2)若規(guī)劃若規(guī)劃P存在最優(yōu)解存在最優(yōu)解 ,滿足滿足00, 則稱決策單元?jiǎng)t稱決策單元j0為為DEA有效有效(C2WH).39使用凸錐去度量決策單元的使用凸錐去度量決策單元的DEA有效性時(shí)有效性時(shí),相應(yīng)的生產(chǎn)可能相應(yīng)的生產(chǎn)可能集為集為:),(),(),( | ),(*KUVYXYXYXT其中其中, 0|*VvvvvVT對(duì)任意,

36、 0|*UuuuuUT對(duì)任意, 0|*KkkkkKT對(duì)任意若令若令nsmEKEUEV,則錐比率模型則錐比率模型(P)和和(D)化為化為C2R模型模型0, 010. .max00XYXtsYVTjTjTTP(P)000.min00YYXXtsVD(D)可見可見C2WH模型是模型是C2R模型的推廣模型的推廣.40例題例題:考慮具有二個(gè)輸入和一個(gè)輸出的問題考慮具有二個(gè)輸入和一個(gè)輸出的問題,它們由下表給出它們由下表給出:3 3 410 1 3 21 1 2 1輸入輸出在使用在使用C2R模型評(píng)價(jià)時(shí)模型評(píng)價(jià)時(shí),決策單元決策單元1,2,3均為均為DEA有效有效(C2R).以決策單元以決策單元2為例為例.其其

37、C2R模型為模型為:0,13024023303010. .max121211211211211211tsVp其最優(yōu)解為其最優(yōu)解為故為故為DEA有效有效(C2R)1, 1, 06361010PTV .41 我們知道我們知道,在使用在使用DEA方法評(píng)價(jià)部門間的相對(duì)有效性時(shí)方法評(píng)價(jià)部門間的相對(duì)有效性時(shí),變量變量v表示對(duì)輸入的權(quán)系數(shù)表示對(duì)輸入的權(quán)系數(shù),它表示各種不同輸入之間的相它表示各種不同輸入之間的相對(duì)重要對(duì)重要;變量變量u表示對(duì)輸出的權(quán)系數(shù)表示對(duì)輸出的權(quán)系數(shù),表示各種不同輸出之間表示各種不同輸出之間的相對(duì)重要性的相對(duì)重要性.于是于是,在在C2R模型中的線性規(guī)劃模型中的線性規(guī)劃(P)中的中的和和也具

38、有同樣的意義也具有同樣的意義.在求線性規(guī)劃問題在求線性規(guī)劃問題(P)的最優(yōu)解時(shí)的最優(yōu)解時(shí),實(shí)際實(shí)際上是選取對(duì)決策單元上是選取對(duì)決策單元j0最為有利的權(quán)系數(shù)最為有利的權(quán)系數(shù).在很多實(shí)際問題在很多實(shí)際問題中中,每項(xiàng)輸入每項(xiàng)輸入(或輸出或輸出)的重要性是不盡相同的的重要性是不盡相同的(例如某項(xiàng)生產(chǎn)例如某項(xiàng)生產(chǎn)活動(dòng)中輸入可以是黃金和煤炭的情況活動(dòng)中輸入可以是黃金和煤炭的情況).因此因此,權(quán)系數(shù)的選取權(quán)系數(shù)的選取應(yīng)該滿足一定的限制應(yīng)該滿足一定的限制.在上述例子中在上述例子中,決策單元決策單元2是是DEA有效有效(C2R)時(shí)時(shí),表示輸入項(xiàng)目表示輸入項(xiàng)目1和輸入項(xiàng)目和輸入項(xiàng)目2的重要性之比是的重要性之比是3

39、:10201 如果事先認(rèn)為第一項(xiàng)輸入與第二項(xiàng)輸入的重要性之比為如果事先認(rèn)為第一項(xiàng)輸入與第二項(xiàng)輸入的重要性之比為100201 則必須使用則必須使用C2WH模型模型,此時(shí)此時(shí),對(duì)決策單元對(duì)決策單元2,有有:.420,),(13024023303010. .max121211211211211211VtsVTp其中0, 010|),(22121 TV求解結(jié)果為求解結(jié)果為03225. 0,3225. 0,53225. 0211 不為不為DEA有效有效(C2WH)下面討論當(dāng)下面討論當(dāng)V,U,K為多面凸錐時(shí)的為多面凸錐時(shí)的C2WH模型模型.令令,.,2 , 1, 0|1miaVimiii ,.,2 , 1, 0|1sibUrsrrr mmmaaaA 21sssbbbB 21則有則有0|*0|*BuuUAvvV.43AX1 AX2 AXn By1 By2 BYn1 2 nm1s 1因此因此,將將DEA模型轉(zhuǎn)化為具有模型轉(zhuǎn)化為具有 個(gè)輸入和具有個(gè)