2021版一輪復習理數(shù)通用版：高考達標檢測（四十一）,,圓錐曲線綜合問題——直線與圓錐曲線位置關(guān)系

1、2021版一輪復習理數(shù)通用版：高考達標檢測（四十一）,圓錐曲線綜合問題直線與圓錐曲線位置關(guān)系 高考達標檢測（四十一） 圓錐曲線的綜合問題 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 一、選擇題 1 已知過拋物線 y 2 4x 的焦點 F 的直線 l 交拋物線于 A， ，B 兩點，且點 A 在第一象限，若 若|AF| 3 ，則直線 l 的斜率為( ) A 1 B. 2 C. 3 D 2 2 解析：選 選 D 由題意可知焦點 F(1,0) ，設(shè) A(x A ，y A ) ， 由 由|AF| 3 x A 1 ，得 x A 2 ，又點 A 在第一象限， 故 故 A(2,2 2) ，故直線 l 的斜率為 2 2. 2 若

2、直線 y kx 2 與拋物線 y 2 x 有一個公共點，則實數(shù) k 的值為( ) A. 18 B 0 C. 18 或或 0 D 8 或 或 0 解析：選 選 C 由 由î î ï ïí íï ïì ì y kx 2， ，y 2 x ，得 得 ky 2 y 2 0 ， 若 若 k 0 ，直線與拋物線有一個交點，則 y 2 ， 若 若 k 0 ，則 1 8k 0， ， k 18 ， 知 綜上可知 k 0 或 18 . 3 已知雙曲線 C： ： x2a 2 y2b 2 1(agt;0 ，bgt;0)

3、，過點 P(3,6) 的直線 l 與 與 C 相交于 A ，B 兩點，且 且 AB 的中點為 N(12,15) ，則雙曲線 C 的離心率為( ) A 2 B. 32 C. 3 55 D.52 解析：選 選 B 設(shè) 設(shè) A(x 1 ， ，y 1 ) ，B(x 2 ， ，y 2 ) ， 由 由 AB 的中點為 N(12,15)， ，得 得 x 1 x 2 24 ，y 1 y 2 30 ， 由î îí íì ì x 2 1a 2 y21b 2 1， ，x 2 2a 2 y22b 2 1， ，兩式相減得 ： ( (x1 x 2 ) )( (x

4、 1 x 2 ) )a 2 ( (y1 y 2 ) )( (y 1 y 2 ) )b 2， ， 則 y1 y 2x 1 x 2 b2 ( (x 1 x 2 ) )a 2 ( (y 1 y 2 ) ) 4b25a 2 . 線 由直線 AB 的斜率 k 15 612 3 1 ， 4b25a 2 1， ， 則 b2a 2 54 ， 率 雙曲線的離心率 e ca 1 b2a 2 32 . 4 已知拋物線 C ：y 2 8x 與點 M( 2,2) ，過 C 的焦點且斜率為 k 的直線與 C 交于 A， ，B 兩點若MA MB 0 ，則 k ( ) A. 12 B.22 C. 2 D 2 解析：選 選 D

5、 如圖所示，設(shè) F 為焦點，取 AB 的中點 P ，過 A ，B 分別作準線 l 的垂線，垂足分別為 G ，H ，連接 MF ，MP ， 由 由MA MB 0 ，知 MA MB ，則|MP| 12 |AB| 12 (|AG| |BH|) ， 以 所以 MP 為直角梯形 BHGA 的中位線， 以 所以 MP AG BH ，所以 GAM AMP MAP ， 又 又|AG| |AF| ，AM 為公共邊，所以 AMG AMF ， 所以 AFM AGM 90 ，則 MF AB ，所以 k 1k MF 2. 5知 已知 F 是雙曲線 x2a 2 y2b 2 1(a 0 ，b 0) 的右焦點，A ，B 分別

6、為其左、右頂點O為坐標原點，D 為其上一點，DF x 軸過點 A 的直線 l 與線段 DF 交于點 E ，與 y 軸交于點 點 M ，直線 BE 與 與 y 軸交于點 N ，若 3|OM| 2|ON| ，則雙曲線的離心率為( ) A 3 B 4 C 5 D 6 解析：選 選 C 如圖，設(shè) A( a,0) ，B(a,0) ，M(0 ，2m) ，N(0 ，3m) 線 則直線AM 的方程為y 2max 2m ，直線BN 的方程為y 3max 3m. 線 直線 AM ，BN 的交點 D(c ，y 0 ) ， 2mca 2m 3mca 3m ，則 ca 5 ， 為 雙曲線的離心率為 5. 6 斜率為 1

7、 的直線 l 與橢圓 x24 y 2 1 相交于 A ，B 兩點，則|AB| 的最大值為( ) A 2 B. 4 55 C. 4 105 D. 8 105 解析：選 選 C 設(shè) 設(shè) A ，B 兩點的坐標分別為(x 1 ，y 1 ) ，(x 2 ， ，y 2 ) ，直線 l 的方程為 y x t ， 由î î ï ïí íï ïì ì x 2 4y 2 4， ，y x t去 消去 y ，得 5x 2 8tx 4(t 2 1) 0. 則 則 x 1 x 2 85 t ，x 1 x 2 4( (t2

8、1) )5. |AB| 1 k 2 |x 1 x 2 | 1 k 2 ( (x 1 x 2 ) ) 2 4x 1 x 2 2 è èæ æø øö ö 85 t2 4 4( (t2 1) )5 4 25 5 t 2 ， ， 當 故當 t 0 時，|AB| max 4 105. 二、填空題 7 焦點是 F(0,5 2) ，并截直線 y 2x 1 所得弦的中點的橫坐標是 27 的橢圓的標準方程為 為_ 解析： 設(shè)所 求的橢圓方程為 y2a 2 x2b 2 1(agt;bgt;0) ，直線被橢圓所截弦的端點為 A(x 1

9、 ，y 1 )， ，B(x 2 ，y 2 ) 弦 由題意，可得弦 AB 的中點坐標為 è èæ æø øö öx 1 x 22， y1 y 22， ， 且 x1 x 22 27 ， y1 y 22 37 . 將 將 A ，B 兩點坐標代入橢圓方程中，得î îí íì ì y 2 1a 2 x21b 2 1， ，y 2 2a 2 x22b 2 1. 兩式相減并化簡，得 a2b 2 y1 y 2x 1 x 2 y 1 y 2x 1 x 2 2 6747 3 ，

10、 以 所以 a 2 3b 2 .又 又 c 2 a 2 b 2 50 ，所以 a 2 75 ，b 2 25. 故所求橢圓的標準方程為 y275 x225 1. 答案： y275 x225 1 8 經(jīng)過雙曲線 x2a 2 y2b 2 1(a 0 ，b 0)為 的右焦點，傾斜角為 60 的直線與雙曲線有且只 有一個交點，則該雙曲線的離心率為_ 解析： 經(jīng)過雙曲線 x2a 2 y2b 2 1(a 0 ，b 0) 的右焦點， 為 傾斜角為 60 的直線與雙曲線有且只有一個交點， 根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)知線 所給直線應與雙曲線的一條漸近線 y ba x 平行， ba tan 60 3 ，即 b 3a ，

11、c a 2 b 2 2a ，故 e ca 2. 答案：2 9 拋物線 x 2 4y 與直線 x 2y 2 0 交于 A ，B 兩點，且 A ，B 關(guān)于直線 y 2x m則 對稱，則 m 的值為_ 解析：設(shè) 設(shè) A(x 1 ， ，y 1 ) ，B(x 2 ，y 2 ), 聯(lián)立î î ï ïí íï ïì ì x 2 4y， ，x 2y 2 0去 消去 y ，得 x 2 2x 4 0. 則 則 x 1 x 2 2， ， x1 x 22 1. y 1 y 2 12 (x 1 x 2 ) 2 3， ，

12、y1 y 22 32 . A ，B 關(guān)于直線 y 2x m 對稱， AB 的中點在直線 y 2x m 上， 即 32 2 1 m ，解得 m 72 . 答案： 72 三、解答題 10 橢圓 C： ： x2a 2 y2b 2 1(a b 0) 的離心率為33點 ，過右焦點 F 2 (c,0) 垂直于 x 軸的直線與于 橢圓交于 P ，Q 兩點且|PQ| 4 33點 ，又過左焦點 F 1 ( c,0) 作直線 l 交橢圓于兩點 (1) 求橢圓 C 的方程； (2) 若橢圓 C 上兩點 A ，B 關(guān)于直線 l 對稱，求 AOB 面積的最大值 解：(1) 由題意可知|PQ| 2b2a 4 33. 率

13、又橢圓的離心率 e ca 1 b2a 2 33，則 b2a 2 23 ， 由 得 解得 a 2 3 ，b 2 2 ， 橢圓的方程為 x23 y22 1. (2) 由(1) 可知左焦點 F 1 ( 1,0), 線 依題意，直線 l 不垂直 x 軸，當直線 l 的斜率 k 0 時，可設(shè)直線 l 的方程為 y k(x 1)(k 0) ，則直線 AB 的方程可設(shè)為 y 1k x m ，A(x 1 ，y 1 ) ，B(x 2 ，y 2 ) ， 聯(lián)立î îí íì ì y 1k x m ，x 23 y22 1， ，整理得(2k 2 3)x 2 6

14、kmx 3k 2 m 2 6k 2 0 ， ( 6km) 2 4 (2k 2 3)(3k 2 m 2 6k 2 ) 0 ， 則 則 m 2 k 2 2k 2 3 0 ， x 1 x 2 6km2k 2 3 ，x 1 x 2 3k2 m 2 6k 22k 2 3. 設(shè) 設(shè) AB 的中點為 C(x C ，y C ) ， 則 則 x C x1 x 223km2k 2 3 ，y C 2k 2 m2k 2 3 . 點 點 C 在直線 l 上， 2k 2 m2k 2 3 k è èæ æø øö ö3km2k 2 3 1 ，

15、則 則 m 2k 3k ， 時 此時 m 2 2 3k 2 4k 2 6k 2 10 0 與 與 故 矛盾，故 k 0 時不成立. 線 當直線 l 的斜率 k 0 時，A(x 0 ，y 0 ) ，B(x 0 ，y 0 )(x 0 0 ，y 0 0) ， AOB 的面積 S 12 2y 0 x 0 x 0 y 0 . x203 y202 1 2 x 2 03 y 2 02 63x 0 y 0 ， x 0 y 0 62. 當且僅當 x203 y202 12 時取等號 AOB 的面積的最大值為62. 11 已知拋物線 E ：y 2 2px(p 0) 的焦點 F ，E 上一點(3 ，m) 到焦點的距離

16、為 4. (1) 求拋物線 E 的方程； (2)過 過 F 作直線 l ，交拋物線 E 于 于 A ，B 兩點，若直線 AB 中點的縱坐標為1 ，求直線l 的方程 解：(1) 拋物線 E ：y 2 2px(p 0) 的準線方程為 x p2 ， 知 由拋物線的定義可知 3 è èæ æø øö ö p2 4 ， 得 解得 p 2， ， 線 拋物線 E 的方程為 y 2 4x. (2) 法一：由 由(1) 得拋物線 E 的方程為 y 2 4x ，焦點 F(1,0) ， 設(shè) 設(shè) A ，B 兩點的坐標分別為 A(x 1 ，

17、y 1 ) ，B(x 2 ，y 2 ) ， 則î î ï ïí íï ïì ì y 2 1 4x 1 ，y 2 2 4x 2 ， 兩式相減，整理得 y2 y 1x 2 x 1 4y 2 y 1 (x 1 x 2 ) 段 線段 AB 中點 的縱坐標為1 ， 線 直線 l 的斜率 k AB 4y 2 y 1 4( ( 1) ) 2 2 ， 線 直線 l 的方程為 y 0 2(x 1) ，即 2x y 2 0. 法二：由 由(1) 得拋物線 E 的方程為 y 2 4x ，焦點 F(1,0) ， 線 設(shè)

18、直線 l 的方程為 x my 1 ， 由î î ï ïí íï ïì ì y 2 4x， ，x my 1去 消去 x ，得 y 2 4my 4 0. 設(shè) 設(shè) A ，B 兩點的坐標分別為 A(x 1 ，y 1 ) ，B(x 2 ，y 2 ) ， 段 線段 AB 中點的縱坐標為1 ， y1 y 22 4m21 ，解得 m 12 ， 線 直線 l 的方程為 x 12 y 1 ，即 2x y 2 0. 12 (2021 海口調(diào)研) 已知橢圓 C： ： x2a 2 y2b 2 1(agt;bgt;0) 的

19、左，右頂點分別為 A ，B ，其離心率 率 e 12 點，點 M 為橢圓上的一個動點， MAB 面積的最大值是 2 3. (1) 求橢圓 C 的方程； (2) 若過橢圓 C 右頂點 B 的直線 l 與橢為 圓的另一個交點為 D ，線段 BD 的垂直平分線與 y點 軸交于點 P ，當 PB PD 0 時，求點 P 的坐標 解：(1) 由題意可知î îï ïí íï ïì ì e ca 12 ，12 2ab 2 3， ，a 2 b 2 c 2 ， 得 解得 a 2 ，b 3 ，所以橢圓方程為 x24

20、 y23 1. (2) 由(1)知 知 B(2,0) ，設(shè)直線 BD 的方程為 y k(x 2) ，D(x 1 ，y 1 ) ， 把 把 y k(x 2) 代入橢圓方程 x24 y23 1 ， 整理得(3 4k 2 )x 2 16k 2 x 16k 2 12 0 ， 以 所以 2 x 1 16k 23 4k 2 x 1 8k2 63 4k 2 則，則 D è è ç çæ æø ø÷ ÷ö ö8k 2 63 4k 2 ， 12k3 4k 2， ， 以 所以 BD 中點的坐標為

21、 è è ç çæ æø ø÷ ÷ö ö8k 23 4k 2 ， 6k3 4k 2， ， 線 則直線 BD 的垂直平分線方程為 y 6k3 4k 2 1k è èæ æø øö öx 8k 23 4k 2得 ，得 P è èæ æø øö ö0， ，2k3 4k 2. 又 又 PB PD 0 ，即 è 

22、32;æ æø øö ö2 ，2k3 4k 2è èç çæ æø ø÷ ÷ö ö8k 2 63 4k 2 ， 14k3 4k 2 0 ， 化簡得 64k4 28k 2 36( (3 4k 2 ) ) 2 0 64k 4 28k 2 36 0 ， 得 解得 k 34 . 故故 P è èæ æø øö ö0， ， 27或 è &

23、#232;æ æø øö ö0 ， 27. 1 已知橢圓 C： ： x2a 2 y2b 2 1(agt;bgt;0) 的短軸長為 2 ，離心率為22線 ，設(shè)過右焦點的直線 l 與 與圓 橢圓 C 交于不同的兩點 A ，B ，過 A ，B 作直線 x 2 的垂線 AP ，BQ ，垂足分別為 P ，Q.記 記 |AP| |BQ|PQ|線 ，若直線 l 的斜率 k 3 ，則 的取值范圍為_ 解析： 圓 橢圓 C ： x2a 2 y2b 2 1(agt;bgt;0) 的短軸長為 2 ，離心率為22， ， î îï

24、 ïí íï ïì ì 2b 2， ，ca 22，a 2 b 2 c 2 ，得 解得 a 2 ，b c 1 ， 圓 橢圓 C 的方程為 x22 y 2 1. 線 過右焦點的直線 l 與橢圓 C 交于不同的兩點 A ，B ， 線 設(shè)直線 l 的方程為 y k(x 1) ， 聯(lián)立î îï ïí íï ïì ì x 22 y 2 1， ，y k( (x 1) )得 得(2k 2 1)x 2 4k 2 x 2k 2 2 0, 設(shè) 設(shè)

25、A(x 1 ， ，y 1 ) ，B(x 2 ， ，y 2 ) ，y 1 y 2 ， ， 則 則 x 1 x 2 4k 22k 2 1 ，x 1 x 2 2k2 22k 2 1 ， |AP| |BQ|PQ| 2 x 1 2 x 2y 1 y 2 4 ( (x 1 x 2 ) )k( (x 1 1) ) k( (x 2 1) ) 4 ( (x 1 x 2 ) )k ( (x 1 x 2 ) ) 2 4x 1 x 2 4 4k 22k 2 1k è èæ æø øö ö4k 22k 2 12 4 2k2 22k 2 12

26、k 2 2k 2 2k 2 . k 3 ， 當 當 k 3 時， max 2 23 2 63當 ，當 k 時， min 2 ， 的取值范圍是 è èæ æû ûù ù2， ， 2 63. 答案 ： è èæ æû ûù ù2， ， 2 63 2 已知動點 M 到定點 F(1,0) 的距離比 M 到定直線 x 2 的距離小 1. (1) 求點 M 的軌跡 C 的方程； (2) 過點 F 任意作互相垂直的兩條直線 l 1 ， ，l 2 線 ，分別交曲線 C 于點 A ，B 和 和 M ，N. 設(shè)線段AB ，MN 的中點分別為 P ，Q ，求證：直線 PQ 恒過一個定點； (3) 在(2) 的條件下，求 FPQ 面積的最小值 解：(1) 由題意可知，動點 M 到定點 F(1,0) 的距離等于 M 到定直線 x 1 的距離， 點 根據(jù)拋物線的定義可知，點 M 的軌跡 C 是拋物線， 點 所以點 M 的軌跡 C 的方程為 y 2 4x. (2) 證明：設(shè) A ，B 兩點坐標分別為(x 1 ，y 1 ) ，(x 2 ，y 2 ) ， 點 則點 P 的坐標為 è