結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)習(xí)題解答一二章

1、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)習(xí)題解答第一章單自由度系統(tǒng)1.1 總結(jié)求單自由度系統(tǒng)固有頻率的方法和步驟。單自由度系統(tǒng)固有頻率求法有：牛頓第二定律法、動(dòng)量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。1、牛頓第二定律法適用范圍：所有的單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)。解題步驟：(1)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行受力分析，得到系統(tǒng)所受的合力；(2) 利用牛頓第二定律 mx F ,得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程；(3) 求解該方程所對(duì)應(yīng)的特征方程的特征根，得到該系統(tǒng)的固有頻率。2、動(dòng)量距定理法適用范圍：繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)。解題步驟：(1)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行受力分析和動(dòng)量距分析；(2) 利用動(dòng)量距定理 J M ,得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程；(3) 求解該方程所對(duì)應(yīng)

2、的特征方程的特征根，得到該系統(tǒng)的固有頻率。3、拉格朗日方程法：適用范圍：所有的單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)。解題步驟：(1)設(shè)系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)為，寫出系統(tǒng)對(duì)于坐標(biāo)的動(dòng)能T和勢(shì)能U的表達(dá)式；進(jìn)一步寫求出拉格朗日函數(shù)的表達(dá)式：L=T-U ;(2) 由格朗日方程 一(一') =0,得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程；dt(3) 求解該方程所對(duì)應(yīng)的特征方程的特征根，得到該系統(tǒng)的固有頻率。4、能量守恒定理法適用范圍：所有無(wú)阻尼的單自由度保守系統(tǒng)的振動(dòng)。解題步驟：(1)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析、選廣義坐標(biāo)、寫出在該坐標(biāo)下系統(tǒng)的動(dòng)能T和勢(shì)能U的表達(dá)式；進(jìn)一步寫出機(jī)械能守恒定理的表達(dá)式T+U=Const(2) 將能量守恒定理 T+

3、U=Const對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得零，即d(U) 0,進(jìn)一步得到系 統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程；(3) 求解該方程所對(duì)應(yīng)的特征方程的特征根，得到該系統(tǒng)的固有頻率。1.2敘述用衰減法求單自由度系統(tǒng)阻尼比的方法和步驟。用衰減法求單自由度系統(tǒng)阻尼比的方法有兩個(gè)：衰減曲線法和共振法。方法一：衰減曲線法。求解步驟：(1)利用試驗(yàn)測(cè)得單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng)曲線，并測(cè)得周期和相鄰波峰和波谷的幅值A(chǔ)、A 1。Ai 、(2)由對(duì)數(shù)最減率定義ln()，進(jìn)一步推導(dǎo)有A 1212'因?yàn)檩^小，所以有2方法二：共振法求單自由度系統(tǒng)的阻尼比。(1)通過(guò)實(shí)驗(yàn)，繪出系統(tǒng)的幅頻曲線，如下圖:29IJh單自由度系統(tǒng)的幅頻曲線(2)分析以上幅

4、頻曲線圖，得到：進(jìn)一步最后1,2 max / " 2(1 2(1 21 /2 n42 /4；/21.3敘述用正選弦激勵(lì)求單自由度系統(tǒng)阻尼比的方法和步驟。用正選弦激勵(lì)求單自由度系統(tǒng)阻尼比的方法有兩個(gè)：幅頻(相頻)曲線法和功率法。方法一：幅頻(相頻)曲線法當(dāng)單自由度系統(tǒng)在正弦激勵(lì)F0 sin t作用下其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為:x Asin( t),其中:Fo2,22o 4nxstarctan 2/1從實(shí)驗(yàn)所得的幅頻曲線和相頻曲線圖上查的相關(guān)差數(shù)，由上述(1), (2)式求得阻尼比方法二：功率法:(1)單自由度系統(tǒng)在F0 sin t作用下的振動(dòng)過(guò)程中，在一個(gè)周期內(nèi),彈性力作功為Wc0、阻尼力做功為Wd

5、c A2激振力做作功為WfF0 sin ；(2) 由機(jī)械能守恒定理得，彈性力、阻尼力和激振力在一個(gè)周期內(nèi)所作功為零,即:Wc+Wd+Wf0；cA2Fosin進(jìn)一步得:A F0 sin , c(3)當(dāng) n時(shí)，sin1,Amaxxst ： 2,max2 max °1.4求圖1-35中標(biāo)出參數(shù)的系統(tǒng)的固有頻率。(1)此系統(tǒng)相當(dāng)于兩個(gè)彈簧串聯(lián)，彈簧剛度為k1、簡(jiǎn)支梁剛度為k2竺夏；等效剛度為k;有-L3kk1k248EIk348EI k1lL/2L/2kk2則固有頻率為:48EIl48EI k1l3 m(2)此系統(tǒng)相當(dāng)于兩個(gè)彈簧串聯(lián)，等效剛度為kk148EI則固有頻率為L(zhǎng)/2圖 1-33 (

6、a)圖 1-33 (b)1.5系統(tǒng)的等效剛度為3EI 3EIk ki 戶 ki -p-則系統(tǒng)的固有頻率為k1k1l3 3EI ml3(4)由動(dòng)量距定理m0 F I0得:得:kik1-0 2mki21)=!m122求下圖所示系統(tǒng)的固有頻率。圖中勻質(zhì)輪解：以 為廣義坐標(biāo)，則系統(tǒng)的動(dòng)能為TT重物T輪子1i21 P：(丁)2 2gR2 gP 2 x 2g系統(tǒng)的勢(shì)能能為：U重物拉格朗日函數(shù)為由拉格朗日方程一(丑) dt x圖 1-33 (d)A半徑R,重物B的重量為P/2,彈簧剛度為k.P 2 x 4gU彈簧1 Px kx2L=T-U ;P.cx kx0gXP 2 x 4g則,R,質(zhì)量為M作純滾動(dòng)。彈簧

7、剛度圖 1-35所以：系統(tǒng)的固有頻率為kg1.6求圖1-35所示系統(tǒng)的固有頻率。圖中蕨子半徑為 為K 。解：蕨子作平面運(yùn)動(dòng)，其動(dòng)能T=T平動(dòng)+T轉(zhuǎn)動(dòng)。T平動(dòng)T轉(zhuǎn)動(dòng)而勢(shì)能系統(tǒng)機(jī)械能2Mx24 Mx2-Mx2 4-Kx 2由±T U °得系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程dt得系統(tǒng)的固有頻率3 Mx43 Mx2Kx12Kx2 C2°；2K, 3M1.7求圖1-36所示齒輪系統(tǒng)的固有頻率。已知齒輪 量為m,半徑為rB,桿AC的扭轉(zhuǎn)剛度為A的質(zhì)量為m,半徑為KA ,桿BD的扭轉(zhuǎn)剛度為 Kb,r a,齒輪B的質(zhì)解：由齒輪轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系A(chǔ)r AB rB得角速度£a系統(tǒng)的動(dòng)能為:1 2

8、1T Ta Tb J a a Jbb2 2/21 mAA2 2/22 1 mBB212B mAmB rA4BA，BB s a;轉(zhuǎn)角系統(tǒng)的勢(shì)能為:；Ka a22KaKbKa系統(tǒng)的機(jī)械能為14 mAmBKaKb2 rA 2 rB圖 1-362Ka 2.Kb 2A ,bC；r d由T U 0 dt得系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程12 mA m b r a a22 %2 rB因此系統(tǒng)的固有頻率為:2 rA2 Ka Kb 2 rB2 mAmBa2 A2 Ka Kb 2 bmA mB1.8已知圖13 7所示振動(dòng)系統(tǒng)中，勻質(zhì)桿長(zhǎng)為數(shù)為C,求當(dāng)初始條件00 0時(shí)(1 ) f (t) F sin t 的穩(wěn)態(tài)解；(2) f (

9、t) (t)t 的解；解：利用動(dòng)量矩定理建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程L22 rdm化簡(jiǎn)得(1)將 f(t)2 mr drLmL212mL23CL23Cf(t) F sinmt的穩(wěn)態(tài)解;求F sin t代入方程(1)得3CL,質(zhì)量為m兩彈簧剛度皆為K,阻尼系Cf(t)L/2L/2KK圖 1 3 7L 26KL26K6K6Lf (t)；且 F sin t mL令 2n 3C;m6K .;hm常；得2n n2hsin t(3)設(shè)方程（3）的穩(wěn)態(tài)解為x Asin( t(4)將（4）式代入方程（3）可以求得:4n22L 6K2 2 m9C22n3C22arctg ,2；6Farctgmn2 2, 2（2）求 f

10、（t） （t）的解； 將f（t）（t）代入方程（1）得3C6KmL(t)(5)令 2n 3C; n2 m2nn2 h (t)(6)方程（6）成為求有阻尼的單自由度系統(tǒng)對(duì)于脈沖激勵(lì)初始加速度h （t）的響應(yīng)。由方程（6)可以得到h (t)然后積分求初始速度0d t(t)dt(t)dt h ；再積分求初位移0d t)dt0這樣方程（6）的解就是系統(tǒng)對(duì)于初始條件0的瞬態(tài)響應(yīng)Aentsin將其代入方程（6）可以求得:0;最后得x Ae nt sinntsin系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程是對(duì)于初始條件的響應(yīng):1.9圖1 38所示盒內(nèi)有一彈簧振子，其質(zhì)量為m阻尼為C,剛度為K,處于靜止?fàn)顟B(tài),方盒距地面高度為 H,求方盒

11、自由落下與地面粘住后彈簧振子的振動(dòng)歷程及振動(dòng)頻率。解：因?yàn)樵谧杂陕潴w過(guò)程中彈簧無(wú)變形，所以振子與盒子之間無(wú)相對(duì)位移。在粘地瞬間，12由機(jī)械能寸怛7E理mgH - mV0的振子的初速度 Vo底版與地面粘住后，彈簧振子的振動(dòng)是對(duì)于初速度V。 J頑的主動(dòng)隔振系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：mx Cx Kx 0;K/2或 x C x K x 0;m m或 x 2nx n2 x 0 ；ntx Ae sin d t2 x02x0 nx0x0-dx0arctgx0nx°2gHx sin dd1.10汽車以速度 況可以用正弦函數(shù)V在水平路面行使。y=hsin(at)表示。求：(1)建立汽車上下振動(dòng)的數(shù)學(xué)模型;

12、其單自由度模型如圖。設(shè) m k、c已知。路面波動(dòng)情(2)汽車振圖 1 3 9動(dòng)的穩(wěn)態(tài)解。解：(1)建立汽車上下振動(dòng)的數(shù)學(xué)模型；由題意可以列出其運(yùn)動(dòng)方程:my k(y y)c(y y)其中：y表示路面波動(dòng)情況；y 1表示汽車上下波動(dòng)位移。將其整理為：my cy ky ky cy(1)將y hsin(at)代入得my cy ky ach cos(at) khsin(at)(2)汽車振動(dòng)的穩(wěn)態(tài)解：設(shè)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為： y Asin( t a)代入系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程(1)可解得:I 2 a ,(k mc2 22)222h ；cmca acr tan(2k(k m 2) c1.11.若電磁激振力可寫為 F(t)

13、 H sin2ot ,求將其作用在參數(shù)為m k、c的彈簧振子上的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。解：首先將此激振力按照傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi):a。F(t)(a, cos(i t) bi sin(i t)a,2 t l .T 0 F(t)cos(i t)dt；bi2 tT 0 F(t)sin(iF(t)2 ,H sin ( ot)是偶函數(shù)，所以bi0。F(t)H2H cos(2 ot)x(t)H2kAsin(2 ot a /2)旦A2m(n242220 ) 16n2 oaarctan2n2/2 ，n40nc2m,2 k nm1其中:而式中bx3,求其等效粘性阻尼。因?yàn)镕d曰 正t)dt1.12.若流體的阻尼力可寫為解：(1)

14、流體的阻尼力為Fd(2)設(shè)位移為 x Acos()，而 dx xd t ;(3)流體的阻尼力的元功為dWdFd dx ( bx3xd t);(4)流體的阻尼力在一個(gè)振動(dòng)周期之內(nèi)所消耗的能量為:_344334W : Fddx： bx dx 一 bx dt b Acos( t a) dt b A4(5) 粘性阻尼力在一個(gè)振動(dòng)周期之內(nèi)所消耗的能量為：cA2(6) 等效粘性阻尼：取n，令 -b n3A4nceqA24q可得：Ceq jb n A2.1解:mx1kx1k(x1 x2);mx2k(x2 xi) kx2;mx12kx1 kx2°；X2mM-/圖 2-11-4JA 1mx2kx1 2

15、 kx2°；(1)（2）系統(tǒng)的特征方程x1A1 sin（ t將表達(dá)式（根據(jù)微分方程理論，設(shè)方程組（）;x2 A2sin（ t ）2）代入方程組（1）1）的解為:得:2A12kA1 kA2)sin( t第二章兩個(gè)自由度系統(tǒng)求如圖2-11所示系統(tǒng)的固有頻率和固有振型，并畫出振型（1）系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程(3)因?yàn)閟in( t）不可能總為零,所以只有前面的系數(shù)為零:(2kkA1m 2)Aj(2 kkA22)A22k mk2kA1A2(4)（3 ） 系統(tǒng)的頻率方程 列式等于零，即:若系統(tǒng)振動(dòng),則方程有非零解,那么方程組的系數(shù)行展開(kāi)得2k2k4mk3k2(5)kA12kA2) sin( t(6)

16、系統(tǒng)的固有頻率為:2 、3K / m（4）系統(tǒng)的固有振型2代入系統(tǒng)的特征方程（4）式中的任一式，得系統(tǒng)的固有振型，即各階振幅比為:匚墅1A。）1 ； (7)系統(tǒng)各階振型如圖所示：其中（ a）是一階振型，（b）是二階振型。i)Ai(1) sinj t i);. m1)(1)A1(1) sinLit 1) m、(2) (2) 3k1)A1sinCmt 1)5) 系統(tǒng)的主振動(dòng)系統(tǒng)的第一主振動(dòng)為x1A1(1) sin( 1 tx21.67A(1 2) sin(1.1& k tA?)sin( it系統(tǒng)的第一主振動(dòng)為-x(2)A1(2) sin( 21x22)A；2) sin( 212.2確定圖2

17、-12所示系統(tǒng)的固有頻率和固有振型。解：(1)系統(tǒng)的動(dòng)能12T J2m)U12122-(m)U2 mU1(2)系統(tǒng)的勢(shì)能因?yàn)閺椈缮隙薃B兩點(diǎn)的位移U2 2所以系統(tǒng)的勢(shì)能為Ua 2U1U1；UbU1U22；KV(2u12U1 U2 2U12U2 ) 2圖 2-12U2K 22、(5u 2u U2 U 2)；4系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)212mU1- mU22(4)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程LTVK 27(5U12U1U22 U2)U2 02K 八u2 02d L l可得由 Lagrange 方程0 j 1,2d t u j u j2mu1 - Ku12- K mu2Ku15KK2mu122u10m u2

18、KK u2022(6)系統(tǒng)的特征方程設(shè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程的解為u1A1 sin( t ) ,u2A2 sin( t )代入系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程得系統(tǒng)的特征方程K人(7)系統(tǒng)的頻率方程2 A2-25K2m-K22A10K2 KA20m22系統(tǒng)的特征方程有非零解得充分必要條件是其系數(shù)行列式為零,244m 7Km22K2022kK2K2Km222m0解得系統(tǒng)的固有頻率K10&mK2 1.18, - m(7) 系統(tǒng)的固有振型系統(tǒng)的固有振型將系統(tǒng)的固有頻率代入系統(tǒng)的特征方程中的任何一個(gè)可得1A羿0.28；Ak1.67 ;(8)系統(tǒng)的主振動(dòng)A1(1) sin( 11A；1)sin( 11A1(2)

19、sin( 1 tA；2) sin( 1 t1)A1 sin(0.6,t 1); m(1)1) 0.28A() sin(06 K t 1) ;m1)A sin(1.18, k t 1); m(1) 寫出用桿端鉛直位移 u1和u2表示的運(yùn)動(dòng)方程;(2) 寫出它的兩個(gè)固有頻率；(3) 畫出它的兩個(gè)固有振型；解：(1)均質(zhì)桿的運(yùn)動(dòng)微分方程2K以均質(zhì)桿的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，均質(zhì)桿的質(zhì)心1C的位移為uC - u1 u2 ；2圖 2-13u.；均質(zhì)桿繞質(zhì)心C的轉(zhuǎn)角為sin1 u2 uU2mucK(2u1均質(zhì)桿的運(yùn)動(dòng)微分方程KuL2u2)；KLu2 ；m(u1 u2)22mL u1 u212 LK(2uKu

20、 Lu2)；KL2 u2(4) 系統(tǒng)的頻率方程即m(U1 U2)2K(2uiu2)； 即 J mu1 mu2 4Ku 1 2 Ku2m u1 u2 6K 2u1u2 ；1 mu1 mu2 12Ku1 6Ku 2(2)系統(tǒng)的特征方程L設(shè)運(yùn)動(dòng)微分方程(1)的解為 u1A1 sin( t )、u2A2 sin( t<2.2. _m A1 mA2 4KA1 2 KA2 0 ；2 .2 . _m A1 m A2 12KA1 6KA2 0 ；即L4K m 2 2K m 2 A0m 2 12K 6K m 2 A20 ；),代入方程(1)0；0；系統(tǒng)的特征方程有非零解得充分必要條件是其系數(shù)行列式為零4K

21、2 m2 m12K2K6K2 m2 m0即m2412Km224K20解得系統(tǒng)的兩個(gè)固有頻率1 1.612 ； 2 3.066;(5) 系統(tǒng)的固有振型將系統(tǒng)的固有頻率代入系統(tǒng)的特征方程中的任何一個(gè)可得系統(tǒng)的兩階固有振型(8)系統(tǒng)的兩階主振動(dòng)u1()A1( 1 sin( 1 t"u；11禰11 sin( 1 tu羿A1(2) sin( 111)A1(2) sin(3.066t1);u；2)a22) sin( 111)1.81A(2) sin(3.066t1)2.4確定圖2-14所示系統(tǒng)的固有頻率和固有振型，并圓出固有振型。2mu12K(u2u1)：mu22K(u2u1)2mu12Ku12

22、Ku 2mu22KKu 12Ku2解：(1)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程即2k(1)u1u2(2)系統(tǒng)特征方程圖 2-14設(shè)運(yùn)動(dòng)微分方程(1)的解為u1和u2A1 sin( t ) A sin( t ),代入方程(1)r< K m2 A1 KA20;_ 2KA1即K m 22K，2 .2K mA2 0 ；KA10 ；2 K m 2 A20 '(3)系統(tǒng)頻率方程系統(tǒng)的特征方程有非零解得充分必要條件是其系數(shù)行列式為零K m 22KK02K2 m即4 m3K 20；解得1 0；2濟(jì)；m(4) 系統(tǒng)的固有振型將系統(tǒng)的固有頻率代入系統(tǒng)的特征方程中的任何一個(gè)可得系統(tǒng)的兩階固有振型A11丹(2)11 1

23、； ；A?(1)； a(2)(2)2 ；-1/22.5圖2-15所示的均質(zhì)細(xì)桿懸掛成一擺，桿的質(zhì)量為 的固有頻率和固有振型。解：(1)求均質(zhì)細(xì)桿質(zhì)心的坐標(biāo)和質(zhì)心的速度m,長(zhǎng)為L(zhǎng),懸線長(zhǎng)為L(zhǎng)/2 ,求該系統(tǒng)xcL 一一 sin 12'sin 2 MLcos 12'cos 2;XcL1 cos 212 cos2 ,ycL1 sin 12(2)求系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)L122121 .T V m xc yCJ C 2mgL cos 12222mL 21822 1 2 COS 12mL221 ,2mgL cos 1 cos 22422(3)求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程由 Lagrange

24、方程 0 j 1,2dt j j可得(4)系統(tǒng)特征方程設(shè)運(yùn)動(dòng)微分方程(3)系統(tǒng)頻率方程mL2mL2Lmg匚10 ;12442mL2mL2Lmg 二 20 ;41c232mL2mL2mgL0441210mL2mL220mgL20432一，L(mg-1A1 sin(t )和2A2 sin( tmL22mL2242)Ai42A20;2，LmL222A1(mg-32庇0;2(1)的解為),代入方程(1)L mL2 (mg242)2mL 24A102mL 2,L mL22、A204(mg - c)23.2mL4系統(tǒng)的特征方程有非零解得充分必要條件是其系數(shù)行列式為零L mL2(mg2 VmL2 22)mL

25、2 2(mg；4mL22)0;即L2 4 14g 2 12g20 ；解得系統(tǒng)的兩個(gè)固有頻率1 任；2 36、愕；(4) 系統(tǒng)的固有振型將系統(tǒng)的固有頻率代入系統(tǒng)的特征方程中的任何一個(gè)可得系統(tǒng)的兩階固有振型(22A213一11-13/11EKk*mk12X1&2X2 k22X2(1)(2)系統(tǒng)特征方程設(shè)方程組的解為x1 A sin t x2 A2 sint代入方程組(1)式得系統(tǒng)特征方程2mi|Ak,2 A20k11,2k22m2 A>0(3)系統(tǒng)頻率方程 因?yàn)榭紤]系統(tǒng)振動(dòng)的情況,所以要求方程(2)有非零解。而方程(2)有非零解的充要條件是其系數(shù)行列式等于零：K112m1K12，20

26、K12K 22m2即 k112m1) ( k222m?)卜2義210(2)1 12.6兩層樓用集中質(zhì)量表示如圖2-16所小的系統(tǒng)。其中 m1 - m2 - k1 - k2 -證明該系統(tǒng)2 2的固有頻率和固有振型為：k11;22k1 ; xix x 2;1 :2m1mx21)'(2) x2解：(1)系統(tǒng)振動(dòng)微分方程結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)習(xí)題解答(4)系統(tǒng)固有頻率K2ki,ik22kik23ki , m - m2ik22kik23ki, mi- m代入(3)式得kiki2，根據(jù)已知條件kiiki ,k2iki2ik.2k2;ik .炒,圖 2-16ki2 kimimiki2ki2mi(6)將系統(tǒng)固有頻

27、率代入系統(tǒng)特征方程系統(tǒng)固有振型:A?)ki2kiA；。2.imikiiki.ki2Ai(2)ki2kiA筍22mikii2ki ki2)得系統(tǒng)固有振型2 ；i ；(7) 系統(tǒng)的主振動(dòng):(i) Xi (i) X2Ai(i)(2)Xix2Aia22)證畢。i8圖 2-i7解：(i)建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程根據(jù)牛頓第二定律，分別對(duì)mi和m2列出振動(dòng)微分方程結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)習(xí)題解答即:2.,、m1x1 (k1 k2)x1 k2x2 m esin t)m2x2k2x1k2x20(1-2)(2求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：設(shè)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為x1A1 sin( t 1)x2 A2 sin( t a2)即x1C1 sin t C2

28、 cos tx2 D1 sin t D2 cos t將表達(dá)式(1-4 )代入式(1-2 ),根據(jù)兩個(gè)方程中包含(1-3)(1-4 )sin t的系數(shù)和為零及包含cos t的系數(shù)和為零，可得如下方程組:(m12 k1k2)C1k2 D1m 2e;.2(m1 k1k2)C2k2D20;2k2C1 ( m2k2)Di 0 ;(1-5)求解方程組(1-5 )得：C2 D2 022、C me(k2m2) .C14222 ;m1 m2m1k2m2k1k1k2 m2k22m ek2D1214,2,22 'mm? mk2 m2、kk2m?k2C2 D20;所以在公式x1A sin( t 1),x2 A

29、2 sin( t a2)中有(1-6)A1A22 八2、m e(k2m2)4,2,22 ;m1m2m k2m2k1k1k2 m2k22m ek242；2；2 ;m1m2m1k2mk1k2 m2k2(1-7)m1x1 k1x1 k2(x1 x2) f (t)(1-1)m2x2k2(x2x1)0411 2 12T MX2 -mX22 2系統(tǒng)的勢(shì)能2.8在如圖2-18所示的系統(tǒng)中，一水平力Fsin( 3 t)作用于質(zhì)量塊 M上，求使M不動(dòng)的條件。 解：(1)系統(tǒng)有兩個(gè)自由度，選廣義坐標(biāo)為x, 4(2)系統(tǒng)的動(dòng)能1 21-m(l ) 一 2mlx cos X2 2(3)KXxw、V、公12,、U -2

30、kx mgl(l cos )(4) Lagrange 函數(shù)L T U1o 1 oL -(M m)x - ml(5) 對(duì)Lagrange函數(shù)求導(dǎo)2 mlx圖 2-18coskx2mglmgl cosL (M m)x ml cos xL , 2ml mlxcos;&上dt;3)dtxml 2(M m)x mlmlxcoscosL; 2kx ; xmlx sin mgl sin ;(6) Lagrange 方程dtAF sin t(M ml2m)x mlmlxcos因?yàn)檎駝?dòng)為微幅振動(dòng)，所以coscos 2kxmlx sin.2.1 ,sinF sinmgl sin(8) 解方程:設(shè) x As

31、in t,Bsint代入方程并整理得:22A 2(M m) B 2ml(122222Bml2 Aml 2 mlAB222) 2Ak2 Bmgl因?yàn)镸不動(dòng)，所以A=0。而B(niǎo)不能等于零，故,2.2mgl ml 0,解得2.9在圖2-19所示的系統(tǒng)中，軸的彎曲剛度為EJ,圓盤質(zhì)量為 m,它對(duì)其一條直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)L慣量為I=mR2/4,其中R=L/4。設(shè)軸在它的靜平衡位置時(shí)是水平的，且忽略軸的質(zhì)量。求系 統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程和固有頻率。解：(1)系統(tǒng)自由度、廣義坐標(biāo)：圖2-19所示的系統(tǒng)自由度 N=2,選Y、 為 廣義坐標(biāo)。(2)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程y iimy 121 ;i2my 221；L3L2L3EJ，12

32、2EJ，22 EJ(1)其中系數(shù)：(3)系統(tǒng)特征方程設(shè) y A1 sin t代入方程(1)得A2 sin t整理得A1 sin(A2 sin(11m12m)11m2 - ,A1 sin( t)12m2 - ,A1 sin( t.3< mL21 -12I3EJ2,222 IL2EJ、.2 - ,)12I A2 sin( t、.2 - ,)22IA2 sin( ttt122L I2EJ202L1 20EJ)0;)0;(4)系統(tǒng)固有頻率特征方程(2)由非零解的充分必要條件是其系數(shù)行列式等于零:4 mL32 L2121 3EJ2EJ0L 21 L22EJEJ32頃2 4地之1 0;192 EJ

33、48EJ解得:1.62 EJV一L I mL8.6 EJL mL2.10圖2-20所示的是兩自由度系統(tǒng)。其中Pi求系統(tǒng)的固有頻率、振型和 ui的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。Pcos( t) , k=987,m=1 , C=0.6284 , C 0.0628,解：(1)系統(tǒng)自由度、廣義坐標(biāo) 系統(tǒng)自由度N=2;廣義坐標(biāo)選u1和u2(2)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程 根據(jù)牛頓第二定律，寫出 mu1Ku1 K (u2 u1) C (u2mu2Ku2 Cu2 C (u1 u2)寫成矩陣形式:m 0 U1 C C CC C CU1U10 m u2U2U2P cos t0(2)系統(tǒng)的固有頻率和振型對(duì)于系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程兩邊作拉氏變換得ms3 2 C C sUi(s)(Cs)U2 (s)Ps2(Cs K )U1(s)2 msK U2(s)2 msC C s(C s K2 ms(C s K )C C s K解得s1,20.31j31.4,s3,40.346 j37.37 ;因此31.4,37.37;系統(tǒng)的固有振型，即各階振幅比為:1A1布T(1)A21A：2)727"U2)A2系統(tǒng)的第一主振動(dòng)為M)X；1)A(1) sin(A；1)sin(1)1)A(1) sin( 1 t(1) A sin(1)；t 1)系統(tǒng)的第一主振動(dòng)為J2)X1