數(shù)學(xué)史與中學(xué)平面解析幾何教學(xué)的融合

1、    數(shù)學(xué)史與中學(xué)平面解析幾何教學(xué)的融合    梅雨 白玉梅摘 要：現(xiàn)如今在數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)史的教育價值越來越受到重視，在教學(xué)過程中將數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的融合可以說是教育新形勢的順應(yīng)產(chǎn)物，也是必然的趨勢。在普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）中也強(qiáng)調(diào)了教師應(yīng)該由注重學(xué)生能力的發(fā)展轉(zhuǎn)變?yōu)樽⒅貙W(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，而學(xué)科的歷史知識是學(xué)科素養(yǎng)的必要組成部分，可見將數(shù)學(xué)史知識融入數(shù)學(xué)教學(xué)的重要性。本文結(jié)合中學(xué)解析幾何的教學(xué)，從引入情境、引起興趣;幫助學(xué)生掌握概念、法則和定理;引經(jīng)據(jù)典、以史為鑒;傳遞數(shù)學(xué)思想和方法;培養(yǎng)數(shù)學(xué)審美五個方面，探討數(shù)學(xué)史與中學(xué)平面解析幾何教

2、學(xué)的融合，也從側(cè)面表明了數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的意義所在。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)史;解析幾何史;hpm;解析幾何教學(xué)中圖分類號：g642  文獻(xiàn)標(biāo)識碼：a  文章編號：1673-260x（2021）07-0097-04在如今的大數(shù)據(jù)時代背景下，數(shù)學(xué)以其精確、抽象、嚴(yán)格等特點在科學(xué)和經(jīng)濟(jì)生活中越來越顯示出其重要性和無法忽視的地位。數(shù)學(xué)幾乎滲透于其他任何一門學(xué)科當(dāng)中，作為它們的基石更是最為重要的探索工具，就以相對論的產(chǎn)生和發(fā)展來說，就是在數(shù)學(xué)的助力下不斷進(jìn)步。正如高斯曾說：“數(shù)學(xué)是科學(xué)的女王”。同時，在社會的發(fā)展進(jìn)程中，數(shù)學(xué)也總是能為人們解決一些生產(chǎn)生活中的困難。例如糧食產(chǎn)量的預(yù)結(jié)算問題，關(guān)

3、乎全國人民的肚子能否填飽，也正如m-克萊茵說過的那樣，數(shù)學(xué)能夠?qū)σ蛏鐣枰岢龅母黝悊栴}給予最完美的解決。所以，在全世界大數(shù)據(jù)化這樣一個時代背景下的數(shù)學(xué)教育自然也就至關(guān)重要，數(shù)學(xué)教育也要日新月異，跟上時代發(fā)展的步伐來適應(yīng)大環(huán)境的變化。因而數(shù)學(xué)史作為數(shù)學(xué)文化的有機(jī)組成部分漸漸顯現(xiàn)出其重要性，走進(jìn)許多教育工作者的眼中，進(jìn)而進(jìn)入數(shù)學(xué)課堂中。教育部2003年頒布的普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）中，在數(shù)學(xué)教材選修系列3中加入了數(shù)學(xué)史選講，并且排在第一位，足見數(shù)學(xué)史的教育意義。而且我國在新頒布的普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）中新增了學(xué)科核心素養(yǎng)、學(xué)業(yè)質(zhì)量、課程結(jié)構(gòu)三個重要的部分，并且在其中還著重強(qiáng)調(diào)

4、教師應(yīng)該由注重學(xué)生能力的發(fā)展轉(zhuǎn)變?yōu)樽⒅貙W(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。課程目標(biāo)由原來的“雙基”轉(zhuǎn)變?yōu)椤八幕?，即?shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，基本技能，基本思想，基本活動經(jīng)驗，以及“四能”，即從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，分析和解決問題的能力。而數(shù)學(xué)史對學(xué)生素質(zhì)能力的培養(yǎng)，提高學(xué)生學(xué)科熱情，加深對數(shù)學(xué)的理解都有相當(dāng)積極的促進(jìn)作用，更是提升了學(xué)生眼中數(shù)學(xué)的學(xué)科魅力，彰顯了數(shù)學(xué)這門學(xué)科悠久的文化底蘊(yùn)，讓這門古老的學(xué)科散發(fā)無限光彩。正如代欽1所言，今天數(shù)學(xué)教育的所有成果都是古代數(shù)學(xué)教育的積淀，都是在前人工作的基礎(chǔ)上取得的。數(shù)學(xué)教育雖然取得了舉世矚目的發(fā)展，但這是多少代人艱辛耕耘的結(jié)果。中國數(shù)學(xué)教育亦走過了曲折而坎坷的道路，積

5、累豐富經(jīng)驗的同時也經(jīng)歷了深刻的教訓(xùn)。由此我們可以深刻地領(lǐng)會“由古知今”“以史為鑒”的真正含義。美國jesse l.m.wilkins2也認(rèn)為一個人的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的內(nèi)容應(yīng)包括：掌握數(shù)學(xué)中的實用性知識;具備數(shù)學(xué)推理能力;認(rèn)識到數(shù)學(xué)的社會影響和效用;理解數(shù)學(xué)的現(xiàn)狀和歷史;對數(shù)學(xué)持有積極的態(tài)度。將數(shù)學(xué)史加入數(shù)學(xué)課程中正是為了讓學(xué)生從歷史的角度來認(rèn)識數(shù)學(xué)，理解數(shù)學(xué)知識和其現(xiàn)實意義。數(shù)學(xué)史融入教學(xué)具有諸多的優(yōu)點，汪曉勤3已經(jīng)對教師的價值以及對學(xué)生的價值兩方面做出了總結(jié)：對教師來說，可以進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教學(xué)并充實自身教學(xué)材料增加教學(xué)趣味性，同時幫助教師更加了解學(xué)生，從而改進(jìn)教學(xué);對于學(xué)生來說，可以增加學(xué)習(xí)興

6、趣并幫助思考，同時拓寬知識面并深入了解數(shù)學(xué)。如果被忽視自然不利于學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)以及數(shù)學(xué)教育工作更完善的展開，而位居數(shù)學(xué)教學(xué)一線的各位數(shù)學(xué)教師也都開始關(guān)注課堂上數(shù)學(xué)史知識的滲透。而如何融入，怎樣讓數(shù)學(xué)史的加入使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)達(dá)到最理想的效果，也是所有教師一直以來不斷探索的內(nèi)容之一，以下就數(shù)學(xué)史融入高中平面解析幾何教學(xué)列出幾點作用以供參考。平面解析幾何是高中重要的內(nèi)容之一，理科教材是在必修2和選修2-1中，而文科教材在必修2和選修1-1當(dāng)中，同時平面解析幾何史也是高中數(shù)學(xué)選修3-1第四講的內(nèi)容。平面解析幾何史料主要可以包括與其相關(guān)的所有：人物事件、數(shù)學(xué)問題、概念術(shù)語、公式定理、數(shù)學(xué)思想、工具符號

7、，這些都可以融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，汪曉勤4教授提出了數(shù)學(xué)史融入教學(xué)的五種方式，點綴式、附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式、重構(gòu)式，以由淺入深的不同方式將數(shù)學(xué)歷史知識應(yīng)用到教學(xué)中，所以根據(jù)這四種方式，我們可以將一些數(shù)學(xué)史內(nèi)容融入平面解析幾何的教學(xué)中，從而對學(xué)生的學(xué)習(xí)起到一定的積極作用。1 融入數(shù)學(xué)史 引入情境、引起興趣以必修2的第二章，平面解析幾何的第一節(jié)直線的傾斜角和斜率為例，就可以結(jié)合數(shù)學(xué)史對直線與圓等內(nèi)容的討論，幫助學(xué)生體會解析幾何的基本思想的同時切入主題。老師可以結(jié)合多媒體中的圖片以及動態(tài)模型進(jìn)行情境導(dǎo)入：“16世紀(jì)以來，社會生產(chǎn)力和科學(xué)技術(shù)以飛速發(fā)展，幾何學(xué)的發(fā)展需要與人文、地理的多方面的發(fā)展相適應(yīng)

8、，例如開普勒研究發(fā)現(xiàn)了行星是繞著太陽沿著橢圓軌道運行，伽利略發(fā)現(xiàn)將物體投擲出去的運動軌跡是拋物線，可見這些重大發(fā)現(xiàn)都與圓錐曲線有關(guān)，而解析幾何則應(yīng)運而生。解析幾何的鼻祖，笛卡爾透徹地看到代數(shù)方法的力量，出于一種對方法論的強(qiáng)烈興趣，他想到了把一切問題變?yōu)閿?shù)學(xué)問題，再把一切數(shù)學(xué)問題變?yōu)榇鷶?shù)問題進(jìn)行解決。因此，他把代數(shù)應(yīng)用到了幾何當(dāng)中，并且引入了“坐標(biāo)”這一概念，利用“坐標(biāo)法”，提出方程表示曲線的思想，最終以“坐標(biāo)”這一媒介實現(xiàn)了幾何問題的代數(shù)化，建立了解析幾何。那么，從這節(jié)課開始我們學(xué)習(xí)第二章，解析幾何初步的第一節(jié)直線的傾斜角和斜率?！边@樣的引入非常順暢，多媒體展示的天體運行圖片以及拋物線圖片，一

9、方面利用數(shù)學(xué)史實引起學(xué)生的興趣，另一方面說明數(shù)學(xué)來源于生活且服務(wù)于生活，切合學(xué)生的實際，同時對解析幾何的簡單介紹，引導(dǎo)學(xué)生對解析幾何產(chǎn)生初步的思考，讓學(xué)生也明確了本章的目標(biāo)，能夠總覽全章。接下來進(jìn)入新課直線的傾斜角和斜率，在學(xué)習(xí)本章節(jié)之前，學(xué)生們已經(jīng)了解了直線方程的斜截式、點斜式以及兩點式等表達(dá)式，并且知道了直線的斜截式方程y=ax+b中x的系數(shù)a是“直線與x軸所成角”的正切。于是，用傾斜角的正切來定義斜率，成了人們唯一的選擇。據(jù)此，我們在教學(xué)中主要采用重構(gòu)式來融入數(shù)學(xué)史，讓學(xué)生在認(rèn)知上有一個過渡：從直線方程入手，引導(dǎo)學(xué)生探索斜率的幾何意義;在此基礎(chǔ)之上，再定義傾斜角與斜率5。2 讓學(xué)生掌握概

10、念、法則和定理教師以為學(xué)生重現(xiàn)知識點的概念、公式、定理的發(fā)現(xiàn)和演變過程的方式，幫助學(xué)生理解新知，同時也能加深學(xué)生對各種數(shù)學(xué)公式和定理的理解和記憶，而前人的探索過程也會讓學(xué)生拉近與數(shù)學(xué)的距離，讓學(xué)生們感受到數(shù)學(xué)是真實的、有溫度的、有靈魂的。阿波羅尼斯用平面切割圓錐的方法來研究曲線。例如：用垂直于錐軸的平面去截圓錐能夠得到圓;而把平面逐漸的傾斜，則可以得到橢圓;接下來平面傾斜到（當(dāng)且僅當(dāng)）與圓錐的一條母線平行時，就得到了拋物線;用平行于圓錐的軸的平面截取，就可以得到雙曲線的一支。這些都是前人孜孜不倦探索的結(jié)果，教師可以利用多媒體將這些曲線的發(fā)現(xiàn)過程動態(tài)展示出來，或者也可以讓學(xué)生通過觀摩手動截圓錐，

11、親身來體驗圓錐曲線的形成。還有例如蘇教版數(shù)學(xué)教材采用了旦德林雙球模型，將其動態(tài)演示出來也是同樣的道理。這樣既增加了課堂的趣味性引起學(xué)生興趣，同時可以加深學(xué)生對不同曲線概念的理解。這里采用的是hpm中的附加式和復(fù)制式。還比如，點到線的距離公式推導(dǎo)過程有很多種，可以從眾多的前人采用的方法中選取一個學(xué)生比較容易接受的方法為主線交點法，采用開放式教學(xué)，拋出“交點法”作為橄欖枝后，不再進(jìn)行提示，讓學(xué)生自由探索，主導(dǎo)課堂6。這里采用的是hpm中的重構(gòu)式。3 引經(jīng)據(jù)典 以史為鑒數(shù)學(xué)史融入高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的各個環(huán)節(jié)中，讓學(xué)生看到所有的數(shù)學(xué)家在探尋數(shù)學(xué)真理時所經(jīng)歷的數(shù)不清的困難、挫折，再到他們經(jīng)過不懈的努力最

12、終迎來勝利的曙光。了解到數(shù)學(xué)知識的形成過程中種種艱辛是數(shù)學(xué)史的又一個重要作用以史育人。在教學(xué)過程中，教師要積極主動地倡導(dǎo)學(xué)生以史為鑒，形成正確的數(shù)學(xué)觀，正確認(rèn)識數(shù)學(xué)、積極主動地探索問題解決的方法，享受學(xué)習(xí)過程中的樂趣，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，樹立自信心，形成健全人格7。以史為鑒，其實也是向前人學(xué)習(xí)，在前人的經(jīng)驗中吸取經(jīng)驗或者是教訓(xùn)，少走彎路，縮短知識的探索時間。又或者是在前人留下的問題中受到啟發(fā)，從而將思路引向更深奧的數(shù)學(xué)海洋，探索、發(fā)現(xiàn)更加深刻的學(xué)問。笛卡爾認(rèn)為希臘人留給后人的幾何方法過于抽象和特殊，是“笨拙和不必要的”，他清楚地看到代數(shù)方法的無限潛力，出于一種對方法論的強(qiáng)烈興趣，笛卡爾著手把代

13、數(shù)應(yīng)用于幾何中。他引入了“坐標(biāo)”的概念，利用“坐標(biāo)法”，提出了方程表示曲線這一思想，最終以“坐標(biāo)”這一媒介，實現(xiàn)了幾何問題的代數(shù)化8。古希臘數(shù)學(xué)家在研究圓錐曲線各種性質(zhì)時，提出了“三線軌跡”和“四線軌跡”問題。亞里斯塔歐和歐幾里得都未能完全解決這兩個軌跡問題，后來經(jīng)過阿波羅尼斯堅持不懈的努力才讓兩種軌跡大白于天下。希臘數(shù)學(xué)家們又繼續(xù)問：五線和五線以上的情形又如何呢（帕普斯問題）？9再到后來的笛卡爾、費馬，解析幾何的歷史長河就是在一代又一代人共同的探索中發(fā)展、成熟。4 傳遞數(shù)學(xué)思想和方法數(shù)學(xué)史研究數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法的起源與發(fā)展，可以毫不夸張地說，數(shù)學(xué)的歷史就是數(shù)學(xué)思想方法的發(fā)展史10。

14、回顧數(shù)學(xué)史的長河，就可以發(fā)現(xiàn)這句話的意義。每一次數(shù)學(xué)史的變革，每一次偉大的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)都伴隨著新的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法的涌現(xiàn)。我們更重要的工作應(yīng)該是把這些學(xué)術(shù)成就中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想開發(fā)性地展示出來，使學(xué)生得到這些數(shù)學(xué)思想的陶冶，從中得到有益的啟迪11。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)活動實踐經(jīng)驗的概括，是一種文化傳承和發(fā)展12。解析幾何包含了許多的數(shù)學(xué)思想方法。4.1 化歸思想化歸思想在解析幾何課程中可以說是隨處可見，比如：在對空間曲面的研究中，像橢球面、拋物面等，利用平行截面法將復(fù)雜空間圖形的研究化歸為比較熟悉的平面曲線的研究;對平面與空間有線相關(guān)位置的判定轉(zhuǎn)化為相關(guān)的法矢量

15、及方向矢量垂直與否的判定等13。4.2 數(shù)形結(jié)合思想解析幾何中包含的數(shù)學(xué)思想方法之一就是數(shù)形結(jié)合思想，解析幾何其實就是把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式，就是尋求方法去把空間或平面的幾何結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)量化和代數(shù)化，即建立坐標(biāo)系，使得有序的實數(shù)組或?qū)崝?shù)對與空間或平面的點一一對應(yīng)8，這里面坐標(biāo)系是作為數(shù)形結(jié)合的一個橋梁再在此基礎(chǔ)上，建立作為動點軌跡的曲線、曲面的方程，最終實現(xiàn)由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化。4.3 函數(shù)與方程思想列方程和函數(shù)式是幾何求解問題的主要策略，而這里面蘊(yùn)含的主要數(shù)學(xué)思想便是函數(shù)與方程思想。這點從求解曲線方程時所應(yīng)用的待定系數(shù)法，以及點、直線、曲線的方程的表達(dá)形式就可以看出。同時，直線、橢圓、雙曲線等

16、的方程式并不是唯一的，可以根據(jù)問題的不同情況選取不同的表達(dá)式進(jìn)行解答，從而大大減少了運算量，也節(jié)省了時間。4.4 向量思想向量法是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是一種典型的數(shù)學(xué)思想方法，向量在將幾何問題代數(shù)化中起著橋梁的作用。通過向量的坐標(biāo)可以把解析幾何的很多問題數(shù)量化，從而將推理轉(zhuǎn)化成運算，可以起到避免討論、化繁為簡、降低難度等效果。向量坐標(biāo)的代數(shù)運算，開辟了幾何代數(shù)化的新路，成為解決解析幾何問題的一把利劍14。4.5 類比思想圓錐曲線的定義具有一定的相似性，例如橢圓與雙曲線之間，從表達(dá)式、交點、漸近線、離心率等這些內(nèi)容都有一定的相似性，所以它們之間可類比的案例比較多，因此，在教學(xué)時可以融會貫通

17、，舉一反三，通過對橢圓的學(xué)習(xí)過程的回顧，在學(xué)生學(xué)習(xí)下一部分雙曲線的內(nèi)容時引導(dǎo)學(xué)生利用類比等方法進(jìn)行簡單的推理，從而融會貫通，舉一反三地學(xué)習(xí)新知。同時，這樣也有利于促進(jìn)學(xué)生自主思考，培養(yǎng)學(xué)生的主動性。5 培養(yǎng)數(shù)學(xué)審美數(shù)學(xué)史證明，審美追求是數(shù)學(xué)發(fā)展的動力之一;數(shù)學(xué)教育的實踐也證明，審美追求也對學(xué)好數(shù)學(xué)有重要作用15。對數(shù)學(xué)的完美不懈的探索，這種美就是單純不含雜質(zhì)地對數(shù)學(xué)之美的追求?？v觀解析幾何的發(fā)展歷程，從古希臘數(shù)學(xué)家提出的三線軌跡和四線軌跡問題，到費馬、笛卡爾的解析幾何，一直到現(xiàn)在為止，解析幾何可以說是代數(shù)與幾何的完美統(tǒng)一，解析幾何知識體系也一直在不斷地被數(shù)學(xué)家們注入新鮮血液。解析幾何本身是數(shù)學(xué)

18、的重要組成部分之一，其本身也處處體現(xiàn)著數(shù)學(xué)之美，解析幾何中的研究對象直線、平面、圓錐曲線、圓錐曲面等等，從它們的代數(shù)方程到圖像都給世人展示著數(shù)學(xué)的對稱美、和諧美。笛卡爾坐標(biāo)系的提出達(dá)成了代數(shù)與幾何的統(tǒng)一，同時一條直線或者曲線有不同的表達(dá)式，可以根據(jù)情況選擇用哪種方程來表達(dá)，這也使得解析幾何變得更加容易被學(xué)習(xí)者理解和學(xué)習(xí)，這也體現(xiàn)出解析幾何的靈活多變和簡潔美。還有邏輯美、嚴(yán)謹(jǐn)美這些數(shù)學(xué)知識的固有特性也在解析幾何中都有體現(xiàn)。最后，以美育人是數(shù)學(xué)教育又一個內(nèi)在。數(shù)學(xué)課程的德育，是指在學(xué)習(xí)和掌握數(shù)學(xué)科學(xué)知識的過程中，對發(fā)展人的道德認(rèn)知、道德行動、道德態(tài)度所具有的教育作用和意義。數(shù)學(xué)課程不僅傳遞著數(shù)學(xué)認(rèn)

19、知信息，同時也發(fā)揮著德育和教化的作用。對數(shù)學(xué)課程的德育進(jìn)行數(shù)學(xué)心理學(xué)上的分析，有助于更好地發(fā)揮數(shù)學(xué)課程的德育功能16，其中數(shù)學(xué)史更是具有德育價值。數(shù)學(xué)史是一部愛國主義教育的好教材;數(shù)學(xué)史處處閃耀辯證唯物主義的光環(huán);數(shù)學(xué)史教育對學(xué)生科學(xué)人生觀、價值觀的形成，有著深遠(yuǎn)的意義17。解析幾何發(fā)展的漫漫長路中涌現(xiàn)出了許多優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家，歐幾里得和他的幾何原本、阿波羅尼斯及其圓錐曲線、笛卡爾和他的幾何學(xué)、費馬與他的解析幾何，等等，這些數(shù)學(xué)大家對數(shù)學(xué)的炙熱，對目標(biāo)、對夢想的不懈追求，值得每個人尊重和敬佩。當(dāng)然，解析幾何史上也有中國濃墨重彩的一筆，公元前十五世紀(jì)，已用甲骨文記錄了“規(guī)”和“矩”，“規(guī)”是用來畫圓

20、的“矩”是用來畫方的。比歐幾里得還早一百多年的墨子給出了圓的定義：“圓，一中同長也”、漢代石刻中有類似直角三角形的圖形;大約在公元前二世紀(jì)左右，中國已記載了著名的勾股定理;祖沖之和趙友欽的圓周率計算;我國數(shù)學(xué)家項名達(dá)（1789-1850）用割圓連比例求出橢圓周長18，這些也值得每一個學(xué)生為中國的解析幾何探究史感到驕傲，受到鼓舞，感受到中華文化的博大精深，感受中華民族文化長河的光輝燦爛。當(dāng)今的數(shù)學(xué)教育強(qiáng)調(diào)創(chuàng)新、因材施教，最終目的也是為了學(xué)生更“明白”地學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的融合是教育新形勢下的必然結(jié)果，而且根據(jù)種種反饋可以看出，這種方式確實有利于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。解析幾何作為數(shù)學(xué)的重要分支，學(xué)生學(xué)

21、好解析幾何當(dāng)然也是非常有必要的，與數(shù)學(xué)史的融合可以幫助學(xué)生更容易、更主動接收解析幾何知識，也為許多數(shù)學(xué)教師提供了教學(xué)新思路，值得各位數(shù)學(xué)教師認(rèn)真思索。參考文獻(xiàn)：1代欽.中國數(shù)學(xué)教育史（第2版）m.北京：北京師范大學(xué)出版社，2018.2jesse l. m. wilkins. special issue article： preparing for the 21st century： the status of quantitative literacy in the united statesj. school science and mathematics， 2000， 100（08）.3汪曉勤.hpm：數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育m.北京：科學(xué)出版社，2017.4蒲淑萍，汪曉勤.數(shù)學(xué)史怎樣融入數(shù)學(xué)教材：以中、法初中數(shù)學(xué)教材為例j.課程·教材·教法，2012，32（08）：63-68.5楊懿