動量定理動量守恒定律

1、太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系2-3 動量定理動量定理 動量守恒定律動量守恒定律一、動量一、動量討論討論 1 1）動量是描寫運(yùn)動狀態(tài)的量）動量是描寫運(yùn)動狀態(tài)的量 ，是狀態(tài)的單值函數(shù)。，是狀態(tài)的單值函數(shù)。 2 2）動量是矢量。動量是矢量。 3 3）動量有相對性（因為速度與參照系有關(guān)）。）動量有相對性（因為速度與參照系有關(guān)）。 當(dāng)力在一段時間內(nèi)對物體持續(xù)作用時，需要討當(dāng)力在一段時間內(nèi)對物體持續(xù)作用時，需要討論論力的時間累積效應(yīng)力的時間累積效應(yīng)。vmP 質(zhì)點(diǎn)的動量質(zhì)點(diǎn)的動量太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系二、質(zhì)點(diǎn)的動量定理二、質(zhì)點(diǎn)的動量定理重寫牛頓第二定律的微分形式重寫牛頓第二定律的微分形

2、式pddtF2121ppttpddtF考慮一過程，時間從考慮一過程，時間從t t1- -t t2，兩端積分，兩端積分21ppddpFt上式左邊定義為力上式左邊定義為力 從從 t1 時刻到時刻到 t2 時刻的沖量時刻的沖量F21ttdtFI太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系于是得到積分形式于是得到積分形式動量定理：動量定理：質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動過程中所受到的合外力的質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動過程中所受到的合外力的沖量，等于該質(zhì)點(diǎn)動量的增量。沖量，等于該質(zhì)點(diǎn)動量的增量。動量動量狀態(tài)量狀態(tài)量沖量沖量過程量過程量動量定理是過程量和狀態(tài)量增量的關(guān)系。動量定理是過程量和狀態(tài)量增量的關(guān)系。1221dpptFIttvmp 21dtt

3、tFI太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系1)1)沖量的方向：沖量的方向： 沖量沖量 的方向一般不是某一瞬時力的方向一般不是某一瞬時力 的方向，的方向，而是所有元沖量而是所有元沖量 的合矢量的合矢量 的方向的方向。IiFtF d 21dtttF1p2pp由動量定理可知：沖量的方向與動量增量方向相由動量定理可知：沖量的方向與動量增量方向相同。即同。即 的方向與的方向與 的方向相同。的方向相同。pIdtFI討論討論太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系帆船逆風(fēng)行駛就是例證帆船逆風(fēng)行駛就是例證船船帆帆航航向向風(fēng)風(fēng)0v0vvvFFF風(fēng)從與船航向風(fēng)從與船航向成成 角方向吹來，設(shè)角方向吹來，設(shè)風(fēng)的初速風(fēng)的初

4、速v0，由于帆的作用，風(fēng)的，由于帆的作用，風(fēng)的方向改變，大小幾乎不變，根據(jù)動方向改變，大小幾乎不變，根據(jù)動量定理，風(fēng)受帆的作用力量定理，風(fēng)受帆的作用力 與與 方向一致，風(fēng)給帆的作用力方向一致，風(fēng)給帆的作用力vFF 在船航行方在船航行方向的分量推動船向的分量推動船前進(jìn)。前進(jìn)。v太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系2)2)在直角坐標(biāo)系中將矢量方程改為標(biāo)量方程在直角坐標(biāo)系中將矢量方程改為標(biāo)量方程xxttxxmmtFI1221dvvyyttyymmtFI1221dvvzzttzzmmtFI1221dvv3)3)動量定理是牛頓第二定律的積分形式，因此其動量定理是牛頓第二定律的積分形式，因此其使用范圍是慣

5、性系。使用范圍是慣性系。4)4)動量定理在處理變質(zhì)量問題時很方便。動量定理在處理變質(zhì)量問題時很方便。太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系5)5)動量定理在打擊或碰撞問題中用來求平均力。動量定理在打擊或碰撞問題中用來求平均力。t2t1t FF打擊或碰撞，力打擊或碰撞，力 的方向保持不變，曲線與的方向保持不變，曲線與t 軸軸所包圍的面積就是所包圍的面積就是 t1 到到 t2 這段時間內(nèi)力的沖量這段時間內(nèi)力的沖量的大小，根據(jù)改變動量的等效性，得到平均力。的大小，根據(jù)改變動量的等效性，得到平均力。F將積分用平均力代替將積分用平均力代替tPF平均力平均力tFtFtt21d太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物

6、理系6)6) 物體的動量相對于不同的慣性系是不同的，但物體的動量相對于不同的慣性系是不同的，但動量定理不變動量定理不變. .例例 汽車以恒定速度汽車以恒定速度 相對于地面平動，車內(nèi)水平相對于地面平動，車內(nèi)水平桌面上有一小球，小球的速度由桌面上有一小球，小球的速度由 變?yōu)樽優(yōu)?，以，以u1v2v地面和車分別為參考系寫出動量定理。地面和車分別為參考系寫出動量定理。um1v2v太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系以車為參考系，小球動量的改變以車為參考系，小球動量的改變1vm2vm1221vvmmdtFtt以地面為參考系，小球動量的改變以地面為參考系，小球動量的改變)(1umv)(2umv)()(12

7、21umumdtFttvv12vvmm太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系例例1 質(zhì)量為質(zhì)量為 m 的小球在水平面內(nèi)作速率為的小球在水平面內(nèi)作速率為 v 的勻速的勻速圓周運(yùn)動，試求小球在經(jīng)過四分之一圓周的過程中，圓周運(yùn)動，試求小球在經(jīng)過四分之一圓周的過程中，所受到的沖量。所受到的沖量。解：解：由動量定理，所受沖量由動量定理，所受沖量I 的方向：的方向：I 的大小為：的大小為：21Ippp A0B1p2p 1p2ppx21pp 43-vmppI22221太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系例例2 2 列車在平直鐵軌上裝煤列車在平直鐵軌上裝煤,列車空載時質(zhì)量為列車空載時質(zhì)量為m0,煤炭以速率煤炭以

8、速率v1豎直流入車廂豎直流入車廂,每秒流入質(zhì)量為每秒流入質(zhì)量為 。假設(shè)列車與軌道間的摩擦系數(shù)為假設(shè)列車與軌道間的摩擦系數(shù)為 ,列車相對于地列車相對于地面的運(yùn)動速度面的運(yùn)動速度v2保持不變保持不變,求機(jī)車的牽引力求機(jī)車的牽引力F。解：解：車和煤為系統(tǒng)車和煤為系統(tǒng), ,如圖建立坐標(biāo)系。如圖建立坐標(biāo)系。tt+dt 時刻，時刻，dm = dt120d)()(vvttmtp20)d()d(vttmttp)()d(dtpttppt d)(1vv21v2vxy太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系gt)(mNfF0dtpd2v fF10)(vNgtmfF2vN2v)()(120vvgtm12vvgtmN)(0

9、1v豎直方向豎直方向水平方向水平方向1v2vxyg)(0tmFfN太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系例例3 一顆子彈在槍筒里前進(jìn)時所受的合力大小為一顆子彈在槍筒里前進(jìn)時所受的合力大小為)SI(31044005tF 子彈從槍口射出時的速率為子彈從槍口射出時的速率為300 m/s ，假設(shè)子彈離開槍，假設(shè)子彈離開槍口時合力剛好為零，則口時合力剛好為零，則（1）子彈走完槍筒全長所用的時間）子彈走完槍筒全長所用的時間 t 54 100400030.003( )Ftt s即)(31044005SItF太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系30.62 10 ()2( )300ImIm -0kggvv5200

10、.0034 10(400)60.6()ttIFdtttN s（2）子彈在槍筒中所受力的沖量）子彈在槍筒中所受力的沖量 I（3）子彈的質(zhì)量）子彈的質(zhì)量 m太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系解：解：由沖量定義有由沖量定義有20dtfI2023)2( 210dtktjti t例例4 一質(zhì)點(diǎn)受合外力作用，外力為一質(zhì)點(diǎn)受合外力作用，外力為ktjti tf23)2(210求此質(zhì)點(diǎn)從靜止開始在求此質(zhì)點(diǎn)從靜止開始在2s內(nèi)所受合外力的沖量和內(nèi)所受合外力的沖量和質(zhì)點(diǎn)在質(zhì)點(diǎn)在2s末的動量。末的動量。(SI)20202203)2(210kdttjdttitdtsN8420kji太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系1

11、2ppI2psN84202kjip2p2228420sN9 .21IIxcos91. 0IIycos18. 0IIzcos37. 0太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系1.1.質(zhì)點(diǎn)系：質(zhì)點(diǎn)系： 由有相互作用的質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)。由有相互作用的質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)。 ( (以由兩個質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系為例以由兩個質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系為例) ) 在質(zhì)點(diǎn)動量定理的基礎(chǔ)上，討論兩個或兩個以上物在質(zhì)點(diǎn)動量定理的基礎(chǔ)上，討論兩個或兩個以上物體組成的系統(tǒng)的動量定理，導(dǎo)出動量守恒定律。體組成的系統(tǒng)的動量定理，導(dǎo)出動量守恒定律。質(zhì)點(diǎn)系的動量定理質(zhì)點(diǎn)系的動量定理內(nèi)力內(nèi)力 :系統(tǒng)內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)間的相互作用力系統(tǒng)內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)間的相互作用力

12、特點(diǎn)特點(diǎn):成對出現(xiàn)；大小相等方向相反成對出現(xiàn)；大小相等方向相反結(jié)論：結(jié)論：質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力之和質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力之和為零為零0ijif 質(zhì)點(diǎn)系的重要結(jié)論之一質(zhì)點(diǎn)系的重要結(jié)論之一m2 m11F2F12f21f太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系系統(tǒng)動量定理系統(tǒng)動量定理將動量定理分別用于這兩個物體得：將動量定理分別用于這兩個物體得：21112110()ttFfdtpp21221220()ttFfdtpp 外力外力: 系統(tǒng)系統(tǒng)外部外部對質(zhì)點(diǎn)系對質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)部內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)的作用力質(zhì)點(diǎn)的作用力對對m1 對對m2 將上兩式相加，根據(jù)牛頓第三定律：將上兩式相加，根據(jù)牛頓第三定律： 12210ffm2 m11F2F12f21f

13、太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系2112121020()()()ttFF dtpppp系統(tǒng)所受合外力的沖量等于系統(tǒng)總動量的增系統(tǒng)所受合外力的沖量等于系統(tǒng)總動量的增量，稱為量，稱為系統(tǒng)動量定理。系統(tǒng)動量定理。可得可得: :(1) (1) 什么力可改變質(zhì)點(diǎn)的動量什么力可改變質(zhì)點(diǎn)的動量? ?(2) (2) 什么力可以改變系統(tǒng)的總動量什么力可以改變系統(tǒng)的總動量? ?(3) (3) 用質(zhì)點(diǎn)系動量定理處理問題的方便之處用質(zhì)點(diǎn)系動量定理處理問題的方便之處在那里？在那里？思考思考太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系將上式推廣到多個質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)將上式推廣到多個質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)將系統(tǒng)內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)將系統(tǒng)內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)

14、受力之和受力之和寫成寫成iifFiF表示第表示第i個質(zhì)點(diǎn)所受外力之和個質(zhì)點(diǎn)所受外力之和if表示第表示第i個質(zhì)點(diǎn)所受內(nèi)力之和個質(zhì)點(diǎn)所受內(nèi)力之和對對 mi 使用動量定理：使用動量定理：02121iittittipptftFdd太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系對所有質(zhì)點(diǎn)求和：對所有質(zhì)點(diǎn)求和：22110()()ttiiiiiittF dtf dtPP22110()ttiiiiiiittFdtf dtPP外力沖量之和外力沖量之和ittidtf21ittidtF21內(nèi)力沖量之和內(nèi)力沖量之和太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系化簡上式：化簡上式：2211()ttiiiittFdtF dt由于每個質(zhì)點(diǎn)的受

15、力時間由于每個質(zhì)點(diǎn)的受力時間dt 相同相同，所以：所以：將所有的外力共點(diǎn)力相加將所有的外力共點(diǎn)力相加iiFF外tFtFttittidd2121外太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系再看再看內(nèi)力內(nèi)力沖量之和沖量之和同樣，由于每個質(zhì)點(diǎn)的受力時間同樣，由于每個質(zhì)點(diǎn)的受力時間dt 相同相同，所以：所以：21tiitf dt 2121)(ttiiittitftfdd內(nèi)力的沖量之和為零內(nèi)力的沖量之和為零因為因為內(nèi)力之和為零內(nèi)力之和為零：0iif所以有：所以有：021ittitf d-質(zhì)點(diǎn)系的重要結(jié)論之二質(zhì)點(diǎn)系的重要結(jié)論之二太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系000iiiiiiiiiimPPmPP最后簡寫右

16、邊令：最后簡寫右邊令：質(zhì)點(diǎn)系的動量定理為質(zhì)點(diǎn)系的動量定理為（積分形式）（積分形式）22110()ttiiiiiiittFdtf dtPP210titif dt 2211ttittiF dtF dt外左邊左邊210ttF dtPP外太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系四、動量守恒定律四、動量守恒定律當(dāng)當(dāng) 時，時， 0iF上式稱為上式稱為動量守恒定律動量守恒定律。結(jié)論：結(jié)論：當(dāng)系統(tǒng)不受外力或合外力為零時，系統(tǒng)總當(dāng)系統(tǒng)不受外力或合外力為零時，系統(tǒng)總動量在運(yùn)動中保持不變，內(nèi)力的作用僅僅改變總動量在運(yùn)動中保持不變，內(nèi)力的作用僅僅改變總動量在各物體之間的分配。動量守恒定律是物理動量在各物體之間的分配。動量

17、守恒定律是物理學(xué)中又一條重要而又具有普遍性的定律。學(xué)中又一條重要而又具有普遍性的定律。系統(tǒng)動量原理系統(tǒng)動量原理210ttF dtPP外則有則有 =恒量恒量0PP太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系 1 1）系統(tǒng)的動量守恒是指系統(tǒng)的）系統(tǒng)的動量守恒是指系統(tǒng)的總動量不變總動量不變，系統(tǒng)內(nèi)任一物體的動量是可變的系統(tǒng)內(nèi)任一物體的動量是可變的, , 各物體的動量各物體的動量必相對于必相對于同一同一慣性參考系慣性參考系 . . 2 2）系統(tǒng)動量守恒條件）系統(tǒng)動量守恒條件 近似地認(rèn)為系統(tǒng)動量守恒近似地認(rèn)為系統(tǒng)動量守恒. . 例如在碰撞例如在碰撞, , 打擊打擊, , 爆炸等問題中爆炸等問題中. . iiii

18、fF當(dāng)當(dāng) 時，可略去外力的作用時，可略去外力的作用, 0iF合外力為零合外力為零討論：討論：太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系0 xF0 xxpp當(dāng)當(dāng)時，有時，有3）如果合外力在某一方向上的分量為零，則系統(tǒng)）如果合外力在某一方向上的分量為零，則系統(tǒng)在該方向的分量也是守恒的。在該方向的分量也是守恒的。若某一方向合外力為零若某一方向合外力為零, , 則此方向動量守恒則此方向動量守恒. . 4 4） 動量守恒定律動量守恒定律是一條最基本、最普遍的定律，是一條最基本、最普遍的定律，無論無論宏觀宏觀還是還是微觀微觀領(lǐng)域都可以使用。領(lǐng)域都可以使用。當(dāng)當(dāng)時，有時，有0yF0yypp5）用守恒定律作題，注意

19、分析過程、系統(tǒng)和條件。）用守恒定律作題，注意分析過程、系統(tǒng)和條件。太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系例例5 兩個相互作用的物體兩個相互作用的物體A和和B，無摩擦地在一條水，無摩擦地在一條水平直線上運(yùn)動。平直線上運(yùn)動。A的動量表達(dá)式的動量表達(dá)式 , pA0和和b為常量。為常量。btppAA0（1）開始時）開始時B靜止，求靜止，求B的動量的動量思考思考 在系統(tǒng)的動量變化中內(nèi)力起什么作用？有人說：在系統(tǒng)的動量變化中內(nèi)力起什么作用？有人說：因為內(nèi)力不能改變系統(tǒng)的總動量，所以不論系統(tǒng)內(nèi)因為內(nèi)力不能改變系統(tǒng)的總動量，所以不論系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)有無內(nèi)力作用，只要外力相同，則各質(zhì)點(diǎn)的各質(zhì)點(diǎn)有無內(nèi)力作用，只要外力相

20、同，則各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動情況就相同。這話對嗎？運(yùn)動情況就相同。這話對嗎？太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系（2）開始時）開始時B的動量為的動量為 ，求，求B的動量的動量0ApBAAApppp)(00btpppAB0解：解：把把A、B作為系統(tǒng)，系統(tǒng)在水平方向受合外力作為系統(tǒng)，系統(tǒng)在水平方向受合外力為零，故該方向動量守恒為零，故該方向動量守恒BABApppp00btpppAAB0太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系例例6 如圖所示如圖所示,設(shè)炮車以仰角設(shè)炮車以仰角 發(fā)射一炮彈，炮車發(fā)射一炮彈，炮車和炮彈的質(zhì)量分別為和炮彈的質(zhì)量分別為M和和m，炮彈相對于炮車的出，炮彈相對于炮車的出口速度為口速度為v，求

21、炮車的反沖速度，求炮車的反沖速度V。炮車與地面間。炮車與地面間的摩擦力不計。的摩擦力不計。解解 把炮車和炮彈看成一個系統(tǒng)。發(fā)炮前系統(tǒng)在豎把炮車和炮彈看成一個系統(tǒng)。發(fā)炮前系統(tǒng)在豎直方向上的外力有重力直方向上的外力有重力 和地面支持力和地面支持力 vMGN太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系水平分量為水平分量為Vuxcosv根據(jù)水平方向動量守恒定理有根據(jù)水平方向動量守恒定理有炮彈相對地面的速度為炮彈相對地面的速度為cosvMmmV炮車的反沖速度為炮車的反沖速度為 0cosVmMVv 討論：系統(tǒng)動量是否守恒討論：系統(tǒng)動量是否守恒?Vu v太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系例例7 總質(zhì)量為總質(zhì)量為M的載物小船以速度的載物小船以速度v在靜水中航行。在靜水中航行。然后，分別同時在船頭和船尾以相對船的速度然后，分別同時在船頭和船尾以相對船的速度u拋出質(zhì)量為拋出質(zhì)量為m和和2m的兩物體的兩物體, ,設(shè)設(shè)v、u在同一直線在同一直線上。問：拋出兩物