動(dòng)力學(xué)部分例題

1、動(dòng)力學(xué)例10.1例1 如圖，設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M在平面oxy內(nèi)運(yùn)動(dòng)，已知其運(yùn)動(dòng)方程為xa cos wt，ya sin wt，求作用在質(zhì)點(diǎn)上的力F。ijvrF解：以質(zhì)點(diǎn)M為研究對(duì)象。分析運(yùn)動(dòng)：由運(yùn)動(dòng)方程消去時(shí)間 t，得12222byax質(zhì)點(diǎn)作橢圓運(yùn)動(dòng)。將運(yùn)動(dòng)方程對(duì)時(shí)間求兩階導(dǎo)數(shù)得：22cos,sinxatybtwwww 代入質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程，即可求得主動(dòng)力的投影為：22cos,sinxyFmxmat Fmymbtwwww 22222cossin( cossin)()XYmatmbtmatbtmxymwwwwwwwww Fijijijijr力 F 與矢徑 r 共線反向，其大小正比于矢徑 r 的模，方

2、向恒指向橢圓中心。這種力稱為有心力。yxxbaOM例10.2 例2 質(zhì)量為1Kg的小球M，用兩繩系住，兩繩的另一端分別連接在固定點(diǎn)A、B，如圖。已知小球以速度v2.5 m/s在水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓的半徑r0.5 m, 求兩繩的拉力。解：以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，任一瞬時(shí)小球受力如圖。220,12.5nvaam sr方向指向O點(diǎn)。MOrBA4560小球在水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。B60ArOMmgFBFAvan 建立自然坐標(biāo)系得：2sin45sin60(1)0cos45cos60(2)ABABvmFFrmgFF 解得：8.65 N,7.38 NABFF分析: 由(1)、(2)式可得:2222(9.8

3、 32),(29.8)3 131ABFvFv04.9 32.91m sAFv04.92.21m sBFv因此，只有當(dāng) 時(shí)，兩繩才同時(shí)受力。否則將只有其中一繩受力。2.21m/s2.91m/svB60ArOMmgFBFAvanbn 例10.3 例3 從某處拋射一物體，已知初速度為v0，拋射角為a，如不計(jì)空氣阻力，求物體在重力單獨(dú)作用下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 0vvmg解：研究拋射體, 列直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程2222dd0,ddxymmmgtt 積分后得xyM213241,2xC tCygtC tC初始條件為0000000: 0,cos ,sinxytxyvvvvaaacos0tvx 2021gt

4、tvy 軌跡方程為：aa2202cos2vgxxtgy由此可見(jiàn)，物體的軌跡是一拋物線。于是物體的運(yùn)動(dòng)方程為：確定出積分常數(shù)為：102034cos ,sin,0CvCvCCaa例10.4 oRHMFx例4 垂直于地面向上發(fā)射一物體，求該物體在地球引力作用下的運(yùn)動(dòng)速度，并求第二宇宙速度。不計(jì)空氣阻力及地球自轉(zhuǎn)的影響。20 xmMGF 由于20RmMGmg 所以MgRG20由直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程得：2222ddxmgRmFtx 由于 ，將上式改寫(xiě)為22ddddddddddxxxxxvvxvvttxtx解：以物體為研究對(duì)象，將其視為質(zhì)點(diǎn)，建立如圖坐標(biāo)。質(zhì)點(diǎn)在任一位置受地球引力的大小為： 22

5、ddxxvmgRmvxx 分離變量得：22ddxxxmvvmgRx 設(shè)物體在地面發(fā)射的初速度為v0，在空中任一位置x處的速度為v，對(duì)上式積分022ddvxxxvRxmvvmgRx得)11(21212202RxmgRmvmv所以物體在任意位置的速度為：xgRgRvv2202)2(可見(jiàn)物體的速度將隨x的增加而減小。xgRgRvv2202)2(若v02gR，則不論x為多大，甚至為無(wú)限大時(shí)，速度v均不會(huì)減小為零，因此欲使物體向上發(fā)射一去不復(fù)返時(shí)必須具有的最小速度為gRv20若取g9.8 m/s，R6370 km，代入上式可得skmv2 .110這就是物體脫離地球引力范圍所需的最小初速度，稱為第二宇宙速

6、度。例10.5 例5 在重力作用下以仰角a初速度v0拋射出一物體。假設(shè)空氣阻力與速度成正比，方向與速度方向相反，即FR-Cv，C為阻力系數(shù)。試求拋射體的運(yùn)動(dòng)方程。acos0vx acos0v解：以物體為研究對(duì)象，將其視為質(zhì)點(diǎn)。建立圖示坐標(biāo)。在任一位置質(zhì)點(diǎn)受力如圖。由直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程得2222dcoscosddsinsindRRxmFCvtymFmgCvmgt 因?yàn)閐dcos ,sinddxyxyvvvvttv0vMFRmgOyxa將它們代入運(yùn)動(dòng)微分方程，并令 ，得：mC2222dddd0,ddddxxyygtttt 這是兩個(gè)獨(dú)立的線性二階常系數(shù)常微分方程，由常微分方程理論可知，它

7、們的解為1212,ttgxCC eyDD et求導(dǎo)得22,ttxygvCevDe 其中，C1、C2 、D1、D2為積分常數(shù)，由運(yùn)動(dòng)初始條件確定。當(dāng)t0時(shí)，x00，y00；vx0v0cosa，vy0v0sina代入以上四式，求得001212cossin,vvgCCDDaa 于是質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為0cos(1)tvxeaagtegvyt)1 (sin0上式即為軌跡的參數(shù)方程，軌跡如圖所示。由第一式可知軌跡漸近線為 。對(duì)于拋射體的射程：acos0vx 當(dāng)a較大時(shí)， ，當(dāng)a 較小時(shí)，由運(yùn)動(dòng)方程求。 acos0vOA acos0vx acos0vv0vMFRmgOyxa 質(zhì)點(diǎn)的速度公式為0costxvve

8、a0(sin)tyggvvea由上式可見(jiàn)，質(zhì)點(diǎn)的速度在水平方向的投影vx不是常量，而是隨著時(shí)間的增加而不斷減小，當(dāng)t時(shí)，vx；質(zhì)點(diǎn)的速度在y軸上的投影vy，隨著時(shí)間的增加，大小和方向都將變化，當(dāng)t時(shí)，vxg/，方向鉛垂向下。因此，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后將鉛直向下作勻速運(yùn)動(dòng)。例10.6 例6 如圖所示，一細(xì)常桿桿端有一小球M，其質(zhì)量為m，另一端用光滑鉸固定。桿長(zhǎng)為l，質(zhì)量不計(jì)，桿在鉛垂面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，開(kāi)始時(shí)小球位于鉛垂位置，突然給小球一水平初速度v0，求桿處于任一位置 時(shí)對(duì)球的約束力。解：以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，將其視為質(zhì)點(diǎn)。建立圖示的自然坐標(biāo)。由運(yùn)動(dòng)學(xué)知：ls ddsvlttddvalt22nvallO

9、lO1Sv0M(+)n dsindvmmgt 2cosTvmFmglsin(1)mlmg （1）式是一常系數(shù)二階非線性微分方程，其解為橢圓積分，較為復(fù)雜。將其積分一次求出 ，代入（2）式即可求出FT。因?yàn)閐dddddddttt所以dsin dgl 002d()sin d2gl OlO1Sv0mgFTM(+)n 在任一位置質(zhì)點(diǎn)受力如圖。由自然坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程得2cos(2)mlTmg即 得：)cos(cos2121002lg由初始條件：t0時(shí)，00， 代入上式得lv0022022(cos1)(3)vgll將其代入（2）式，得22020cos2(cos1)cos(3cos2)(4)TFm

10、lmgmvglmglmvmgl下面將計(jì)算結(jié)果作進(jìn)一步的討論： 由(3)得) 1(cos2202glvv此式表示桿在任意位置時(shí)球的速度。由此式可知:當(dāng)時(shí)小球才能作圓周運(yùn)動(dòng)，否則球作擺動(dòng)。glv40(4)式給出約束力FT隨 角的變化規(guī)律。當(dāng)0時(shí)，20maxTmvFmgl當(dāng)p 時(shí)，20min5TmvFmgl 若令T = 0，可由(4)式給出約束力為零時(shí)，桿的位置(設(shè)此時(shí)桿的位置用A表示)所滿足的條件0)2cos3(20lmvmgA因此，要使T 0，必須滿足 。glv50即glvA332cos20若glvgl450則0cos1A因此，在區(qū)間 范圍內(nèi)，總存在確定的A值，使小球在這一點(diǎn)不受桿的作用。),2

11、(pp當(dāng)A時(shí)，F(xiàn)T0 ，即小球受壓。例10.7umg s例7：質(zhì)量為 m 長(zhǎng)為 l 的擺在鉛垂面內(nèi)擺動(dòng)。初始時(shí)小球的速度為u , = 0。求繩作用在小球上的力F( ), 并分析小球的運(yùn)動(dòng)。解：1、取研究對(duì)象畫(huà)受力圖 2、確定坐標(biāo)系 3、建立微分方程 4、求解 5、分析小球運(yùn)動(dòng)F ngFamm: cossin2mgFmlmgml 運(yùn)動(dòng)微分方程積分上式可得：積分上式可得：lummgF2)2cos3( 分析小球微幅擺動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律0singl sin02w )sin(wtA0, w wluA運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)：等時(shí)性（周期與初始條件無(wú)關(guān)）lg2w初始條件：lu00, 0 0 lg 微分方程的通解確定積分常數(shù)解：

12、1、取炮彈為研究對(duì)象,建立矢量方程Rga mm2、建立直角坐標(biāo)形式的運(yùn)動(dòng)微分方程yxovmgR例8: 建立拋體的運(yùn)動(dòng)微分方程。 設(shè)空氣阻力的大小與速度的平方成正比2222yxycmgymyxxcxm )(vgacvmm運(yùn)動(dòng)微分方程22yxv 炮彈運(yùn)動(dòng)軌跡圖7.70p4.00pm/s,0010,/m0.02Nsc10kg,022vm 飛機(jī)空投物體速度大小隨時(shí)間的變化飛機(jī)空投物體速度大小隨時(shí)間的變化m/s,200,/m0.02Nsckg,5022vm例9: 質(zhì)點(diǎn)與圓柱面間的動(dòng)滑動(dòng)摩擦因數(shù)為 f，圓柱半徑為 r 為1m。（1）建立質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程；（2）分析其運(yùn)動(dòng)。rgmo 解：取質(zhì)點(diǎn)為研究對(duì)象解

13、：取質(zhì)點(diǎn)為研究對(duì)象FNF nNFFga mm: ) 2(sin) 1 (cos2NFmgmrFmgmr NFfF 由（由（2）式解得：）式解得：sin2mgmrFN代入（代入（1）式得：）式得：)sin(cos2mgmrfmgmr 0當(dāng)：當(dāng)：同理，當(dāng)：同理，當(dāng)：0 )sin(cos2mgmrfmgmr 數(shù)值方法給出質(zhì)點(diǎn)位數(shù)值方法給出質(zhì)點(diǎn)位置、速度和切向加速置、速度和切向加速度隨時(shí)間的變化規(guī)律度隨時(shí)間的變化規(guī)律rgmo rad/s,0,rad000 t(s)1 . 0f)()()(ttt yxovmg思考題思考題: : 給出垂直上拋物體上升時(shí)的運(yùn)動(dòng)微分方程。給出垂直上拋物體上升時(shí)的運(yùn)動(dòng)微分方程。

14、 設(shè)空氣阻力的大小與速度的平方成正比設(shè)空氣阻力的大小與速度的平方成正比yxovmg2:Aycmgym 2:Bycmgym 2:Cycmgym 2:Dycmgym E: 未給出正確答案未給出正確答案 OA301w2wBCRevavrvA30BCO1w例例1 OA桿繞桿繞O軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，均質(zhì)圓軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，均質(zhì)圓盤(pán)沿盤(pán)沿OA桿純滾動(dòng)。已知圓盤(pán)的質(zhì)量桿純滾動(dòng)。已知圓盤(pán)的質(zhì)量m20 kg，半徑，半徑R100 mm。在圖示位。在圖示位置時(shí)，置時(shí)，OA桿的傾角為桿的傾角為30o，其角速度，其角速度w w1 11 rad/s，圓盤(pán)相對(duì)，圓盤(pán)相對(duì)OA桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度速度w w2 24 rad/s，,

15、求求圓盤(pán)的動(dòng)量。圓盤(pán)的動(dòng)量。100 3mmOB 120.2 10.2m/s0.1 40.4m/servOCvRww 3sin600.40.3464m/s2Carvvv于是于是所以所以20 0.34646.93N sCpmvp方向水平向右。方向水平向右。動(dòng)量計(jì)算解解:取取C為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系與為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系與OA固連固連xyOtwCCAB1CBvm2Avm2Cvm1211 Cvm例例2、橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)的規(guī)尺、橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)的規(guī)尺AB的質(zhì)量為的質(zhì)量為2m1，曲柄，曲柄OC的質(zhì)量為的質(zhì)量為m1，滑塊，滑塊A和和B的的質(zhì)量均為的的質(zhì)量均為m2。已知。已知OCACCBl。曲柄和規(guī)尺均為均質(zhì)細(xì)直桿。曲柄和規(guī)尺均為均質(zhì)細(xì)直

16、桿。曲柄以角速度曲柄以角速度w w轉(zhuǎn)動(dòng)。求機(jī)構(gòu)的動(dòng)量。轉(zhuǎn)動(dòng)。求機(jī)構(gòu)的動(dòng)量。解解1 1：由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量公式有：由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量公式有111222CCABmmmmpvvvv建立如圖直角坐標(biāo)系，則動(dòng)量的投影為建立如圖直角坐標(biāo)系，則動(dòng)量的投影為tmmltlmtlmtlmvmtvmtvmpACCxwwwwwwwwwwsin)45(2sin2sin2sin2sinsin2212112111動(dòng)量計(jì)算tmmltlmtlmtlmvmtvmtvmpBCCywwwwwwwwwwcos)45(2cos2cos2cos2coscos2212112111所以機(jī)構(gòu)動(dòng)量的大小和方向?yàn)樗詸C(jī)構(gòu)動(dòng)量的大小和方向?yàn)?45(22122mm

17、lpppyxwtppipxwsincos),cos(xyOtwCCAB1CBvm2Avm2Cvm1211 CvmxyOtwCCAB1C1p2pCCCOCBAABvmmvmvmmppppppp)45(212)(22112121解2：1122112()ABABCOCCppppmm vppmvwlvCwlmmp)45(2121方向?yàn)榉较驗(yàn)镃點(diǎn)速度的方向。點(diǎn)速度的方向。因?yàn)橐驗(yàn)榈玫美?、兩均質(zhì)桿、兩均質(zhì)桿OA和和AB質(zhì)量為質(zhì)量為m，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為l，鉸接于，鉸接于A。圖示位。圖示位置時(shí)，置時(shí)，OA桿的角速度為桿的角速度為w w，AB桿相對(duì)桿相對(duì)OA桿的角速度亦為桿的角速度亦為w w。求此瞬時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)量。

18、求此瞬時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)量。解：由剛體系統(tǒng)的動(dòng)量公式解：由剛體系統(tǒng)的動(dòng)量公式2211CCvmvmp其中：其中：w21lvCwwwlllvC2222wwwmllmlmp2522方向水平向右。方向水平向右。mvC1mvC2OABC1C2wwr=wACACvvv22AB作平面運(yùn)動(dòng)作平面運(yùn)動(dòng)例例4 錘的質(zhì)量錘的質(zhì)量m3000 kg，從高度，從高度h1.5 m 處自由下落到受鍛壓的工件上，工件發(fā)生變處自由下落到受鍛壓的工件上，工件發(fā)生變形歷時(shí)形歷時(shí) t 0.01 s ；求錘對(duì)工件的平均壓力。；求錘對(duì)工件的平均壓力。hyG*N解：以錘為研究對(duì)象，和工件接觸后受力如圖。工件解：以錘為研究對(duì)象，和工件接觸后受力如圖。

19、工件反力是變力，在短暫時(shí)間迅速變化，用平均反力反力是變力，在短暫時(shí)間迅速變化，用平均反力 N*表示。表示。錘自由下落時(shí)間錘自由下落時(shí)間ght2yyyImvmv12NtG)(00) 121() 1(ghGtGNkNN1656) 18 . 95 . 1201. 01(8 . 93000 錘對(duì)工件的平均壓力與反力錘對(duì)工件的平均壓力與反力N*大小相等，方向相反，與錘的重量大小相等，方向相反，與錘的重量G29.4 kN比較，是它的比較，是它的56倍，可見(jiàn)這個(gè)力是相當(dāng)大的。倍，可見(jiàn)這個(gè)力是相當(dāng)大的。例例5 滑塊滑塊C的質(zhì)量為的質(zhì)量為m19.6 kg ，在力，在力P866 N的作用下沿傾角為的作用下沿傾角為

20、30o的的導(dǎo)桿導(dǎo)桿AB運(yùn)動(dòng)。已知力運(yùn)動(dòng)。已知力P與導(dǎo)桿與導(dǎo)桿AB之間的夾角為之間的夾角為45o，滑塊與導(dǎo)桿的動(dòng)摩擦，滑塊與導(dǎo)桿的動(dòng)摩擦系數(shù)系數(shù)f0.2 ，初瞬時(shí)滑塊靜止，求滑塊的速度增大到，初瞬時(shí)滑塊靜止，求滑塊的速度增大到v2 m/s 所需的時(shí)間。所需的時(shí)間。 ABPgmCCNF3045xy解：以滑塊解：以滑塊C為研究對(duì)象，建立坐標(biāo)系。為研究對(duì)象，建立坐標(biāo)系。由動(dòng)量定理得由動(dòng)量定理得0(cos45sin30)(1)mvPmgF t 00(sin45cos30 )(2)CPNmgt 由由(2)式得式得30cos45sinmgPNC)30cos45sin(mgPffNFC代入代入(1)式，求得所

21、需時(shí)間為式，求得所需時(shí)間為cos45sin30( sin45cos30 )0.0941smvtPmgf Pmg從而摩擦力為從而摩擦力為例6 如圖所示，已知小車重為2 kN，沙箱重1 kN，二者以速度v03.5 m/s 運(yùn)動(dòng)。此時(shí)有一重為0.5 kN的鉛球垂直落入沙中后，測(cè)得箱在車上滑動(dòng)0.2 s，不計(jì)車與地面摩擦，求箱與車之間的摩擦力。1N2N0vx解：研究系統(tǒng)，建立坐標(biāo)系。(e)0 xxFpcvgWWWvgWW321021代入已知數(shù)據(jù)，解得v3 m/s設(shè)沙箱滑動(dòng)結(jié)束后車速為v，則有1N2N1WNFvx再以小車為研究對(duì)象，由動(dòng)量定理有0 xxppFt FtvgWvgW011代入已知數(shù)據(jù)，解得

22、F0.5 kN1W3W2WBvrv例例7 如圖所示，質(zhì)量為如圖所示，質(zhì)量為 mA 的均質(zhì)三棱柱的均質(zhì)三棱柱A在重力作用下沿著質(zhì)量為在重力作用下沿著質(zhì)量為mB的大的大均質(zhì)三棱柱均質(zhì)三棱柱B的斜面下滑，大三棱柱傾角為的斜面下滑，大三棱柱傾角為 。設(shè)各處摩擦不計(jì)，初始時(shí)系。設(shè)各處摩擦不計(jì)，初始時(shí)系統(tǒng)靜止。求：統(tǒng)靜止。求：(1) B的加速度；的加速度；(2) 地面的支反力。地面的支反力。解：先對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析，建立如圖坐標(biāo)，設(shè)B的速度為vB，A相對(duì)B的速度為vr，則rBAvvv于是于是cossinAxrBAyrvvvvv ABxyByAgmAgmBRx系統(tǒng)受力如圖。因SFx(e)0，且初始系統(tǒng)靜止，

23、有 0)cos()(BrABBvvmvmcos()(1)ArABBm amma兩邊對(duì)t求導(dǎo)再以A為研究對(duì)象，受力如圖，由(e)(e)ddddyxxyppFFtt NAgmAxyNAgmAxyd(cos)sindd(sin )cosdArBArAmvvNtmvNm gt有有(cos)sin(2)(sin )cos(3)ArBArAmaaNmaNm g即即 聯(lián)立求解聯(lián)立求解(1)、(2)、(3)式得式得gmmmaBAAB)sin(22sin2ByAgmAgmBRx最后以整體為研究對(duì)象，得最后以整體為研究對(duì)象，得d(sin )dArABm vRm gm gt()sin()()ABArABBRmmgm

24、 ammga tg將（將（1）式代入上式則得）式代入上式則得gmgmRamBArAsin即即 例例8 圖示系統(tǒng)，重物圖示系統(tǒng)，重物A和和B的質(zhì)量分別為的質(zhì)量分別為m1、m2。若。若A下降的下降的加速度為加速度為a，滑輪質(zhì)量不計(jì)。求支座，滑輪質(zhì)量不計(jì)。求支座O的反力。的反力。ABOaAvBvABOxyOxFOyFgm1gm2解：以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。解：以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。設(shè)設(shè)A下降的速度為下降的速度為vA，B上升的速度為上升的速度為vB，則由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系得，則由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系得ABvv21系統(tǒng)的動(dòng)量在坐標(biāo)軸上的投影為系統(tǒng)的動(dòng)量在坐標(biāo)軸上的投影為121

25、210,()2xyABAppm vm vmm v由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理1212d10,()d2OxAOyFmm vm gm gFt注意到注意到adtdvA可得可得121201()2OxOyFFm gm gmm a xy例例9 如圖所示，電動(dòng)機(jī)外殼固定在水平基礎(chǔ)上，定子、轉(zhuǎn)子的質(zhì)量分別為如圖所示，電動(dòng)機(jī)外殼固定在水平基礎(chǔ)上，定子、轉(zhuǎn)子的質(zhì)量分別為m1、m2。設(shè)定子質(zhì)心位于轉(zhuǎn)軸中心。設(shè)定子質(zhì)心位于轉(zhuǎn)軸中心O1，由于制造誤差，轉(zhuǎn)子質(zhì)心，由于制造誤差，轉(zhuǎn)子質(zhì)心O2 到到O1的距離為的距離為e，已知轉(zhuǎn)子以勻角速度，已知轉(zhuǎn)子以勻角速度w w 轉(zhuǎn)動(dòng)。求：轉(zhuǎn)動(dòng)。求： (1) 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程；質(zhì)心運(yùn)

26、動(dòng)方程；(2) 基基礎(chǔ)對(duì)電機(jī)總的水平和鉛垂反力；礎(chǔ)對(duì)電機(jī)總的水平和鉛垂反力；(3) 若電機(jī)沒(méi)有螺栓固定，各處摩擦不計(jì)，若電機(jī)沒(méi)有螺栓固定，各處摩擦不計(jì)，初始時(shí)電機(jī)靜止，求轉(zhuǎn)子以勻角速度初始時(shí)電機(jī)靜止，求轉(zhuǎn)子以勻角速度w w轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)電動(dòng)機(jī)外殼的運(yùn)動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)電動(dòng)機(jī)外殼的運(yùn)動(dòng)。解：解：(1) 建立如圖坐標(biāo)，任一瞬時(shí)，建立如圖坐標(biāo)，任一瞬時(shí)， w w t，即有，即有11220,0cos,sinxyxetyetww故質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程為故質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程為212212cossinCCm etxmmm etymmww1O2Oew (2) 以系統(tǒng)為研究對(duì)象以系統(tǒng)為研究對(duì)象(e)(e),CxxCyymaFmaF 1212

27、12()()CxCymmxFmmyFm gm g22122212cossinCCm extmmm eytmmwwww 222212cossin()xyFmetFmetmm gwwww xygm2gm11O2OewyFxFOM由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理因因故故得得（3）以系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力如圖。）以系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力如圖。21CCxx在圖示坐標(biāo)下，設(shè)初始時(shí)在圖示坐標(biāo)下，設(shè)初始時(shí)xC1a，當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)，當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過(guò)過(guò) ，定子向右移動(dòng)距離，定子向右移動(dòng)距離s，則，則21212)cos()(mmseamsamxC所以所以2121)cos()(mmseamsama解得解得tmmemmmemswcosco

28、s212212由此可見(jiàn)，電動(dòng)機(jī)在水平面上作往復(fù)運(yùn)動(dòng)。此時(shí)由此可見(jiàn)，電動(dòng)機(jī)在水平面上作往復(fù)運(yùn)動(dòng)。此時(shí)xygm2gm1asNF1O2Oe由于由于S SFx(e)0 ，所以，所以2min122()NFmmgmew若若 ，則，則 。因此如電動(dòng)機(jī)無(wú)螺栓固定，它將會(huì)跳起來(lái)。因此如電動(dòng)機(jī)無(wú)螺栓固定，它將會(huì)跳起來(lái)。emgmm221)(w0minN 例例10 質(zhì)量為質(zhì)量為 m 長(zhǎng)為長(zhǎng)為 2l 的均質(zhì)桿的均質(zhì)桿OA繞水平固定軸繞水平固定軸O在鉛垂面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖。已知在圖示位置桿的角速度在鉛垂面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖。已知在圖示位置桿的角速度為為w w ，角加速度為，角加速度為a a 。試求此時(shí)桿在。試求此時(shí)桿在O軸的約束反

29、力。軸的約束反力。xymgtCanCa解解1 1：用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。：用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。以桿為研究對(duì)象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。以桿為研究對(duì)象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。2sincossincostnCxCCaaallaw 2cossincossintnCyCCaaallaw 2( sincos )OxmlFaw2(cossin )OymlFmgaw解得解得2( sincos )OxFmlaw 2(cossin )OyFmgmlawOAwaOACOxFOyF 解解2：用動(dòng)量定理。：用動(dòng)量定理。以桿為研究對(duì)象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。以桿為研究對(duì)象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。sincosxypmlpml

30、ww 由由(e)(e)dd,ddyxxyppFFtt 得得22( sincos )(cossin )OxOymlFmlFmgawaw解得解得22( sincos )(cossin )OxOyFmlFmgmlawaw xymgpOACOxFOyF 例例11 質(zhì)量為質(zhì)量為M 的大三角塊放在光滑水平面上，其斜面上放一和它相似的小的大三角塊放在光滑水平面上，其斜面上放一和它相似的小三角塊，其質(zhì)量為三角塊，其質(zhì)量為m。已知大、小三角塊的水平邊長(zhǎng)各為。已知大、小三角塊的水平邊長(zhǎng)各為a與與b。試求小三。試求小三角塊由圖示位置滑到底時(shí)大三角塊的位移。角塊由圖示位置滑到底時(shí)大三角塊的位移。xyabmgMgNF解

31、：取系統(tǒng)分析，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。解：取系統(tǒng)分析，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。xys設(shè)大三角塊的位移為設(shè)大三角塊的位移為s ，則，則mMsabamsbMxC)()(3231221CCxx由于由于S SFx(e)0 ，且初始系統(tǒng)靜止，所以，且初始系統(tǒng)靜止，所以mMambMxC32311解得解得mMabms)(rwOAvm 例1 均質(zhì)圓盤(pán)可繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，其上纏有一繩，繩下端吊一重物A。若圓盤(pán)對(duì)轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，半徑為r，角速度為w，重物A的質(zhì)量為m，并設(shè)繩與原盤(pán)間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，求系統(tǒng)對(duì)軸O的動(dòng)量矩。解：wwww)(22JmrJmrJmvrLLLO盤(pán)塊LO的轉(zhuǎn)向沿逆時(shí)針?lè)较?。質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩例2 圖示

32、為一單擺（數(shù)學(xué)擺），擺錘質(zhì)量為m，擺線長(zhǎng)為l，如給擺錘以初位移或初速度（統(tǒng)稱初擾動(dòng)），它就在經(jīng)過(guò)O點(diǎn)的鉛垂平面內(nèi)擺動(dòng)。求此單擺在微小擺動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。解：以擺錘為研究對(duì)象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。在任一瞬時(shí)，擺錘的速度為v，擺的偏角為 ，則 2()zMmmvlmlv()sinzMmgl F式中負(fù)號(hào)表示力矩的正負(fù)號(hào)恒與角坐標(biāo) 的正負(fù)號(hào)相反。它表明力矩總是有使擺錘回到平衡位置的趨勢(shì)。質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理OlMyxNvmg由d()()dzzMmMtvF2d()sindmlmglt 即0sinlg 這就是單擺的運(yùn)動(dòng)微分方程。當(dāng) 很小時(shí)擺作微擺動(dòng)，sin ，于是上式變?yōu)?lg 此微分方程的解為)sin(at

33、lgA其中A和a為積分常數(shù)，取決于初始條件?？梢?jiàn)單擺的微幅擺動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。擺動(dòng)的周期為glTp2顯然，周期只與 l 有關(guān)，而與初始條件無(wú)關(guān)。得例3 高爐運(yùn)送礦石的卷?yè)P(yáng)機(jī)如圖。已知鼓輪的半徑為R，質(zhì)量為m1，繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)。小車和礦石的總質(zhì)量為m2。作用在鼓輪上的力偶矩為M，鼓輪對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，軌道傾角為a。設(shè)繩質(zhì)量和各處摩擦不計(jì)，求小車的加速度a。解：以系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力如圖。以順時(shí)針為正，則vRmJLO2w(e)2()sinOMMm gRaF由 ，有(e)d()dOOiLmt F22d()sindJm vRMm gRtwa動(dòng)量矩定理aMOm2gNvm1gFOxFOyw因 ,于是解得d,d

34、vvaRtw2222sinRmJgRmMRaa若Mm2gR sin a，則 a0，小車的加速度沿軌道向上。 必須強(qiáng)調(diào)的是：為使動(dòng)量矩定理中各物理量的正為使動(dòng)量矩定理中各物理量的正負(fù)號(hào)保持協(xié)調(diào)，動(dòng)量矩和力矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定必須完負(fù)號(hào)保持協(xié)調(diào)，動(dòng)量矩和力矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定必須完全一致。全一致。動(dòng)量矩定理ABCDz0waallCABDzwaallaa例例4 水平桿水平桿AB長(zhǎng)長(zhǎng)2a，可繞鉛垂軸，可繞鉛垂軸 z 轉(zhuǎn)動(dòng)，其兩端各用鉸鏈與長(zhǎng)為轉(zhuǎn)動(dòng)，其兩端各用鉸鏈與長(zhǎng)為l的桿的桿AC及及BD相連，桿端各聯(lián)結(jié)質(zhì)量為相連，桿端各聯(lián)結(jié)質(zhì)量為m的小球的小球C和和D。起初兩小球用細(xì)線相連，使桿。起初兩小球用細(xì)線相連，使桿AC

35、與與BD均為鉛垂，這系統(tǒng)繞均為鉛垂，這系統(tǒng)繞 z 軸的角速度為軸的角速度為w w0 0。如某時(shí)此細(xì)線拉斷，桿。如某時(shí)此細(xì)線拉斷，桿AC和和BD各與鉛垂線成各與鉛垂線成a a 角。不計(jì)各桿的質(zhì)量，求這時(shí)系統(tǒng)的角速度角。不計(jì)各桿的質(zhì)量，求這時(shí)系統(tǒng)的角速度w w 。解：以系統(tǒng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)所受的外力有小球的解：以系統(tǒng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)所受的外力有小球的重力和軸承處的反力，這些力對(duì)轉(zhuǎn)軸之矩都等于零。重力和軸承處的反力，這些力對(duì)轉(zhuǎn)軸之矩都等于零。所以系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩守恒，即所以系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩守恒，即21zzLL21002()2zLmaamaww222 (sin)zLm alaw22022 (sin

36、)mam alwaw022)sin(wawlaa顯然，此時(shí)的角速度顯然，此時(shí)的角速度w ww w 0。解：取系統(tǒng)為研究對(duì)象解：取系統(tǒng)為研究對(duì)象例例5 均質(zhì)圓輪半徑為均質(zhì)圓輪半徑為R、質(zhì)量為、質(zhì)量為m，圓輪對(duì)圓輪對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JO。圓輪在重物。圓輪在重物P帶動(dòng)下帶動(dòng)下繞固定軸繞固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，已知重物重量為轉(zhuǎn)動(dòng)，已知重物重量為W。求求重物下落的加速度。重物下落的加速度。vRgWJLOOwWRMe)(RvwvRgWRJLOO)(應(yīng)用動(dòng)量矩定理應(yīng)用動(dòng)量矩定理)(eOMtdLdWRdtdvRgWRJO)()(22RgWJWRaOPw例例7 一繩跨過(guò)定滑輪，其一端吊有質(zhì)量為一繩跨過(guò)定滑

37、輪，其一端吊有質(zhì)量為 m 的重物的重物A，另一端，另一端有一質(zhì)量為有一質(zhì)量為m的人以速度的人以速度u 相對(duì)細(xì)繩向上爬。若滑輪半徑為相對(duì)細(xì)繩向上爬。若滑輪半徑為r，質(zhì)量不計(jì)，并且開(kāi)始時(shí)系統(tǒng)靜止，求人的速度。質(zhì)量不計(jì)，并且開(kāi)始時(shí)系統(tǒng)靜止，求人的速度。解：以系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力如圖。解：以系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力如圖。設(shè)重物設(shè)重物A上升的速度為上升的速度為v，則人的絕對(duì)速度，則人的絕對(duì)速度va的大小為的大小為vuva0mvrrmvLaO0)(mvrrvumLO由于由于S SMO(F (e)0，且系統(tǒng)初始靜止，所以，且系統(tǒng)初始靜止，所以LO0。2uv 2uva由上可知，人與重物由上可知，人與重物A具有相同

38、的的速度，此速度等具有相同的的速度，此速度等于人相對(duì)繩的速度的一半。如果開(kāi)始時(shí)，人與重物于人相對(duì)繩的速度的一半。如果開(kāi)始時(shí)，人與重物A位于同一高度，則不論人以多大的相對(duì)速度爬繩，人位于同一高度，則不論人以多大的相對(duì)速度爬繩，人與重物與重物A將始終保持相同的高度。將始終保持相同的高度。uvavevmgmguAOFOxFOy例7 圖示物理擺的質(zhì)量為m，C為其質(zhì)心，擺對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JO。求微小擺動(dòng)的周期。 解：設(shè) 角以逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?。?dāng) 角為正時(shí)，重力對(duì)O點(diǎn)之矩為負(fù)。由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程，有sinmgaJO 當(dāng)微擺動(dòng)時(shí)，有 sin ，故方程寫(xiě)為0OJmga 此方程通解為)sin(0atJmg

39、aO 0為角振幅，a 為初相位。它們均由初始條件確定。擺動(dòng)周期為mgaJTOp2OCamg224pmgaTJO這就表明，如已知某物體的質(zhì)量和質(zhì)心位置，并將物體懸掛于 O點(diǎn)作微幅擺動(dòng)，測(cè)出擺動(dòng)周期后即可計(jì)算出此物體對(duì)于O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。例8 如圖，飛輪對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，以初角速度w0繞水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其阻力矩 Maw (a 為常數(shù))。求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，角速度降至初角速度的一半，在此時(shí)間內(nèi)共轉(zhuǎn)多少轉(zhuǎn)? 解：以飛輪為研究對(duì)象，由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程，有d(1)dJtwaw Mw0將（1）式變換，有ddJtwa w 將上式求定積分，得0020ddtJtwwwa w 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程2ln2ln00

40、awwaJJt將(1)式改寫(xiě)為ddddJttwa 即ddJwa 將上式求定積分，得0002ddJwwwa 轉(zhuǎn)過(guò)的角度為002waJ因此轉(zhuǎn)過(guò)的轉(zhuǎn)數(shù)pawp4200Jn例9 如圖所示，嚙合齒輪各繞定軸O1、O2轉(zhuǎn)動(dòng)，其半徑分別為r1、r2，質(zhì)量分別為m1、m2，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為J1、J2，今在輪O1上作用一力矩M，求其角加速度。解：分別以兩輪為研究對(duì)象，受力如圖，由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程，有111222,JMF rJF raa由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，得1 12 2rraa注意到，聯(lián)立求解以上三式得FF221221 22 1MrJ rJ raO1r1r2O2MFO1yFO1xFFnm1gFO2yFO2xm2gO

41、1O2FFnMOFOxFOW=mgOFOyFOxW=mg解除約束前：解除約束前：突然解除約束瞬時(shí)：突然解除約束瞬時(shí)： FOx=？,FOy=？例題例題 10 關(guān)于突然解除約束問(wèn)題關(guān)于突然解除約束問(wèn)題突然解除約束瞬時(shí)，突然解除約束瞬時(shí)，桿桿OA將繞將繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，軸轉(zhuǎn)動(dòng)，不再是靜力學(xué)問(wèn)題。不再是靜力學(xué)問(wèn)題。這時(shí)，這時(shí)，w 0，a 0。需要先求出需要先求出a ，再確再確定約束力。定約束力。應(yīng)用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程應(yīng)用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程lglmgml23,2312aa應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理OyOxFmglmFlmaw2022420mglmmgFFOyOxa 例例11 如圖所示，已知均質(zhì)桿的質(zhì)量為如圖

42、所示，已知均質(zhì)桿的質(zhì)量為m，對(duì)，對(duì) z1 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為為J1，求桿對(duì)，求桿對(duì)z2 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J2 。解：由 ，得2zzCJJmd21(1)zCJJma22(2)zCJJmb2221()JJm ba平行軸定理(1)(2)得zz1z2abC l 2OABll 2OABll 2例例12 均質(zhì)直角折桿尺寸如圖，其質(zhì)量為均質(zhì)直角折桿尺寸如圖，其質(zhì)量為3m，求其對(duì)軸求其對(duì)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：22225)2)(2()2)(2(12131mllmlmmlJJJABOAOOABll 2組合剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 z12R22Rl例例13 如圖所示，質(zhì)量為如圖所示，質(zhì)量為m的均質(zhì)空心圓

43、柱體外徑為的均質(zhì)空心圓柱體外徑為R1，內(nèi)徑為，內(nèi)徑為R2，求對(duì)中心軸，求對(duì)中心軸 z 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 解：空心圓柱可看成由兩個(gè)實(shí)心圓柱體解：空心圓柱可看成由兩個(gè)實(shí)心圓柱體組成，外圓柱體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為組成，外圓柱體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J外外，內(nèi)圓柱體，內(nèi)圓柱體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J內(nèi)內(nèi)取負(fù)值，即取負(fù)值，即內(nèi)外JJJz設(shè)m1、m2分別為外、內(nèi)圓柱體的質(zhì)量，則21121RmJ外22221RmJ內(nèi)于是2222112121RmRmJz組合剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 設(shè)單位體積的質(zhì)量為r ，則221122,mR lmR lpp代入前式得)(21)(21222122214241RRRRlRRlJzpp注意到p l

44、(R21R22)m, 則得)(212221RRmJz組合剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量OAwwwrc)(wwrb)( 例14 均質(zhì)圓盤(pán)質(zhì)量為2m，半徑為r。細(xì)桿OA質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l3r，繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為w、求下列三種情況下系統(tǒng)對(duì)軸O的動(dòng)量矩： (a) 圓盤(pán)與桿固結(jié)；(b) 圓盤(pán)繞軸A相對(duì)桿OA以角速度w 逆 時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)； (c) 圓盤(pán)繞軸A相對(duì)桿OA以角速度w 順 時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)。OAw解：(a)222222222183)3(2)2(2131mrmrmrmrrmrmmlJOww222mrJLOOOAwwwrb)(OAwwwrc)(b)0wwwAwwwwwwww22222211833)3)(2(3)2()(

45、mrmrmrmrrrmJmrmvmLJLLLAAAAOAO桿盤(pán)桿(c)wwww2Awwwwwwwwwww222222222318)2(31833)3)(2(3)2()(mrmrmrmrmrmrmrrrmJmrmvmLJLLLAAAAOAO桿盤(pán)桿 例15 一均質(zhì)圓柱，質(zhì)量為m，半徑為r，無(wú)初速地放在傾角為 的斜面上，不計(jì)滾動(dòng)阻力，求其質(zhì)心的加速度。 解：以圓柱體為研究對(duì)象。圓柱體在斜面上的運(yùn)動(dòng)形式，取決于接觸處的光滑程度，下面分三種情況進(jìn)行討論：(1) 設(shè)接觸處完全光滑此時(shí)圓柱作平動(dòng)，由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理即得圓柱質(zhì)心的加速度sinCagCCxyO(e)CxxmaF sinCmamgaCFNmg(2)

46、設(shè)接觸處足夠粗糙 此時(shí)圓柱作純滾動(dòng)，列出平面運(yùn)動(dòng)微分方程2sin0cos12CNmamgFFmgmrFra2sin3Cag解得11sin23CFmamg由于圓柱作純滾動(dòng)，故maxcosNFFf Ff mgF由純滾動(dòng)條件有Cara所以1cossin3f mgmg，可得1tan3f這就是圓柱體在斜面上作純滾動(dòng)的條件。CxyaCOFNmg(3) 設(shè)不滿足圓柱體在斜面上作純滾動(dòng)的條件1tan3f設(shè)圓柱體沿斜面滑動(dòng)的動(dòng)摩擦系數(shù)為f ，則滑動(dòng)摩擦力cosNFf Ff mg于是2cosgfra(sincos )Cagf圓柱體在斜面上既滾動(dòng)又滑動(dòng), 在這種情況下，aCra例16 均質(zhì)圓柱體A和B質(zhì)量均為m，半

47、徑均為r。圓柱A可繞固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)。一繩繞在圓柱A上，繩的另一端繞在圓柱B上。求B下落時(shí)，質(zhì)心C點(diǎn)的加速度。摩擦不計(jì)。解：取A分析，受力如圖。A作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，應(yīng)用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程有AATJF raCTmamgFCBTJF ra其中22ACJJmrOABCaAFTmgFOxFOyOAFTmgaBCDBaC取B分析，受力如圖。B作平面運(yùn)動(dòng)。應(yīng)用平面運(yùn)動(dòng)的微分方程有由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系aDraA,，而由加速度合成定理有而由加速度合成定理有()CDBABaarraaagaC54例17 均質(zhì)桿質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l，在鉛直平面內(nèi)一端沿著水平地面，另一端沿著鉛垂墻壁，從圖示位置無(wú)初速地滑下。不計(jì)摩擦，求開(kāi)始滑動(dòng)的瞬時(shí)，地

48、面和墻壁對(duì)桿的約束反力。解：以桿AB為研究對(duì)象，分析受力。yBCAmgxBCAFAFB桿作平面運(yùn)動(dòng)，設(shè)質(zhì)心C的加速度為aCx、aCy，角加速度為a。aaCxaCy由剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程mgsincos(3)22CABllJFFa(2)CyAmaFmg(1)CxBmaFBCAxy以C點(diǎn)為基點(diǎn)，則A點(diǎn)的加速度為tnACACACaaaat0sinCyACaa再以C點(diǎn)為基點(diǎn)，則B點(diǎn)的加速度為tnBCBCBCaaaat0cosCxCBaatsinsin(4)2CyAClaaa tcoscos(5)2CxCBlaaaaAaaBaCxaCyatBCatAC在運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí), w0, 故 , 將上式投影到y(tǒng) 軸上

49、，得an 0AC同理，將上式投影到 x軸上，得an 0BC聯(lián)立求解(1) (5)式，并注意到2121mlJC可得3sin2gla23(1sin)4AFmg3sincos4BFmg注： 亦可由坐標(biāo)法求出(4)、(5)式：sin ,cos22CCllxycos,sin22CCllxy 22sincos,cossin2222CCllllxy 運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)， ，故0cos ,sin22CxCCyCllaxayaa BCAxyAxCB例18 如圖質(zhì)量為m的均質(zhì)桿AB用細(xì)繩吊住，已知兩繩與水平方向的夾角為 。求B端繩斷開(kāi)瞬時(shí)，A端繩的張力。解：取桿分析，建立如圖坐標(biāo)。有21sin122TlmlFAB作平面運(yùn)

50、動(dòng)，以A為基點(diǎn)，則tntnCAACACAaaaaasinCxTmaFmg ABFTttCACAaaa因?yàn)閿嚅_(kāi)初瞬時(shí), vA0, w 0, 故 , an 0Aan 0CA將上式投影到x 軸上，得tsinCxCAaasin2Cxlaasin1 3sinTmgFt2CAlaaan CAat CAat Aan AaAxCBaaCxmg例19 長(zhǎng) l，質(zhì)量為m 的均質(zhì)桿 AB 和 BC 用鉸鏈 B 聯(lián)接，并用鉸鏈 A 固定，位于平衡位置。今在 C 端作用一水平力F，求此瞬時(shí)，兩桿的角加速度。解：分別以AB和BC為研究對(duì)象，受力如圖。 AB和BC分別作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和平面運(yùn)動(dòng)。對(duì)AB由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程得21(

51、1)3ABBxmlF laCBAFABFAxFBxFByaBWaABFAyBC作平面運(yùn)動(dòng)，取B為基點(diǎn)，則tnGBGBGBaaaa將以上矢量式投影到水平方向，得t2lGxBGBABBCaaalaa(4)由(1) (4)聯(lián)立解得630,77ABBCFFmlmlaa t2,0nlBABGBBCGBalaaaa對(duì)BC由剛體平面運(yùn)動(dòng)的微分方程得GxBxmaFF(2)211222BCBxllmlFFa(3)BGCaBCFWaGxaGyatGBFByFBxO例20 平板質(zhì)量為m1，受水平力F 作用而沿水平面運(yùn)動(dòng)，板與水平面間的動(dòng)摩擦系數(shù)為f ，平板上放一質(zhì)量為m2的均質(zhì)圓柱，它相對(duì)平板只滾動(dòng)不滑動(dòng)，求平板的

52、加速度。 解：取圓柱分析，建立如圖坐標(biāo)。21Om aF于是得：11222,NFFm gm ra122OFaaramaFaCFN1F1m2gaaOaxy120NFm g22112m rFra1213Fm a121FFFam11120()NNNFm gFFmm ggmmfF)(21211221()3m aFf mm gm a1212()13Ff mm gammxyFN1F1FN2F2m1gFa取板分析例21 行星齒輪機(jī)構(gòu)的曲柄 OO1受力矩 M 作用而繞固定鉛直軸 O 轉(zhuǎn)動(dòng)，并帶動(dòng)齒輪 O1在固定水平齒輪 O 上滾動(dòng)如圖所示。設(shè)曲柄 OO1為均質(zhì)桿，長(zhǎng)l、重 P；齒輪 O1為均質(zhì)圓盤(pán)，半徑 r 、

53、重 Q。試求曲柄的角加速度及兩齒輪接觸處沿切線方向的力。 解：以曲柄為研究對(duì)象，曲柄作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，列出定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 21(1)3PlMF lgaOO1MO1OaFnFRnRM由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，有1(4)arlaa聯(lián)立求解(1) (4)，得26(29 )MgPQ lalQPQMT)92(3O1FnFTNaana1(2)QaFTg211(3)2QrTrga取齒輪O1分析，齒輪O1作平面運(yùn)動(dòng)MO1OaFnFRnRa例1 如圖所示滑塊重P9.8 N，彈簧剛度系數(shù)k0.5 N/cm，滑塊在A位置時(shí)彈簧對(duì)滑塊的拉力為2.5 N，滑塊在20 N的繩子拉力作用下沿光滑水平槽從位置A運(yùn)動(dòng)到位置B，求作用于滑塊上所

54、有力的功的和。 解：滑塊在任一瞬時(shí)受力如圖。由于P與N始終垂直于滑塊位移，因此，它們所作的功為零。所以只需計(jì)算T 與F的功。先計(jì)算T 的功： 在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，T 的大小不變，但方向在變，因此T 的元功為cosdTWTxa2215)20()20(cosxxaT15 cmBA20 cmTPFN因此T在整個(gè)過(guò)程中所作的功為再計(jì)算F的功：由題意：12.55cm0.5252025cm因此F在整個(gè)過(guò)程中所作的功為22221211()0.5(525 )150N cm22FWk 因此所有力的功為200 15050N cmTFWWWT15 cmBA20 cm2020220020cosd20d200 N cm(20

55、)15TxWTxxxaC221122CCTmvIw21,2CCImR vRw243CmvT 牢記均質(zhì)圓盤(pán)在地面上作純滾動(dòng)時(shí)的動(dòng)能:均質(zhì)圓環(huán)在地面上作純滾動(dòng)時(shí)的動(dòng)能見(jiàn) P183。vABC解：II 為AB桿的瞬心234ATMvwABsinlv222111223IlImlmml22221126sin3ABIABmvTImvw219412TMm v總例2 均質(zhì)細(xì)桿長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m，上端B靠在光滑的墻上，下端A用鉸與質(zhì)量為M半徑為R且放在粗糙地面上的圓柱中心相連，在圖示位置圓柱作純滾動(dòng)，中心速度為v，桿與水平線的夾角=45o，求該瞬時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能。vIAwABAABTTT總aOrdrO1wPABC例3 長(zhǎng)

56、為l，重為P的均質(zhì)桿OA由球鉸鏈O固定，并以等角速度w 繞鉛直線轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示，如桿與鉛直線的交角為a，求桿的動(dòng)能。 1sinrvO Brwwa1ddPmrlg22221ddsind22rPrTm vrglwa桿OA的動(dòng)能是22222200dsindsin26llPrPlTTrglgwwaa解：取出微段dr到球鉸的距離為r，該微段的速度是微段的質(zhì)量微段的動(dòng)能O1例4 求橢圓規(guī)的動(dòng)能，其中OC、AB為均質(zhì)細(xì)桿，質(zhì)量為m和2m，長(zhǎng)為a和2a，滑塊A和B質(zhì)量均為m，曲柄OC的角速度為w， = 60。 解：在橢圓規(guī)系統(tǒng)中滑塊A和B作平動(dòng)，曲柄OC作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，規(guī)尺AB作平面運(yùn)動(dòng)。首先對(duì)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析，O1

57、是AB的速度瞬心，因:12 cosAABvO Aaaw ww222122AAAmaTm vwABOCwvCvBvAwAB12 sin3BABvO Baaw ww2221322BBBmaTm vw1cABvOCOCwwA BwwABvAvCOCO1wvBwAB對(duì)于曲柄OC：2213OOCImama規(guī)尺作平面運(yùn)動(dòng)，用繞速度瞬心轉(zhuǎn)動(dòng)的公式求動(dòng)能：211222181232(2 )2OCABIImOCmam ama22222222221314226372ABOCABTTTTTmamamamamawwwww2221126OCOTImaww22211423ABOABTImaww系統(tǒng)的總動(dòng)能為：BA例5 滑塊

58、A以速度vA在滑道內(nèi)滑動(dòng)，其上鉸接一質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l的均質(zhì)桿AB，桿以角速度w 繞A轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖。試求當(dāng)桿AB與鉛垂線的夾角為 時(shí)，桿的動(dòng)能。解：AB桿作平面運(yùn)動(dòng)，其質(zhì)心C的速度為CACAvvv 速度合成矢量圖如圖。由余弦定理222221122222142cos(180)()2coscosCACAA CAAAAAvvvv vvlvlvll vwwww則桿的動(dòng)能221122222221111242122221123(cos )()(cos )CCAAAATmvJm vll vmlm vll vwwwwwwvAwBAlvAvCAvCvAw 例6 一長(zhǎng)為l，質(zhì)量密度為的鏈條放置在光滑的水平桌面上，有長(zhǎng)

59、為b的一段懸掛下垂，如圖。初始鏈條靜止，在自重的作用下運(yùn)動(dòng)。求當(dāng)末端滑離桌面時(shí)，鏈條的速度。bbl 解得lblgv)(222解:鏈條在初始及終了兩狀態(tài)的動(dòng)能分別為01T22221lvT 在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所有的力所作的功為)(21)(21)()(2212blgblblgblgbW由1212WTT例7 已知： m ，R, f ， 。求純滾動(dòng)時(shí)盤(pán)心的加速度。CFNmgvCF解：取系統(tǒng)為研究對(duì)象，假設(shè)圓盤(pán)中心向下產(chǎn)生位移 s時(shí)速度達(dá)到vc。s10T 力的功：sin12mgsW由動(dòng)能定理得：sin0432mgsmvC2243CmvTsin32ga 解得：例8 卷?yè)P(yáng)機(jī)如圖，鼓輪在常力偶M的作用下將圓柱上拉。已

60、知鼓輪的半徑為R1，質(zhì)量為m1，質(zhì)量分布在輪緣上；圓柱的半徑為R2，質(zhì)量為m2，質(zhì)量均勻分布。設(shè)斜坡的傾角為，圓柱只滾不滑。系統(tǒng)從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，求圓柱中心C經(jīng)過(guò)路程S 時(shí)的速度。 解：以系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力如圖。系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所有力所作的功為sgmRsMWasin2112系統(tǒng)在初始及終了兩狀態(tài)的動(dòng)能分別為01T22221122111222CCTIm vIwwaFNFSm2gm1gFOxFOyMOC其中2111Im R22212CIm R11RvCw22RvCw于是)32(42122mmvTC由1212WTT得sgmRsMmmvCasin0)32(421212解之得)32()sin(22111