寧夏回族自治區(qū)銀川某中學(xué)2024-2025學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)期中考試 數(shù)學(xué)試卷（含解析）

寧夏回族自治區(qū)銀川一中2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試

數(shù)學(xué)試題

本試卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

x2y21

----1------1

1.橢圓716的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A.(0,±3)B.(0,±4)C.(±3,0)D.(±4,0)

2.直線(xiàn)x—2y+l=0的一個(gè)方向向量是（)

A.(2,1)B.(1,2)C.(2,-1)D.(1,-2)

3.若平面a的一個(gè)法向量為（1,2,0）,平面廣的一個(gè)法向量為（2,-1,0）,則平面a和平面廣的位置關(guān)系

是（）.

A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.重合

4.已知雙曲線(xiàn)C:二—《=1伍〉0小〉0）的一條漸近線(xiàn)方程是y=-也工，實(shí)軸的長(zhǎng)度為26，則雙

ab3

曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

丫2

A.—-y2=lB.-----y2=1

3'2

c一LDV人1

■3223

5.已知圓（X—1）2+5—1）2=/經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（2,2）,則圓在點(diǎn)P處的切線(xiàn)方程為（）

A.x+y—4=0B.x+y=0

C.x-y=OD.x-y-4=0

6.已知橢圓?+{=1?〉b>0）的左、右焦點(diǎn)分別是匕下2,焦距為2c,若直線(xiàn)y=V3（x+c）與橢圓交于M

ab

點(diǎn),且滿(mǎn)足/MFIF2=2/MF2FI,則橢圓的離心率是

A.—B.V3-1C.@口D.—

222

7.已知橢圓￡：工+匕=1,過(guò)右焦點(diǎn)廠(chǎng)且傾斜角為45°的直線(xiàn)交橢圓E于A、B兩點(diǎn),48設(shè)的中點(diǎn)

248

為M,則直線(xiàn)加的斜率為（）

[C

A.-3B.——C.--D.-J3

33

8.光線(xiàn)從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，被橢圓反射后會(huì)經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)；光線(xiàn)從雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，

被雙曲線(xiàn)反射后的反射光線(xiàn)等效于從另一個(gè)焦點(diǎn)射出，如圖①，一個(gè)光學(xué)裝置由有公共焦點(diǎn)《、月的橢

圓「與雙曲線(xiàn)。構(gòu)成，現(xiàn)一光線(xiàn)從左焦點(diǎn)片發(fā)出，依次經(jīng)。與：T反射，又回到了點(diǎn)片，歷時(shí)4秒；若將

裝置中的。去掉，如圖②，此光線(xiàn)從點(diǎn)片發(fā)出，經(jīng)「兩次反射后又回到了點(diǎn)《，歷時(shí)4秒；若右=8小

則「與。的離心率之比為（）

A.3:4B.2:3C.1:2D.1：V2

二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求，全部選對(duì)的得6分，選對(duì)但不全對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.如圖，正方體/BCD—44CQ1的棱長(zhǎng)為1，E為54的中點(diǎn)，尸為的中點(diǎn)，則（）

A.DE±AXBB.直線(xiàn)"7/平面Z5CD

C.直線(xiàn)BF與平面ABBXAX所成角的正切值為75D.點(diǎn)8到平面4CD的距離是孝

10.已知圓C：（%—2），/=4,直線(xiàn)/：（m+l）x+2v-3-m=0（meR）,貝U（）

A.直線(xiàn)/恒過(guò)定點(diǎn)（1,1）

B.存在實(shí)數(shù)小，使得直線(xiàn)/與圓C沒(méi)有公共點(diǎn)

C.當(dāng)機(jī)=-3時(shí)，圓C上恰有兩個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)/的距離等于1

D.圓C與圓一2x+8y+l=0恰有兩條公切線(xiàn)

22

11.已知橢圓C:=+與=1（?！?〉0）的左、右頂點(diǎn)分別為43,左、右焦點(diǎn)分別為片，鳥(niǎo),p是橢圓C

ab

上異于48的一點(diǎn)，且|。周=\OP\=\PF2\（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）,記PA,PB的斜率分別為左狀2，設(shè)/為APF\FZ

的內(nèi)心，記“尸片,△叱,△坊鳥(niǎo)的面積分別為￡,$2，S3,則（）

A.PF.-PR=0B.C的離心率為必

-2

C.桃2=3-2百D.S}+S2

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

22

12.雙曲線(xiàn)匕-土=1上一點(diǎn)尸到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于3,那么點(diǎn)尸與兩個(gè)焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的周

6436

長(zhǎng)等于.

13.已知過(guò)定點(diǎn)/（-2,0）的動(dòng)圓M與定圓8：（》-2）2+/=36相內(nèi)切，則動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為

14.設(shè)橢圓二+4=1（?！?〉0）的兩焦點(diǎn)為《，鳥(niǎo).若橢圓上存在點(diǎn)尸，使/原典=120°,則橢圓的

a'b"

離心率e的取值范圍為.

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步

驟.

15.已知。。：》2+y2+9+份—12=0關(guān)于直線(xiàn)》+2＞）；-4=0對(duì)稱(chēng)，且圓心在歹軸上.

（1）求。。的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）已知?jiǎng)狱c(diǎn)M在直線(xiàn)＞=x-5上，過(guò)點(diǎn)M引。。的切線(xiàn)M4,求的最小值.

22萬(wàn)

16.已知橢圓，+方=1伍〉6〉0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2后，離心率e=三，過(guò)右焦點(diǎn)尸的直線(xiàn)/交橢圓于

P、0兩點(diǎn).

（1）求橢圓的方程.

（2）當(dāng)直線(xiàn)/的斜率為1時(shí)，求△尸。。的面積.

17.如圖，四棱錐P—453的底面48c。是平行四邊形，PA1AD,PB=275,AB=2,PA=BC=

4,N45C=60°,點(diǎn)E是線(xiàn)段2C（包括端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn).

BEC

（1）若BE=LBC,求證：平面尸2￡，平面PED；

2

（2）平面尸和平面48。的夾角為a,直線(xiàn)2c與平面PED所成角為廣，求a+"的值.

18.已知雙曲線(xiàn)C的方程為1―二=1（?！?/〉0）,實(shí)軸長(zhǎng)和離心率均為2.

ab~

（1）求雙曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程及其漸近線(xiàn)方程；

（2）過(guò)￡（0,2）且傾斜角為45。的直線(xiàn)/與雙曲線(xiàn)C交于〃,N兩點(diǎn)，求兩?礪的值（。為坐標(biāo)原

點(diǎn)）.

19.設(shè)橢圓C：2r=l（a〉b〉0）的右頂點(diǎn)為A,離心率為一，且以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半

ab2

軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線(xiàn)x+y-指=0相切.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)直線(xiàn)x=-2上兩點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)與橢圓C相交于點(diǎn)2（8異于點(diǎn)/）,直線(xiàn)

8N與x軸相交于點(diǎn)。，若△2〃。的面積為W1,求直線(xiàn)4W的方程；

3

（3）P是N軸正半軸上的一點(diǎn)，過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)廠(chǎng)和點(diǎn)尸的直線(xiàn)/與橢圓C交于G,X兩點(diǎn)，求

\PG\+\PH\拈什申

----------的取值氾圍.

寧夏回族自治區(qū)銀川一中2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試

題

本試卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.橢圓716的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A.（0,±3）B.（0,±4）C.（±3,0）D.（±4,0）

【答案】A

【解析】

【分析】橢圓焦點(diǎn)在歹軸上，再根據(jù)基本量之間的關(guān)系求解即可.

【詳解】由題,c=716^7=3，又焦點(diǎn)在歹軸上,故焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,±3）.

故選：A

【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓中的基本量與基本概念，屬于基礎(chǔ)題.

2.直線(xiàn)x—2y+l=0的一個(gè)方向向量是（）

A.（2,1）B.（1,2）C.（2,-1）D.（1,-2）

【答案】A

【解析】

【分析】在直線(xiàn)上任取兩個(gè)不重合的點(diǎn)，可得出直線(xiàn)的一個(gè)方向向量.

【詳解】在直線(xiàn)工一2了+1=0上取點(diǎn)幺（—1,0）、5（1,1）,

故直線(xiàn)x—2y+1=0的一個(gè)方向向量為罰=（2,1）.

故選：A.

3.若平面a的一個(gè)法向量為（1,2,0）,平面廣的一個(gè)法向量為（2,-1,0）,則平面a和平面廣的位置關(guān)系

是（）.

A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.重合

【答案】c

【解析】

【分析】

根據(jù)兩平面法向量的垂直關(guān)系可判斷兩平面的位置關(guān)系.

【詳解】???平面a的一個(gè)法向量為VI=（1,2,0）,平面廣的一個(gè)法向量為％=（2,-1,0），

UIu

-v2=lx2+2x(-l)+0x0=0,

?F>2，

???平面a_L平面

故選：C

V2A

4.已知雙曲線(xiàn)C：J=1（。〉0力〉0）的一條漸近線(xiàn)方程是歹=—號(hào)工，實(shí)軸的長(zhǎng)度為2百，則雙

a

曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

r2

A.—-/=1B.----y2=1

3.2

2222

C,匕-匕=1D,匕-匕=1

3223

【答案】A

【解析】

【分析】利用給定條件結(jié)合雙曲線(xiàn)的性質(zhì)求解雙曲線(xiàn)方程即可.

22_

【詳解】因?yàn)殡p曲線(xiàn)C:二—與=1（?！?4〉0）實(shí)軸的長(zhǎng)度為2K，

ab

所以a=G，因?yàn)殡p曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程是y=-^x，

所以一冬=-走，解得6=1,故雙曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為片―y2=l,故A正確.

V333.

故選：A

5.已知圓（x—1）2+（y—l）2=/經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（2,2）,則圓在點(diǎn)P處的切線(xiàn)方程為（）

A.x+jz-4=0B.x+y=0

C.x-y=OD.x-y-4=0

【答案】A

【解析】

【分析】首先求/的值，然后求圓心坐標(biāo)，接著求圓心C與點(diǎn)尸連線(xiàn)的斜率左°,最后求圓在點(diǎn)尸處的切

線(xiàn)方程.

【詳解】因?yàn)閳A(X—1)2+0—1)2=戶(hù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸(2,2),

將點(diǎn)次2,2)代入圓的方程可得：(2—iy+(2—I)?=r.即1+1=/,所以/=2，

則圓的方程為(x-I)2+(y—Ip=2.

對(duì)于圓(x-a)2+(y-6)2=/,其圓心坐標(biāo)為(a,6),所以此圓的圓心C(l,l).：

根據(jù)斜率公式左=上星,這里尸(2,2),則左=3=1.

2-1

因?yàn)閳A的切線(xiàn)與圓心和切點(diǎn)連線(xiàn)垂直，若兩條垂直直線(xiàn)的斜率分別為勺和左2,則左色=-L

己知左°=1，所以切線(xiàn)的斜率左=—1.

又因?yàn)榍芯€(xiàn)過(guò)點(diǎn)尸(2,2),根據(jù)點(diǎn)斜式方程＞—為=左(%一%)(這里/=2,為=2,左=—1),

可得切線(xiàn)方程為y_2=_(x—2).整理得x+y-4=0.

故選：A.

22

6.已知橢圓二+2=1的左、右焦點(diǎn)分別是匕馬焦距為2c,若直線(xiàn)y=V3(x+c)與橢圓交于M

ab

點(diǎn),且滿(mǎn)足/MFIF2=2/MF2FL則橢圓的離心率是

A.—B.6-1C.GTD.—

222

【答案】B

【解析】

【分析】依題意知，直線(xiàn)g=V^(x+c)經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)Fi(-c,0),且傾斜角為60°,從而知

NMF2FI=30°,設(shè)|MF/=x,利用橢圓的定義即可求得其離心率.

y=VJ(x+c)

22

..,橢圓的方程為=+[=1伍>6>0)，作圖如右圖：

ab~

:橢圓的焦距為2c,

直線(xiàn)g=V^(x+c)經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)Fi(-c,0),又直線(xiàn)g=Vi(x+c)與橢圓交于M點(diǎn),

，傾斜角NMFIF2=60°,又NMFIF2=2NMF2FI，

AZMF2F1=30°,

O

/.ZF.|MF2=90.

設(shè)|MF/=x,貝=,F1F2|=2C=2X,故*=以

/.|Mf；|+|A^|=(V3+l)x=(V3+1)c,

又|MFi|+|MF21=2a,

；.2a=(6+1)c,

該橢圓的離心率e=-=一一=V3-1.

aV3+1

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，著重考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，突出橢圓定義的考查，理解得到直

線(xiàn)g=Vi(x+c)經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)Fi(-c,o)是關(guān)鍵，屬于中檔題.

7.已知橢圓￡：三+二=1,過(guò)右焦點(diǎn)尸且傾斜角為45°的直線(xiàn)交橢圓E于A、2兩點(diǎn)，48設(shè)的中點(diǎn)

248

為M,則直線(xiàn)。河的斜率為()

A.—3B.—X-/.----D.-

33

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可得焦點(diǎn)尸的坐標(biāo)，進(jìn)而得直線(xiàn)方程.聯(lián)立橢圓方程,根據(jù)韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公

式可得中點(diǎn)M的坐標(biāo)，即可得直線(xiàn)0M的斜率.

【詳解】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為E:二+^^=1

248

所以半焦距c=&2_廬=724^8=4，即右焦點(diǎn)坐標(biāo)為尸（4,0）

過(guò)右焦點(diǎn)F的直線(xiàn)傾斜角為45°,即斜率k=tan450=1

所以直線(xiàn)方程為y=x-4

y=x-4

聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓方程《X2y2，化簡(jiǎn)可得必-6x+6=0

—+--=1

〔248

設(shè)直線(xiàn)與橢圓兩個(gè)交點(diǎn)2（西,必）、B（x2,y2）

則由韋達(dá)定理可得須+工2=6

則為+/-4+―4=—2

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得48中點(diǎn)“（3,-1）

-11

則直線(xiàn)OM的斜率為一=―-

33

故選:B

【點(diǎn)睛】本題考查了直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，中點(diǎn)弦問(wèn)題的解法，屬于基礎(chǔ)題.

8.光線(xiàn)從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，被橢圓反射后會(huì)經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)；光線(xiàn)從雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，

被雙曲線(xiàn)反射后的反射光線(xiàn)等效于從另一個(gè)焦點(diǎn)射出，如圖①，一個(gè)光學(xué)裝置由有公共焦點(diǎn)片、月的橢

圓「與雙曲線(xiàn)。構(gòu)成，現(xiàn)一光線(xiàn)從左焦點(diǎn)片發(fā)出，依次經(jīng)。與：T反射，又回到了點(diǎn)片，歷時(shí)4秒；若將

裝置中的。去掉，如圖②，此光線(xiàn)從點(diǎn)片發(fā)出，經(jīng)「兩次反射后又回到了點(diǎn)片，歷時(shí)方2秒；若/2=甑，

則「與。的離心率之比為（）

圖①圖②

A.3:4B.2:3C,1:2D.1;72

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)上勾=2c，設(shè)橢圓「的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2%,雙曲線(xiàn)。的實(shí)軸長(zhǎng)為2%,設(shè)光速為V,推導(dǎo)出

4

q=2v%,利用橢圓和雙曲線(xiàn)的定義可得出,=不，由此可計(jì)算得出「與Q的離心率之比.

出3

【詳解】設(shè)上勾="設(shè)橢圓「的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2%,雙曲線(xiàn)。的實(shí)軸長(zhǎng)為2%,

在圖②中，KDF［的周長(zhǎng)為|C胤+|。片|+|CD|=|普|+15|+⑷用+|。閶=4%=vt2,

所以，4%=8%,可得ax=2%,

在圖①中，由雙曲線(xiàn)的定義可得|/閶—M用=2出，由橢圓的定義可得忸片|+忸用=2%,

上閶=忸閶一|4司,則|4閭—以用=|典卜|/同—周=2%—忸耳日/上一以胤=2%,

即2%—+\AFy|+\BFy°=2a2,

由題意可知，"BF［的周長(zhǎng)為用+|/用+忸片|=%,即2a夕=2%-△/=2%一5=^~，

a4

所以，一}=~.

23

因此，「與。的離心率之比為，：02=￡：￡=%嗎=3:4.

故選：A.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線(xiàn)的離心率的方法如下：

（1）定義法：通過(guò)已知條件列出方程組，求得。、。的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率e的值;

(2)齊次式法：由已知條件得出關(guān)于。、。的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程求解；

(3)特殊值法：通過(guò)取特殊位置或特殊值，求得離心率.

二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求，全部選對(duì)的得6分，選對(duì)但不全對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.如圖，正方體48。。—481GA的棱長(zhǎng)為1，E為84的中點(diǎn)，尸為CG的中點(diǎn)，則()

A.DE1AXBB,直線(xiàn)￡戶(hù)〃平面4BCD

C.直線(xiàn)BF與平面4BB4所成角的正切值為芯D.點(diǎn)8到平面4CD的距離是孝

【答案】ABD

【解析】

【分析】依題意可得到為等邊三角形，又E為84的中點(diǎn)，即可判斷A；利用線(xiàn)面平行的判定定理

證明B；用線(xiàn)面角的定義可知NG3廠(chǎng)為所求角，進(jìn)而求得其正切值，即可判斷C；利用等體積法判斷D.

【詳解】解：對(duì)于A,=后，BD=亞,43=也，，為等邊三角形，又石為54的中

點(diǎn)，所以故A正確;

對(duì)于B,取48中點(diǎn)“，連接EH,CH,EF,可知昉7〃4且成/=；么4，

XCF//AA.KCF=-AA,

2

所以EH//FC且EH=FC,所以四邊形E/7C下是平行四邊形，.?.￡尸//AC,

又跖仁平面48CD,HCu平面45C。，.?.斯〃平面48CD,故B正確；

對(duì)于C,取85]的中點(diǎn)G,連接尸G,則EG〃8C,因?yàn)?C,平面48與4，

所以EG,平面/8與4，

所以AF與平面ABBXAX所成的角為/GBP,

,「CLGF1c

ll,.tan2_GBF==--=2,,、口

所以BG￡，故C錯(cuò)誤；

2

對(duì)于D,設(shè)點(diǎn)8到平面4C。的距離為力，利用等體積法知〃即

-x-xlxlxl=-x—xlxV2x/!,解得k=^3L,故D正確；

32322

故選：ABD

10.已知圓C：(x-2)2+j2=4,直線(xiàn)/：(m+l)x+2j-3-m=0(meR),則()

A.直線(xiàn)/恒過(guò)定點(diǎn)(U)

B.存在實(shí)數(shù)〃?，使得直線(xiàn)/與圓C沒(méi)有公共點(diǎn)

C.當(dāng)機(jī)=-3時(shí)，圓C上恰有兩個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)I的距離等于1

D.圓C與圓爐-2x+8y+1=0恰有兩條公切線(xiàn)

【答案】ACD

【解析】

【分析】求出直線(xiàn)/過(guò)的定點(diǎn)判斷A；判斷定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷B；求出圓心到直線(xiàn)距離判斷C；判斷

圓與圓的位置關(guān)系判斷D.

%—1=0[x=1

【詳解】對(duì)于A,直線(xiàn)/的方程為(x-l)機(jī)+x+2y—3=0,由＜°.八，得，，

x+2y-3=0=1

直線(xiàn)/過(guò)定點(diǎn)(1,1),A正確；

對(duì)于B,又(1-2『+12=2＜4,即定點(diǎn)(-M)在圓C內(nèi)，則直線(xiàn)/與圓C相交，有兩個(gè)交點(diǎn)，B錯(cuò)誤；

|2-0|f-

對(duì)于C,當(dāng)根=—3時(shí)，直線(xiàn)/：x-y^Q,圓心C(2,0)到直線(xiàn)/的距離為J2,

而圓C半徑為2,且2-行＜1，因此恰有2個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)/的距離等于1,C正確；

對(duì)于D,圓x?+「-2x+8y+1=0化為+(j+4)-=16,

圓//一2工+8y+1=0的圓心為(1,-4),半徑為4,

兩圓圓心距為4—2=2<d'=7（1-2）2+（-4-0）2=V17<6=4+2,

兩圓相交，因此它們有兩條公切線(xiàn)，D正確

故選：ACD.

11.已知橢圓C:二+鼻=1伍〉6〉0）的左、右頂點(diǎn)分別為48,左、右焦點(diǎn)分別為片，鳥(niǎo)，。是橢圓C

ab

上異于A,B的一點(diǎn)，且制=|。尸］=］「與|（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）,記PA,PB的斜率分別為3左2，設(shè)/為"6

的內(nèi)心，記△/阿，△叱,△與用的面積分別為S］,S2，S3,則（）

C的離心率為必

A.尸耳.尸鳥(niǎo)=0B.

2

SS=^S.

C.左］左2=3-2,^3D.l+2

【答案】ACD

【解析】

【分析】對(duì)于A,由題意點(diǎn)P在以大鳥(niǎo)為直徑的圓上,由此即可判斷A；對(duì)于B,由離心率定義結(jié)合正弦

定理即可判斷；對(duì)于c,由斜率公式結(jié)合離心率即可驗(yàn)算；對(duì)于D,由。的關(guān)系以及這三個(gè)三角形的高一

樣即可驗(yàn)算.

因?yàn)橹?|。尸］=|尸用，所以A。即為正三角形，且點(diǎn)尸在以片片為直徑的圓上,

所以尸￡，尸乙，即兩.而2=0,故A正確.

不妨設(shè)尸

.兀

sm—

Q2c國(guó)FI

則C的離心率為一二—=?-?1|2_?2故B錯(cuò)誤.

.兀.兀

a2a閥1+1叫smFsin—

63

V36n32

—c—0

I"r_3c2_3e2

左色=------

cCc12C2-4a2e2-4

-----FCl---a----a

22------4

3（4-2碼

=3—2百，故C正確.

_4—2y/3

設(shè)△尸片片的內(nèi)切圓半徑為r,則SI=?附|應(yīng)=1質(zhì)同=］陽(yáng)閶，

S+S2=gr（|尸圖+|咋|）=1,1V3+1

—r2a=ra=—,=——rc=-----rc，

2V3-12

S,=^r\FxF^=^r-2c=rc,所以s1+S2=,故D正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決問(wèn)題的關(guān)鍵是得出△。因?yàn)檎切危尹c(diǎn)P在以片鳥(niǎo)為直徑的圓上，由此即

可逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)，進(jìn)而順利得解.

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

22

12.雙曲線(xiàn)2L—二=1上一點(diǎn)尸到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于3,那么點(diǎn)尸與兩個(gè)焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的周

6436

長(zhǎng)等于.

【答案】42

【解析】

【分析】求雙曲線(xiàn)的定義求出點(diǎn)尸到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離，即可求解

【詳解】雙曲線(xiàn)匕—±=1的。=8,6=6,則c=10,

6436

設(shè)尸到它的上焦點(diǎn)片的距離等于3,

由于3＞。一。=2,3＜。+。=18,

則尸為上支上一點(diǎn)，

則由雙曲線(xiàn)的定義可得歸閭-|P周=2。=16,（乙為下焦點(diǎn)）.

則有|尸閭=16+3=19,

則點(diǎn)P與兩個(gè)焦點(diǎn)所構(gòu)成三角形的周長(zhǎng)為忸國(guó)+1尸與|+閨月|=3+19+20=42.

故答案為：42.

13.已知過(guò)定點(diǎn)/(-2,0)的動(dòng)圓M與定圓8：(x-2)2+y2=36相內(nèi)切，則動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為

22

【答案】—+^=1

95

【解析】

【分析】根據(jù)兩圓位置關(guān)系可得|，|+|〃3|=6>以同，結(jié)合橢圓定義求方程即可.

【詳解】因?yàn)閳A3:(x-21+/=36的圓心為6(2,0),半徑r=6,

設(shè)動(dòng)圓M的半徑為R,

顯然點(diǎn)出一2,0)在圓2內(nèi)，則R=|〃41MBi=,R=6—R,

可得|M4|+\MB\=6>A=\AB\,

可知?jiǎng)訄AM的圓心M的軌跡是以4臺(tái)為焦點(diǎn)的橢圓，

則。=3,c=2,b2=a2-c2=5,所以動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為工+2=1.

95

故答案為：—+^=1.

95

22

14.設(shè)橢圓二+與=1(?！?〉0)的兩焦點(diǎn)為《，鳥(niǎo).若橢圓上存在點(diǎn)尸，使/片尸鳥(niǎo)=120。，則橢圓的

ab

離心率e的取值范圍為.

【答案】冬1

【解析】

【分析】設(shè)|"|=切，|尸耳|=〃，根據(jù)橢圓性質(zhì)和余弦定理得到4c2=(機(jī)+〃)2—機(jī)〃，利用均值不等式

得到/之一，解得答案.

4

【詳解】設(shè)|尸娟二加，|尸耳卜〃，則加+〃=2a,4C2=m2+n2-2mncos120°，

2

即4c=(加+-mn,

2a=m+n>2dmn，即mn<a2，當(dāng)且僅當(dāng)m=n=a時(shí)等號(hào)成立，

3反

故4c②=(機(jī)+〃)一一機(jī)〃23片,即e?N—,——<e<1.

v742

故答案為：4^1

,7

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步

驟.

15.已知。。：/+了2+?；+為；—12=0關(guān)于直線(xiàn)x+2y—4=0對(duì)稱(chēng)，且圓心在歹軸上.

(1)求。。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知?jiǎng)狱c(diǎn)/在直線(xiàn)y=x-5上，過(guò)點(diǎn)M引。。的切線(xiàn)M4,求的最小值.

【答案】(1)X2+(J-2)2=16

⑵

2

【解析】

【分析】(1)利用給定條件求出參數(shù)，寫(xiě)出一般方程，再轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可.

(2)結(jié)合題意及勾股定理將切線(xiàn)長(zhǎng)用圓心到直線(xiàn)的距離進(jìn)行表示，再利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求解最值即

可.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)閳A的方程為/+/+以+或-12=0,

所以圓心坐標(biāo)為(-T,-。)，由題意得圓關(guān)于直線(xiàn)x+2了-4=0對(duì)稱(chēng)，

DF

故x+2歹—4=0是圓的直徑，即(―§,—萬(wàn))在直線(xiàn)x+2y—4=0上，

得到—2—￡-4=0,而圓心在歹軸上，故—2=0,解得。=0,

22

代入到—9—￡—4=0中，得到—￡—4=0,解得￡=—4,

2

故圓的一般方程為X2+/-4J-12=0,

我們把它換為標(biāo)準(zhǔn)方程，得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為/+(y-2)2=16,

【小問(wèn)2詳解】

首先，V=%-5可化為x—y—5=0,

如圖，作且記直線(xiàn)x—y—5=0為/,

由勾股定理得|M4『+16=|Cwf,故|兒例=而彳］金,

當(dāng)最小時(shí)，|CA/『一定最小，|M4|也一定最小，

由平面幾何性質(zhì)得當(dāng)CW，/時(shí)，|C"|取得最小值，

由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得3『目=常半

故巧|.=

IImin

22萬(wàn)

16.已知橢圓?+a=1伍〉6〉0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2行，離心率e=三，過(guò)右焦點(diǎn)少的直線(xiàn)/交橢圓于

P、0兩點(diǎn).

(1)求橢圓的方程.

(2)當(dāng)直線(xiàn)/的斜率為1時(shí)，求△尸。0的面積.

f2

【答案】⑴—+/=1⑵-

2,3

【解析】

6丫2

【詳解】試題分析：(1)由題意可得2a=2&，e=手，從而解出橢圓方程］+/=1；

x1+2y2=2

(2)設(shè)直線(xiàn)1的方程為y=x-1,從而聯(lián)立方程」，從而解出交點(diǎn)坐標(biāo)，從而求面積;

y=x-l

解析：

(1)由已知，橢圓方程可設(shè)為三+4=1(?！?〉0),

ab

???長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2&，離心率e=三，

a=y/2>b=c=l,

V2

故所求橢圓方程為土+y2=1.

2"

（2）因?yàn)橹本€(xiàn)/過(guò)橢圓右焦點(diǎn)廠(chǎng)（1,0）,且斜率為1,

所以直線(xiàn)/的方程為y=x-l,設(shè)尸（XQJ,Q（x2,y2）,

x?+2y2=2.1

由,W3/+2j-l=0,解得％=—1,j=-,

y=x-l23

???S/00=?|。斗乂-匕％=|-

17.如圖，四棱錐P—453的底面/BCD是平行四邊形，PALAD,PB=2y[5,AB=2,PA=BC=

4,N48C=60°,點(diǎn)E是線(xiàn)段3c（包括端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn).

P

（2）平面PED和平面4BCZ）的夾角為a,直線(xiàn)與平面PED所成角為廣，求￡+，的值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵-

2

【解析】

【分析】（1）利用線(xiàn)面垂直的判定定理及性質(zhì)定理，再結(jié)合面面垂直的判定定理即可求解；

（2）如圖，以A為原點(diǎn)，以48,ZC,4P所在直線(xiàn)為x軸，N軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)

BE=25C（0<2<1）,E（a,b,Q）,利用向量法求出平面PED和平面4BCD的夾角的余弦值，直線(xiàn)3c

與平面PED所成角的正弦值，即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)镹8=2,PA=4,PB=2yf5

所以ZB?+尸/2=必2,即尸

又PALAD,ABcAD=A,平面ABC。，

所以尸平面幺BCD,又。Eu平面Z5C。，

所以尸Z，￡>￡,

若BE=gBC,則由題意得AE=2,NEAD=60°,4D=4,

所以。加=22+42—2x2x4xL12,

2

所以DE1+AE2=AD'，即4E，，

又P4n4E=A,P4NEu平面p/E,

所以DEL平面尸4E,又DEu平面尸ED,

所以平面PAE1平面PED.

【小問(wèn)2詳解】

AB=2,BC=4,/ABC=60°,所以ZC?=2?+42一2x2x4x；=12,

所以AgZ+ZC?=8。2,即Z81ZC,

又由（1）知「N_L平面48c。，

如圖，以A為原點(diǎn)，以48,ZC,4P所在直線(xiàn)為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

所以5(2,0,0),C(0,26,0)'BC=(-2,250),

設(shè)屜=)麗O&XWl),E(a,b,o),

則伍一2,40)="一2,26,0)，

。=2-22

所以｝_2屆，所以￡(2—242640),

尸(0,0,4),。(-2,26,0),4(0,0,0)

方=（0,0,4）為平面/BCD的法向量,

PE=(2-22,2V32,-4),麗=(-2,2后-4),

設(shè)平面PED的法向量為m=（x,y,z），

PE-m=(2-22)x+2y[3Ay-4z=0

則《一

PDm-—2x+2y/3y-4z-0

可取而=(273(1-2),4-22,73)，

平面PED和平面ABCD的夾角為a,

,一、\m-AP

所以cosa=cos(m,AP)=-~■,-----

'/\nMAP

___________4V|_________V3

4112(1—/Ip+4(2—4)2+371622-402+31

直線(xiàn)BC與平面PED所成角為廣，

?一?\BC-m\

所以sin/=cosBC,m=|_.卜]

1*15C|m|

V4+12^12(l-2)2+4(2-2)2+3V1622-402+31

所以cosa=sin/?,

兀

因?yàn)閍e[0,7i],〃e0,-,

71

所以々+/=萬(wàn).

18.已知雙曲線(xiàn)。的方程為4=l（a〉0,b〉0）,實(shí)軸長(zhǎng)和離心率均為2.

ab

（1）求雙曲線(xiàn)。的標(biāo)準(zhǔn)方程及其漸近線(xiàn)方程；

（2）過(guò)￡（0,2）且傾斜角為45。的直線(xiàn)/與雙曲線(xiàn)。交于M,N兩點(diǎn)，求而.而的值（。為坐標(biāo)原

點(diǎn)）.

【答案】（1）X2—=1,y=土6X；

（2）1.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)離心率以及實(shí)軸長(zhǎng)即可求解見(jiàn)仇。，即可求解方程，

（2）聯(lián)立直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)方程得韋達(dá)定理，即可根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解.

【小問(wèn)1詳解】

由離心率e=9=2,又°2=/+人2,則高=3力,

a

又長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=2,所以/=],所以5?=3，

故雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為/—匕=1；

3

其漸近線(xiàn)方程為y=土島.

【小問(wèn)2詳解】

???直線(xiàn)/的傾斜角為45°，故其斜率為1，又/過(guò)點(diǎn)E（0,2）,

，/的方程為y=x+2；

設(shè)V（西,必）川（馬,%）,

y=x+2

由＜2/得2/_4x-7=0,

x----=1

3

c7

%+%2=2,xrx2=--

:.OMON=XjX2+yxy2=XjX2+（西+2）（%+2）=2x1x2+2（x；+x2）+4=1

221

19.設(shè)橢圓。：二+\=1伍〉6〉0)的右頂點(diǎn)為人，離心率為；，且以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半

ab2

軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線(xiàn)x+y-逐=0相切.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)直線(xiàn)x=-2上兩點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)4W與橢圓C相交于點(diǎn)8(3異于點(diǎn)/),直線(xiàn)

8N與x軸相交于點(diǎn)。，若AZM)的面積為迪，求直線(xiàn)的方程；

3

(3)P是N軸正半軸上的一點(diǎn)，過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)尸和點(diǎn)尸的直線(xiàn)/與橢圓C交于G,H兩點(diǎn),求

\PG\+\PH\估升國(guó)

---方方---的取值氾圍.

I田

22

【答案】(1)二+2=1;

43

(2)x+-^-y—2=0或x—一2=0或x+y-2=0或x-y-2=0；

Q

⑶［；4).

【解析】

【分析】(1)根據(jù)已知得到關(guān)于仇。的方程組，解方程組即得解；

(2)設(shè)直線(xiàn)4W方程為》=吵+2,加h0,求出直線(xiàn)BN方程，再解方程S孚即得解；

(3)設(shè)直線(xiàn)/的方程為＞=?x—1),其中后＜0,G(x「M)，H(X2,y2),聯(lián)立直線(xiàn)和橢圓方程得到韋

達(dá)定理，求出、⑺士—"+再就點(diǎn)尸的位置分兩種情況討論得解.

1^1

【小問(wèn)1詳解】

c1

由題意可得e=—=—,

a2

/、r~|0+0-V6|「

日占(。0)到直線(xiàn)Y.J—、.久=0的距離IL一1―—8

7i2+