九年級下數(shù)學(xué)《281_銳角三角函數(shù)》課件

1、 操場里有一個旗桿，老師讓小明去測量旗操場里有一個旗桿，老師讓小明去測量旗桿高度，小明站在離旗桿底部桿高度，小明站在離旗桿底部10米遠(yuǎn)處，目測米遠(yuǎn)處，目測旗桿的頂部，視線與水平線的夾角為旗桿的頂部，視線與水平線的夾角為30度，并度，并已知目高為已知目高為1米然后他很快就算出旗桿的高米然后他很快就算出旗桿的高度了度了1米米303010米米? 你想知道小明怎樣算你想知道小明怎樣算出的嗎？出的嗎？【知識與技能知識與技能】1了解三角函數(shù)的概念，理解正弦、余弦、了解三角函數(shù)的概念，理解正弦、余弦、正切的概念；正切的概念；2 掌握在直角三角形之中，銳角三角函數(shù)與掌握在直角三角形之中，銳角三角函數(shù)與兩邊之比

2、的對應(yīng)關(guān)系；兩邊之比的對應(yīng)關(guān)系；3掌握銳角三角函數(shù)的概念并會求一個銳角掌握銳角三角函數(shù)的概念并會求一個銳角的三角函數(shù)值的三角函數(shù)值【過程與方法過程與方法】1通過經(jīng)歷三角函數(shù)概念的形成過程通過經(jīng)歷三角函數(shù)概念的形成過程,豐富自己的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗；豐富自己的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗； 2滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法【情感態(tài)度與價值觀情感態(tài)度與價值觀】1感受數(shù)學(xué)來源于生活又應(yīng)用于生活，感受數(shù)學(xué)來源于生活又應(yīng)用于生活，體驗數(shù)學(xué)的生活化經(jīng)歷；體驗數(shù)學(xué)的生活化經(jīng)歷；2培養(yǎng)主動探索，敢于實踐，勇于發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)主動探索，敢于實踐，勇于發(fā)現(xiàn)，合作交流的精神合作交流的精神重點：重點：銳角三角函數(shù)的概念銳角

3、三角函數(shù)的概念難點：難點：銳角三角函數(shù)概念的形成銳角三角函數(shù)概念的形成 某商場有一自動扶梯，其傾斜角為某商場有一自動扶梯，其傾斜角為30，高為，高為7m，扶梯的長度是多少，扶梯的長度是多少?BAC307m實際問題解解:這個問題可以歸結(jié)為，在這個問題可以歸結(jié)為，在RtABC中，中，C=90 ，A=30 ，BC=7m，求，求AB在直角三角形中，在直角三角形中， 由于由于A=30 ,所以所以12ABCAB的的對對邊邊斜斜邊邊可得可得AB=2BC=7214m所以，扶梯的長度是所以，扶梯的長度是14m 在上面的問題中，如果高為在上面的問題中，如果高為10m ，那么需要準(zhǔn)備多長的水管？那么需要準(zhǔn)備多長的水

4、管？解解:這個問題可以歸結(jié)為，在這個問題可以歸結(jié)為，在RtABC中，中，C=90 ，A=30 ，BC=10m，求，求AB在直角三角形中，在直角三角形中， 由于由于A=30 ,所以所以ABCAB12的的對對邊邊斜斜邊邊想一想想一想可得可得AB=2BC=10220m所以所以,扶梯的長度是扶梯的長度是20m 已知等腰直角三角形已知等腰直角三角形ABC，C=90 ，計，計算算A的對邊與斜邊的比的對邊與斜邊的比 ，你能得出什么結(jié)，你能得出什么結(jié)論？論？BCABABC解：因為解：因為ABC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， C=90 ，所以，所以A=45 由勾股定理得由勾股定理得ABACBCBC2222

5、22ABBC12222BCBCABBCABC22即直角三角形中，當(dāng)一個角等于即直角三角形中，當(dāng)一個角等于45時，這個角的對邊與斜邊的比時，這個角的對邊與斜邊的比都等于都等于 因此因此在在RtABC中中, C90當(dāng)當(dāng)A30時時,當(dāng)當(dāng)A45時時,12ABCAB的的對對邊邊斜斜邊邊ABC2AB2的的對對邊邊斜斜邊邊固定值固定值固定值固定值歸納歸納 對于銳角對于銳角A的每一個確定的值，其對的每一個確定的值，其對邊與斜邊的比值也是惟一確定的邊與斜邊的比值也是惟一確定的 嗎？嗎？想一想想一想所以所以_B CAB111B CAB333RtAB1C1RtAB2C2RtAB3C3 所以，在所以，在RtABC中，

6、在直角三角形中，當(dāng)銳中，在直角三角形中，當(dāng)銳角角A的度數(shù)一定時，不管三角形的大小如何，的度數(shù)一定時，不管三角形的大小如何， A的對邊與斜邊的比是一個固定值的對邊與斜邊的比是一個固定值 觀察右圖中的觀察右圖中的RtAB1C1、RtAB2C2和和RtAB3C3，A的對邊與的對邊與斜邊有什么關(guān)系？斜邊有什么關(guān)系？B CAB222 直角三角形直角三角形ABC可以簡記為可以簡記為RtABC，直，直角角C所對的邊所對的邊AB稱為斜邊，用稱為斜邊，用c表示，另兩表示，另兩條直角邊分別叫條直角邊分別叫A的對邊與鄰邊的對邊與鄰邊，用，用a、b表表示示CAB斜邊斜邊c鄰邊鄰邊對邊對邊abCABCAB 在在RtAB

7、C中，中， C=90 ，我們把，我們把銳角銳角A的對邊與斜邊的比叫做的對邊與斜邊的比叫做 A的的正弦正弦（sine），記作），記作sinA，即，即sinAaAc 的的對對邊邊斜斜邊邊一個角的正弦一個角的正弦表示表示定值定值、比比值值、正值正值知識要點知識要點正弦正弦 【例例1】如圖，在如圖，在RtABC中，中， C=90 ，求求sinA和和sinB的值的值A(chǔ)BCABC68610(1)(2)ABC68(1)解解:設(shè)如圖所示設(shè)如圖所示,在在RtABC中中,22226810ABACBC8410563105BCsin A,ABACsinB.AB因此因此ABC610(2)解解:設(shè)如圖所示設(shè)如圖所示,在在

8、RtABC中中,22226104ABACBC()()10464BCsin A,ABACsinB.AB因此因此如圖，求如圖，求sinA和和sinB的值的值A(chǔ)BCABC10(1)(2)26940sin A, sinB.1251313sin A, sinB.4094141 對于銳角對于銳角A的每一個確定的值，其鄰的每一個確定的值，其鄰邊與斜邊、鄰邊與對邊的比值也是惟一確邊與斜邊、鄰邊與對邊的比值也是惟一確定的嗎？定的嗎？想一想想一想RtAB1C1RtAB2C2RtAB3C3所以所以_ 觀察右圖中的觀察右圖中的RtAB1C1、RtAB2C2和和RtAB3C3，A的鄰邊與的鄰邊與斜邊、斜邊、 A的對邊與

9、鄰邊之的對邊與鄰邊之間有什么關(guān)系？間有什么關(guān)系？_B CAC111B CAC222B CAC333ACAB11ACAB22ACAB33 在在RtABC中，在直角三角形中，當(dāng)銳角中，在直角三角形中，當(dāng)銳角A的的度數(shù)一定時，不管三角形的大小如何，度數(shù)一定時，不管三角形的大小如何， A的的A的鄰邊與斜邊的比、的鄰邊與斜邊的比、 A的對邊與鄰邊的比都是的對邊與鄰邊的比都是一個固定值一個固定值 在在RtABC中，在直角三角形中，當(dāng)銳角中，在直角三角形中，當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時，不管三角形的大小如何，的度數(shù)一定時，不管三角形的大小如何，A的對邊邊與斜邊的比、的對邊邊與斜邊的比、A的鄰邊與斜邊的比、的鄰邊與斜

10、邊的比、 A的對邊與鄰邊的的對邊與鄰邊的比都是一個固定值比都是一個固定值歸納歸納 在在RtABC中，中， C=90 ，我們把，我們把銳角銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做的鄰邊與斜邊的比叫做 A的的余弦余弦（cosine），記作），記作cosA，即，即cosAbAc 的的鄰鄰邊邊斜斜邊邊一個角的余弦一個角的余弦表示表示定值定值、比比值值、正值正值知識要點知識要點余弦余弦 在在RtABC中，中， C=90 ，我們把，我們把銳角銳角A的對邊與鄰邊的比叫做的對邊與鄰邊的比叫做 A的的正切正切（tangent），記作），記作tanA，即，即AatanAAb 的的對對邊邊的的鄰鄰邊邊一個角的余切一個角的余切表示

11、表示定值、比定值、比值、正值值、正值知識要點知識要點正切正切 在在RtABC中，中， C=90 ，我們把，我們把銳角銳角A的鄰邊與對邊的比叫做的鄰邊與對邊的比叫做 A的余切，的余切，記作記作cotA，即，即AbcotAAa的的鄰鄰邊邊的的對對邊邊一個角的余切一個角的余切表示表示定值、比定值、比值、正值值、正值知識要點知識要點余切余切tan30=?33ABC銳角銳角A的正切值可以等的正切值可以等于于1嗎？為什么？嗎？為什么？可以大于可以大于1嗎？嗎？tan 45=tan 60=?13 銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù) 銳角銳角A的正弦、余弦、正切、余切都的正弦、余弦、正切、余切都叫做叫做A的的銳角三角函

12、數(shù)銳角三角函數(shù)（trigonometric function of acute angle）知識要點知識要點 1sinA、cosA、tanA 、 cotA是在是在直角三角直角三角形形中定義的，中定義的，A是是銳角銳角(注意注意數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造直，構(gòu)造直角三角形角三角形) 2sinA、 cosA、tanA 、 cotA是一個是一個比值比值（數(shù)值數(shù)值） 3sinA、 cosA、 tanA 、 cotA的大小只與的大小只與A的大小的大小有關(guān)，而與有關(guān)，而與直角三角形的邊長直角三角形的邊長無關(guān)無關(guān)歸納歸納【例例2】如圖，在如圖，在RtABC中，中， C=90 ，BC=24，sinA= ，求，求c

13、osA、tanB的值的值1213ABC24解解：又又BCsin AAB13242612BCABsin A2222262410ACABBCACcos A,ABACtanB.BC10526131052412ABC24 分別求出下列直角三角形中的銳角的正分別求出下列直角三角形中的銳角的正弦值、余弦值和正切值、余切值弦值、余弦值和正切值、余切值A(chǔ)BC（1）ABC5（2）25 741247(1)sin,sin;2525724cos,cos;2525247tan,tan;724724,.247ABABABcotAcotB54(2)sin41,sin41;414145cos41,cos41;414154ta

14、n,tan;4545,.54ABABABcotAcotB 如圖如圖,在在RtABC中中,銳角銳角A的鄰邊和斜邊同時擴(kuò)大的鄰邊和斜邊同時擴(kuò)大100倍，倍，tanA的值（的值（ ） A擴(kuò)大擴(kuò)大100倍倍 B縮小縮小100倍倍 C不變不變 D不能確定不能確定ABCC 如圖如圖,觀察一副三角板觀察一副三角板:它們其中有幾個銳它們其中有幾個銳角角?分別是多少度分別是多少度?分別求出這幾個銳角的三角分別求出這幾個銳角的三角函數(shù)函數(shù)ABC30123sin30=cos30=tan30=cot30=1233332ABC4511sin45 =cos45=tan45=cot45=2211222ACB6012sin6

15、0=cos60=tan60=cot60=3312333230 45 60 sincostancot1222121223232333333特殊角的三角函數(shù)值表特殊角的三角函數(shù)值表1自變量自變量的取值范圍是的取值范圍是：各因變量的取值范圍是：各因變量的取值范圍是： 0 90正弦正弦 0 sin1余弦余弦 0 cos1正切正切 tan0余切余切 cot0 根據(jù)上面表格，思考以下問題：根據(jù)上面表格，思考以下問題： 各個函數(shù)值隨著自變量各個函數(shù)值隨著自變量的增大而怎樣的增大而怎樣變化？變化？tan與與cot有怎樣的關(guān)系？有怎樣的關(guān)系？ sin、tan隨著自變量隨著自變量的增大而增大的增大而增大 cos、

16、cot隨著自變量隨著自變量的增大而減小的增大而減小tancot =1 當(dāng)兩角互余時，這兩角的正弦和余弦有當(dāng)兩角互余時，這兩角的正弦和余弦有怎樣的關(guān)系？正切和余切呢？怎樣的關(guān)系？正切和余切呢？sin= cos（90）cos= sin（90）tan= cot（90）cot= tan（90） sin2+cos2=1【例例3】求下列各式的值：求下列各式的值：( )cossincos()cotsin22130453024560 2222325(1)3045;224cossin 3033(2)4510.6022coscotsin解：解：2230303030表示(即:(coscos) ,cos) (cos)

17、(1)sin60+cos45;(2) sin230+cos245+tan60解解: (1)sin30+cos4532222231122(2) sin260+cos260-cot4531144322.0. 如果知道一個角的三角函數(shù)的數(shù)值，如果知道一個角的三角函數(shù)的數(shù)值，你能求出這個角是多少度嗎？你能求出這個角是多少度嗎？(1)已知已知 ，則則A_;sin A12(2)已知已知 ，則，則B_;cosB 12(3)已知已知 ，則，則C_;tanC 3(4)已知已知 ，則，則D_;cot D 3330606030探究探究由銳角的三角函數(shù)值反求銳角A=A=A=A=A=A=A=A=A=12sinA12co

18、sA33tanA3032sinA6022cosA303tanA22sinA32cosA1tanA45歸納歸納4545306060 【例例4】 如圖如圖:一個小孩蕩秋千，秋千鏈子的一個小孩蕩秋千，秋千鏈子的長度為長度為2.5m，當(dāng)秋千向兩邊擺動時，擺角恰好，當(dāng)秋千向兩邊擺動時，擺角恰好為為60，且兩邊擺動的角度相同，求它擺至最，且兩邊擺動的角度相同，求它擺至最高位置時與其擺至最低位置時的高度之差高位置時與其擺至最低位置時的高度之差(結(jié)果結(jié)果精確到精確到0.01m)最高位置與最低位置的高度差約為最高位置與最低位置的高度差約為0.34mAOD OD=2.5m, 160302,解解: :如圖如圖, ,

19、根據(jù)題意可知根據(jù)題意可知, , 30OCcos,ODAC=2.5-2.1650.34(m) 3cos302.52.165().2OCODm 如圖，在如圖，在RtABC中中,C=90,A，B ，C的對邊分別是的對邊分別是a，b，c求證求證:sin2A+cos2A=1證明：證明：222222222222sin,cos,sincos( )( )sincos22222abAAccababAAcccABCa +b = ca +bcAA1cc三三角角形形是是直直角角三三角角形形，bABCac 如圖如圖,當(dāng)?shù)巧嚼|車的吊箱經(jīng)過當(dāng)?shù)巧嚼|車的吊箱經(jīng)過點點A到達(dá)點到達(dá)點B時，它走過了時，它走過了200m已知纜車行駛

20、的路線與水已知纜車行駛的路線與水平面的夾角為平面的夾角為=17，那么纜，那么纜車垂直上升的距離是多少車垂直上升的距離是多少?解：在解：在RtABC中中,C=90, BC=ABsin17 你知道你知道sin17等于多少嗎等于多少嗎? ?用科學(xué)計算器求銳角的三角函數(shù)值：用科學(xué)計算器求銳角的三角函數(shù)值： sincostan 用計算器求用計算器求sin18，cos53， tan72, cot65和和sin72 3825的三角函數(shù)的三角函數(shù)按鍵的順序按鍵的順序顯示結(jié)果顯示結(jié)果sin18cos53tan72cot62sin72 3825sin180.309 016 994cos530.601 815 02

21、3tan723.732 050 808sin7238250.954 450 312=cot62=0.531 709 432 用計算器求三角函數(shù)值時用計算器求三角函數(shù)值時,結(jié)果一般有結(jié)果一般有10個數(shù)位本書約定個數(shù)位本書約定,如無特別聲明如無特別聲明,計算結(jié)果一般精計算結(jié)果一般精確到萬分位確到萬分位 所以我們可以用計算器求得纜車上升的垂直距所以我們可以用計算器求得纜車上升的垂直距離：離： BC=ABsin172000.292458.48（m） 如圖，為了方便行人，市政府在如圖，為了方便行人，市政府在10m高的高的天橋兩端修建了天橋兩端修建了40m長的斜道這條斜道的傾長的斜道這條斜道的傾斜角是多少

22、斜角是多少?如圖，在如圖，在RtABC中中,101sin.404BCAACA是多少度是多少度?ABC40m10m 如圖，一名患者體內(nèi)某重要器官后面有一腫如圖，一名患者體內(nèi)某重要器官后面有一腫瘤在接受放射性治療時瘤在接受放射性治療時,為了最大限度地保證療效為了最大限度地保證療效,并并且防止傷害器官且防止傷害器官,射線必需從側(cè)面照射腫瘤已知腫瘤射線必需從側(cè)面照射腫瘤已知腫瘤在皮下在皮下6.3cm的的A處處,射線從腫瘤右側(cè)射線從腫瘤右側(cè)9.8cm的的B處進(jìn)入處進(jìn)入身體，求射線的入射角度身體，求射線的入射角度解解:如圖，在如圖，在RtABC中，中，AC=6.3cm，BC=9.8cmAC.tanB.BC

23、.6 30 64299 8B324413因此，射線的入射角度約為因此，射線的入射角度約為324413 已知三角函數(shù)值求角度已知三角函數(shù)值求角度, ,要用到三個鍵要用到三個鍵, , 和第二功能鍵和第二功能鍵 和和 sincostan按鍵的順序按鍵的順序顯示結(jié)果顯示結(jié)果sinA=0.9816cosA=0.8607tanA=0.1890tanA=56.78shiftsin-10 sin-1=0.9816=78.99184039shiftcos-10 cos-1=0.8607=30.60473007shifttan-10 tan-1=0.1890=10.70265749shifttan-156 78t

24、an-1=56.78=88.99102049981=sin-1cos-1tan-1shift8 1 6 =60 7 =89 0 = 上表的顯示結(jié)果是以度為單位的,再按 鍵即可顯示以“度,分,秒”為單位的結(jié)果dms根據(jù)下列條件計算器求根據(jù)下列條件計算器求的大小的大小:(1)tan=2.9888;(2)sin=0.3957;(3)cos=0.7850;(4)tan=0.897271.523.338.341.91銳角銳角A的的正弦、余弦、正切、余切函數(shù)正弦、余弦、正切、余切函數(shù)，統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為 銳角銳角A的三角函數(shù)的三角函數(shù)230、45、60角的三角函數(shù)值角的三角函數(shù)值3銳角銳角的三角函數(shù)值的取值范圍的三角函數(shù)值的取值范圍 4三角函數(shù)的增減性：三角函數(shù)的增減性：正弦正弦 0 sin1 正切正切 tan0余弦余弦 0 cos1 余切余切 cot0sin、tan隨著自變量隨著自變量的增大而增大的增大而增大cos、cot隨著自變量隨著自變量的增大而減小的增大而減小tancot（90-） =1 sin2 +cos2 （90-） =1sin= cos（90-）cos= sin（90-）tan= cot（90-）cot = tan（90-）1 1當(dāng)當(dāng)A A為銳角，且為銳角，且tanA的值大于的值大于 時，時，A（ ）3A小于小于30 B大于大