小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(四年級(jí))--05

1、小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級(jí)）本教程共 30 講棄九法從第 4 講知道，如果一個(gè)數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和能被 9整除，那 么這個(gè)數(shù)能被 9 整除；如果一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和被 9除余數(shù)是幾， 那么這個(gè)數(shù)被 9除的余數(shù)也一定是幾。 利用這個(gè)性質(zhì)可以迅速地判斷一個(gè) 數(shù)能否被 9 整除或者求出被 9 除的余數(shù)是幾。例如， 3645732這個(gè)數(shù)，各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和為3 + 6 + 4 + 5 + 7 + 3 + 2 = 30,30被9除余 3，所以3645732這個(gè)數(shù)不能被 9整除，且被 9除后余數(shù) 為 3。但是，當(dāng)一個(gè)數(shù)的數(shù)位較多時(shí)， 這種計(jì)算麻煩且易錯(cuò)。 有沒有更簡便 的方法呢？因?yàn)槲覀冎皇?/p>

2、判斷這個(gè)式子被 9 除的余數(shù)，所以凡是若干個(gè)數(shù)的和是 9 時(shí)，就把這些數(shù)劃掉，如 3+ 6= 9， 4+ 5= 9， 7+ 2= 9，把這些數(shù)劃掉 后，最多只剩下一個(gè) 3（如下圖），所以這個(gè)數(shù)除以 9 的余數(shù)是 3。這種將和為 9或 9的倍數(shù)的數(shù)字劃掉，用剩下的數(shù)字和求除以 9的 余數(shù)的方法，叫做棄九法 。一個(gè)數(shù)被 9 除的余數(shù)叫做這個(gè)數(shù)的 九余數(shù)。利用棄九法可以計(jì)算一個(gè) 數(shù)的九余數(shù)，還可以檢驗(yàn)四則運(yùn)算的正確性。例1 求多位數(shù)除以 9的余數(shù)。分析與解 ：利用棄九法，將和為 9 的數(shù)依次劃掉。只剩下 7， 6， 1， 5 四個(gè)數(shù)，這時(shí)口算一下即可?？谒阒?， 7， 6， 5 的和是 9 的倍數(shù)，又

3、可劃掉，只剩下 1。所以這個(gè)多位數(shù)除以 9余 1。例2將自然數(shù)1, 2, 3,依次無間隔地寫下去組成一個(gè)數(shù)如果一直寫 到自然數(shù) 100，那么所得的數(shù)除以 9的余數(shù)是多少？分析與解 ：因?yàn)檫@個(gè)數(shù)太大, 全部寫出來很麻煩, 在使用棄九法時(shí)不能逐 個(gè)劃掉和為 9或 9的倍數(shù)的數(shù),所以要配合適當(dāng)?shù)姆治觥Ｎ覀円呀?jīng)熟知1 + 2+ 3+ 9 = 45,而45是9的倍數(shù)，所以每一組1, 2, 3, 9都可以劃掉。在1 99這九十九個(gè)數(shù)中，個(gè)位數(shù)有十組 1, 2, 3, 9,都可劃掉；十位數(shù) 也有十組1, 2, 3, 9,也都劃掉。這樣在這個(gè)大數(shù)中，除了 O以外, 只剩下最后的 100中的數(shù)字 1。所以這個(gè)數(shù)

4、除以 9余1。在上面的解法中, 并沒有計(jì)算出這個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字和, 而是利 用棄九法分析求解。 本題還有其它簡捷的解法。 因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)與它的各個(gè)數(shù) 位上的數(shù)字之和除以 9的余數(shù)相同,所以題中這個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之 和，與1+ 2+ 100除以9的余數(shù)相同。禾U用高斯求和法，知此和是 5050。因?yàn)?050的數(shù)字和為5+ 0+ 5+ 0=10,利用棄九法,棄去一個(gè) 9余1,故5050除以 9余1。因此題中的數(shù) 除以 9 余 1。例 3 檢驗(yàn)下面的加法算式是否正確：2638457+ 3521983+ 6745785=。分析與解 ：若干個(gè)加數(shù)的九余數(shù)相加, 所得和的九余數(shù)應(yīng)當(dāng)?shù)扔谶@些加數(shù) 的和的

5、九余數(shù)。如果不等,那么這個(gè)加法算式肯定不正確。上式中,三個(gè) 加數(shù)的九余數(shù)依次為 8, 4, 6, 8+4+6的九余數(shù)為 0；和的九余數(shù)為 1。因 為0 1,所以這個(gè)算式不正確。例 4 檢驗(yàn)下面的減法算式是否正確：= 5664192。分析與解 ：被減數(shù)的九余數(shù)減去減數(shù)的九余數(shù) （若不夠減, 可在被減數(shù)的 九余數(shù)上加 9,然后再減）應(yīng)當(dāng)?shù)扔诓畹木庞鄶?shù)。如果不等,那么這個(gè)減 法計(jì)算肯定不正確。上式中被減數(shù)的九余數(shù)是3,減數(shù)的九余數(shù)是 6,由（9+3）-6=6知,原題等號(hào)左邊的九余數(shù)是 6。等號(hào)右邊的九余數(shù)也是 6。 因?yàn)?6= 6,所以這個(gè)減法運(yùn)算可能正確。值得注意的是, 這里我們用的是“可能正確”

6、。禾用棄九法檢驗(yàn)加法、 減法、乘法（見例 5）運(yùn)算的結(jié)果是否正確時(shí),如果等號(hào)兩邊的九余數(shù)不 相等,那么這個(gè)算式肯定不正確； 如果等號(hào)兩邊的九余數(shù)相等, 那么還不 能確定算式是否正確，因?yàn)榫庞鄶?shù)只有 0, 1, 2, 8九種情況，不同 的數(shù)可能有相同的九余數(shù)。 所以用棄九法檢驗(yàn)運(yùn)算的正確性, 只是一種粗 略的檢驗(yàn)。例 5 檢驗(yàn)下面的乘法算式是否正確：46876× 9537=。 分析與解 ：兩個(gè)因數(shù)的九余數(shù)相乘， 所得的數(shù)的九余數(shù)應(yīng)當(dāng)?shù)扔趦蓚€(gè)因數(shù) 的乘積的九余數(shù)。如果不等，那么這個(gè)乘法計(jì)算肯定不正確。上式中，被 乘數(shù)的九余數(shù)是4,乘數(shù)的九余數(shù)是6, 4× 6= 24, 24的九

7、余數(shù)是6。乘 積的九余數(shù)是7。67,所以這個(gè)算式不正確。說明：因?yàn)槌ㄊ浅朔ǖ哪孢\(yùn)算，被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)，所以當(dāng)余 數(shù)為零時(shí), 利用棄九法驗(yàn)算除法可化為用棄九法去驗(yàn)算乘法。 例如, 檢驗(yàn) 383801 ÷ 253=1517的正確性，只需檢驗(yàn) 1517× 253=383801的正確性。練習(xí) 51求下列各數(shù)除以 9 的余數(shù)：（1）7468251； （2）；（3）2657348； （4）。2求下列各式除以 9 的余數(shù)：（1 ）67235 82564； （2）97256-47823；（3）2783× 6451；（ 4）3477+265× 841。3用棄九法檢驗(yàn)下列各題計(jì)算的正確性：（ 1 ） 228× 222= 50616；（ 2） 334× 336= 112224；（3）÷ 6236= 3748;（ 4） 12345÷ 6789=。4.有一個(gè)2000位的數(shù)A能被9整除，數(shù)A的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和 是B,數(shù)B的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是 C,數(shù)C的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和 是D。求Db答案與提示 練習(xí)1.( 1)6； ( 2) 8；( 3) 8；( 4) 6。2.( 1)3；( 2) 5；( 3) 5；( 4)