拉普拉斯變換-1PPT課件

1、Laplace變換變換 本章介紹本章介紹Laplace變換的概念、性質(zhì)變換的概念、性質(zhì)以及以及Laplace逆變換逆變換. .最后給出最后給出Laplace變變換一些應(yīng)用的例子換一些應(yīng)用的例子. . Fourier變換在許多領(lǐng)域中發(fā)揮著重要的作用變換在許多領(lǐng)域中發(fā)揮著重要的作用,但是在通常意義下，但是在通常意義下，F(xiàn)ourier變換存在的條件需要變換存在的條件需要實(shí)函數(shù)實(shí)函數(shù)f (t)在在(- ,+ )上絕對(duì)可積上絕對(duì)可積. 很多常見的初等很多常見的初等函數(shù)函數(shù)(例如，常數(shù)函數(shù)、多項(xiàng)式函數(shù)、正弦與余弦例如，常數(shù)函數(shù)、多項(xiàng)式函數(shù)、正弦與余弦函數(shù)等函數(shù)等)都不滿足這個(gè)要求都不滿足這個(gè)要求. 另外，

2、很多以時(shí)間另外，很多以時(shí)間t 為為為自變量的函數(shù)，當(dāng)為自變量的函數(shù)，當(dāng)t0時(shí)，往往沒(méi)有定義，或者時(shí)，往往沒(méi)有定義，或者不需要知道不需要知道t0的情況的情況. 因此因此, Fourier變換在實(shí)際變換在實(shí)際應(yīng)用中受到一些限制應(yīng)用中受到一些限制. 當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù)f (t)在在t0時(shí)沒(méi)有定義或者不需要知時(shí)沒(méi)有定義或者不需要知道時(shí)道時(shí), 可以認(rèn)為當(dāng)可以認(rèn)為當(dāng)t0時(shí)時(shí), f (t) 0. 這時(shí)這時(shí), Fourier變換的表達(dá)式為變換的表達(dá)式為 0 ( )( )d .i tf tf t et F F但是仍然需要但是仍然需要f (t)在在 0,) 上絕對(duì)可積的條件，上絕對(duì)可積的條件， 這個(gè)要求限制了它的應(yīng)用這

3、個(gè)要求限制了它的應(yīng)用. 對(duì)定義在對(duì)定義在 0,) 上的函數(shù)上的函數(shù) f (t), 如果考慮如果考慮 1( )( ) (0),tf tf t e 那么那么 1( )f t容易滿足在容易滿足在 0,) 上絕對(duì)可積的上絕對(duì)可積的 要求要求. 例如，例如， ( )f t為常數(shù)、多項(xiàng)式、正弦與余弦為常數(shù)、多項(xiàng)式、正弦與余弦函數(shù)時(shí)函數(shù)時(shí), 1( )( ) (0)tf tf t e 都在都在 0,) 上絕對(duì)可積上絕對(duì)可積. 這是因?yàn)檫@是因?yàn)?時(shí)時(shí), t te 是衰減速度很快的函數(shù)，稱它為指數(shù)衰減函數(shù)是衰減速度很快的函數(shù)，稱它為指數(shù)衰減函數(shù). 如果如果 0 取得適當(dāng)大，那么取得適當(dāng)大，那么 1( ), 0(

4、)0, 0tf t etf tt 的的Fourier變換可能有意義變換可能有意義. 1( )f t的的Fourier變換變換可表示為可表示為 ()00( )d( )d .ti titf t eetf t et 將將 i 記為記為s, 可寫成可寫成 0( )( )d .stF sf t et 這就是本章要討論的這就是本章要討論的Laplace變換變換, 它放寬了對(duì)函它放寬了對(duì)函數(shù)的限制并使之更適合工程實(shí)際數(shù)的限制并使之更適合工程實(shí)際, 定義設(shè)定義設(shè) ( )f t在在0t 上有定義上有定義, 并且積分并且積分 0( )( )dstF sf t et (s是復(fù)參變量是復(fù)參變量)關(guān)于某一范圍關(guān)于某一范

5、圍s 收斂，則由這個(gè)積分確定的函數(shù)收斂，則由這個(gè)積分確定的函數(shù)0( )( )d ,stF sf t et 稱為函數(shù)稱為函數(shù) ( )f t的的Laplace變換變換, 并記做并記做 ( ),f tL L即即 0 ( )( )( )d .stf tF sf t et L LLaplace變換的定義變換的定義的的像函數(shù)，像函數(shù)， ( )F s稱為稱為 ( )f t( )f t稱為稱為 ( )F s的的像原函數(shù)像原函數(shù). 已知已知 ( )F s是是( )f t的的Laplace變換，則記變換，則記 1( )( ),f tF s L L并稱并稱( )f t為為( )F s的的Laplace逆變換逆變換.

6、 .內(nèi)分段連續(xù)內(nèi)分段連續(xù), 并且當(dāng)并且當(dāng)t 時(shí)時(shí), ( )f t的增長(zhǎng)速度不的增長(zhǎng)速度不超過(guò)某一指數(shù)函數(shù)超過(guò)某一指數(shù)函數(shù), 即存在常數(shù)即存在常數(shù)0M 實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)0,s使得在使得在 0,) 上，上， 在在定理定理 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) ( )f t0t 的任何有限區(qū)間的任何有限區(qū)間0( ),s tf tMe 則在半平面則在半平面0Ress 上，上， ( )f tL L存在存在, 且且 ( ) ( )F sf t L L是是s的解析函數(shù)的解析函數(shù), 其中其中 0s稱為稱為( )f t的增長(zhǎng)指數(shù)的增長(zhǎng)指數(shù). Laplace變換存在定理變換存在定理 解解 0( )( )( )ststtt edtt edt=1

7、1t 例例 求單位脈沖函數(shù)求單位脈沖函數(shù) 的拉氏變換的拉氏變換 t0011 ( )d.ststu tetess L L因?yàn)樵谝驗(yàn)樵贚aplace變換中不必考慮變換中不必考慮 0t 時(shí)的情況，時(shí)的情況，所以經(jīng)常記作所以經(jīng)常記作 11.s L L例例1 求單位階躍函數(shù)求單位階躍函數(shù) 1, 0( )0, 0tu tt 的的Laplace變換變換.根據(jù)根據(jù)Laplace變換的定義，變換的定義， 當(dāng)當(dāng)Re0s 時(shí)，時(shí)， 例例2 求指數(shù)函數(shù)求指數(shù)函數(shù) ( )atf te (其中其中a是實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù))的的Laplace變換變換. ()00( ) ( )dd ,atatsts a tF sf tee etet

8、L LL L()01d,s a tetsa 所以所以根據(jù)根據(jù)Laplace變換的定義變換的定義 1 (Re).atesasa L Las )Re(這個(gè)積分當(dāng)這個(gè)積分當(dāng) 時(shí)收斂，且時(shí)收斂，且 as )Re(例例3 求正弦函數(shù)求正弦函數(shù) 的拉氏變換的拉氏變換 ( )sin)f tktkR ( 00020201( )sinsin1sincos0coscossin0stststststststf tktedtktdesektkektdtskektdtskektkektdts 解解 即即22sinkktsk同理可得同理可得22cossktsk 如如 22sin 204tRe ss 2cos309stRe

9、 ss 則則22200sinsinststkkktedtktedtss 例例 求單位斜坡函數(shù)求單位斜坡函數(shù) 的拉氏變換的拉氏變換 000tttt解解: : 21( )( )ttu ts )0)(Re(111)(2000ssdtestesdttetststst設(shè)設(shè)( )f t是以是以T 為周期的函數(shù)為周期的函數(shù), 即即 ()( ) (0),f tTf tt 且在一個(gè)周期內(nèi)分段連續(xù)，則且在一個(gè)周期內(nèi)分段連續(xù)，則 0T0 ( )( )d=( )d( )dstststTf tf t etf t etf t et L周期函數(shù)的周期函數(shù)的Laplace變換變換1TT1100=( )d( )ds tstf

10、t etf t et （） 于是于是01 ( )( )d .1TstsTf tf t ete L L這就是這就是周期函數(shù)的周期函數(shù)的Laplace變換公式變換公式. 1T1100=( )d( )dststsTf t etef t et T0=( )dstsTf t ete ( )f tL例例 求全波整流函數(shù)求全波整流函數(shù)( )sinf tt 的的Laplace變換變換. 01 ( )sin d1stsf tet te L L201( sincos )11stsettes 21111ssees 所以由所以由( )f t的周期的周期,T tf (t)o 2 根據(jù)拉普拉斯變換的定義 Laplace

11、逆變換逆變換1( )( )d (0),2istif tF s esti 其中其中0,s 0s是是( )f t的增長(zhǎng)指數(shù)的增長(zhǎng)指數(shù). 積分路徑是積分路徑是在右半平面在右半平面 0Ress 上的任意一條直線上的任意一條直線 Re.s 0 xy這就是這就是Laplace逆變換的逆變換的一般公式一般公式, 稱為稱為的的反演積分反演積分. 這是復(fù)變函數(shù)的這是復(fù)變函數(shù)的積分積分, 在一定條件下在一定條件下, 可利用留數(shù)來(lái)計(jì)算可利用留數(shù)來(lái)計(jì)算. Laplace 變換變換定理設(shè)定理設(shè) 12, , , nsss是是 ( )F s的所有孤立的所有孤立奇點(diǎn)奇點(diǎn)(有限個(gè)有限個(gè))， 除這些點(diǎn)外除這些點(diǎn)外, ( )F s

12、處處解析處處解析, 且且在在,s 當(dāng)當(dāng)0|sR 時(shí)時(shí), F(s)0選取選取, 使所有使所有孤立奇點(diǎn)都在孤立奇點(diǎn)都在 Res 內(nèi)內(nèi), 則當(dāng)則當(dāng) 0t 時(shí)，時(shí)， 11( )dRes( ),2niststkikF s esF s esi 利用留數(shù)求利用留數(shù)求Laplace逆變換的公式逆變換的公式特別當(dāng)特別當(dāng)( )F s是有理函數(shù)，且為分母次數(shù)高于是有理函數(shù)，且為分母次數(shù)高于 分子次數(shù)的有理真分式，則分子次數(shù)的有理真分式，則Laplace逆變換存在，逆變換存在， 11( )( )Res( ),.nstkkf tF sF s es L L例求例求 2( )1sF ss 的的Laplace逆變換逆變換. 解解si 是是 21stses 的的1階極點(diǎn)，階極點(diǎn)， 由計(jì)算由計(jì)算 留數(shù)的法則，留數(shù)的法則， 21Res, ,122ststitsisseeiess 122( )Res, Res, 11ststssF seieiss L L1()cos .2ititeet